В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê I == inf S , òî ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå T ñåãìåíòà [a, b], òàêîå, ÷òî01[a,b]εåãî âåðõíÿÿ ñóììà S óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó S < I + .2Ïóñòü ðàçáèåíèå T ñîäåðæèò p òî÷åê ðàçáèåíèÿ. Âîçüìåì111δ=ε2p(M − m)è äîêàæåì, ÷òî âåðõíÿÿ ñóììà S ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T , ó êîòîðîãî ∆ < δ , óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó S − I < ε. Ýòî è áóäåòîçíà÷àòü, ÷òîlim S = I.∆→0Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T , ó êîòîðîãî ∆ < δ .Îáúåäèíèì åãî ñ ðàçáèåíèåì T . Ïîëó÷èì ðàçáèåíèå T = T ∪ T .Åãî âåðõíþþ ñóììó îáîçíà÷èì S . Ñîãëàñíî ïåðâîìó íåðàâåíñòâó â (5.9) S − S 6 p(M − m)∆, à ïîñêîëüêó1222∆<δ=ε2p(M − m),17.
Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèèòîε101(5.11)S − S2 < .2Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî ñâîéñòâó II, S 6 S , à ïîñêîëüêóεεS < I + , òî S < I + , èëè212212ε(5.12)S2 − I < .2Ñêëàäûâàÿ íåðàâåíñòâà (5.11) è (5.12), ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâóS − I < ε, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 7. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèåèíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèèÒåîðåìà 4. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îãðàíè÷åííàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ áûëà èíòåãðèðóåìîé íà ýòîì ñåãìåíòå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû I = I .Äîêàçàòåëüñòâî. à) Íåîáõîäèìîñòü.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b], òî åñòü ñóùåñòâóåò lim I(xi , ξi ) = I .∆→Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà èíòåãðàëüíûõ ñóìì, ∀ε > 0∃ δ > 0, òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ ñåãìåíòà [a, b], ó êîòîðîãî ∆ < δ , è äëÿ ëþáîãî âûáîðà ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷åê ξi âûïîëεíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |I(xi , ξi ) − I| < . Çàôèêñèðóåì êàêîå-íèáóäü4îäíî èç òàêèõ ðàçáèåíèé. Ïóñòü åãî ñóììû Äàðáó ðàâíû s è S . ñèëó ñâîéñòâà I (ñì.
ðàâåíñòâà (5.7)) ìîæíî òàê âûáðàòüòî÷êè ξi (îáîçíà÷èì èõ ξi0 ), ÷òî áóäåò âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîεI(xi , ξi0 ) − s < , è ìîæíî âûáðàòü èõ òàê, ÷òî (îáîçíà÷èì ýòîò4εâûáîð ÷åðåç ξi00 ), ÷òî S − I(xi , ξi00 ) < .4Èñïîëüçóÿ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ çàôèêñèðîâàííîãî íàìè ðàçáèåíèÿ ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ0S − s = [S − I (xi , ξi00 )] + [I(xi , ξi00 ) − I] + [I − I(xi , ξi0 )] ++ [I(xi , ξi0 ) − s] < ε,ïîñêîëüêó êàæäîå èç âûðàæåíèé â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ìåíüøåε.4Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü íåðàâåíñòâàìè (5.10):s 6 I 6 I 6 S.Ãë.
5. Èíòåãðàëû102Èç ýòèõ íåðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâà S − s < ε ñëåäóåò, ÷òî0 6 I − I < ε.Òàê êàê ε ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî I − I = 0, òîåñòü I = I .Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ I = I äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè f (x) íàñåãìåíòå [a, b] äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Ïîïóòíî ìû óñòàíîâèëè, ÷òî åñëè f (x) èíòåãðèðóåìàíà ñåãìåíòå [a, b], òî ∀ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòà[a, b], äëÿ êîòîðîãî S − s < ε.á) Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü I = I = I . Ïî ëåììå Äàðáó lim s = I∆→è lim S = I , à òàê êàê äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ s 6 I(xi , ξi ) 6 S∆→(íåðàâåíñòâà (5.6)), òî lim I(xi , ξi ) = I . Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî f (x)∆→èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b]. Òåîðåìà 4 äîêàçàíà.Ïðèìåð.
Ñíîâà ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Äèðèõëå:000f (x) =1, åñëè x ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, x ∈ [a, b].0, åñëè x èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî,Äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ ñåãìåíòà [a, b] èìååì: s = 0, S = b − a.ÏîýòîìóI = sup{s} = 0, I = inf{S} = b − a.Òàêèì îáðàçîì, I 6= I , ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå 4, ôóíêöèÿÄèðèõëå íå èíòåãðèðóåìà íè íà îäíîì ñåãìåíòå.Òåîðåìà 5.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îãðàíè÷åííàÿ íà ñåãìåíòå [a, b]ôóíêöèÿ áûëà èíòåãðèðóåìîé íà ýòîì ñåãìåíòå, íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî, ÷òîáû ∀ε > 0 ñóùåñòâîâàëî òàêîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b] (õîòÿ áû îäíî), äëÿ êîòîðîãî S − s < ε.Äîêàçàòåëüñòâî.
à) Íåîáõîäèìîñòü. Ñì. çàìå÷àíèå ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîñòè â òåîðåìå 4.á) Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ∀ε > 0 ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå ñåãìåíòà[a, b], äëÿ êîòîðîãî S − s < ε. Ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâàìè (5.10):s 6 I 6 I 6 S,èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî 0 6 I − I < ε, îòêóäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε ïîëó÷àåì I = I . Ïî òåîðåìå 4 ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íàñåãìåíòå [a, b], ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Òåîðåìà 5 äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿMi = sup f (x), mi =[xi−1 ,xi ]inf[xi−1 ,xi ]f (x),8.
Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé103ââåäåì âåëè÷èíó wi = Mi − mi è íàçîâåì åå êîëåáàíèåì ôóíêöèè f (x) íà ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi− , xi ]. Òîãäà ðàçíîñòü S − sìîæíî çàïèñàòü â âèäå1S−s=nXMi ∆xi −i=1nXmi ∆xi =nXi=1wi ∆xi .i=1 8. Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé1.Èíòåãðèðóåìîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Ïðåäâàðèòåëüíî ââåäåì ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà ïðîìåæóòêå X , åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî ∀x0 ∈ Xè ∀x00 ∈ X , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ |x00 − x0 | < δ , âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî|f (x00 ) − f (x0 )| < ε. ýòîì îïðåäåëåíèè ñóùåñòâåííî òî, ÷òî δ îäíî è òî æå ÷èñëîäëÿ âñåõ òî÷åê èç ïðîìåæóòêà X .Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíàÿ íà ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â êàæäîé òî÷êå ýòîãîïðîìåæóòêà.
Îáðàòíîå íåâåðíî.Ïðèìåð. f (x) = 1 , x ∈ X = (0; 1].x1Ôóíêöèÿíåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ïðîìåæóòêà X . Äîxêàæåì, ÷òî îíà íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà ýòîìïðîìåæóòêå, òî åñòü ∃ε > 0, òàêîå ÷òî ∀δ > 0 ∃x0 è x00 ∈ X , äëÿêîòîðûõ |x00 − x0 | < δ , à11|f (x00 ) − f (x0 )| = 00 − 0 > ε.xx1Âîçüìåì ε = 1 è ïîëîæèì x0 = , x00 =∀δ > 0 ∃n, òàêîå, ÷òî |x00 − x0 | =1nn−1n+21n+2, n ∈ N. Òîãäà< δ .
Íî ïðè ýòîì11− 000 = |n + 2 − n| = 2 > ε = 1.xxÒàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ f (x) =íåïðåðûâíîé íà ïðîìåæóòêå (0; 1].1xíå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîÃë. 5. Èíòåãðàëû104Îñîáîå ìåñòî ñðåäè ïðîìåæóòêîâ çàíèìàåò ñåãìåíò.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ ðàâíîìåðíîíåïðåðûâíà íà ýòîì ñåãìåíòå. Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿòåîðåìîé Êàíòîðà è áóäåò äîêàçàíî â ãëàâå 7. Òàì æåáóäóò äîêàçàíû åùå äâå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ íà ñåãìåíòåôóíêöèÿõ.1-àÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà. Íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòåôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà íà ýòîì ñåãìåíòå.2-àÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà. Íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòåôóíêöèÿ äîñòèãàåò íà ýòîì ñåãìåíòå ñâîèõ òî÷íûõ ãðàíåé.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè f (x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], òîíàéäóòñÿ x0 è x00 ∈ [a, b], òàêèå, ÷òîf (x0 ) = M = sup f (x), f (x00 ) = m = inf f (x).[a,b][a,b]Ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Êàíòîðà.
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâ-íà íà ñåãìåíòå [a, b], òî ∀ε > 0 ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå ñåãìåíòà[a, b], ó êîòîðîãî êàæäîå wi < ε (wi êîëåáàíèå ôóíêöèè f (x)íà ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi− , xi ]).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå Êàíòîðà f (x) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b]. Ïîýòîìó ∀ε > 0 ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî∀x0 , x00 ∈ [a, b], óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ |x00 − x0 | < δ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x00 ) − f (x0 )| < ε. Âîçüìåì êàêîå-íèáóäüðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b], ó êîòîðîãî ∆ < δ , è ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ÷àñòè÷íûé ñåãìåíò [xi− , xi ].
Äëÿ ýòîãî ÷àñòè÷íîãî ñåãìåíòà xi − xi− < δ , wi = Mi − mi , ãäå Mi = sup f (x), mi =111[xi−1 ,xi ]=inf[xi−1 ,xi ]f (x). Äîêàæåì, ÷òî wi = Mi − mi < ε.x¢ x¢¢xi -11xiÐèñ. 5.6.Ñîãëàñíî âòîðîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà∃x0 , x00 ∈ [xi− , xi ] (ðèñ. 5.6), òàêèå, ÷òîf (x0 ) = Mi è f (x00 ) = mi . Òàê êàê|x00 = x0 | 6 xi − xi−1 < δ ,òî |f (x00 ) − f (x0 )| < ε, òî åñòü Mi − mi < ε, ÷òî è òðåáîâàëîñüäîêàçàòü.Òåîðåìà 6.
Íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íàýòîì ñåãìåíòå.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå[a, b]. Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0.  ñèëó ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû8. Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé105Êàíòîðà ñóùåñòâóåò òàêîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b], ó êîòîðîãîεêàæäîå wi <. Äëÿ ýòîãî ðàçáèåíèÿb−aS−s=nXwi ∆xi <nε X∆xi = ε.b−ai=1i=1Îòñþäà ïî òåîðåìå 5 ñëåäóåò, ÷òî f (x) èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå[a, b]. Òåîðåìà 6 äîêàçàíà.2. Èíòåãðèðóåìîñòü íåêîòîðûõ ðàçðûâíûõ ôóíêöèé.Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà ñåãìåíòå [a, b] è èìååò íàýòîì ñåãìåíòå òî÷êè ðàçðûâà (êîíå÷íîå ÷èñëî èëè äàæå áåñêîíå÷íî ìíîãî òî÷åê ðàçðûâà).Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âñå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè ìîæíîïîêðûòü êîíå÷íûì ÷èñëîì èíòåðâàëîâ ñî ñêîëü óãîäíî ìàëîéñóììîé äëèí, åñëè ∀ε > 0 ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ, çàêëþ÷àþùèõ â ñåáå âñå òî÷êè ðàçðûâà è èìåþùèõ ñóììóäëèí, ìåíüøóþ ε.Ïðèìåðû.1.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) èìååò n òî÷åê ðàçðûâà íà ñåãìåíòå [a, b].Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è çàêëþ÷èì êàæäóþ òî÷êó ðàçðûâàεâ èíòåðâàë äëèíû, ìåíüøåé . Òîãäà âñå òî÷êè ðàçðûâà áóäóònçàêëþ÷åíû â êîíå÷íîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ ñ ñóììîé äëèí, ìåíüøåéε.Òàêèì îáðàçîì, âñå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè ìîæíî ïîêðûòüâ äàííîì ñëó÷àå êîíå÷íûì ÷èñëîì èíòåðâàëîâ ñî ñêîëü óãîäíîìàëîé ñóììîé äëèí.2. Ôóíêöèÿ Äèðèõëå, çàäàííàÿ íà ñåãìåíòå [a, b]. Ýòà ôóíêöèÿðàçðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ ñåãìåíòà [a, b], è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå eeòî÷êè ðàçðûâà íåëüçÿ ïîêðûòü êîíå÷íûì ÷èñëîì èíòåðâàëîâ ñîñêîëü óãîäíî ìàëîé ñóììîé äëèí.Òåîðåìà 7.
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è îãðàíè÷åíà íàñåãìåíòå [a, b] è åñëè âñå åå òî÷êè ðàçðûâà ìîæíî ïîêðûòü êîíå÷íûì ÷èñëîì èíòåðâàëîâ ñî ñêîëü óãîäíî ìàëîé ñóììîé äëèí,òî ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b].Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòüsup f (x) = M , inf f (x) = m, M > m.[a,b][a,b]Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ ñåãìåíòà [a, b] êàæäîåwi 6 M − m.Ãë. 5. Èíòåãðàëû106Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è ïîêðîåì âñå òî÷êè ðàçðûâàôóíêöèè êîíå÷íûì ÷èñëîì èíòåðâàëîâ ñ ñóììîé äëèí, ìåíüøåéε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
