В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ìû ïîëó÷èëè ðàâåíñòâî (4.7), ïðè÷åì α(∆x) → 0 ïðè ∆x → 0è α(0) = 0. Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà èìååò ïðîñòîé è ÿñíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: ϕ0 (x ) ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïåðåìåííîé t ïî îòíîøåíèþ ê èçìåíåíèþ ïåðåìåííîé x, f 0 (t ) ñêîðîñòü èçìåíåíèÿy ïî îòíîøåíèþ ê èçìåíåíèþ t, à F 0 (x ) ñêîðîñòü èçìåíåíèÿy ïî îòíîøåíèþ ê èçìåíåíèþ x. ßñíî, ÷òî ýòè ñêîðîñòè ñâÿçàíûðàâåíñòâîì: F 0 (x ) = f 0 (t ) · ϕ0 (x ).00003*00Ãë. 4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.68Ïðèìåðû.1) Ðàññìîòðèì ôóíêöèþy = xα ,ãäå α ïðîèçâîëüíîå ôèêñèðîâàííîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî, x > 0.Äëÿ ýòîé ôóíêöèè ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå: xα = e(α ln x) = et ,ãäå t = α ln x. Ïî ôîðìóëå ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè(xα )0 = (et )0 · (α ln x)0 = et ·αα= xα · = αxα−1 .xxÈòàê, ïðè x > 0 ∀α ∈ R:(xα )0 = αxα−1 .Îòìåòèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ ýòîé ôîðìóëû:√ 01x = √ ;2 x 01x=−1x2.2) Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèèy = ln cos(arctg ex ).Îíà ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé ÷åòûðåõ ôóíêöèé, ïîýòîìó åå ïðîèçâîäíàÿ ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ñîìíîæèòåëåé:y0 =1cos(arctg ex )· (− sin(arctg ex )) ·= − tg(arctg ex ) ·11 + e2 x· ex =exe 2x=−.1 + e 2x1 + e2 x3) Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ òàê íàçûâàåìîé ñòåïåííîïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèèy(x) = [u(x)]v(x) , ãäå u(x) > 0.1 0v ln u0v ln u0Òàê êàê y = e, òî y = ev ln u + v · · u = uv ln u · v 0 +u+ vuv−1 · u0 , èëè(u ) = (u ) v 0v 0+ (u ) v 0u=constv=const.7.
Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà69 7. Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëàÄèôôåðåíöèàë ôóíêöèè y = f (x), ãäå x íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîédy = f 0 (x)dx,(4.10)çäåñü dx = ∆x ÿâëÿåòñÿ ïðèðàùåíèåì íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîéx. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè dy íàçûâàåòñÿ òàêæå ïåðâûì äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè.Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìóëà (4.10) îñòàíåòñÿ â ñèëå è òîãäà, êîãäà x áóäåò íå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, à äèôôåðåíöèðóåìîéôóíêöèåé íåêîòîðîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t: x = ϕ(t).
 ýòîìñëó÷àå y = f (ϕ(t)) := F (t) ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ íåçàâèñèìîéïåðåìåííîé t, äèôôåðåíöèðóåìàÿ â ñèëó òåîðåìû 5. Ñîãëàñíîîïðåäåëåíèþ äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè dy = F 0 (t)dt, à ïî òåîðåìå 5 F 0 (t) = f 0 (ϕ(t)) · ϕ0 (t), ïîýòîìó dy = f 0 (ϕ(t)) · ϕ0 (t)dt. Òàêêàê x = ϕ(t), dx = ϕ0 (t)dt, òî âûðàæåíèå äëÿ dy òàêæå ìîæíîçàïèñàòü â âèäå (4.10), òî åñòü ôîðìóëà (4.10) èìååò ìåñòî è âòîì ñëó÷àå, êîãäà x äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ íåêîòîðîãîàðãóìåíòà t.Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíîñòüþ ôîðìû ïåðâîãîäèôôåðåíöèàëà. Îòìåòèì, ÷òî èíâàðèàíòíîé (íå èçìåíÿþùåéñÿ)ÿâëÿåòñÿ òîëüêî ôîðìà (âèä) ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà, à ñóòüìåíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó òåïåðü dx = ϕ0 (t)dt 6= ∆x. Èç (4.10) ñëåäóåò,÷òîdyf 0 (x) = ,(4.11)dxò.å.
ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ðàâíà îòíîøåíèþ äèôôåðåíöèàëîâôóíêöèè è àðãóìåíòà è â òîì ñëó÷àå, êîãäà àðãóìåíò x íå íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, à ôóíêöèÿ íåêîòîðîé íåçàâèñèìîéïåðåìåííîé t.Ñëåäñòâèå èç ôîðìóëû (4.11). Ïóñòü ïåðåìåííûå x è yçàäàíû êàê ôóíêöèè àðãóìåíòà t, êîòîðûé íàçîâåì ïàðàìåòðîì:x = ϕ(t),y = ψ(t).(4.12)Ïóñòü ïàðàìåòð t èçìåíÿåòñÿ íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå è ïóñòüñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ t = ϕ− (x), îáðàòíàÿê ôóíêöèè x = ϕ(t).Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü: y = ψ ϕ− (x) := f (x).Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ (4.12) îïðåäåëÿþò ôóíêöèþ y == f (x).
Òàêîé ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì çàäàíèåì ôóíêöèè.11Ãë. 4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.70Âû÷èñëèì f 0 (x). Ïî ôîðìóëå (4.11):ψ 0 (t) dyψ 0 (t)dt= 0 f (x) == 0dxϕ (t)dtϕ (t) t=ϕ−1 (x).0Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè, çàäàííîéïàðàìåòðè÷åñêè:f 0 (x) =ψ 0 (t) ϕ0 (t) t=ϕ−1 (x).Ýòó æå ôîðìóëó ìîæíî ïîëó÷èòü èíà÷å, åñëè èñïîëüçîâàòüïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè è ôîðìóëó ïðîèçâîäíîé îáðàòíîé ôóíêöèè:y = f (x) = ψ(ϕ0−1−1= ψ (ϕ00−1(x)) ⇒ f (x) = ψ (ϕ1 0−1(x)) · ϕ (x) =ψ 0 (t) (x)) · 0 = 0 ϕ (t) t=ϕ−1 (x)ϕ (t) t=ϕ−1 (x).Ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.Óðàâíåíèÿ (4.12) ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê óðàâíåíèÿ, çàäàrrv(t)þùèåäâèæåíèåòî÷êè íà ïëîñ¢ψ (t ) jêîñòè: t âðåìÿ, (x, y) == (ϕ(t), ψ(t)) êîîðäèíàòû òî÷(φ(t ), ψ(t ) )αrêè â ìîìåíò âðåìåíè t (ðèñ.
4.6).¢(t )iφrÏðè òàêîé èíòåðïðåòàöèèjãðàôèêôóíêöèè y = f (x) ïðåärxñòàâëÿåò ñîáîé òðàåêòîðèþ äâèO iæåíèÿ òî÷êè íà ïëîñêîñòè.Âåêòîð ñêîðîñòè ýòîé òî÷êè~v (t) = ϕ0 (t)~i + ψ 0 (t)~j íàïðàâëåíïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè, òàê êàêyÐèñ. 4.6.tg α =ψ 0 (t)= f 0 (x).ϕ0 (t)8. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ71 8. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâÏóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êåèíòåðâàëà (a, b). Òîãäà ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé,îïðåäåëåííîé íà èíòåðâàëå (a, b). Åñëè f 0 (x) äèôôåðåíöèðóåìà âíåêîòîðîé òî÷êå x èç (a, b), òî ïðîèçâîäíàÿ îò f 0 (x) â òî÷êå xíàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x (èëèïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà) è îáîçíà÷àåòñÿ f 00 (x) (äðóãèåîáîçíà÷åíèÿ: f ( ) (x), y 00 (x), y ( ) (x)).Ïðîèçâîäíàÿ n-îãî ïîðÿäêà (èëè n-ÿ ïðîèçâîäíàÿ) ôóíêöèèy = f (x) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðîèçâîäíàÿ îò ïðîèçâîäíîé (n − 1)îãî ïîðÿäêà:220f (n) (x) = f (n−1) (x) .Ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòîðîé ïðîèçâîäíîéÅñëè x âðåìÿ, à y = f (x) êîîðäèíàòà òî÷êè íà îñè Oy âìîìåíò âðåìåíè x, òî f 0 (x) = v(x) ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü òî÷êèâ ìîìåíò x, à f 00 (x) = [f 0 (x)]0 = v 0 (x) = a(x) óñêîðåíèå òî÷êèâ ìîìåíò x.Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âòîðîé ïðîèçâîäíîéÏîçæå áóäåò óñòàíîâëåíî, ÷òî çíàê f 00 (x) îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) (ðèñ.
4.7).yy = f ( x)y = g ( x)f ¢¢( x) > 0g ¢¢( x) < 0xOÐèñ. 4.7.Ïðèìåðû.1) y = xα .y 0 = αxα−1 ,y 00 = α(α − 1)xα−2 ,y 000 = α(α − 1)(α − 2)xα−3Ãë. 4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.72è ò.ä. Äëÿ ïðîèçâîäíîé n-îãî ïîðÿäêà ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèåy (n) = α(α − 1) ... (α − n + 1)xα−n(ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ïî èíäóêöèè).  ÷àñòíîñòè, åñëè α = m ∈ N, òî(xm )(m) = m(m − 1) × ... × 1 · x0 = m!,2) y = ax .(xm )(n) = 0∀n > m.y 0 = ax ln a,y 00 = ax (ln a)2 ,è ò.ä. Ïðîèçâîäíàÿ n-îãî ïîðÿäêà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîéy (n) = ax (ln a)n(ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ïî èíäóêöèè).
 ÷àñòíîñòè, (ex )(n) = ex .3) y = sin x.y 0 = cos x = sin(x + π/2),y 00 = sin(x + 2π/2),è ò.ä. Ïðîèçâîäíàÿ n-îãî ïîðÿäêà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîéy (n) = sin(x + nπ/2)(ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ïî èíäóêöèè).4) Äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî (cos x)(n) = cos(x + nπ/2).Äâå ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíûõ n-îãî ïîðÿäêàÅñëè ôóíêöèè u(x) è v(x) èìåþò ïðîèçâîäíûå n-îãî ïîðÿäêà,òî ôóíêöèè u(x) ± v(x), u(x)v(x) òàêæå èìåþò ïðîèçâîäíûå nîãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì:(u(x) ± v(x))(n) = u(n) (x) ± v (n) (x).(4.13)(uv)(n) = u(n) · v + Cn1 · u(n−1) v 0 + Cn2 · u(n−2) v (2) + ...
+nX+ Cnk · u(n−k) v (k) + ... + u · v (n) =Cnk · u(n−k) v (k) ,(4.14)k=0ãäå:= u,= n!/[k!(n − k)!], n! = 1 · 2 · ... n, 0! = 1. Ýòàôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëåéáíèöà.u(0)Cnk9. Äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ73Äëÿ n = 2 ïîëó÷àåì:0 0(u(x) ± v(x))(2) = (u(x) ± v(x))0 = u0 (x) ± v 0 (x) == u(2) (x) ± v (2) (x),òî åñòü äëÿ n = 2 ôîðìóëà (4.13) âåðíà.Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîé ôîðìóëû äëÿ ëþáîãî n ∈ N äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.Çàìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâî (4.14) ïî ôîðìå ïîõîæå íà ôîðìóëóáèíîìà Íüþòîíà:n(u + v) =nXCnk · un−k v k .k=0Ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû Ëåéáíèöà òàêæå äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ïî èíäóêöèè. Ïðåäâàðèòåëüíî íóæíî äîêàçàòü ôîðìóëó:kCnk + Cnk−1 = Cn+.1Ïðèìåð.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþìóëó (4.14), íàéäåìy (10) :y = x2 · e3x . Èñïîëüçóÿ ôîð-1y (10) = (e3x )(10) · x2 + C10· (e3x )(9) · (x2 )0 +2+C10· (e3x )(8) · (x2 )00 + ... = 310 · e3x · x2 + 10 · 39 · e3x · 2x ++10 · 9e2x3· 38 · 2 = 39 · e3x (3x2 + 20x + 30). 9. Äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâÏóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå(a, b), ò.å.
äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà.Åñëè x íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, òî ïåðâûé äèôôåðåíöèàëôóíêöèè âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîédy = f 0 (x)dx.Åñëè x = ϕ(t) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ íåçàâèñèìîéïåðåìåííîé t, òîdy = f 0 (x)dx = f 0 (ϕ(t)) · ϕ0 (t)dt.74Ãë. 4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû. êàæäîì èç äâóõ ñëó÷àåâ dy ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé äâóõ ïåðåìåííûõ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (x èëè t) è åå äèôôåðåíöèàëà(dx èëè dt), êîòîðûé âõîäèò â âèäå ñîìíîæèòåëÿ. Ïðè ââåäåíèè äèôôåðåíöèàëà âòîðîãî ïîðÿäêà ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòüdy êàê ôóíêöèþ òîëüêî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (x èëè t), òîåñòü äèôôåðåíöèàë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (dx èëè dt) áóäåìðàññìàòðèâàòü êàê ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü â âûðàæåíèè äëÿ dy .Òàêóþ æå äîãîâîðåííîñòü ïðèìåì ïðè îïðåäåëåíèè äèôôåðåíöèàëîâ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà.Ïðè ýòîì óñëîâèè îïðåäåëèì äèôôåðåíöèàë âòîðîãî ïîðÿäêà (èëè âòîðîé äèôôåðåíöèàë) d y ôóíêöèè y = f (x) êàêäèôôåðåíöèàë îò ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà, ò.å.2d2 y = d(dy),è, êðîìå òîãî, ïðè âû÷èñëåíèè äèôôåðåíöèàëà îò dy ïðèðàùåíèåäèôôåðåíöèàëà íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (x èëè t) áóäåì ñíîâàáðàòü ðàâíûì dx èëè dt.Äèôôåðåíöèàë n-îãî ïîðÿäêà dn y (n > 2) îïðåäåëèì ôîðìóëîédn y = d(dn− y),ñîõðàíèâ äîãîâîðåííîñòü â îòíîøåíèè äèôôåðåíöèàëà íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé.Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.1.
Ïóñòü x ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, òîãäà dy = f 0 (x)dx,ãäå dx = ∆x ïðèðàùåíèå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Äàëåå,ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ,1d2 y = d(dy) = d(f 0 (x)dx) = dx · d(f 0 (x)) = dx · (f 0 (x))0 dx == f (2) (x)(dx)2 ,d3 y = d(d2 y) = (dx)2 d f (2) (x) = (dx)2 · f (3) (x)dx = f (3) (x)(dx)3 ,è ò.ä. Ïî èíäóêöèè íåñëîæíî äîêàçàòü îáùóþ ôîðìóëó äëÿëþáîãî n:dn y = f (n) (x)(dx)n .Èç ýòîé ôîðìóëû âûòåêàåò, ÷òîf (n) (x) =dn y,dxn10. Ïðîèçâîäíûå âåêòîð-ôóíêöèè75ò.å. ïðîèçâîäíàÿ n-ãî ïîðÿäêà ôóíêöèè y = f (x) ðàâíà îòíîøåíèþ äèôôåðåíöèàëà n-ãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ê n-é ñòåïåíèäèôôåðåíöèàëà íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé.Ïðèìåð. y = sin x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
