В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ÐàçíîñòüΦ(b) − Φ(a) ÷àñòî çàïèñûâàþò â âèäå Φ(x)|ba .Ïðèìåðû. 1).Zππsin xdx = − cos x0 = 1 − (−1) = 2.02)+Z1−1+1dx= arctg x−1 =21+xπ4 π π− −=42Çàäà÷à. Íàéäèòå ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè e|x| íà ñåãìåíòå [−1, 1]ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì.12. Çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì...115Çàìå÷àíèå.
Ðàññìîòðèì èíòåãðàë, ó êîòîðîãî íèæíèé è âåðõíèé ïðåäåëû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè àðãóìåíòà x,ψ(x)Zf (t)dt.ϕ(x)Ïóñòü f (t) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, F (t) åå ïåðâîîáðàçíàÿ,ϕ(x) è ψ(x) äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè.Ïî ôîðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöàψ(x)Zψ(x)f (t)dt = F (t)ϕ(x) = F (ψ(x)) − F (ϕ(x)) .ϕ(x)Îòñþäà ïîëó÷àåì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî F 0 (t) = f (t),ddxψ(x)Zf (t)dt = F 0 (ψ(x)) · ψ 0 (x) − F 0 (ϕ(x)) · ϕ0 (x),ϕ(x)òî åñòüddxψ(x)Zf (t)dt = f (ψ(x)) · ψ 0 (x) − f (ϕ(x)) · ϕ0 (x).ϕ(x) 12. Çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿìâ îïðåäåëåííîì èíòåãðàëåÒåîðåìà 11. Ïóñòü: 1) ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b]; 2) ôóíêöèÿ g(t) îïðåäåëåíà è èìååòíåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ íà ñåãìåíòå [α, β], ïðè÷åì a 6 g(t) 6 bïðè t ∈ [α, β], g(α) = a, g(β) = b.Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZbZβf (x)dx = f (g(t))g 0 (t)dtaαÃë.
5. Èíòåãðàëû116(îíî íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé çàìåíû ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîìèíòåãðàëå).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F (x) ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f (x)íà [a, b], òî åñòü F 0 (x) = f (x). Ïî ôîðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöàZb(5.24)f (x)dx = F (b) − F (a).aÔóíêöèÿ F (g(t)) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîéf (g(t))g 0 (t) íà ñåãìåíòå [α, β], òàê êàêäëÿôóíêöèèdF (g(t)) = F 0 (g(t)) · g 0 (t) = f (g(t))g 0 (t).dtÏðèìåíÿÿ ñíîâà ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà, ïîëó÷àåìZββf (g(t))g 0 (t)dt = F (g(t))α = F (g(β)) − F (g(α)) = F (b) − F (a).α(5.25)Ñðàâíèâàÿ (5.24) è (5.25), ïðèõîäèì ê èñêîìîìó ðàâåíñòâó.ZbZβf (x)dx = f (g(t))g 0 (t)dtaαÒåîðåìà 11 äîêàçàíà.+Z1Ïðèìåð.
Âû÷èñëèòü I =1 − x dx.p2−1Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé x = cos t, 0 6 t 6 π . Òîãäà1−x =p2p1 − cos t = sin t, dx = − sin tdt,2ZπZ02− sin t dt =I=1π1 − cos 2t1πdt =t − sin 2t = .22420π012. Çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì...Ãåîìåòðè÷åñêèéñìûñëýòîãîpèíòåãðàëà: ôóíêöèÿy =1 − x çàäàåò íàñåãìåíòå [−1, 1] ïîëóîêðóæíîñòü (ñì. ðèñ.
5.12)ñ ðàäèóñîì R = 1. Ïî-y12ýòîìó I =+Z11 − x dxp2−1117O-11xåñòü ïëîùàäü ïîëóêðóãà:ππR2= .I=22Òåîðåìà 12. Ïóñòü ôóíêöèè u(x) è v(x) èìåþò íà ñåãìåíòå [a, b]íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå. Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîÐèñ. 5.12.ZbZbbu(x)v (x)dx = u(x)v(x)a − v(x)u0 (x)dx.0a(5.26)aÝòî ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ôóíêöèÿ u(x)v(x) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè [u(x)v(x)]0 = u(x)v 0 (x) ++ v(x)u0 (x), òî, ñîãëàñíî ôîðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöà, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZbZbu(x)v (x)dx + v(x)u0 (x)dx = u(x)v(x)|ba ,0aaîòêóäà ñëåäóåò èñêîìîå ðàâåíñòâî (5.26).
Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Òàê êàê v 0 (x)dx = dv , u0 (x)dx = du, òî ðàâåíñòâî(5.26) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåZbZbbu(x)dv = u(x)v(x)a − v(x)du.aÏðèìåð.ZπaZππx sin xdx = xd(− cos x) = −x cos x0 + cos xdx = π −0 π− 0 + sin x0 = π .Zπ00Ãë. 5. Èíòåãðàëû118 13. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãîèíòåãðàëà1. Äëèíà êðèâîé. Ðàññìîòðèì êðèâóþ íà ïëîñêîñòè, êîîðäèíàòû òî÷åê êîòîðîé â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyçàäàíû óðàâíåíèÿìè (ñì. ðèñ. 5.13):x = ϕ(t), y = ψ(t), α 6 t 6 β.(5.27)Ïåðåìåííàÿ t íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì, à óðàâíåíèÿ (5.27) ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè êðèâîé.
Åñëè ðàçëè÷íûì çíàyB (φ(β), ψ(β) )(φ(t + Dt ), ψ(t + Dt ) )B (φ(β), ψ(β) )M (φ(t ), ψ(t ) )(φ(t ), ψ(t ) )DlDyDxA (φ(α), ψ(α) )A (φ(α), ψ(α) )Кривая может быть замкнутой ,то есть точки A и B могут совпадать.xOÐèñ. 5.13.Ðèñ. 5.14.÷åíèÿì t ∈ [α, β] ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå òî÷êè (ϕ(t), ψ(t)), òîåñòü íåò êðàòíûõ òî÷åê, òî êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé íåçàìêíóòîé êðèâîé.
Åñëè òî÷êè A(ϕ(α), ψ(α)) è B(ϕ(β), ψ(β))ñîâïàäàþò, à îñòàëüíûå òî÷êè íå ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè, òî êðèâàÿíàçûâàåòñÿ ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé.Äëÿ ïðîñòîé (íåçàìêíóòîé èëè çàìêíóòîé) êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèÿìè (5.27), ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèåñåãìåíòà [α, β] òî÷êàìè α = t < t < ...
< tn = β . Åìó ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèå êðèâîé òî÷êàìè A = M , M , ..., Mn == B , ãäå Mi = M (ϕ(ti ), ψ(ti )). Âïèøåì â êðèâóþ ëîìàíóþA, M , M , ..., B . Îáîçíà÷èì äëèíó ëîìàíîé ÷åðåç l(Mi ) è ïîëîæèì ∆t = max (ti − ti− ).6i6nÎïðåäåëåíèå. ×èñëî l íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì äëèí ëîìàíûõ l(Mi )ïðè ∆t → 0, åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿñåãìåíòà [α, β], ó êîòîðîãî ∆ < δ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî01011211l − l(Mi ) < εÅñëè ñóùåñòâóåò lim l(Mi ) = l, òî êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ñïðÿìëÿ∆t→åìîé, à ÷èñëî l äëèíîé êðèâîé (èëè äëèíîé äóãè êðèâîé).013.
Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà119Åñëè ïðîñòàÿ êðèâàÿ çàäàíà óðàâíåíèÿìè (5.27), ïðè÷åìôóíêöèè ϕ(t) è ψ(t) èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ϕ0 (t) èψ 0 (t) íà ñåãìåíòå [α, β], òî êðèâàÿ ñïðÿìëÿåìà, à åå äëèíà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîél=Zβ q(5.28)ϕ02 (t) + ψ 02 (t) dt.αÎáîñíîâàíèå ýòîé ôîðìóëû áóäåò ïðîâåäåíî â ãëàâå 12. Äëÿòîãî, ÷òîáû íàãëÿäíî ïðåäñòàâèòü ñåáå, êàê ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà(5.28), ðàññìîòðèì ðèñ. 5.14. Íà ýòîì ðèñóíêåq∆l ≈ ∆x2 + ∆y 2 ,∆x ≈ dx = ϕ0 (t)∆t, ∆y ≈ dy = ψ 0 (t)∆t.Îòñþäà ïîëó÷àåìZβ qqϕ02 (t) + ψ 02 (t) dt.∆l = ϕ02 (t) + ψ 02 (t) ∆t =⇒ l =αÅñëè êðèâàÿ çàäàíà óðàâíåíèåì y = f (x), a 6 x 6 b, òî,ïîëàãàÿ x = t, y = f (t), a 6 t 6 b è ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (5.28),ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ äëèíû êðèâîé â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ:l=Zb q1 + f 0 (t) dt =2aZb q1 + f 0 (x) dx.(5.29)2aÏóñòü êðèâàÿ çàäàíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèåì (ðèñ. 5.15)r = r (φ)r = r(ϕ), ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2 .Ïåðåõîäÿ ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì,ïîëó÷èì ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿêðèâîé (ðîëü ïàðàìåòðà èãðàåò ϕ):x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2 .φ2φ1OÐèñ.
5.15.Ãë. 5. Èíòåãðàëû120Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (5.28), ïðèõîäèì ê ôîðìóëå äëèíû êðèâîé âïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ (ïðîäåëàéòå âû÷èñëåíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî):ϕZ2l=qr2 (ϕ) + r02 (ϕ) dϕ.(5.30)ϕ1Ïðèìåðû. 1)x = R cos t, y = R sin t, 0 6 t 6 2π (îêðóæíîñòüðàäèóñà R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò). Ïî ôîðìóëå (5.28)ïîëó÷àåì2ZπZπ q(−R sin t)2 + (R cos t)2 dt = Rdt = 2πR.l=2002) y = x , 0 6 x 6 1 (îòðåçîê ïàðàáîëû).2Ïî ôîðìóëå (5.29) íàõîäèì:r1 rZπ q111222 =l=(1 + (2x) dx = x x + + ln x + x +2440√=√51+ ln(2 + 5 ).242. Ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè (ðèñ.
5.16).yZby = f ( x) ³ 0S = f (x)dx.O ab xaÐèñ. 5.16.Îáîñíîâàíèå ýòîé ôîðìóëû áóäåò äàíî â ãëàâå 11.4013. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà1212. Ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîãî ñåêòîðà (ðèñ. 5.17).r = r (φ)φ21S=2φ1ϕZ2r2 (ϕ)dϕ.ϕ1OÐèñ. 5.17.3. Îáúåì òåëà ñ èçâåñòíûìè ïîïåðå÷íûìè ñå÷åíèÿìè(ðèñ.
5.18).Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ òåëà ïëîñêîñòüþ x = const îáîçíà÷èì S(x),òîãäà îáúåì òîíêîãî òåëà, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó äâóìÿ áëèçêèìèïëîñêîñòÿìè x = const è x + dx = const, ðàâåí S(x)dx, ïîýòîìóZbäëÿ îáúåìà V òåëà ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà V = S(x)dx.aZbS ( x)V = S(x)dx.ax x + dxaxbÐèñ. 5.18.Îáúåì òåëà âðàùåíèÿ (ðèñ. 5.19).4. Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ (ðèñ. 5.19).Ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè òåëà âðàùåíèÿ ðàâåíqdS = 2πr · dl = 2πf (x) 1 + f 02 (x) dx,ïîýòîìó äëÿ ïëîùàäè S ïîâåðõíîñòè òåëà ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëàZbS = 2π f (x)aq1 + f 0 (x) dx.2Ãë. 5. Èíòåãðàëû122yy = f ( x) ³ 0 ýòîì ñëó÷àå S(x) = πf (x),2dlïîýòîìóxabxZbV = π f 2 (x)dx.aÐèñ.
5.19. 14. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãîèíòåãðàëà1. Ìàññà, êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè è ìîìåíòû èíåðöèè ïëîñêîé êðèâîé. Ïóñòü ïðîñòàÿ êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè óðàâíåíèÿìè (5.27), ïðè÷åì ϕ(t) è ψ(t) èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ϕ0 (t) è ψ 0 (t) íà ñåãìåíòå [α, β], è ïóñòü ρ(x, y) ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ìàññû â òî÷êå (x, y) êðèâîé. Òîãäà ìàññà mêðèâîé âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîéZβqm = ρ(ϕ(t), ψ(t)) ϕ02 (t) + ψ 02 (t) dt.αÀíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà äëÿ ìàññû êðèâîé, çàäàííîé â äåêàðòîâûõêîîðäèíàòàõ óðàâíåíèåì y = f (x), a 6 x 6 b, èìååò âèäZbqm = ρ(x, f (x)) 1 + f 02 (x) dx.aÑòàòè÷åñêèå ìîìåíòû (èëè ìîìåíòû ïåðâîãî ïîðÿäêà) êðèâîéîòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåé â ñëó÷àå ïîñòîÿííîé ëèíåéíîéïëîòíîñòè ρ ≡ 1 âû÷èñëÿþòñÿ äëÿ êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèÿìè(5.27), ïî ôîðìóëàìZβqMx = ψ(t) ϕ02 (t) + ψ 02 (t) dt (ìîìåíò îòíîñèòåëüíî îñè x),α14.
Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëàZβMy = ϕ(t)123qϕ02 (t) + ψ 02 (t) dt (ìîìåíò îòíîñèòåëüíî îñè y),αà äëÿ êðèâîé, çàäàííîé â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèåìy = f (x), a 6 x 6 b, ïî ôîðìóëàìZbMx = f (x)Zb q1 + f 02 (x) dx, My = x 1 + f 02 (x) dx.qaaÊîîðäèíàòû (x , y ) öåíòðà òÿæåñòè êðèâîé âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìèMMx = y, y = x,000l0lãäå l äëèíà êðèâîé (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
