В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ôîðìóëû (5.28) è (5.29)).Ìîìåíòû èíåðöèè (èëè ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà) êðèâîéîòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò â ñëó÷àå ρ ≡ 1 âû÷èñëÿþòñÿ ïîôîðìóëàìZβqIx = ψ 2 (t) ϕ02 (t) + ψ 02 (t) dt(îòíîñèòåëüíî îñè x),αZβIy = ϕ2 (t)qϕ02 (t) + ψ 02 (t) dt(îòíîñèòåëüíî îñè y)αèëè (â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ)Zb2Ix = f (x)q1+f 02 (x) dx,aZbIy = x2q1 + f 0 (x) dx.2a2.Êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè è ìîìåíòû èíåðöèè ïëîñêîéôèãóðû.Ïóñòü ïëîñêàÿ ôèãóðà G îãðàíè÷åíà íåïðåðûâíûìè êðèâûìèy = f1 (x) è y = f2 (x), a 6 x 6 b, (ïðè÷åì f1 (x) 6 f2 (x)) è îòðåçêàìè ïðÿìûõ x = a è x = b, à ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ρ ≡ 1.Òîãäà ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû ôèãóðû G âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìèZb1 Mx =f (x) − f (x) dx (îòíîñèòåëüíî îñè x),2a2221Ãë.
5. Èíòåãðàëû124ZbMy = x [f2 (x) − f1 (x)] dx(îòíîñèòåëüíî îñè y),aà êîîðäèíàòû (x , y ) öåíòðà òÿæåñòè ôèãóðû âû÷èñëÿþòñÿ ïîôîðìóëàì00x0 =MMy, y0 = x ,SSZbãäå S = [f (x) − f (x)] dx ïëîùàäü ôèãóðû G.12aÌîìåíòû èíåðöèè ôèãóðû G îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàòâûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìèZb1 f (x) − f (x) dx (îòíîñèòåëüíî îñè x),Ix =33321aZbIy = x2 [f2 (x) − f1 (x)] dx(îòíîñèòåëüíî îñè y).aÇàäàíèå. Îáúÿñíèòå (íà ýâðèñòè÷åñêîì óðîâíå), êàê ïîëó÷àþòñÿýòè ôîðìóëû. 15.
Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ïðèìåðàõ, ñ êîòîðûìè ìû èìåëè äåëî â ýòîé ãëàâå, äëÿâû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ èñïîëüçîâàëàñü ôîðìóëàÍüþòîíà-Ëåéáíèöà. Åå óäîáíî ïðèìåíÿòü òîãäà, êîãäà ïåðâîîáðàçíàÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé. Íî ýòî íå âñåãäà òàê. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü èíòåãðàëRba2e−x dx, êîòîðûé âñòðå÷àåòñÿ âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷å-ñêîé ôèçèêè. òàêèõ ñëó÷àÿõ ïîëüçóþòñÿ ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèåìèíòåãðàëîâ.
Ìû ðàññìîòðèì òðè ìåòîäà ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ìåòîä òðàïåöèé è ìåòîä ïàðàáîë.Ñóòü êàæäîãî èç ýòèõ ìåòîäîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñåãìåíòèíòåãðèðîâàíèÿ ðàçáèâàåòñÿ íà íåñêîëüêî ðàâíûõ ÷àñòè÷íûõ ñåã-15. Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ125ìåíòîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ çàìåíÿåòñÿ áîëåå ïðîñòîé ôóíêöèåé: ïîñòîÿííîé (òî åñòü ìíîãî÷ëåíîì íóëåâîé ñòåïåíè) â ìåòîäå ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ëèíåéíîé ôóíêöèåé (òî åñòü ìíîãî÷ëåíîì ïåðâîé ñòåïåíè) â ìåòîäå òðàïåöèé,êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé (òî åñòü ìíîãî÷ëåíîì âòîðîé ñòåïåíè)â ìåòîäå ïàðàáîë. Çàòåì âû÷èñëÿþòñÿ èíòåãðàëû ïî ÷àñòè÷íûìñåãìåíòàì îò ýòèõ áîëåå ïðîñòûõ ôóíêöèé, è èõ ñóììà äàåòïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå äëÿ èñõîäíîãî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.1.
Ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàëZb(5.31)f (x)dx.aÐàçîáüåì ñåãìåíò [a, b] íà n ðàâíûõ ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ òî÷êàìèa = x0 < x1 < ... < xn = b.Âåäåì îáîçíà÷åíèå:∆xi = xi − xi−1 =b−a= h.nÂåëè÷èíà h íàçûâàåòñÿ øàãîì ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.Ïóñòü ξi ñåðåäèíà ÷àñòè÷íîãî ñåãìåíòà [xi− , xi ]. Íà êàæäîì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi− , xi ] çàìåíèì ôóíêöèþ f (x) ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé, ðàâíîé f (ξi ) (ñì. ðèñ. 5.20). Òîãäà11xZixZif (x)dx ≈xi−1f (ξi )dx = f (ξi )(xi − xi−1 ) = f (ξi ) · h, i = 1, 2, ..., n.xi−1Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè f (x) > 0, òî ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îäíîé èçñòîðîí êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ñåãìåíò [xi− , xi ], çàìåíÿåòñÿ ïëîùàäüþ ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè, ðàâíûìè h è f (ξi ).Ïðîñóììèðîâàâïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà (5.32) ïî i(5.32)yf (ξ i )1Oa = x0ξ1x1 xi -1ξ i xiÐèñ.
5.20.ξ n xn = bxÃë. 5. Èíòåãðàëû126îò 1 äî n, ïðèõîäèì ê ïðèáëèæåííîìó ðàâåíñòâó äëÿ èíòåãðàëà(5.31):Zbf (x)dx =axZinXi=1 xf (x)dx ≈ hnXi=1i−1nb−a Xf (ξi ).f (ξi ) =n(5.33)i=1Îáîçíà÷èì ðàçíîñòü ìåæäó ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿìè ýòîãî ðàâåíñòâà ÷åðåç Rn . ÒîãäàZbf (x)dx =nb−a Xf (ξi ) + Rn .n(5.34)i=1aÐàâåíñòâî (5.34) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ïðÿìîóãîëüíèêîâ, à âåëè÷èíà Rn îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ýòîé ôîðìóëå.Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b], òîZbnb−a Xf (ξi ) = f (x)dxlimn→∞ ni=1a(ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì ðàâåí èíòåãðàëó), ïîýòîìó Rn → 0ïðè n → ∞. Òàêèì îáðàçîì, ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû (5.33)òåì òî÷íåå, ÷åì áîëüøå n.
Ïðè êîíêðåòíûõ âû÷èñëåíèÿõ áåðóòêàêîå-òî îïðåäåëåííîå n è âû÷èñëÿþò ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèåèíòåãðàëà ïî ôîðìóëå (5.33). ×òîáû îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ýòîéôîðìóëû, íóæíî çíàòü, êàê îñòàòî÷íûé ÷ëåí Rn çàâèñèò îò n.Òåîðåìà 13. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èìååò íà ñåãìåíòå [a, b]íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ âòîðîãî ïîðÿäêà, òî íàéäåòñÿ òî÷êàη ∈ [a, b], òàêàÿ, ÷òîRn =(b − a)3b − a 00· f 00 (η) =f (η)h2 .22424n(5.35)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F (x) ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f (x) íàñåãìåíòå [a, b], òî åñòüF 0 (x) = f (x) =⇒ F 00 (x) = f 0 (x), F 000 (x) = f 00 (x), x ∈ [a, b].(5.36)15. Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ127Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà è ó÷èòûâàÿ, ÷òî xi = ξi +hh+ , xi− = ξi − , ïîëó÷àåì:221xZif (x)dx = F (x)|xxii−1 = F (xi ) − F (xi−1 ) =xi−1= F ξi +hh2h− F ξi −2h(5.37), i = 1, 2, ..., n.è F ξi −ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ öåíÐàçëîæèì F ξi +22òðîì ðàçëîæåíèÿ â òî÷êå ξi è îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìåËàãðàíæà: h 2 1 h 3hh1F ξi += F (ξi ) + F 0 (ξi ) · + F 00 (ξi ) ·+ F 000 (ηi ) ·,2F ξi −2h22262 h 1 h 2= F (ξi ) + F 0 (ξi ) · −+ F 00 (ξi ) · −+222 h 31 000∗+ F (−ηi ) · −,62ãäå ηi ∈ [xi− , xi ] è ηi∗ ∈ [xi− , xi ].
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ âïðàâóþ ÷àñòü (5.37), è ó÷èòûâàÿ (5.36), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó11xZif (x)dx = F 0 (ξi )h +xi−1= f (ξi )h +=1(F 000 (ηi ) + F 000 (ηi∗ )) h =4831 00(f (ηi ) + f 00 (ηi∗ )) h =483b−a(b − a)3 f 00 (ηi ) + f 00 (ηi∗ )f (ξi ) +·, i=n2n24n21, 2, ..., n.Ïðîñóììèðóåì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà ïî i îò 1 äî n:xZinXi=1 xZbf (x)dx =i−1nb−a Xf (ξi )+f (x)dx =ni=1anX(b − a)3+·24n2i=1(f 00 (ηi ) + f 00 (ηi∗ ))2n.Ãë. 5.
Èíòåãðàëû128Ñðàâíèâàÿ ýòî ðàâåíñòâî ñ ðàâåíñòâîì (5.34), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn :nX(b − a)3Rn =·24n2(f 00 (ηi ) + f 00 (ηi∗ ))i=1.2nÄëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà (5.35) îñòàåòñÿäîêàçàòü, ÷òî íàéäåòñÿ òî÷êà η ∈ [a, b], òàêàÿ, ÷òînXi=1(f 00 (ηi ) + f 00 (ηi∗ ))(5.38)= f 00 (η)2nÇàìåòèì, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü â ðàâåíñòâå (5.38) ÿâëÿåòñÿ ñðåäíèìàðèôìåòè÷åñêèì 2n çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [a, b]ôóíêöèè f 00 (x). Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (5.35) âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.Ëåììà. Åñëè g(x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà ñåãìåíòå [a, b], èx , x , ..., xn ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ýòîãî ñåãìåíòà, òî íàéäåòñÿòî÷êà η ∈ [a, b], òàêàÿ, ÷òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèég(x ), g(x ), ..., g(xn ) ðàâíî g(η), òî åñòü1212nXg(xi )i=1= g(η).nÄîêàæåì ýòó ëåììó. Ïóñòü m = min g(x), M = max g(x).
Òîãäà[a,b][a,b]∀xi ∈ [a, b] : m 6 g(xi ) 6 M . Ñóììèðóÿ ýòè íåðàâåíñòâà ïî i îò1 äî n è äåëÿ íà n, ïîëó÷àåì:nXm6g(xi )i=1n6 M.Ìû âèäèì, ÷òî äðîáü â ñðåäíåé ÷àñòè íåðàâåíñòâ çàêëþ÷åíàìåæäó ìèíèìàëüíûì è ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèÿìè íåïðåðûâíîéôóíêöèè f (x) íà ñåãìåíòå [a, b]. Ñîãëàñíî òåîðåìå î ïðîõîæäåíèèíåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç ëþáîå ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèånXíàéäåòñÿ òî÷êà η ∈ [a, b], òàêàÿ, ÷òî g(η) =g(xi )i=1n, è òåì ñàìûì15. Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ129ëåììà äîêàçàíà. Ïðèìåíÿÿ ëåììó ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè g 00 (x)(ñ çàìåíîé n íà 2n), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (5.38).Çàìå÷àíèå. Ðàâåíñòâî (5.35) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèèèíòåãðàëà ïî ïðèáëèæåííîé ôîðìóëå (5.33) îøèáêà ÿâëÿåòñÿâåëè÷èíîé ïîðÿäêà h (Rn = O(h )).222.
Ìåòîä òðàïåöèé. Ñíî-âà ðàññìàòðèâàåì èíòåãðàë(5.31). Ðàçîáüåì ñåãìåíò [a, b]íà n ðàâíûõ ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ (ñì. ðèñ. 5.21) òî÷êàìèa = x0 < x1 < ... < xn = b.yy = f ( x)f ( xi -1 )OÊàê è â ï.1, ïîëîæèìf ( xi )a = x0 x1 x2 xi -1 xixxn = bÐèñ. 5.21.∆xi = xi − xi−1 =b−a= h.nÍà êàæäîì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi− , xi ] çàìåíèì ôóíêöèþ f (x)ëèíåéíîé ôóíêöèåé Ai · x + Bi , ãðàôèê êîòîðîé ïðîõîäèò ÷åðåçòî÷êè (xi− , f (xi− )) è (xi , f (xi )) (ñì.
ðèñ. 5.21). Òîãäà111xZixZi(Ai · x + Bi )dx =f (x)dx ≈xi−1f (xi−1 ) + f (xi )2xi−1h, i = 1, 2, ..., n.(5.39)Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè f (x) > 0, òî ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè çàìåíÿåòñÿïëîùàäüþ îáû÷íîé òðàïåöèè ñ îñíîâàíèÿìè, ðàâíûìè f (xi− ) èf (xi ), è âûñîòîé h.Ïðîñóììèðîâàâ ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà (5.39) ïî i îò 1 äîn, ïîëó÷èì1Zbf (x)dx ≈a5 Â.Ô.
ÁóòóçîânXf (xi−1 ) + f (xi )i=12"n−1#Xb−ah=f (a) + f (b) + 2f (xi ) .2ni=1(5.40)Ãë. 5. Èíòåãðàëû130RbÒî÷íîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà f (x)dx îòëè÷àåòñÿ îò ïðàâîé ÷àñòèaâ ðàâåíñòâå (5.40) íà íåêîòîðóþ âåëè÷èíó Rn , òî åñòü èìååòìåñòî ðàâåíñòâîZban−1"#Xb−af (x)dx =f (a) + f (b) + 2f (xi ) + Rn .2ni=1Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé òðàïåöèé.f (x) èìååò íà ñåãìåíòå [a, b]íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ âòîðîãî ïîðÿäêà, òî íàéäåòñÿ òî÷êàη ∈ [a, b], òàêàÿ, ÷òîÒåîðåìà 14. Åñëè ôóíêöèÿRn =b − a 00(b − a)3 00f (η) = −f (η)h2 .1212n2Òàêèì îáðàçîì, êàê è â ôîðìóëå ïðÿìîóãîëüíèêîâ, îñòàòî÷íûé÷ëåí â ôîðìóëå òðàïåöèé ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ïîðÿäêà h .Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 14 ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 13.3.
Ìåòîä ïàðàáîë. Ñíîâà ðàññìîòðèì èíòåãðàë (5.31). Ðàçîáüåì ñåãìåíò [a, b] íà ÷åòíîå ÷èñëî 2n ðàâíûõ ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ òî÷êàìè (ñì. ðèñ. 5.22) a = x < x < x < ... < x n = b.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:20∆xi = x2i − x2i−2 =122b−a= h.nÐàññìîòðèì ñíà÷àëàñåãìåíò [x , x ]. Çàìåíèì íà ýòîì ñåãìåíòåôóíêöèþ f (x) êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåéAx + Bx + C , ïðè÷åìêîýôôèöèåíòû A, B èC âûáåðåì òàê, ÷òîáûOãðàôèê ýòîé ôóíêöèèxa=x xxxxx =bxïðîõîäèë ÷åðåç òî÷êè(x , f (x )), (x , f (x ))è (x , f (x )). Äîêàæåì, ÷òî òàêîé âûáîð êîýôôèöèåíòîâ A, B è C âîçìîæåí, èïðèòîì åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì.y0220122i - 22 i -1Ðèñ. 5.22.2i2n01022115. Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ131Íóæíî äîêàçàòü,÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà A, B è C , äëÿêîòîðûõ âûïîëíåíû ðàâåíñòâà Ax20 + Bx0 + C = f (x0 ),Ax21 + Bx1 + C = f (x1 ),Ax22 + Bx2 + C = f (x2 ).(5.41)Ñèñòåìà (5.41) ýòî ñèñòåìà òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî A, B è C .
Îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû x2 x 1 0 03 2 x x1 1 = (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x1 − x2 ) = − h , 14 2 x x2 1 2hïîñêîëüêó x − x = x − x = − , x − x = −h. Òàê êàê2îïðåäåëèòåëü îòëè÷åí îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñèñòåìà óðàâíåíèé(5.41) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ãðàôèê ôóíêöèè101202y = Ax2 + Bx + C , x ∈ [x0 , x2 ](¾îòðåçîê¿ ïàðàáîëû) èçîáðàæåí íà ðèñóíêå ïóíêòèðíîé ëèíèåé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
