В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 80
Текст из файла (страница 80)
е. ридfk! (I)kрагходиегсZl. В ка'1еСП1"расход 1егсм дли люб11Г"'=1>ванног "" ;~начения.. '4fвлеТВОРЯЮЩ1'ГО HepaB1'HcTBf'е. По 1чет 1fЮ'М,11еп ,греДГ1'веЮ1аи пр"ш'рка 1'01'0, Ч1'О k-йрасс,"а1'р"шаеf Н 'Г" ридане стремитсянулю при'f,является ;~11ТРУДНИТ1'ЛЬН,,1.Применим кр 1ссмаТРИВ11ем 'Mf' т'ядf' ПРИЗН11К ДаЛ11мбеР11. Об 'ЗН11чая k-й член этого ря-Д 11 через а1,РаС';()'fИМОСТЬ ряиметьralak+11 =а1 ''Щ<11;~;ша.Ixl(1 + ~) k 'ОТf"Д11'lill1 lak+11 =k-+oola1l1El > 1.еРЯ.lOВказатряд(1:\ 77)ли ИЗftе i ТН!', чтt,являt·т(яН!$; Гср н таЮt tей и бесюшечнt,сумму··'Т' ,гс'порядка В2 пря.
[аIPl - Рп+-+ (Р2n··········,+Pf)- Р2n(1\.Так как каждая кр\тлая CKof)Ka в (13. (8) неотрu!?ателЪ1-/л 1ясю. 'fТO ffрИ возрастанииfюслеДОЕателnюстьтоне убы-аает,tугОЙ стороны. В2n можно переписать в ви [еС= Р - (Р2 - Р:З) - (Рl - Р;) - ... - (Р2n-2 - P2n-lii,- Р2п,~ Pl. Ta~1i OfO Ю\fера n б\-деf В2 потю\-да Оifевидно, что для[<им образом. последовательность 'Четных частичных сумм В 2nне \·Г,ывает и ограНИifена сверху. В сил'·TeOpe\ff,1 3.15ювательность СХОДИТС!f к некоторому числу В.
т. е,эта fЮCffе-limВ2nВ.n-J-CXJ+И. очеви. [ного равенства B2n - 1В2n12n и из того. чтоliIll Р2пО, Bf,IТeKaeT, 'fТOllоследовател ,f юсть не'Четн'ыхn---+хI В2П - C-:ОДИ'f ся к тшр· же 'шс.лу В. . е.В. Та 'им обра юм. вся после ювательность {Вn }'fаСТИ'Шf,1Х суммlimВ2n -СХО. fИТСЯВ.3 а м е ч а н и е 2. ПРff доказате ff,CTBe теоре ·.ff,1 13.14 [,1обнаружили. что пос.ледовательность 'iemH'bti частичных суммВ2 ..} сходится к пределу В не убывал.(Р2 - Р:з - (Р'ь - РБ) - ... - (Р2n-2 - P2n-l)B2n - 1 = Pl вытекает.чтоAf fаЛОГffЧf ю из paBef [С, ваfe'feTH ,1Xпос.ледовательност'чаСТИ'f[ысумм{В2n - } СХОДИТС!f к пре.
fелу В не возраста i .Таким образш.!для любогоЮ\fераn~ В ~ В2П - .(13.79)llоскольку В2n 1 - В2n - 12n и. неравенств (13.79) вытеfiает,что В - В2 п ~ Р2п и B2n - 1 ~ Р2п ~ P2n-l. Те! СЮ.ff,1М[,1получаем, что ДШf любого номераnсправедливо неравенство(13.80)Неравенство(13.80)широко исполь.уеТС!f ДЛ!f прибли.ж:енныхвы'шс.ле ffiЙ с fЮМОШЬ С, рядов.iiачестве Щ tимеl саpaCCMoTl tимуже неОДНО·l атно фигYl tировавший выше p!rд00"'_-----:'-_.-_'~=1--+~-~+234...
+(_1)1-1k+ ...k=1)Бсле 'СТВИi' ТОГ'.что {рс} Нi'BOiPi!CT<JA'T, Т.р,? рс.+ 1.(13.Ю)iГ{1Н,ПОЛlНЫХ ря..·ЮВ457что ряд (1:\:Ч) яв. шеi ся ряд()м Лейбница, а П1(·1ТО··:ОД;iМ()СТЬ 1ТО щ,гукаст из Т""ремы13.14.Пусть, Н:ШРilмер,ну.ж:но вычислить сумму ряда ( 3 8! ), т. е. число1стью Д1'силуi.енки ( 380) ··1Т:; суммаН11' Тi,Ю С" f1 iiада,т с В11т,2.1 - ~2-+ -'\ -~4Признак Дирихле-Абеля.+,'Ст()чн()-IIIН]iaHOBiения еще Од!;0-ГО тою\ого Щ ;ишака сходимости рядов выве.
[.ем о. [.НО интеl ;есноетождество, представляющее соСюй аналог формулы интегриро~вания по чаСТ\iМ. ПустьiiРШiЗВОЛ ,iiЬie 'ШGтrа,'и2, 'Uз,...,/11,и1=1'1 1'2"З ... -+ 'и2 + ... + и п ,рn-HO~мера. Тог [а справедливо сле. iующее тож. [.ество:п+рLп+р-1'Uk ' kSkk=nВn+!/и n + р'Uk+1)Вn-1 ' n·-(1::.82)k=nТождест;.о (13.82) обi,pj 10 называ;С1Т m.о:ждесm.вом Абеля 1).Ы в о Д т о ж Д е с т в а А б е лУчтем, что 'Uk- SI.и подставим это значение Uk в левую часть (13.1'~2).llолучимn+рn+рn+р-LL'UkVk = Lk=nв ПОGлеДiнияk.сумме уме; ;ЬШiiМk=nединиц,'iaiдекссуммирова-Получимn+рn+р'Uk'Uk = LLk=nk=nSk'Ukk=n-1k=nп+р-1Lп+р-1+ Sn+pV n+ p -I.=nLSI.
Vk i 1 -Вn-Vnk=nn+р-1Lkn1) Если рав;'НСТВО (13.82\ пет '·писать в ви';""рL(5;1 -k=111'0 ссган Ш!1СГСzt о';еВИДН1,IМ,k=nпреобраз '"аiiЮ' Аб;·л;; юш;;есгсztсущесп;\'фогм\'лой с\'ммигования по частям, ПГ"дставляющ;'Й собо,,' р ;;~ностныйан;;л;;г формулы интегрир;шания ш; ч;;стям.РЯ.lOВшшучB[,lpa;li; ни;'[Л[·[ем с,iмытожд; ст!Теоре,м,а;!сов [,!Да[с,'еееАб; ля док iзаН;l(при: ННn13.lycmb00Li(1\.831k!'kkЭтот1)СХОi)uтс,я. еСЛil в'Ьtnол1-tе1-t'Ы сле, i ую иие два условuя:nnс <едn ;аmе i'i,'/-/,ncmb {'!'k}Jl i./!Jlеmсяне ;О.JjЮ,i таЮ'U.;,е'ЙбеСnО1-tе'Ч1-tО малоii:асLстU'Ч1-t'blХнмеет o.'pa1-t'U'Ч,1-t1-tУiО НО; деСiOвате ib1-tО;:m'i· 'Ча-k=1CYJvlM,оказателасряда>LЩ.
По УСЛОВf[Ю С\'щес ; вует такое ч [СЛО ]1.;1>k=1О, чтоISnl~ м дш[ всех номеров 'п.>силу критерия КО ШIдостаточно доказать. что для любого ЕО найдеТСi[ номертакой, что при n ~ N и дш[ любого натл iального рNП+РL 'Uk'Ukk=n> О.дано любое< .(1::.84)Так как последовательностьется бесконечно \fалоijне возрастае'f{Uk}являто для положительногочисла 2~! найдется НОМе'; N такой, что0:<-...;:,<_Е_'/;п.(13.85)2111iименим теперь длi[ оценки в;'личины, стоящ; Й В левой части,тождество Абеля13)~2). Уч [л,шая.
'!то \fOД\'ль[,1нес;;олы:их величин не превосходит суммы их мо. [улей, мо. [ульffРОИЗЕедения раве[ffРОИЗЕедени;с, \fOд\лей и чтоVkVk i 1,[fo-лучимn+рп+р-1Lifk'Uk ~ LISkl('Uk -'иН1) + ISn+pk=nk=nв правой части3.86) воспользуеМСi[ неравенством ISnlсправе. [.ливым~N1,псе! номеров 'п, Получимn+рL UkVk ~k=n(13.87)д rлее, замеТИ\1р:шн:r V{iЧ'f<умма,l'ТI'ящ:rя в фИГУРffЫ<ю,бкаТl'ЧfВ т:rю ,М'f\'ч:rе н1 р:! ;"НСТ!," (13,,~7) ffрИНИ "f:reT'и fVk~(138{~2Mv nk=nТеперь, если в ffравой'faCf и13.8'~) ВОСllОШ,ЗОЕаться неравенством (13.8~,), получим, что при n ~ N и ДШf любого натурального р Сffраведливо fepaBeffcTBo (lЗ"~4).
eopefa доказаffа.3 а м е ч а н и е. Теорема 13. 4 (пришак ЛейБНИllа) являеТС'fчастным случаем теоремы 13.Прие р11 + "22при)1)k-1.Исследовал, на СХОДИ\fOСf;1.[,1.12- "3 + 4" + "5 - "6 + ... + 3n -2Уr<а;анный ряд можно fассматривать1vkU1, 'и21 и;-2, 'и4= -,==Очевидно что:2+ 3n -3n1 -видаr<ari= 1G"еду \iЩИЙиБ1,+ ...( 3.83) при'и6обладает= -2, ...после fOва-1.=1тельностью частичных сумм:= 2, 56 =Яf ляетсяО,CfecKo [е'!5;1 52последовательность,fo мало!'!.
По теоремеIVk}5з54 - 1не возрастает ирассмаТРЮfаемый1:\.15СХОДИТС'f.2 . В f,IЯСНИ .,! BOffPOC~ C1iSО СХОДИ\fOсти ряда ~-k-'-,где х-неко-k=lторое фю<сированное вещественное число. llользуясь обозначеНИЯМf·f Teopeff,1 13.15, ffOЛQ;!. ;·fM Uk = cos kx: Vk = l/k. Оценю'!последовательность частичных сумм5nLрядаUk. llосколькуk=fЛЯ любого ном!sin ( kаk+ "2) х -~) х: =sin ( k -ТО, сумм fрУЯ ЭТО сои; ношение [foko'f2 sin ~ cos kx,1до 'п, fIO.ЛУ'ШМ. ,r25n ЮН-.k!1))чеви,цН1i что РЯf2:=k=1и00L(-lf k 1 = 1k-11iГРfШИЧf'ННУЮ ПОСЛf',цов 1Тf'ЛЬН ,сть частичных с\'мм.111+ ...имеетря..·ЮВОТСЮfаSI!!аЮ·fHOClhоС,раз"м, для люб"г" х, не 'Крат'югочаСIИЧНЫХ сумм 8 n Оl'раничсна:~SnПо теореме·лш';ен'u"13.152;"1I;;in; l'рассмаТРЮiаемый ряд сход'uтсл длл любого,не 'Кратного21[.Если же х 'Кратно21[то;ассмаТРfшаемый ряд превращаеfСЯ в гармонический к как доказаfЮвы не, расходится.§ 6.Бz:СКОНz:ЧТТ i,Hfiрои:шz:дения1.
Основные ПШt1.i'Т'ИЯ. К понятию числового ряда бли;;<оiiРИ\i [,IКaeT поня iие бес'Коне'Чного 'Ч'uслово,'о nро'uзведен'uл. П,'ст,дана бес <онечна,f числова,f последовательность 'иl, V2, ... ,'Uk, ...Заiшсаf юе фор ,iально выражеf ;ие вида(х)VI V 2 V :З··· Щ... =п Vk(13)~9)k=принято называть бес'Коне'ЧНЪUvt nроизв;;дением. Отдельные элементы ;'k Щ ;инято на';ывать членами [анного бес;<онечного Пl'Оизведеf;ifЯ. 'ПроизведеШfе iiepBf,IXn 'шенов да; ЮiО С,еСКОfiеЧfЮiОщюизве. fения ПРИНifТО на;ывать п-м частичным прои;ведениеми обо;начать символом Рn:nП'Uk'k=lБесконе'шое iiРОИЗiiедение13)~9) называ,;л сходЛЩ'UJvtСЛ, ес.Шfпосле. ювательность частичных Щ юи:ве. fений Рn имеет ;<онечный предел Р, оп;л'u'Чныii ОП; нул~ 1). в СЛ\'чае сходимости ; 'ес;<онечного прои;ведеНИif (13.89) указанный предел Р называютЗНа'чен'uеJvt этого бес'Коне'Чно,'о nро'uзведен'uл.
т. е. Шflli\ тР= П Vk·(13.90)k=lТот 'j"bl'T. чт" при Р = о с;еск 'нечное пу "lBBe.'j' ню' принято считатьрасход.ящu.мс.я, х"и f1()СИСГ :·,с, 'jШЫЙ XapaKCГj'p, ,Ю, как М,,! ,'види,,ПО;~ВОЛЯj'Т провести Чj'ТК, юнеЧНЫ'j ПР"lвве'j' ниЙ.; !налоги ",ме)кд:,' СХjЩИМОСТЫ" РЯ'j 'в ИCjeCK"-4616Лf·1Ш1,СХОДЯЩi'fОi Ябесю ,неЧНi)ГiiffРШ1звед, ·ния.СНО,дляР Н(МО1Tiiтрение бес!;, ,нечных ПрiШЗВi' 1i'НИЙ Пii существу пред<таВЛi1,'Тсобой нов\'!" форму и i\'чения '1ИiiiiЩ,1Х последовате.'fЬНii' (i'Й,ибii 1i.а.Ж:ДОМУ 1,ШНОМУ беС1i.онечному пр, ,кшедениюfНозначнос',iiTBeTifTyeTiiiСТЬТИ'fН1,1Х ПРОИЗЕеде1fИf.1и каждой числовой llОС.ттедовате.'1ЪНОСТИто} юй отличны от HY,ТJ(1ffРШ1зведение,для0.1нозначно соответствует беС1i.онечноекоторогопосле. ювательностьюrP k 1, все элементы коэта11ОследоватеШ,11ОСТЬчастичныхпроишеденийполо.ж:ить члены бесконечного про и шедеНИi1Яfшяется(.
юстаточноPkiавными 'Uk= Р,).6.k -+'о k~po 'Чл, н,а приД о к а з а(! 3.89)li1lJk--+xсуНеобходШvtъtii условием сходшvюсти бес'Ко~(13.89) "6.1, "emi' сm .II'млен,'Ui 'к00.е л ь св О.П\СТ11,ecK01fe'11Ое произведе1;f1есходится и имеет значение Р, отличное от нуля. Тог 1а'k_ 1 =li1l1сествует иi= О. Поско. f1ЖУ'k =k--+xVk =Pk •Pk-I 'то liшVkk--+x,авен единице.За\fеТf1М, что на С:':ОДf1МОСТЬ1,еСК01 ;е'1 1010ffрОf1зведения н,евлиJlет у.1аление люf!ого 'Кон,е'Чн,ого 'Числа членов этого произ~ведешfЯ'Член,K01fe'1 10, среДf1 ЭТf·1Х чле11ОВ нет paBНi,1X н\'Лю).1,ecK01fe'1 1Ое произведе1ше, у которого ',:отя б1,1 один,(если,Поско. f1ЖУ,авен нулю,согласно Пl'инятомутается расходл'Щимсл, то мы в далpaCCMnmji,'H'UJl б,'Cf;он,,''Чн,ыеодин, 'Член, рав,:н, н,улю.ПрмеР1,11.(х;',есконечхвыше определению,счи~fейше\1 f'ООСlще 'UС'КЛЮ'Ч'UJvt 'UЗ'Кот i1 ' iol:! l(от" быыхроизхх"4 ... cos 2 kcos 2 k = cos "2 cos•••едеи(13.91-;11;'юе фиксированноеДокажем, что беС1i.онечное п; юизведение'ilП Х( 3.9 ) СХО.1ИТСЯ Иllодсчитаем n~e частичное произведениеимеет значениехnУмно.ж:аil обе части=хcos - COS 22 ...
cos.(13.92)на siIl 2 n и последовательно исполь~1войного угла ;;iп 2у - 2 SiIl У COS У. по~(13.99)формулу ДЛil синуса2nл\'чим-2nSlП1':.ря..·ЮВф 'рму. f[,1Iз послеДf)SI11,rхllо(кольку выра)ксни;' в фигурных Сf.f.оБКiХ (тр;'мит(я КfИНЮfi'приlimn00(в силу первого;амечательного предела), тоn---+ооЮ11Хсуществует и равен--.РnТем самым доказано, что бес .f.онечноехffРОИЗf едение2.13.91)с:од пся и имеет значение00[1-~--,-,-=1.=2п(k"111Х~(k){k 1~ 2)k=2142(k - 1)5(k2)(13.93)-k-·-'(kl)'"2'З'З'4Докажем, 'по бесконечное произведеfше1;'т;начениеРnfсчитаем-частичное2,и име~1 2 3n-1 4 5 Gn+21 n+2= - ' - ' - ... - - ' - ' - ' - ... - - = - ' --о2 3 4n3 4 5n+1n3После этого очеШЩfЮ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
