В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Îòìåòèì, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà òî÷êè (x , f (x )),(x , f (x )) è (x , f (x )) ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, ïîëó÷èòñÿ A = 0,è âìåñòî ¾îòðåçêà¿ ïàðàáîëû áóäåò îòðåçîê ïðÿìîé.Íàéäÿ A, B è C èç ñèñòåìû (5.41) è âû÷èñëèâ èíòåãðàë îòôóíêöèè Ax + Bx + C ïî ñåãìåíòó [x , x ], ïîëó÷èì (ïðîäåëàéòå âû÷èñëåíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî):01120220xZ1xZ1b−a[f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] .Ax2 + Bx + C dx =f (x)dx ≈x026nx0Àíàëîãè÷íîå ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî äëÿ ëþáîãîñåãìåíòà [xi− , x i ], i = 2, 3, ..., n (ñîîòâåòñòâóþùèå ¾îòðåçêè¿ïàðàáîëû èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè):22xZ2if (x)dx ≈x2i−25*b−a[f (x2i−2 ) + 4f (x2i−1 ) + f (x2i )] .6nÃë. 5.
Èíòåãðàëû132Ñóììèðóÿ ýòè ðàâåíñòâà ïî i îò 1 äî n, ïðèõîäèì ê ïðèáëèæåííîìó ðàâåíñòâó äëÿ èñõîäíîãî èíòåãðàëà:Zbf (x)dx ≈nb−a X[f (x2i−2 ) + 4f (x2i−1 ) + f (x2i )] =6n"=(5.42)i=1ab−af (a) + f (b) + 26nn−X1f (x2i ) + 4i=1nX#f (x2i−1 ) ,i=1à îáîçíà÷èâ ðàçíîñòü ìåæäó ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿìè ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà (5.42) ÷åðåç Rn , ïîëó÷àåì ôîðìóëóZba"n−1ni=1i=1#XXb−af (a) + f (b) + 2f (x2i ) + 4f (x2i−1 ) + Rn ,f (x)dx =6nêîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ïàðàáîë èëè ôîðìóëîé Ñèìïñîíà.Òåîðåìà 15. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èìååò íà ñåãìåíòå [a, b]íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà, òî íàéäåòñÿ òî÷êà η ∈ [a, b], òàêàÿ, ÷òîRn = −b − a (4)(b − a)5 (4)f (η) = −f (η)h4 .428802880nÒàêèì îáðàçîì, îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìóëå ïàðàáîë ÿâëÿåòñÿâåëè÷èíîé ïîðÿäêà h . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà(5.42) ìåòîäà ïàðàáîë ÿâëÿåòñÿ ïðè ìàëîì h (òî åñòü ïðè áîëüøèõ n) áîëåå òî÷íîé, ÷åì ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû (5.33) è (5.40)ìåòîäà ïðÿìîóãîëüíèêîâ è ìåòîäà òðàïåöèé.
(Äîêàçàòåëüñòâîòåîðåìû 15 ñì. â [1]).Ïðèìåð. Ïðèìåíèì ôîðìóëó ïàðàáîë äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñRπëåíèÿ èíòåãðàëà sin xdx. Åãî òî÷íîå çíà÷åíèå ðàâíî 2. Ïîñìîò40ðèì, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ïî ôîðìóëå ïàðàáîë ïðè ñàìîì ìèíèìàëüíîìçíà÷åíèè n, òî åñòü ïðè n = 1.Ïîëàãàÿ â ôîðìóëå (5.42) a = π0, b = π , n = 1 è ó÷èòûâàÿ,π÷òî f (0) = f (π) = 0, f= sin = 1, ïîëó÷èì:2Zπsin xdx ≈0π6h2f (0) + f (π) + 4f π i223= π = 2 + ε,15. Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ 133πãäå ε = 2− 1 < 0, 1. Òàêèì îáðàçîì, óæå ïðè n = 1 ïðèáëè-3æåííîå çíà÷åíèå äàííîãî èíòåãðàëà, âû÷èñëåííîå ïî ôîðìóëåïàðàáîë, îòëè÷àåòñÿ îò òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ìåíüøå, ÷åì íà 0,1.Ýòîò ïðèìåð ñâèäåòåëüñòâóåò î âûñîêîé ýôôåêòèâíîñòè ìåòîäàïàðàáîë.Ãëàâà 6×ÈÑËÎÂÛÅ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈÐàíåå áûëî äàíî îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:a = lim xn ,n→∞åñëè ∀ε > 0 ∃N , ∀n > N :|xn − a| < ε.Íåðàâåíñòâî |xn − a| < ε îçíà÷àåò, ÷òî âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ íîìåðàìè, áîëüøèìè N , ëåæàò â ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè a.Áûëî äîêàçàíî, ÷òî ìîíîòîííàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû î ïðåäåëå ìîíîòîííîéîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè).
Êðîìå òîãî, îòìå÷àëîñü, ÷òî åñëè âñåxn ∈ [a, b], ò.å. a 6 xn 6 b, è ïðè ýòîì ñóùåñòâóåòlim xn = c,n→∞òî c ∈ [a, b], ò.å. a 6 c 6 b. 1. Òåîðåìà î ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìå ñåãìåíòîâÐàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåãìåíòîâ[a1 , b1 ], ... , [an , bn ], ... ,òàêóþ, ÷òî êàæäûé ñëåäóþùèé ñåãìåíò ñîäåðæèòñÿ â ïðåäûäóùåì, ò.å. äëÿ ëþáîãî íîìåðà n ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâàan 6 an+1 < bn+1 6 bn ,è, êðîìå òîãî, (bn − an ) → 0 ïðè n → ∞. Òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåãìåíòîâ íàçûâàåòñÿ ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìîé ñåãìåíòîâ.Òåîðåìà 1. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿâñåì ñåãìåíòàì ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåðàâåíñòâ an 6 an+ < bn+ 6 bn ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } íåóáûâàþùàÿ, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {bn } íåâîçðàñòàþùàÿ. Êðîìå òîãî, ýòè ïîñëåäîâà112.
Ïðåäåëüíûå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè135òåëüíîñòè îãðàíè÷åíû, òàê êàê âñå èõ ÷ëåíû ëåæàò íà ñåãìåíòå[a , b ]. Ñëåäîâàòåëüíî, îáå ýòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäÿòñÿ, àïîñêîëüêó (bn − an ) → 0 ïðè n → ∞, òî11lim an = lim bn .n→∞n→∞Îáîçíà÷èì ýòîò ïðåäåë áóêâîé c. Òàê êàê {an } íåóáûâàþùàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî an 6 c, è òàê êàê {bn } íåâîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî bn > c. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãîíîìåðà n ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà an 6 c 6 bn , òî åñòü òî÷êà cïðèíàäëåæèò âñåì ñåãìåíòàì ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìû. Äîêàæåìòåïåðü åäèíñòâåííîñòü òàêîé òî÷êè.Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òî åñòü ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò äðóãàÿ òî÷êà d 6= c, ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì ñåãìåíòàì ñòÿãèâàþùåéñÿ ñèñòåìû.
Ïóñòü, íàïðèìåð, d > c (ñëó÷àé d < cðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Òîãäà ∀n : an 6 c < d 6 bn , îòêóäàbn − an > d − c > 0. Ñëåäîâàòåëüíî,lim (bn − an ) > d − c > 0,n→∞÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ (bn − an ) → 0 ïðè n → ∞.
Òåîðåìà 1äîêàçàíà.Òåîðåìà 1 âûðàæàåò ñâîéñòâî, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîñòüþ ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò. 2. Ïðåäåëüíûå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòèÏóñòü {xn } íåêîòîðàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüöåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë k , k , ... , kn , ..., íàïðèìåð,5, 12, 27, 38, ....
Îòìåòèì, ÷òî kn > n. Âûáåðåì èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ÷ëåíû ñ íîìåðàìè k , k , ... , kn , ...:1122xk1 , xk2 , ... , xkn , ... .Ïîëó÷åííàÿ òàêèì îáðàçîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }.Ïðèìåðû:1) {x n } = x , x , ...
, x n , ...2) {xkn } = x , x , x , x , ...3) ñàìà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ÿâëÿåòñÿ ñâîåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ (kn = n).22451222738Ãë. 6. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè136Ëåììà 1. Åñëèlim xn = a,n→∞òî ëþáàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xkn } ñõîäèòñÿ è èìååò ñâîèìïðåäåëîì ÷èñëî a ïðè n → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Íà÷èíàÿ ñíåêîòîðîãî íîìåðà N âñå xn ëåæàò â ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè a.Ñëåäîâàòåëüíî, è âñå ÷ëåíû ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xkn } ñ íîìåðàìè, áîëüøèìè N , ëåæàò â ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè a, à ýòî èîçíà÷àåò, ÷òî xkn → a ïðè n → ∞. Ëåììà 1 äîêàçàíà.Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ñàìà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñõîäèòñÿ, íî ó íåå åñòü ñõîäÿùèåñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Íàïðèìåð,ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } = 1, 1/2, 1, 1/3, ... , 1, 1/n, ...
ðàñõîäèòñÿ, îäíàêî åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè{x2n−1 } = 1, 1, ... , 1, ...è{x2n } = 1/2, 1/3, ... , 1/n, ...ñõîäÿòñÿ: ïåðâàÿ ñõîäèòñÿ ê åäèíèöå, à âòîðàÿ ê íóëþ.Òåîðåìà 2 (ÁîëüöàíîÂåéåðøòðàññà). Èç ëþáîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {xn } îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî åñòü ñóùåñòâóþò ÷èñëà a è b, òàêèå, ÷òî ∀n: a 6 xn 6 b.Ðàçäåëèì ñåãìåíò [a, b] ïîïîëàì. Ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èçäâóõ ïîëó÷èâøèõñÿ ñåãìåíòîâ ñîäåðæèò áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Îáîçíà÷èì åãî [a , b ]. Ïóñòü xk1 êàêîé-íèáóäü ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ëåæàùèé íà ñåãìåíòå[a , b ]: a 6 xk1 6 b .Ðàçäåëèì òåïåðü ñåãìåíò [a , b ] ïîïîëàì è îáîçíà÷èì ÷åðåç[a , b ] òó ïîëîâèíó, íà êîòîðîé ëåæèò áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷ëåíîâïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïóñòü xk2 êàêîé-íèáóäü ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ íîìåðîì k > k , ëåæàùèé íà ñåãìåíòå [a , b ]:a 6 xk2 6 b .Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ íåîãðàíè÷åííî, ïîëó÷èì ñòÿãèâàþùóþñÿ ñèñòåìó ñåãìåíòîâ {[an , bn ]}, òàê êàê bn − an = (b −− a)/2n → 0 ïðè n → ∞, è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xkn }, ÿâëÿþùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, ïðè÷åì∀n: an 6 xkn 6 bn .
Ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿòî÷êà c, òàêàÿ, ÷òî11111121222112lim an = lim bn = c,n→∞n→∞222. Ïðåäåëüíûå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè137à â ñèëó íåðàâåíñòâ an 6 xkn 6 bn èìååì:lim xkn = c.n→∞Òàêèì îáðàçîì, ìû âûäåëèëè ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xkn } ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }. ÒåîðåìàÁîëüöàíîÂåéåðøòðàññà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íàçûâàåòñÿ íåîãðàíè÷åííîé, åñëè ∀A ∃xn : |xn | > A. Äëÿ íåîãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé òåîðåìà Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà íå âåðíà.Ïðèìåð. Ó íåîãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } = 1, 2, 3, ......
, n, ... íåò ñõîäÿùèõñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé,åñëè ∀A ∃N , ∀n > N : |xn | > A. Ëþáàÿ áåñêîíå÷íî áîëüøàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ íåîãðàíè÷åííîé. Îáðàòíîå íåâåðíî.Ïðèìåð. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } = 0, 1, 0, 2, ... , 0, n, ... ÿâëÿåòñÿ íåîãðàíè÷åííîé, íî íå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé.Çàäàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî èç ëþáîé íåîãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûäåëèòü áåñêîíå÷íî áîëüøóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Îïðåäåëåíèå 1. ×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè èç {xn } ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xkn }, ñõîäÿùóþñÿ ê a.Èç òåîðåìû ÁîëüöàíîÂåéåðøòðàññà ñëåäóåò, ÷òî âñÿêàÿîãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò õîòÿ áû îäíó ïðåäåëüíóþ òî÷êó.Îïðåäåëåíèå 2.
×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè â ëþáîé ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè añîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }.Óòâåðæäåíèå. Îïðåäåëåíèÿ 1 è 2 ýêâèâàëåíòíû.Äîêàæåì, ÷òî åñëè ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ïî îïðåäåëåíèþ 1, òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîéòî÷êîé ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïî îïðåäåëåíèþ 2 (â îáðàòíóþñòîðîíó äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî).Èòàê, ïóñòü ÷èñëî a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{xn } ïî îïðåäåëåíèþ 1, òî åñòü ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xkn } ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, ÷òîlim xkn = a.n→∞Òîãäà â ëþáîé ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè a ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íîìíîãî ÷ëåíîâ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xkn }, à çíà÷èò, è áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }.
Ýòî îçíà÷àåò,Ãë. 6. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè138÷òî ÷èñëî a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ïîîïðåäåëåíèþ 2, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ïîñòàâèì âîïðîñ: ñêîëüêî ïðåäåëüíûõ òî÷åê ìîæåò áûòü óîãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè?Îòâåò: ñêîëüêî óãîäíî è äàæå íåñ÷åòíîå ìíîæåñòâî. ×òîáûðàçúÿñíèòü ýòîò îòâåò, ïîãîâîðèì î ìíîæåñòâàõ.Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ìíîæåñòâàõ.Ãîâîðÿò, ÷òî ìåæäó ýëåìåíòàìè äâóõ ìíîæåñòâ óñòàíîâëåíîâçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, åñëè êàæäîìó ýëåìåíòóïåðâîãî ìíîæåñòâà ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé ýëåìåíòâòîðîãî ìíîæåñòâà òàê, ÷òî ïðè ýòîì êàæäûé ýëåìåíò âòîðîãîìíîæåñòâà ñîîòâåòñòâóåò òîëüêî îäíîìó ýëåìåíòó ïåðâîãî ìíîæåñòâà.Äâà ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ìåæäóèõ ýëåìåíòàìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Åñëè äâà ìíîæåñòâà ýêâèâàëåíòíû, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíèèìåþò îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü.Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè îíî ýêâèâàëåíòíîìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
