В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу (1108944), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Òîò ôàêò, ÷òî çíàê f 00 (x) îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè, íåòðóäíî óñìîòðåòü íåïîñðåäñòâåííî. Åñëèf 00 (x) > 0, òî f 0 (x) âîçðàñòàåò è, ñëåäîâàòåëüíî, êàñàòåëüíàÿ êãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) ïðè äâèæåíèè ïî ãðàôèêó â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ x ïîâîðà÷èâàåòñÿ òàê, ÷òî ñàì ãðàôèê îêàçûâàåòñÿ íå íèæå êàñàòåëüíîé. Ýòî ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå(8.1), åñëè ïðîâåñòè íåñêîëüêî êàñàòåëüíûõ ê ãðàôèêó ôóíêöèè.Ïðèìåð.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = x − 3x . Èìååì:3f 0 (x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2),2f 00 (x) = 6x − 6 = 6(x − 1).182Ãë. 8. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f 0 (x) > 0 ïðè x < 0 è ïðè x > 2; f 0 (x) < 0ïðè 0 < x < 2, f 00 (x) < 0 ïðè x < 1, f 00 (x) > 0 ïðè x > 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò ïðè x < 0 è ïðè x > 2, óáûâàåòïðè 0 < x < 2, à ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) íàïðàâëåí âûïóêëîñòüþ ââåðõ ïðè x < 1 è âûïóêëîñòüþ âíèç ïðè x > 1 (ðèñ.
8.2). Âòî÷êå M (1; −2) ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ âûïóêëîñòè.Òàêóþ òî÷êó áóäåì íàçûâàòü òî÷êîé ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà M (a, f (a))yãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà ãðàôèêà, åñëè:1) â òî÷êå M ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó;2) ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè a, â êîòîðîé ñëåâà èñïðàâà îò òî÷êè a ãðàôèê èìååòðàçëè÷íûå íàïðàâëåíèÿ âûïóêëîñòè.Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî â òî÷êåM ãðàôèê ôóíêöèè èìååò ïåðåãèá.021-23xM-4xÐèñ.
8.2.Òåîðåìà 4 (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ïåðåãèáà). Åñëè ôóíêöèÿy = f (x) èìååò â òî÷êå a íåïðåðûâíóþ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþè ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè èìååò â òî÷êå M (a, f (a)) ïåðåãèá, òîf 00 (a) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òî åñòü f 00 (a) 6= 0.Ïóñòü f 00 (a) > 0 (ñëó÷àé f 00 (a) < 0 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). ñèëó óñòîé÷èâîñòè çíàêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåòîêðåñòíîñòü òî÷êè a, â êîòîðîé f 00 (a) > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåîðåìå 3 ãðàôèê ôóíêöèè íàïðàâëåí âûïóêëîñòüþ âíèç êàê ñëåâà, òàê è ñïðàâà îò òî÷êè a, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïåðåãèáó ãðàôèêàâ òî÷êå M (a, f (a)). Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òîf 00 (a) = 0. Òåîðåìà 4 äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Óñëîâèå f 00 (a) = 0 ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íåîáõîäèìûì,íî íå äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè âòî÷êå M (a, f (a)).
Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = x óäîâëåòâîðÿåòâ òî÷êå x = 0 óñëîâèþ f 00 (0) = 0, íî â òî÷êå M (0, 0) ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè y = x íåò, ïîñêîëüêó f 00 (x) = 12x > 0,è, ñëåäîâàòåëüíî, ãðàôèê íàïðàâëåí âûïóêëîñòüþ âíèç íà âñåéïðÿìîé.4422. Íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè è òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè183Íàçîâåì òî÷êàìè âîçìîæíîãî ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèèy = f (x) òàêèå òî÷êè M (a, f (a)), äëÿ êîòîðûõ ëèáî f 00 (a) = 0,ëèáî f 00 (a) íå ñóùåñòâóåò, íî ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêóôóíêöèè â òî÷êå M (a, f (a)).Äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ òî÷åê âîçìîæíîãî ïåðåãèáàòðåáóþòñÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè.Òåîðåìà 5 (ïåðâîå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïåðåãèáà). Ïóñòüòî÷êà M (a, f (a)) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé âîçìîæíîãî ïåðåãèáà ãðàôèêàôóíêöèè y = f (x) è ïóñòü f (x) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a.
Òîãäà åñëè â óêàçàííîéîêðåñòíîñòè ñëåâà è ñïðàâà îò òî÷êè a f 00 (x) èìååò ðàçíûå çíàêè,òî â òî÷êå M (a, f (a)) ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) èìååò ïåðåãèá.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè ñëåâà è ñïðàâà îò òî÷êè a ãðàôèê ôóíêöèèy = f (x) èìååò ðàçíûå íàïðàâëåíèÿ âûïóêëîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, M (a, f (a)) òî÷êà ïåðåãèáà ãðàôèêà.
Òåîðåìà 5 äîêàçàíà.Ïðèìåðû.1) y = x − 2x . Èìååì:43f 0 (x) = 4x3 − 6x2 = 2x2 (2x − 3), f 00 (x) = 12x2 − 12x = 12x(x − 1).Òàê êàê f 00 (x) = 0 ïðè x = 0 è x = 1 è ïðè ïåðåõîäå ÷åðåçêàæäóþ èç ýòèõ òî÷åê f 00 (x) ìåíÿåò çíàê, òî, ñîãëàñíî òåîðåìå 5,òî÷êè M (0; 0) è M (1; −1) ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ïåðåãèáà ãðàôèêàôóíêöèè y = x − 2x .Çàäàíèå.√ Ïîñòðîéòå ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè.2) y = x . Èìååì:1243313f 0 (x) = x−2/3 ,29f 00 (x) = − x−5/3 = −2√39x x2,x 6= 0.ßñíî, ÷òî f 00 (x) íå ñóùåñòâóåò â òî÷êå x = 0 è èìååò ðàçíûåçíàêè ïðè x < 0 è ïðè x > 0.  òî÷êå√ O(0, 0) ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = x (êàñàòåëüíîé ÿâëÿåòñÿîñü Oy ).
Ñëåäîâàòåëüíî,√ òî÷êà O(0, 0) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáàãðàôèêà ôóíêöèè y = x .3) ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = f (x), ãäå33f (x) =x2 , åñëè x > 0,−x2 , åñëè x 6 0.Äîêàæèòå, ÷òî f 00 (0) íå ñóùåñòâóåò, íî òî÷êà O(0, 0) ÿâëÿåòñÿòî÷êîé ïåðåãèáà ãðàôèêà äàííîé ôóíêöèè.184Ãë. 8. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâÒåîðåìà 6 (âòîðîå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïåðåãèáà).
Åñëèôóíêöèÿ y = f (x) èìååò íåïðåðûâíóþ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ âîêðåñòíîñòè òî÷êè a è òðåòüþ ïðîèçâîäíóþ â ñàìîé òî÷êå a,ïðè÷åì f 00 (a) = 0, f 000 (a) 6= 0, òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) èìååòâ òî÷êå M (a, f (a)) ïåðåãèá.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f 000 (a) > 0 (ñëó÷àé f 000 (a) < 0 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Òîãäà f 00 (x) âîçðàñòàåò â òî÷êå a,òî åñòü ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè a, â êîòîðîéf 00 (x) < f 00 (a) = 0 ïðè x < a è f 00 (x) > f 00 (a) = 0 ïðè x > a.Òàêèì îáðàçîì, f 00 (x) â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè èìååò ðàçíûåçíàêè ñëåâà è ñïðàâà îò òî÷êè a. Ïî òåîðåìå 5 òî÷êà M (a, f (a))ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x). Òåîðåìà 6äîêàçàíà.Ïðèìåð.
y = x + cos 2x. Èìååì:2f 0 (x) = 2x − 2 sin 2x,πf 00 (x) = 2 − 4 cos 2x = 0 ïðè x = ± + πn, n ∈ Z,6 ππf 000 (x) = 8 sin 2x, f 000 ± + πn = 8 sin ± + 2πn 6= 0.63Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êàõMn± π2π± + πn, ± + πn + 1/266ãðàôèê äàííîé ôóíêöèè èìååò ïåðåãèáû. 3. Àñèìïòîòû ãðàôèêà ôóíêöèèÎïðåäåëåíèå. Ïðÿìàÿ x = a íàçûâàåòñÿ âåðòèêàëüíîéàñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x), åñëè õîòÿ áû îäèí èçîäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâlim f (x)x→a−0èlim f (x)x→a+0ðàâåí +∞ èëè −∞.Ïðèìåðû.1) y = 1/x. Ïðÿìàÿ x = 0 (îñü Oy ) ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîéàñèìïòîòîé ãðàôèêà äàííîé ôóíêöèè, ïîñêîëüêólimx→−01x= −∞,limx→+01x= +∞.3.
Àñèìïòîòû ãðàôèêà ôóíêöèè1852) y = 2 /(x− ) . Ïðÿìàÿ x = 1 âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòàãðàôèêà ýòîé ôóíêöèè (ðèñ. 8.3), òàê êàê111lim 2 x−1 = +∞.x→1+0Ðèñ. 8.3.Îòìåòèì, ÷òî1lim 2 x−1 = 0.x→1−0Çàìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ y = 1 òàêæå ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè, íî ýòî àñèìïòîòà äðóãîãî òèïà.Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà íà ïîëóïðÿìîé (a, +∞).Îïðåäåëåíèå. Ïðÿìàÿ Y = kx + b íàçûâàåòñÿ íàêëîííîéàñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ïðè x → +∞, åñëè f (x)ïðåäñòàâèìà â âèäåf (x) = kx + b + α(x),ãäå α(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ ïðè x → +∞, òî åñòülim α(x) = 0.x→+∞Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàêëîííàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè ïðè x → −∞.Ïðèìåð.y=x2 + sin x.x186Ãë. 8.
Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâÒàê êàêx2 + sin xsin x=x+= x + α(x),xxãäå α(x) = sin x/x áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ ïðè x → +∞ (èòàêæå ïðè x → −∞), òî ïðÿìàÿ Y = x íàêëîííàÿ àñèìïòîòàãðàôèêà äàííîé ôóíêöèè ïðè x → +∞ (è òàêæå ïðè x → −∞).Çàäàíèå. Èçîáðàçèòå ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè.Òåîðåìà 7. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðÿìàÿ Y = kx + b áûëà íàêëîííîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ïðè x → +∞,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè äâà ïðåäåëà:f (x)=kx→+∞ xlimèlimx→+∞f (x) − kx = b.Äîêàçàòåëüñòâî.Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ïðÿìàÿ Y = kx + b ÿâëÿåòñÿ íàêëîííîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ïðè x → +∞, òî åñòüf (x) = kx + b + α(x),ãäå α(x) → 0 ïðè x → +∞.
Òîãäàf (x)bα(x)= lim k + +x→+∞ xx→+∞xxlimlimx→+∞= k,f (x) − kx = lim b + α(x) = b,x→+∞÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ñóùåñòâóþò ïðåäåëûlimx→+∞f (x)=kxèlimx→+∞f (x) − kx = b.Ïîëîæèì α(x) = f (x) − kx − b. Òîãäàlim α(x) = limx→+∞x→+∞f (x) − kx − b = 0.Òàêèì îáðàçîì, f (x) = kx + b + α(x), ãäå α(x) → 0 ïðè x →++∞. Ýòî è îçíà÷àåò ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî ïðÿìàÿ Y = kx + b íàêëîííàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ïðè x → +∞.Òåîðåìà 7 äîêàçàíà.Ïðèìåðû.1) Ðàññìîòðèì ãèïåðáîëó, çàäàííóþ óðàâíåíèåìx2y2−= 1.a2b24.
Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé187Âîçüìåì åå âåòâü, ëåæàùóþ â 1-îì êâàäðàíòå:y=bp 2x − a2 ,açäåñü f (x) =bp 2x − a2 ,ax > a.Èìååì:f (x)b=x→+∞ xalimèlimx→+∞Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿb f (x) − x = 0.abaY = xÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ïðè x → +∞.Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ 3 äðóãèå âåòâè ãèïåðáîëû, êàæäàÿèç êîòîðûõ èìååò àñèìïòîòó.2) Ðàññìîòðèì ïàðàáîëó, çàäàííóþ óðàâíåíèåìy 2 = 2px.Âîçüìåì åå âåòâü, ëåæàùóþ â 1-îì êâàäðàíòå:y=2px ,px > 0.Äîêàæèòå, ÷òî ýòà âåòâü ïàðàáîëû íå èìååò àñèìïòîòû ïðè x →→ +∞ (àíàëîãè÷íî, íå èìååò àñèìïòîòû ïðè x → +∞ è äðóãàÿâåòâü). 4. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèéÎáùàÿ ñõåìà èññëåäîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ôóíêöèè y = f (x) èïîñòðîåíèÿ åå ãðàôèêà.1) Íàõîäèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x).2) Íàõîäèì àñèìïòîòû ãðàôèêà ôóíêöèè.3) Íàõîäèì ïðîìåæóòêè ìîíîòîííîñòè è òî÷êè ëîêàëüíîãîýêñòðåìóìà ôóíêöèè (ñ ïîìîùüþ f 0 (x)).4)Íàõîäèì ïðîìåæóòêè, íà êîòîðûõ ñîõðàíÿåòñÿ íàïðàâëåíèåâûïóêëîñòè ãðàôèêà ôóíêöèè, è òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà (ñ ïîìîùüþ f 00 (x)).5) Èññëåäóåì äðóãèå îñîáåííîñòè ãðàôèêà ôóíêöèè (òî÷êèïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñÿìè êîîðäèíàò, ÷åòíîñòü èëè íå÷åòíîñòü f (x), ïåðèîäè÷íîñòü f (x), îñè ñèììåòðèè ãðàôèêà è ò.ä.) 6)Ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè, îïèðàÿñü íà ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ.Ïðèìåð.
y = x e−x .2188Ãë. 8. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: R = (−∞; +∞).2) Àñèìïòîòû: à) âåðòèêàëüíûõ íåò, ïîñêîëüêó f (x) = x e−xíåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ; á) íàêëîííûå:2x2 e−x=x→+∞ xlimlimx→+∞0 ⇒ k = 0,f (x) − kx = lim x2 e−x = 0 ⇒ b = 0.x→+∞Èòàê, y = 0(îñü Ox) àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè ïðè x → +∞.Íàêëîííîé àñèìïòîòû ïðè x → −∞ íåò, ïîñêîëüêóx2 e−x= −∞.x→−∞xlimÎòìåòèì òàêæå, ÷òîlim f (x) = lim x2 e−x = +∞.x→−∞x→−∞3) Ïðîìåæóòêè ìîíîòîííîñòè è òî÷êè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìàôóíêöèè.Òàê êàêf 0 (x) = (2x − x2 )e−x = x(2 − x)e−x ,òîf 0 (x) = 0 ïðè x = 0 è x = 2,f 0 (x) > 0 ïðè 0 < x < 2, f 0 (x) < 0 ïðè x < 0 è ïðè x > 2.Ñëåäîâàòåëüíî, f (x) óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ (−∞, 0] è [2, ++∞) è âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå (0, 2).
Ïîýòîìó x = 0 òî÷êàëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, à x = 2 òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìàôóíêöèè, è fmin (0) = 0, fmax (2) = 4e− < 1.4) Íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè è òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè.Òàê êàê2√f 00 (x) = 2 − 4x + x2 e−x ; òî f 00 (x) = 0 ïðè x = 2 ± 2 ,√√f 00 (x) > 0√ ïðè x < 2 −√ 2 è ïðè x > 2 + 2 , f 00 (x) < 0ïðè 2 − 2 < x < 2 + 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàôèêôóíêöèè√ íàïðàâëåí âûïóêëîñòüþ âíèç íà ïðîìåæóòêàõ −∞, 2 − 2√è2 + 2 , +∞è âûïóêëîñòüþ ââåðõ íà èíòåðâàëå5. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå êîðíåé óðàâíåíèé189√√ 2 − 2 , 2 + 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
