В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Îñòàëüíàÿ ÷àñòü ñåãìåíòà [a, b] ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé2(M − m)êîíå÷íîå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñåãìåíòîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà.  ñèëó ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìûÊàíòîðà êàæäûé èç ýòèõ ñåãìåíòîâ ìîæíî ðàçáèòü íà ÷àñòè÷íûåñåãìåíòû òàê, ÷òî íà êàæäîì èç ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ áóäåòεâûïîëíåíî íåðàâåíñòâî wi <. Îáúåäèíÿÿ ýòè ðàçáèåíèÿ2(b − a)è èíòåðâàëû, ïîêðûâàþùèå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè, ïîëó÷èìðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b], äëÿ êîòîðîãîS−s=Xwi ∆xi =X0iwi ∆xi +iX00wi ∆xi ,(5.13)iPñóììà ïî èíòåðâàëàì, ïîêðûâàþùèì òî÷êè ðàçðûâàãäåôóíêöèè, 00 ñóììà ïî ñåãìåíòàì, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ f (x)íåïðåðûâíà.
Èç (5.13) ñëåäóåò, ÷òîP0S − s < (M − m)X0i< (M − m)∆xi +X00ε∆xi <2(b − a)iεε+(b − a) = ε.2(M − m) 2(b − a)Èòàê, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ìû ïîñòðîèëè òàêîå ðàçáèåíèåñåãìåíòà [a, b], äëÿ êîòîðîãî S − s < ε. Îòñþäà ïî òåîðåìå 5ñëåäóåò, ÷òî f (x) èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b]. Òåîðåìà 7äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà íà ñåãìåíòå [a, b] èèìååò íà ýòîì ñåãìåíòå êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà, òî îíàèíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b]. ÷àñòíîñòè, êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà ñåãìåíòå [a, b],òî åñòü èìåþùàÿ íà ýòîì ñåãìåíòå êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâàïåðâîãî ðîäà, èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b].3. Èíòåãðèðóåìîñòü ìîíîòîííûõ ôóíêöèé.Òåîðåìà 8.
Ìîíîòîííàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íàýòîì ñåãìåíòå.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè f (x) íå óáûâàåò íàñåãìåíòå [a, b] è íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé. Òîãäà f (b) > f (a).Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è ðàçîáüåì ñåãìåíò [a, b] íà ðàâíûåε. Äëÿ÷àñòè÷íûå ñåãìåíòû, ó êîòîðûõ äëèíà ìåíüøåf (b) − f (a)9. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà107yf (b)ωnωiω2ω1f (a)Oax1 x2 xi -1 xixbÐèñ. 5.7.ýòîãî ðàçáèåíèÿS−s=nXwi ∆xi <nXεwi .f (b) − f (a)i=1i=1Íî äëÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèènXwi = f (b) − f (a) (ñì. ðèñ.
5.7).i=1Ïîýòîìó S − s < ε, à îòñþäà ïî òåîðåìå 5 ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿf (x) èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b]. Òåîðåìà 8 äîêàçàíà. 9. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà1. Ìû ââåëè îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ïî ñåãìåíòó [a, b] ïðèóñëîâèè a < b.Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ:Zaaf (x)dx = 0,ZbZaf (x)dx = − f (x)dx.abÑëåäóþùèå ñâîéñòâà áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðè óñëîâèè a < b.2.
Ëèíåéíîå ñâîéñòâî.Åñëè f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè íà ñåãìåíòå [a, b], àα è β ëþáûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, òî ôóíêöèÿ αf (x) + βg(x)òàêæå èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZbZbZb(αf (x)dx + βg(x)) dx = α f (x)dx + β g(x)dx.aaa(5.14)Ãë. 5. Èíòåãðàëû108Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó äëÿ ôóíêöèèαf (x) + βg(x) è çàïèøåì åå â âèäånX(αf (ξi ) + βg(ξi )) ∆xi = αi=1nXf (ξi )∆xi + βi=1nXg(ξi )∆xi .i=1Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ∆ → 0, ïîëó÷àåì ôîðìóëó (5.14).Îòìåòèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ ôîðìóëû (5.14).Åñëè α = 1, β = 1 èëè β = −1, òîZbZbZb(f (x) ± g(x)) dx = f (x)dx ± g(x)dxaaa(èíòåãðàë îò ñóììû (ðàçíîñòè) ôóíêöèé ðàâåí ñóììå (ðàçíîñòè)èíòåãðàëîâ îò ýòèõ ôóíêöèé);åñëè α 6= 0, β = 0, òî èç (5.14) ïîëó÷àåì:ZbZbαf (x)dx = α f (x)dxaa(ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê èíòåãðàëà).3. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b] , òî îíàèíòåãðèðóåìà íà ëþáîì ñåãìåíòå [c, d] ⊂ [a, b].
Äîêàæèòå ýòîóòâåðæäåíèå ñàìîñòîÿòåëüíî, îïèðàÿñü íà òåîðåìó 5.4. Àääèòèâíîñòü èíòåãðàëà.Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b] è òî÷êàc ∈ (a, b). ÒîãäàZcZbZbf (x)dx + f (x)dx = f (x)dxac(5.15)aÑâîéñòâî èíòåãðàëà, âûðàæåííîå ôîðìóëîé (5.15), è íàçûâàåòñÿàääèòèâíîñòüþ èíòåãðàëà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì òàêèå ðàçáècåíèÿ ñåãìåíòà [a, b], äëÿ êîòîðûõ òî÷êà cabÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ðàçáèåíèÿ (ñì. ðèñ. 5.8).Äëÿ òàêèõ ðàçáèåíèéÐèñ. 5.8.X[a,c]f (ξi )∆xi +X[c,b]f (ξi )∆xi =Xf (ξi )∆xi .[a,b]Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ∆ → 0, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (5.15).9.
Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà109Îòìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâî (5.15) ñïðàâåäëèâî acbè â òîì ñëó÷àå, êîãäà òî÷êà c ëåæèò âíåñåãìåíòà [a, b]. Ïóñòü, íàïðèìåð, a < b < c(ðèñ. 5.9), è ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íàñåãìåíòå [a, c]. Òîãäà, ñîãëàñíî äîêàçàííîìó, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîÐèñ. 5.9.ZbZcZcf (x)dx + f (x)dx = f (x)dx.abaZcZbbaÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òîZcf (x)dx − f (x)dx = f (x)dx,aà òàê êàêZcZbbc− f (x)dx = f (x)dx,(ñâîéñòâî 1), òîZcZbZbcaf (x)dx + f (x)dx = f (x)dx,aòî åñòü ôîðìóëà (5.15) âåðíà è â ýòîì ñëó÷àå.5. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b] è f (x) > 0Zbíà [a, b], òî I = f (x)dx > 0.aÄîêàçàòåëüñòâî.
Òàê êàê f (x) > 0, òî ëþáàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììàíåîòðèöàòåëüíà:I(xi , ξi ) =nXf (ξi )∆xi > 0.(5.16)i=1Ïî îïðåäåëåíèþ lim I(xi , ξi ) = I , òî åñòü ∀ε > 0 ∃δ > 0, òàêîå,∆→÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ ñåãìåíòà [a, b], ó êîòîðîãî ∆ < δ ,âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |I(xi , ξi ) − I| < ε, èëè0I − ε < I(xi , ξi ) < I + ε.(5.17)Ãë. 5. Èíòåãðàëû110Ïðåäïîëîæèì, ÷òî I < 0, è âîçüìåì ε = −I . Òîãäà ïðàâîåíåðàâåíñòâî â (5.17) ïðèìåò âèä I(xi , ξi ) < 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èòíåðàâåíñòâó (5.16).
Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òîI > 0.Ñëåäñòâèå. Åñëè ôóíêöèè f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìû íà ñåãìåíòå[a, b] è f (x) > g(x), òîZbaZbf (x)dx > g(x)dx.aZb ñàìîì äåëå, òàê êàê f (x) − g(x) > 0, òî (f (x) − g(x)) dx > 0,aZbZbîòêóäà ñëåäóåò èñêîìîå íåðàâåíñòâî f (x)dx > g(x)dx.aa6. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b], òî ôóíêöèÿ|f (x)|òàêæå èíòåãðèðóåìà íà ýòîì ñåãìåíòå, è ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâîbZ Zb f (x)dx 6 |f (x)|dx.aaÄîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî, îïèðàÿñü íà òåîðåìó 5.Çàìå÷àíèå.
Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî, òî åñòü èç èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè |f (x)| íà ñåãìåíòå [a, b] íå ñëåäóåò èíòåãðèðóåìîñòü f (x) íà ýòîì ñåãìåíòå.Ïðèìåð.f (x) =1, åñëè x ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî,x ∈ [a, b].−1, åñëè x èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî,Òàê êàê |f (x)| = 1, òî |f (x)| èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, íî ïðèýòîì f (x) íåèíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ (ýòî äîêàçûâàåòñÿ òàêæå, êàê äëÿ ôóíêöèè Äèðèõëå).7.
Åñëè ôóíêöèè f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìû íà ñåãìåíòå [a, b], òî:à) ôóíêöèÿ f (x)g(x) òàêæå èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b];á) åñëè, êðîìå òîãî, inf g(x) > 0 (ëèáî sup g(x) < 0), òî ôóíêöèÿ[a,b]f (x)g(x)[a,b]òàêæå èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b].Äîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî, îïèðàÿñü íà òåîðåìó 5.10. Ôîðìóëû ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ111 10. Ôîðìóëû ñðåäíåãî çíà÷åíèÿÒåîðåìà 9.
Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìû íà ñåãìåíòå [a, b], g(x) > 0 (ëèáî 6 0) ∀x ∈ [a, b], M = sup f (x), m =[a,b]= inf f (x). Òîãäà ñóùåñòâóåò ÷èñëî µ ∈ [m, M ], äëÿ êîòîðîãî[a,b]ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZbZb(5.18)f (x)g(x)dx = µ g(x)dx.aaÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (äëÿ îïðåäåëåííîñòè) g(x) > 0 íà [a, b].Òàê êàê m 6 f (x) 6 M , òî mg(x) 6 f (x)g(x) 6 M g(x). Îòñþäàñëåäóåò, ÷òîZbZbZbmg(x)dx 6 f (x)g(x)dx 6 M g(x)dxaèëèaZbaZbZbm g(x)dx 6 f (x)g(x)dx 6 M g(x)dx.aa(5.19)aRbRbÒàê êàê g(x) > 0, òî g(x)dx > 0 (ñâîéñòâî 5). Åñëè g(x)dx = 0,aòî èç (5.19) ïîëó÷àåì, ÷òîRbaaf (x)g(x)dx = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî,Rbðàâåíñòâî (5.18) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî µ. Åñëè g(x)dx > 0,aRbòî, ðàçäåëèâ íà g(x)dx, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâàaZbf (x)g(x)dxm6a6 M.Zbg(x)dxaÃë. 5.
Èíòåãðàëû112Äðîáü, ñòîÿùàÿ â ñðåäíåé ÷àñòè íåðàâåíñòâà, ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ÷èñëîì èç ñåãìåíòà [m, M ]. Îáîçíà÷èâ ýòî ÷èñëî áóêâîé µ,ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (5.18). Òåîðåìà 9 äîêàçàíà.Ñëåäñòâèÿ.1. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 9, è, êðîìå òîãî, ôóíêöèÿf (x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], òî ∃ξ ∈ [a, b], òàêàÿ, ÷òîZbZbf (x)g(x)dx = f (ξ) g(x)dx.a(5.20)aÄîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèÿ f (x) ïðèíèìàåòâñå çíà÷åíèÿ èç ñåãìåíòà [m, M ], â ÷àñòíîñòè, äëÿ ÷èñëà µèç ôîðìóëû (5.18) íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà ξ ∈ [a, b], äëÿ êîòîðîéf (ξ) = µ.
Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (5.18) f (ξ) âìåñòî µ, ïðèõîäèìê ðàâåíñòâó (5.20).2. Åñëè g(x) = 1 íà [a, b], òî ôîðìóëû 5.18) è (5.20) äàþòðàâåíñòâàZbZbf (x)dx = µ dx = µ(b − a),(5.21)aaZbf (x)dx = f (ξ)(b − a).(5.22)aÔîðìóëû (5.18), (5.20)-(5.22) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ñðåäíåãîçíà÷åíèÿ.Çàäà÷à. Ïóñòü f (x) = cos x, g(x) = cos x, a = 0, b = π.1. Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ðàâåíñòâî (5.18)) íå âûïîëíÿåòñÿíè äëÿ êàêîãî ÷èñëà µ.2. Êàêîå óñëîâèå òåîðåìû 9 íå âûïîëíåíî â ýòîì ñëó÷àå? 11.
Ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöàÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà îíà èíòåãðèðóåìà íàabýòîì ñåãìåíòå, à òàêæå íà ëþáîì ñåãìåíòå,ñîäåðæàùåìñÿ â ñåãìåíòå [a, b]. Îòìåòèìíà ñåãìåíòå [a, b] ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x(ðèñ. 5.10). ×èñëîâóþ ïåðåìåííóþ, èçìåíÿþùóþñÿ îò a äî x,xÐèñ. 5.10.11. Ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà113Zxîáîçíà÷èì áóêâîé t, è ðàññìîòðèì èíòåãðàë f (t)dt.
Îí íàçûâàaåòñÿ èíòåãðàëîì ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì. Îáîçíà÷èìåãî F (x):ZxF (x) = f (t)dt.aÒåîðåìà 10. Íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå [a, b] ôóíêöèÿ f (x) èìååòïåðâîîáðàçíóþ íà ýòîì ñåãìåíòå. Îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿZxF (x) = f (t)dt.aÄîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïåðâîîáðàçíîé íóæíîäîêàçàòü, ÷òî ∀x ∈ [a, b] ñóùåñòâóåò F 0 (x), ðàâíàÿ f (x), òî åñòüF (x + ∆x) − F (x)= f (x).∆x∆x→0limÈñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ F (x) è ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, ïîëó÷àåì:x+∆xZZxf (t)dt − f (t)dt =F (x + ∆x) − F (x) =Zax+∆xZ= f (t)dt +xaax+∆xZf (t)dt =af (t)dt = f (ξ) · ∆x,xãäå ξ ∈ [x, x + ∆x].Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ.Ñëåäîâàòåëüíî,axF (x + ∆x) − F (x)= f (ξ).∆xξx + DxbÐèñ. 5.11.Ïåðåéäåì â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè ∆x → 0.
Ïîñêîëüêóξ → x ïðè ∆x → 0 (ñì. ðèñ. 5.11), à ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà âëþáîé òî÷êå ñåãìåíòà [a, b], òî lim f (ξ) = f (x). Òàêèì îáðàçîì,∆x→0lim∆x→0F (x + ∆x) − F (x)= f (x),∆xÃë. 5. Èíòåãðàëû114÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Òåîðåìà 10 äîêàçàíà.Ëþáûå äâå ïåðâîîáðàçíûå äàííîé ôóíêöèè f (x) îòëè÷àþòñÿíà ïîñòîÿííóþ, ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû 10 ëþáàÿ ïåðâîîáðàçíàÿΦ(x) ôóíêöèè f (x), íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [a, b], èìååò âèäZxΦ(x) = f (t)dt + C ,aãäå C íåêîòîðîå ÷èñëî.Ïîëîæèâ â ýòîì ðàâåíñòâå x = a, ïîëó÷èì Φ(a) = C . ÏîëîZbæèâ òåïåðü x = b, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó Φ(b) = f (t)dt + Φ(a),îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîaZb(5.23)f (x)dx = Φ(b) − Φ(a).aÒàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (x) ïîñåãìåíòó [a, b] ðàâåí ðàçíîñòè çíà÷åíèé ëþáîé ïåðâîîáðàçíîéôóíêöèè f (x), âçÿòûõ â òî÷êàõ b è a.Ôîðìóëà (5.23) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Íüþòîíà-Ëåéáíèöà èñ÷èòàåòñÿ îñíîâíîé ôîðìóëîé èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Îíàñâÿçûâàåò îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ñ íåîïðåäåëåííûì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
