В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Èíûìè ñëîâàìè, ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè åãî ýëåìåíòû ìîæíî çàíóìåðîâàòü ñïîìîùüþ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ò.å. ñîñòàâèòü èç íèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñåãìåíòà [0, 1] ñ÷åòíî.  ñàìîì äåëå, èç íèõ ìîæíî ñîñòàâèòü ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì:1 1 1 3 1 2 3 4 12 3 4 4 5 5 5 5 60, 1, , , , , , , , , , ... .Ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñåãìåíòà [0, 1] íåñ÷åòíî(äîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî).
Åñëè ìíîæåñòâî ýêâèâàëåíòíîìíîæåñòâó âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñåãìåíòà [0, 1], òî ãîâîðÿò,÷òî îíî èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.Âåðíåìñÿ ê âîïðîñó î òîì, ñêîëüêî ïðåäåëüíûõ òî÷åê ìîæåòáûòü ó îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, è ðàññìîòðèì ïðèìåðû.1) Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó a, òî ÷èñëî a åäèíñòâåííàÿ ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.2) Ïóñòü a , a , ... , am ïðîèçâîëüíûå ðàçëè÷íûå ÷èñëà.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü12a1 , a2 , ...
, am , a1 , a2 , ... , am , ... , a1 , a2 , ... , am , ...èìååò m ïðåäåëüíûõ òî÷åê: a , a , ... , am .122. Ïðåäåëüíûå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè1393) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ñîñòàâëåííàÿ èç âñåõ ðàöèîíàëüíûõ÷èñåë ñåãìåíòà [0; 1])1 1 1 3 1 2 3 4 12 3 4 4 5 5 5 5 60, 1, , , , , , , , , , ...èìååò êîíòèíóóì ïðåäåëüíûõ òî÷åê: ëþáîå ÷èñëî èç ñåãìåíòà[0, 1] ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òàêêàê â ëþáîé ε-îêðåñòíîñòè ýòîãî ÷èñëà ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íîìíîãî ÷ëåíîâ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Çàäàíèå. Ïðèäóìàéòå ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ó êîòîðîéñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ïðåäåëüíûõ òî÷åê.Ïóñòü {xn } îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà ó íåååñòü ïî êðàéíåé ìåðå îäíà ïðåäåëüíàÿ òî÷êà.Îïðåäåëåíèå. Íàèáîëüøàÿ (íàèìåíüøàÿ) ïðåäåëüíàÿ òî÷êà îãðàíè÷åííîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } íàçûâàåòñÿâåðõíèì (íèæíèì) ïðåäåëîì ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è îáîçíà÷àåòñÿ òàê:lim xnn→∞lim xn .n→∞Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñõîäèòñÿ, òîlim xn = lim xn = lim xn .n→∞n→∞n→∞Åñëè îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò êîíå÷íîå ÷èñëîïðåäåëüíûõ òî÷åê, òî îíà, î÷åâèäíî, èìååò âåðõíèé è íèæíèéïðåäåëû.
Åñëè æå îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïðåäåëüíûõ òî÷åê, òî ñóùåñòâîâàíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ïðåäåëîâ íå ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì, ïîñêîëüêóîãðàíè÷åííîå áåñêîíå÷íîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî ìîæåò íå èìåòüíàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî ýëåìåíòîâ.Òåîðåìà 3. Îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò âåðõíèéè íèæíèé ïðåäåëû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {xn } îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è A ìíîæåñòâî åå ïðåäåëüíûõ òî÷åê. ÏîñêîëüêóA îãðàíè÷åííîå è íåïóñòîå ìíîæåñòâî, òî ñóùåñòâóþò åãîòî÷íûå ãðàíèsup A = a è inf A = a.Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî a è a ïðåäåëüíûå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }. Äîêàæåì ýòî äëÿ a (äëÿ a äîêàçàòåëüñòâîïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî).Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0.
Äîêàæåì, ÷òî â ε-îêðåñòíîñòèòî÷êè a ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíî-Ãë. 6. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè140ñòè {xn } (òåì ñàìûì è áóäåò äîêàçàíî, ÷òî a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà{xn }).Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíàÿ òî÷êà c ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, òàêàÿ, ÷òîa−ε2< c 6 a.Ðàññìîòðèì ε/2-îêðåñòíîñòü òî÷êè c.
Îíà ðàñïîëîæåíà â εîêðåñòíîñòè òî÷êè a . Ïî îïðåäåëåíèþ 2 ïðåäåëüíîé òî÷êè âε/2-îêðåñòíîñòè òî÷êè c ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷ëåíîâïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }. Íî âñå îíè ñîäåðæàòñÿ â ε-îêðåñòíîñòèòî÷êè a. Òàêèì îáðàçîì, â ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè a ñîäåðæèòñÿáåñêîíå÷íî ìíîãî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Òåîðåìà 3 äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Åñëè {xn } íåîãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó (ñíèçó) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî ïèøóòlim xn = ∞n→∞lim xn = −∞ .n→∞Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{xn } = 0, 1, 0, 2, 0, ... , n, 0, ... .Î÷åâèäíî, ÷òîlim xn = ∞,n→∞lim xn = 0.n→∞ 3. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëè ∀ε > 0 ∃N , òàêîé, ÷òî ∀n > N è ∀p ∈ N:|xn+p − xn | < ε. ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè p ÷èñëî m = n + p ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûì íîìåðîì, áîëüøèì N . Ïîýòîìó îïðåäåëåíèå ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëè ∀ε > 0∃N , ∀n > N è ∀m > N : |xm − xn | < ε.Ïðèìåð.
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } = {1/n}. Äëÿëþáîãî ε > 0 âîçüìåì N > 1/ε, ò.å. 1/N < ε. Òîãäà ∀n > N è∀p ∈ N èìååì: 1 111|xn+p − xn | = − < << ε,n+pnnN3. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.141à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } = 1/n ÿâëÿåòñÿôóíäàìåíòàëüíîé.Çàäàíèå. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå íåôóíäàìåíòàëüíîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Ëåììà 2. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà(äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî).Òåîðåìà 4 (êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè).
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèëàñü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà ôóíäàìåíòàëüíîé.Äîêàçàòåëüñòâî.à) Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñõîäèòñÿ èèìååò ñâîèì ïðåäåëîì ïðè n → ∞ ÷èñëî a. Òîãäà ∀ε > 0 ∃N ,∀n > N : |xn − a| < ε/2, è òàêæå ∀m > N : |xm − a| < ε/2. Îòñþäàïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáûõ n è m, áîëüøèõ N , ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâî|xn − xm | = |(xn − a) + (a − xm )| 6 |xn − a| + |xm − a| < ε,òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ôóíäàìåíòàëüíàÿ.á) Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü {xn } ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Ñîãëàñíî ëåììå 2 {xn } îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è, ñëåäîâàòåëüíî, èç íåå ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïóñòü {xkn } → a ïðè n → ∞. Äîêàæåì,÷òîlim xn = a.n→∞Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è ðàññìîòðèì ε- èε/2-îêðåñòíîñòè òî÷êè a. Íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N1 âñå÷ëåíû ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xkn } ëåæàò â ε/2-îêðåñòíîñòèòî÷êè a, à íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N2 âñå ÷ëåíûïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } îòñòîÿò äðóã îò äðóãà íå áîëåå, ÷åìíà ε/2 (òàê êàê {xn } ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü).Ïîýòîìó, íà÷èíàÿ ñ N = max{N1 , N2 }, âñå ÷ëåíû {xn } ëåæàò âε-îêðåñòíîñòè òî÷êè a. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òîlim xn = a.n→∞Òåîðåìà 4 äîêàçàíà.Ïðèìåð.
Äîêàæåì ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Êîøè, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {sin n} ðàñõîäèòñÿ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü,÷òî îíà íå ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé.Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäà ∀ε > 0 ∃N , ∀n > N è ∀p ∈ N:| sin(n + p) − sin n| < ε.Ãë. 6. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè142Âîçüìåì p = 2.
Ïîëó÷èì|2 sin 1 · cos(n + 1)| < ε =⇒ | cos(n + 1)| <ε2 sin 1∀n > N ,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {cos n} áåñêîíå÷íîìàëàÿ. Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîìcos(n + 1) = cos n · cos 1 − sin n · sin 1,èç êîòîðîãî èìååìsin n =cos n · cos 1 − cos(n + 1)→sin 10 ïðè n → ∞.Èòàê, ìû ïîëó÷èëè:cos n → 0èsin n → 0ïðè n → ∞,÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîæäåñòâó cos n + sin n = 1. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {sin n} ðàñõîäèòñÿ.22 4. Âòîðîå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè.Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå X è a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ýòîãî ìíîæåñòâà, òî åñòü â ëþáîé ε-îêðåñòíîñòèòî÷êè a ñîäåðæàòñÿ òî÷êè èç X , îòëè÷íûå îò a.Îòìåòèì, ÷òî ïîíÿòèÿ ïðåäåëüíîé òî÷êè ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà è ïðåäåëüíîé òî÷êè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçëè÷íûå ïîíÿòèÿ.
Ïîÿñíÿþùèé ïðèìåð: ðàññìîòðèì ÷èñëîâîåìíîæåñòâî X = {1; 2} è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{xn } = 1, 2, 1, 2, ... , 1, 2, ... .Ó ìíîæåñòâà X , ñîñòîÿùåãî èç äâóõ ÷èñåë, íåò ïðåäåëüíûõòî÷åê, òîãäà êàê ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, î÷åâèäíî, èõ äâå:a = 1 è a = 2.Îïðåäåëåíèå 1 (ïî Êîøè). ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîìôóíêöèè f (x) ïðè x → a, åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî∀x ∈ {0 < |x − a| < δ}: |f (x) − b| < ε.Ýòî îïðåäåëåíèå áûëî äàíî â ðàçäåëå 2.2.
Äàäèì äðóãîå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå.Îïðåäåëåíèå 2 (ïî Ãåéíå). ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîìôóíêöèè f (x) ïðè x → a, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè124. Âòîðîå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè.143çíà÷åíèé àðãóìåíòà {xn }, ñõîäÿùåéñÿ ê a è òàêîé, ÷òî xn 6= a,ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè {f (xn )}ñõîäèòñÿ ê b.Çàäàíèå. Ñôîðìóëèðóéòå îòðèöàíèå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëàôóíêöèè ïî Ãåéíå, òî åñòü ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå òîãî, ÷òîlim f (x) 6= b.x→aÒåîðåìà 5. Îïðåäåëåíèÿ 1 è 2 ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî.1) Ïóñòülim f (x) = b ïî Êîøè.x→a(6.1)Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òîlim f (x) = b ïî Ãåéíå,x→aòî åñòü(6.2)∀{xn } → a(xn 6= a) : {f (xn )} → b.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } → a(xn 6= a) è âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0.  ñèëó óñëîâèÿ (6.1)íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî|f (x) − b| < ε ïðè0 < |x − a| < δ ,(6.3)à ïîñêîëüêó {xn } → a è xn 6= a, òî ñóùåñòâóåò òàêîå N , ÷òî∀n > N : 0 < |xn − a| < δ.(6.4)Èç (6.3) è (6.4) ñëåäóåò, ÷òî ∀n > N : |f (xn ) − b| < ε, à ýòî èîçíà÷àåò, ÷òî {f (xn )} → b.
Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâîñòü (6.2)äîêàçàíà.2) Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (6.2).Ïðåäïîëîæèì, ÷òîlim f (x) 6= b ïî Êîøè.x→aÝòî îçíà÷àåò, ÷òî ∃ε > 0, òàêîå, ÷òî∀δ > 0∃x ∈ {0 < |x − a| < δ} : |f (x) − b| > ε.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{δn } → +0 (δn > 0).(6.5)Ãë. 6. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè144Ñîãëàñíî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ, äëÿ ëþáîãî δn ñóùåñòâóåò÷èñëî xn , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ0 < |xn − a| < δn ,(6.6)|f (xn ) − b| > ε.(6.7)äëÿ êîòîðîãîÏîñêîëüêó {δn } → +0, òî èç (6.6) ñëåäóåò, ÷òî {xn } → a èxn 6= a.
Îòñþäà â ñèëó óñëîâèÿ (6.2)ïîëó÷àåì: {f (xn )} → b è,çíà÷èò, |f (xn ) − b| → 0 ïðè n → ∞. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëóíåðàâåíñòâà (6.7) èìååì:lim |f (xn ) − b| > ε > 0.n→∞Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî íàøå ïðåäïîëîæåíèå(6.5) íåâåðíî, è, ñëåäîâàòåëüíî,lim f (x) = b ïî Êîøè.x→aÒåîðåìà 5 äîêàçàíà.Ïðèìåðû. 1) Ïóñòü f (x) = x. Äîêàæåì, ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Ãåéíå, ÷òîlim f (x) = a.x→aÄëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } → a èìååì: {f (xn )} == {xn } → a.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Ãåéíåýòî îçíà÷àåò, ÷òîlim f (x) = lim x = a.x→ax→a12) Ïóñòü f (x) = sin . Äîêàæåì, ÷òî lim f (x) íå ñóùåñòâóåò.xx→Âîçüìåì0xn =1πn,òîãäà {xn } → 0 ïðè n → ∞ è xn 6= 0.Ïðè ýòîì {f (xn )} = {sin πn} = {0} → 0 ïðè n → ∞.Âîçüìåì òåïåðüx0n =12πn +π2,òîãäà {x0n } → 0 ïðè n → ∞ è x0n 6= 0.5. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè.145Ïðè ýòîì {f (x0n )} = {sin(2πn + π/2)} = {1} → 1 ïðè n → ∞.Èòàê, äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xn } è {x0n }, ñõîäÿùèõñÿ êíóëþ è òàêèõ, ÷òî xn 6= 0 è x0n 6= 0, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f (xn )} è {f (x0n )} èìåþò ðàçíûå ïðåäåëû.
Ñëåäîâà1òåëüíî, lim sin íå ñóùåñòâóåò.x→0xÎïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x → ∞ ïî Ãåéíå.Åñëè {xn } áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, xn > 0, òî áóäåì ïèñàòü {xn } → +∞(â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê +∞).Îïðåäåëåíèå (ïî Ãåéíå). ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîìôóíêöèè f (x)ïðè x → +∞, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèçíà÷åíèé àðãóìåíòà {xn }, ñõîäÿùåéñÿ ê +∞, ñîîòâåòñòâóþùàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè {f (xn )} ñõîäèòñÿ ê b.Çàäàíèå.
Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ îïðåäåëåíèé (ïîÊîøè è ïî Ãåéíå) ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x → +∞. 5. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè.Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå X è a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ýòîãî ìíîæåñòâà.Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî f (x) óäîâëåòâîðÿåò â òî÷êåa óñëîâèþ Êîøè, åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà x0 è x00 , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ0 < |x0 − a| < δ , 0 < |x00 − a| < δ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f (x0 ) − f (x00 )| < ε.Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå Êîøè äëÿ ôóíêöèè àíàëîãè÷íî ñâîéñòâó ôóíäàìåíòàëüíîñòè äëÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Çàäàíèå. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå òîãî ôàêòà, ÷òî f (x)íå óäîâëåòâîðÿåò â òî÷êå a óñëîâèþ Êîøè.Äîêàæåì òåîðåìó î êðèòåðèè Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëàôóíêöèè â òî÷êå.Òåîðåìà 6.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f (x) èìåëà ïðåäåë âòî÷êå a, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà âýòîé òî÷êå óñëîâèþ Êîøè.Äîêàçàòåëüñòâî.1) Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòülim f (x) = b.x→aÃë. 6. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè146Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Êîøè, ∀ε > 0∃δ > 0, òàêîå, ÷òî|f (x0 ) − b| <|f (x00 ) − b| <Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîε2ε2ïðè 0 < |x0 − a| < δ ,ïðè 0 < |x00 − a| < δ.|f (x0 ) − f (x00 )| = |(f (x0 ) − b) + (b − f (x00 ))| 66 |f (x0 ) − b| + |f (x00 ) − b| < εïðè 0 < |x0 − a| < δ , 0 < |x00 − a| < δ . Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿf (x) óäîâëåòâîðÿåò â òî÷êå a óñëîâèþ Êîøè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
