В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944)
Текст из файла
Â.Ô. ÁóòóçîâËåêöèèïîìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó×àñòü IÌîñêâà 2012Á ó ò ó ç î â Â. Ô.Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. ×àñòü I.Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîäåðæèò ïåðâóþ ÷àñòü êóðñà ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, êîòîðàÿ èçëàãàåòñÿ â I ñåìåñòðå.  ýòîé ÷àñòèðàññìàòðèâàþòñÿ îñíîâíûå âîïðîñû êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà îäíîé ïåðåìåííîé. Èçëîæåíèå òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ñîïðîâîæäàåòñÿðàññìîòðåíèåì èëëþñòðèðóþùèõ ïðèìåðîâ, îñîáîå âíèìàíèå îáðàùàåòñÿ íà ïðèëîæåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé è óòâåðæäåíèé â ôèçèêå.Ïîñîáèå ðàññ÷èòàíî íà ñòóäåíòîâ 1 êóðñà ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàè ïðåïîäàâàòåëåé, âåäóùèõ çàíÿòèÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.Ðåöåíçåíòû: ä.ô.-ì.
í., ïðîôåññîð Þ.Ï. Ïûòüåâ,ä.ô.-ì. í., ïðîôåññîð Á.È. Ñàäîâíèêîâc Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓèì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, 2012c Áóòóçîâ Â.Ô., 2012ÎÃËÀÂËÅÍÈÅÏðåäèñëîâèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6à ë à â à 1. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Ñðàâíåíèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Òî÷íûå ãðàíè îãðàíè÷åííîãî ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà. . . . . . . . 5. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè . . . 6. Íåêîòîðûå ÷èñëîâûå íåðàâåíñòâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë . . . . . . . . 8. Íåêîòîðûå ÷èñëîâûå ìíîæåñòâà. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .77891014161617Ã ë à â à 2. Ïðåäåë ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Ïîíÿòèå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 3. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ôóíêöèè . . . . . . . 4. Ñâîéñòâà ïðåäåëîâ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Òåîðåìà î ïðåäåëå ìîíîòîííîé ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . .181819253134à ë à â à 3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1. Îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè. Òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè . . . . . 2. Ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè è íåïðåðûâíîñòè îáðàòíîé ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Íåïðåðûâíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3737414344484Îãëàâëåíèåà ë à â à 4.
Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû . . . . . . . . . . . . . . 1. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé. Ïðîèçâîäíûå íåêîòîðûõ îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ôèçè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé . . . . . . . . 3. Äèôôåðåíöèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè . . . . . . .
. 4. Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà . . . . . . . . . 8. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Ïðîèçâîäíûå âåêòîð-ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ã ë à â à 5. Èíòåãðàëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 1. Ïåðâîîáðàçíàÿ è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë . . . . . . . . . . . . . 2. Îñíîâíûå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ . . . . . . . . . . 3. Äâà ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . 5. Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Ñóììû Äàðáó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 9. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Ôîðìóëû ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà . . . . . 14. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà . . . . . . . . 15. Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.535356596364666971737581818485889497101103107111112115118122124à ë à â à 6. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . 134 1. Òåîðåìà î ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìå ñåãìåíòîâ . . . . . . . . . . . . 134 2. Ïðåäåëüíûå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè . . . . . . . . . . .
. . . . . 135Îãëàâëåíèå5 3. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. . . . . . . . . . 140 4. Âòîðîå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè.. . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè. . . . . . . . . 145Ã ë à â à 7.Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõ . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Òåîðåìû îá îãðàíè÷åííîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé . . . . . . . 2. Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Âîçðàñòàíèå è óáûâàíèå ôóíêöèè â òî÷êå. Ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Òåîðåìû Ðîëëÿ è Ëàãðàíæà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Ôîðìóëà Êîøè. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Ôîðìóëà Òåéëîðà . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà è åå ïðèìåíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .Ã ë à â à 8.Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèåãðàôèêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1. Òî÷êè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà è ïðîìåæóòêè ìîíîòîííîñòèôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè è òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè 3. Àñèìïòîòû ãðàôèêà ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 4. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå êîðíåé óðàâíåíèé . . . . . . . . . . .Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148148151152153158163167177177180184187189198ÏðåäèñëîâèåÓ÷åáíîå ïîñîáèå íàïèñàíî íà îñíîâå ìíîãîëåòíåãî îïûòà÷òåíèÿ êóðñà ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.  íåì ñîäåðæèòñÿ ïåðâàÿ ÷àñòü êóðñà, êîòîðàÿ èçëàãàåòñÿ íà ëåêöèÿõâ I ñåìåñòðå.
 ýòîé ÷àñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ îñíîâíûå âîïðîñûìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé. Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë ñîïðîâîæäàåòñÿ èëëþñòðèðóþùèìè ïðèìåðàìè,îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ïðèëîæåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé è óòâåðæäåíèé â ôèçèêå. Ïî õîäó èçëîæåíèÿ ÷èòàòåëþïðåäëàãàþòñÿ íåáîëüøèå çàäàíèÿ.Ïîñîáèå ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâóþùåé ïðîãðàììåêóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ïðåäñòàâëåííûé â íåì ìàòåðèàëìèíèìèçèðîâàí òàêèì îáðàçîì, ÷òî åãî ìîæíî ðåàëüíî èçëîæèòüíà ëåêöèÿõ â òå÷åíèå ñåìåñòðà ïðè òðåõ ÷àñàõ ëåêöèé â íåäåëþ.Ýòî îòëè÷àåò ïîñîáèå îò äðóãèõ èçâåñòíûõ ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, â êîòîðûõíàðÿäó ñ îñíîâíûì ìàòåðèàëîì ñîäåðæàòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ðàçäåëû.Ïîñîáèå ðàññ÷èòàíî íà ñòóäåíòîâ 1 êóðñà ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà è ïðåïîäàâàòåëåé, âåäóùèõ çàíÿòèÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.
Îíî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî è íà äðóãèõ ôàêóëüòåòàõ ÌÃÓ, à òàêæå â äðóãèõ âóçàõ.Ïðåäëàãàåìûé êóðñ ëåêöèé ñêëàäûâàëñÿ íà ïðîòÿæåíèè ðÿäàëåò, ïðè åãî ôîðìèðîâàíèè ÿ èñïûòûâàë áëàãîòâîðíîå âëèÿíèåèçâåñòíûõ ó÷åáíèêîâ äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé:¾Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà¿ Â.À.
Èëüèíà è Ý.Ã. Ïîçíÿêà,¾Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç¿ Ë.Ä. Êóäðÿâöåâà, ¾Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà¿ Ñ.Ì. Íèêîëüñêîãî. Ïåðâûé èç íàçâàííûõ ó÷åáíèêîâ äîëãèå ãîäû ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ó÷åáíèêîì ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ.
Ññûëêè íà íåãîâ òåêñòå ëåêöèé äàþòñÿ ïîä íîìåðîì [1].Ïðè ïîäãîòîâêå ïîñîáèÿ ê ïå÷àòè áîëüøóþ ïîìîùü, ñâÿçàííóþ ñ êîìïüþòåðíûì íàáîðîì òåêñòà, îêàçàëè ìíå êîëëåãèïî êàôåäðå ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ, îñîáåííîÍ.Å. Øàïêèíà, Ä.À. Ãðà÷åâ, È.Å. Ìîãèëåâñêèé. Âñåì èì ÿ ïðèçíàòåëåí è áëàãîäàðåí.Â.Ô. ÁóòóçîâÃëàâà 1ÂÅÙÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ×ÈÑËÀ 1. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëàÏðîñòåéøèìè ÷èñëàìè ÿâëÿþòñÿ öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà1, 2, ..., èñïîëüçóåìûå ïðè ñ÷åòå. Îíè íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè, è ëþäè çíàëè èõ òàê ìíîãî òûñÿ÷åëåòèé íàçàä, ÷òîçíàìåíèòûé ìàòåìàòèê Ëåîïîëüä Êðîíåêåð ñêàçàë: ¾Áîã ñîçäàëíàòóðàëüíûå ÷èñëà; âñå îñòàëüíîå äåëî ðóê ÷åëîâåêà¿.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
