В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) n + 1 ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x , òî äëÿ ëþáîãî x èç ýòîéîêðåñòíîñòè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (7.6), ãäå Rn+ (x) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé (7.5).Ñëåäñòâèå 1. Ïðèìåíÿÿ ê èíòåãðàëó (7.5) ôîðìóëó ñðåäíåãîçíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì0001Rn+1 (x) =1n!Zxf(n+1)(ξ) (x − t)n dt =1n!x(x − t)n+1 f (n+1) (ξ) − =n+1x0=f (n+1) (ξ)(x − x0 )n+1 ,(n + 1)!x0ãäå ξ ∈ [x , x].0Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ôîðìóëû Òåéëîðà ïîëó÷èëîñü âûðàæåíèåRn+1 (x) =f (n+1) (ξ)(x − x0 )n+1 ,(n + 1)!(7.7)166Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõãäå ξ íåêîòîðàÿ òî÷êà ñåãìåíòà [x , x], åå ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå ξ = x + θ · (x − x ), 0 < θ < 1.Âûðàæåíèå (7.7) íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìåËàãðàíæà.Ñëåäñòâèå 2.
Òàê êàê f (n+ ) (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x è òàê êàêξ → x ïðè x → x , òî0001000lim f (n+1) (ξ) = f (n+1) (x0 ).x→x0Ïîýòîìó f (n+ ) (ξ) = f (n+ ) (x ) + α(x), ãäå α(x) → 0 ïðè x → x ,è ðàâåíñòâî (7.7) ïðèíèìàåò âèä110Rn+1 (x) ==0α(x)(x − x0 )n+1f (n+1) (x0 )(x − x0 )n+1 +=(n + 1)!(n + 1)!f (n+1) (x0 )(x − x0 )n+1 + o (x − x0 )n+1(n + 1)!Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (7.6), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâóf (x) =n+X1k=0f (k) (x0 )(x − x0 )k + o (x − x0 )n+1 =k!(7.8)= Pn+1 (x) + Rn+2 (x),ãäå(7.9)Ðàâåíñòâà (7.8) è (7.9) ïîëó÷åíû íàìè ïðè óñëîâèè, ÷òî ôóíêöèÿf (x) n + 1 ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x . Çàìåíèâ n + 1 íà n, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 15.
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) n ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x , òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîRn+2 (x) = o (x − x0 )n+1 .00f (x) = Pn (x) + Rn+1 (x),ãäåPn (x) =nXf (k) (x0 )k=0Âûðàæåíèåk!(x − x0 )k , Rn+1 (x) = o ((x − x0 )n ) ïðè x → x0 .Rn+1 (x) = o ((x − x0 )n )7. Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà è åå ïðèìåíåíèÿ167íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî.Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìåËàãðàíæà èìååò ìåñòî ïðè ìåíüøèõ òðåáîâàíèÿõ ê ôóíêöèèf (x), ÷åì â òåîðåìå 14, à èìåííî, ìîæíî îòêàçàòüñÿ îò òðåáîâàíèÿ íåïðåðûâíîñòè ïðîèçâîäíîé (n + 1)-îãî ïîðÿäêà. È òàêæåôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî èìååòìåñòî ïðè ìåíüøèõ òðåáîâàíèÿõ ê ôóíêöèè f (x), ÷åì â òåîðåìå 15, à èìåííî, äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû f (x) èìåëàïðîèçâîäíóþ n−ãî ïîðÿäêà â òî÷êå x (ñì.
[1]).0 7. Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà è åå ïðèìåíåíèÿÐàññìîòðèì ôîðìóëó Òåéëîðàf (x) = f (x0 ) ++f 00 (x0 )f 0 (x0 )(x − x0 ) +(x − x0 )2 + ...+1!2!f (n) (x0 )(x − x0 )n + Rn+1 (x)n!ïðè x = 0 (â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëó Òåéëîðà ïðèíÿòî íàçûâàòüôîðìóëîé Ìàêëîðåíà):0f (x) = f (0) +ãäåf 0 (0)f 00 (0) 2f (n) (0)x+x + ... +(x)n + Rn+1 (x),1!2!n!Rn+1 (x) = o(xn ) ïðè x → 0 (ôîðìà Ïåàíî),Rn+1 (x) =f (n+1) (θx) n+1x(n + 1)!(ôîðìà Ëàãðàíæà).Âûâåäåì ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà äëÿ íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.1) f (x) = ex . Òàê êàê f (n) (x) = ex è ∀n f (n) (0) = 1, òîex = 1 +nXxx2xnxk++ ...
++ Rn+1 (x) =+ Rn+1 (x),1! 2!n!k!k=0ãäåRn+1 (x) = o(xn )Rn+1 (x) =eθxxn+1 ,(n + 1)!ïðè x → 0 (ôîðìà Ïåàíî),0 < θ < 1 (ôîðìà Ëàãðàíæà). (7.10)168Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõÈç (7.10) äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ x ïîëó÷àåì îöåíêó:|x|Rn+ (x) 6 e|x|n+ → 0 ïðè n → ∞.1(n + 1)!1Ýòî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ex ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþ, åñëèâçÿòü ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà Pn (x) äëÿ ex ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì n. ÷àñòíîñòè, ïîëàãàÿ x = 1, ïîëó÷àåì:e=1+1+1 1111+ + ... + + Rn+ (1), îòêóäà e ≈ 2 + + ...
+ .2! 3!n!2!n!1Ïîñòàâèì âîïðîñ: ñêîëüêî ñëàãàåìûõ (òî åñòü êàêîå n) íóæíîâçÿòü, ÷òîáû íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà e ñ òî÷íîñòüþäî 10− ? Èç (7.10) ñëåäóåò:6Rn+1 (1) 63e<.(n + 1)!(n + 1)!Òàê êàê 10! > 3 · 10 , òî |R (1)| < 10− , òî åñòü äîñòàòî÷íîâçÿòü n = 9:6610e≈2+11+ ... +ñ òî÷íîñòüþ äî 10− .2!9!62) f (x) = sin x. Òàê êàêπnf (n) (x) = sin x +,2 πnf (n) (0) = sin=20,åñëè n = 2k,(−1)k , åñëè n = 2k + 1,ãäå k = 0, 1, 2, ..., òî îáùèé ÷ëåí ôîðìóëû Ìàêëîðåíà äëÿ sin xèìååò âèäf (n) (0) nx =n!(Ïîýòîìósin x = x −0,(−1)k x2k+1,(2k + 1)!åñëè n = 2k,åñëè n = 2k + 1.x3x5x7x2n−1+−+ ... + (−1)n−1+ R2n+1 (x) =3!5!7!(2n − 1)!=n−X1k=0(−1)kx2k+1+ R2n+1 (x),(2k + 1)!7. Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà è åå ïðèìåíåíèÿ169ãäåR2n+1 (x) = o x2nïðè x → 0 (ôîðìà Ïåàíî),sin(θx + (2n + 1)π/2) 2n+1x,(2n + 1)!0<θ<1(ôîðìà Ëàãðàíæà).Îòñþäà äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ x ïîëó÷àåì îöåíêó:R2n+1 (x) =|R2n+1 (x)| 6|x2n+1 |→(2n + 1)!0 ïðè n → ∞.Ýòî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü sin x äëÿ ëþáîãî x ñ ïðîèçâîëüíîéòî÷íîñòüþ, åñëè âçÿòü ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà Pn (x) äëÿ sin x ñäîñòàòî÷íî áîëüøèì n.Íàïðèìåð, äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ sin x ïðè0 6 x 6 π/4 ñ òî÷íîñòüþ 10− (ò.å.
äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÷åòûðåõçíà÷íûõ òàáëèö Áðàäèñà) äîñòàòî÷íî âçÿòü n = 3.  ñàìîì äåëå,ïîëàãàÿ x = π/4, n = 3, ïîëó÷àåì:4|R7 (x)| 6(π/4)7<7!πh10− .4iÑëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî x ∈ 0;ñ òî÷íîñòüþ äî 10− èìå4åì:35sin x ≈ x −x6+4x120.Îòìåòèì, ÷òî ÷åì áëèæå x ê íóëþ, òåì áîëüøóþ òî÷íîñòü äàåòýòà ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà; äëÿ x, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê íóëþ,ïîãðåøíîñòü ýòîé ôîðìóëû ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì 10− .Çàäàíèå. Ïîñòðîéòå è ñðàâíèòå ãðàôèêè ôóíêöèé4f (x) = sin x, P1 (x) = x, P3 (x) = x −x36, P (x) = x −5x36+x5120.3) f (x) = cos x.
Òàê êàêf(n)0, åñëè n = 2k + 1,πnπn(n), f (0) = cos = (−1)k , åñëè n = 2k,(x) = cos x +22ãäå k = 0, 1, 2, ..., òî îáùèé ÷ëåí ôîðìóëû Ìàêëîðåíà äëÿ cos xèìååò âèä170Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõf (n) (0) nx =n!0,((−1)k x2k,(2k)!Ïîýòîìócos x = 1 −åñëè n = 2k + 1,åñëè n = 2k.x2x4x6x2n+−+ ... + (−1)n+ R2n+2 (x) =2!4!6!(2n)!=nX(−1)kk=0ãäåR2n+2 (x) = o x2n+1R2n+2 (x) =x 2k+ R2n+2 (x),(2k)!ïðè x → 0 (ôîðìà Ïåàíî),cos(θx + (2n + 2)π/2) 2n+2x,(2n + 2)!0<θ<1(ôîðìà Ëàãðàíæà). Îòñþäà äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿx ïîëó÷àåì îöåíêó:|R2n+2 (x)| 6 2n+2 x(2n + 2)!→0ïðè n → ∞.Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî x ìîæíî âû÷èñëèòü cos x ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþ, åñëè âçÿòü ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà Pn (x) äëÿcos x ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì n.Çàäàíèå.
Ïîñòðîéòå è ñðàâíèòå ãðàôèêè ôóíêöèéf (x) = cos x, P0 (x) = 1, P2 (x) = 1 −P6 (x) = 1 −x22+x424−x6720x22, P (x) = 1 −4x22+x424,.Ñâÿçü ìåæäó ôóíêöèÿìè ex , sin x, cos xÂûïèøåì åùå ðàç ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà ôóíêöèé ex , sin x è cos x:x2x3x4x5++++ ... ,ex = 1 + x +2!3!4!5!x3x5sin x =x−+− ... ,3!5!x2x4 cos x = 1−+− ... .2!4!7. Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà è åå ïðèìåíåíèÿ171Ýòè ôîðìóëû íàâîäÿò íà ìûñëü î òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò ñâÿçüìåæäó ýêñïîíåíòîé, ñèíóñîì è êîñèíóñîì.Îòâåò ëåæèò â îáëàñòè ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé:eix =1+ ix +(ix)2(ix)3(ix)4(ix)5x2ix3++++ ... = 1 + ix −−+2!3!4!5!2!3!x4ix5x2x4x3x5+ ++ ...
= 1 −+− ... + i x −+− ... =4!5!2!4!3!5!= cos x + i sin x.Èòàê,eix = cos x + i sin x.Ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà.4) f (x) = ln(1 + x), x > −1. Òàê êàêf 0 (x) = (1 + x)−1 ,f 00 (x) = (−1)(1 + x)−2 ,f 000 (x) = (−1)(−2)(1 + x)−3 = (−1)2 2!(1 + x)−3 , ... ,f (n) (x) = (−1)n−1 (n − 1)!(1 + x)−n =(−1)n−1 (n − 1)!,(1 + x)nòî f (0) = 0, f (n) (0) = (−1)n− (n − 1)!, n = 1, 2, 3, ... è îáùèé÷ëåí ôîðìóëû Ìàêëîðåíà äëÿ ln(1 + x) èìååò âèä:1f (n) (0) n(−1)n−1 nx =x .n!nÏîýòîìóx3x2xnln(1 + x) = x −+− ...
+ (−1)n−1+ Rn+1 (x) =23nnXxk=(−1)k−1 + Rn+1 (x),k=1ãäåkRn+1 (x) = o(xn )Rn+1 (x) =ïðè x → 0 (ôîðìà Ïåàíî),(−1)n xn+1,(n + 1)(1 + θx)n+10 < θ < 1 (ôîðìà Ëàãðàíæà).172Ãë. 7. Îñíîâíûå òåîðåìû î íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõÏóñòü 0 6 x 6 1. Òîãäà èç ôîðìû Ëàãðàíæà äëÿ Rn+ (x)ïîëó÷àåì:1|Rn+1 (x)| 61n+1→0ïðè n → ∞.(7.11)Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî x ∈ [0, 1] ìîæíî âû÷èñëèòü ln(1 + x)ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþ, åñëè âçÿòü ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà äëÿln(1 + x) ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì n.  ÷àñòíîñòè, ïðè x = 1 èìååì:ln 2 ≈ 1 −1 1(−1)n+ − ... +.2 3nÈñïîëüçóÿ îöåíêó (7.11), íåòðóäíî ñîñ÷èòàòü, êàêîå íóæíî âçÿòün, ÷òîáû âû÷èñëèòü ln 2 ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ.Äîêàæåì, ÷òî Rn+ (x) → 0 ïðè n → ∞ òàêæå äëÿ ëþáîãîx ∈ (−1; 0). Âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëüíîé ôîðìîé îñòàòî÷íîãî÷ëåíà:x1Rn+1 (x) =1Zf (n+1) (t)(x − t)n dt.n!0 äàííîì ñëó÷àå f (n+ ) (t) =1(−1)n · n!,(1 + t)n+1ïîýòîìóxZ (x − t)n |Rn+1 (x)| = dt .n+1(1+t)0Òàê êàê −1 < x < 0, òîZ0|Rn+1 (x)| =x1(t − x)ndt 6n+11+x(1 + t)Z0 xt−x ndt.1+tÏîñêîëüêót−x=1+t1−1+x6 1 − (1 + x) = −x = |x| ïðè − 1 6 x 6 0,1+tòî|Rn+1 (x)| 611+xZ0n|x|dt =x|x|n+1.1+x7.
Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà è åå ïðèìåíåíèÿ173Îòñþäà ñëåäóåò, ïîñêîëüêó |x| < 1, ÷òî ∀x ∈ (−1, 0) |Rn+1 (x)| →→ 0 ïðè n → ∞, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Çàìå÷àíèå. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî Rn+1 (x) 6→ 0 ïðè n → ∞, åñëèx > 1. Ýòî áóäåò äîêàçàíî â êóðñå ÒÔÊÏ.5) f (x) = (1 + x)α , x > −1, ãäå α ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Òàê êàêf (n) (x) = α(α − 1) ... (α − n + 1)(1 + x)α−n ,f (n) (0) = α(α − 1) ... (α − n + 1),òîf (0) = 1.Ïîýòîìó(1 + x)α = 1 ++ãäåαα(α − 1) 2x+x + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
