В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 81
Текст из файла (страница 81)
что!авен(13.93) с:одитсяш юизве. [; НЮ' Рn :n---+ооliIlln[n32 с\'ществует иСвязь \fСЖ/f,у ССf!/f,И\ЮС'fЪЮ беСКШfечньг\ний и рядов. Если СfеСКОffеЧfюе ffроизведеfшето в силу теоремы3.16все члены его 'ukfроизвсде(13.89)с>:одится,начина,f снекоторогономера k, полож:ительны 2). llоскольку конечное число первых'fленор ВООСfще [е влияеf [а С>:ОДffМОСТЬ бесконе';ного ffРШfзвеfения, то при и!учении вопроса о схо. fИМОСТИ беСf.f.онечных щю~изведений мы, не ограничивая общности, можем рассматриватьлишь такие БССf.f.онечные пIюизв;' fения, у которых псе 'Чле1-t'Ы !!олож'uтеЛЪ1-t'Ы.Теорема 13.17. ДЛJl то" ';то ''Ы (ef'X:mte"i1-tое !!fю'u:юеJе?!ш~(13)~9! с nолож'uтеЛЪ1-t'Ыми 'Чле1-tами сход'UЛОСЪ, 1-t~обход'UJvЮ 'и,)остато'Ч1-tо, 'Что, ''Ы сходиЛСJl РЛ')00(13.k=lМы считаА'М.
ЧТОраню,! единищ'.2Ибо liш vk =k--+'X::1.i=о. Если= О. ТО все ЧЛf'НЫ (13.91) и' го !~начение6!'ЛУ"!Ш сх()(Jшvюгсу.мJvЩUЗ6iде1-tUЛ 13)~9) свлзШ/!!ы !jюр.мулоiiРДотель'!асти'!Н\ !С, сумму рядаnро--(1::,9~!()б!/значив через Рnтв!!р, ,!,!:~B! Д! ни!' [,есю ,!!еч!13 94)(1:\!!р,,!!:~в/'д/'ниячастично!',~9), а '!ерезn-13.94), можем за шсю!в с!шу не!!рер ,IВности !юказательной ф\'нкции для рсе: зна~ченийдляal !гументаи нещвсе:!ы!ывности логаl !ифмической функцииз!!аче!ш!!ар!\'/!ента,последовательность Рn схо, !.Ится тог, Щ И только тогда, ког, Щ схо, !.Ится Вn, при~чем если lim Вnn--+ооВ, то lim РnеВ. Теорема юка!ана.n--+оо!и исследовании на сходимость бес!<онечного щ юизве, !,енияоказывается очень \ доС!ным представить это бес!<онечное произведение в виде(J::.96)k!и этом,!<онечно,в соответствии с прин!!тым выше пре, !Лоло~)кением, мы считаем, что все 'uk-1.13.17 утвер!кдает, '!то !юпрос о с:<од!!мост!! !!РОИЗЕе(13.96) э <вивалентен вопросу О схо !имости рядаеоре!а!енияL !п(1 +(1).97)Uk)'k=lТеперь!,1 можем доказать еще од ю утвер!кде !!!е.TeupeMZГ, 13.
8. Вслu все 'Ukпо 'КраЙ1-tей Jvtepe 1-tШЧ'U1-tал сне'Котnро),! 1-tочера k) СО:i:РШ! "ютU тот JlCe ,j1-tan, то !!jjJlcxoauMocnJ'u беС'КО1-tе'Ч1-tого nроuзведе1-tUЛ(13.96)1-tеобход'UJvЮ 'и дo~стато'Ч1-tо, 'Что, ''Ы сходuлсJt р.я:)(13.9{~д о к а з а т е л ь с т в О.Поско,! !,куjсло!шеUk = О ЯЕ~k--+xляетс!! необходимым и ДЛ/! сходимости!а (13.98), и !ля сходи/юсти произведеш!Я (13.96), мы можем с:штать это услоВ!!евыполненным как при доказательстве необходимости, та!< и приюказательстве достаточности.
Но и! указанного условия и изря..·ЮВ+ о(у)иli,"Ukk~;; 111 (1+, k)1.(13.100)Поскольку по условию теоремы все ч. [ены рядов (13.!Л) и(lЭ.98), начиная снекоторого ноыера k, сохраняют один и тот)ЕГ знак, условия (13.9<)[ и (13.100), в силу слетствия из тсореыысран[[е[Ш>i[Ю'f1iОЛЯfОТ УЛiеР,f'лат[" что р>л ( ::.98) CXO,Jl,[1Tся Tor,Jl,a и только TOr,Jl,a, Kor,Jl,a СХО,Jl,ится ря13.!Л). Теореыаюказа11а.При м еры.теоремы1)Из расхотимости гарыонического РЯ,Jl,а и израсхотимость сле,Jl,УЮЩИХ беСК011еч 1[,[Х3.18 1i[,['1eKaeTпроизветений:(х)k+i) =(1 -(1 -~) (1 -3) ...
(1 - k+i) ...j,=lЛегко понять, что первое из указанных произве,Jl,ений расхо ШТ+00,ся к2)аа второе к нулю.Из той же теореыы> .1i[,[TeKaeT13.1Sи из СХО,Jl,ш\юсти РЯ,Jl,асхотимость [1Р[1 а>13.33)приc.:-rе,Jl,УЮiiШХ бесконечНf,[Хпр' 'изве'тений:ft[1 - (k: 1)"] = (1 -~ ) ( 1 - з1 ) ... ( 1 -(k 1) ...k=lТак же как и ,JI,'Ш РЯЮВ,ТЛЯ j,есюшечных произве тений BBO~штс;; ПОII'.i'1ие абсолюrnJ-tо'uУСЛО6J-tо'u схотимости. БеС[ЮIIе'нюепроизветение (13.96) называется а{!СО,j,юrnJ-tо сходЯЩUJl"'СЯ в тоыИ тош,[ю то' СЛ,'Iае. [iО1ла СХО,Jl,[ПСЯ абсош;;тно р>л () 3.97).
Теореыы Коши1См.13.11§ 7 гл. 4.и Римана13.10позво.'шют заключить, чтоаБСОЛj(УТНО сходящеес'""' произ :~едеНjlе рбладао'"'""" iУf(''f'}(',месrn'U,}л'-' 'f:'/f~'НЫ.М С1ЮИСТRО:.;,R тонр; м;тУСЛ()1;НО сход;тщ; ;'ся f1РОИ':1:еден;н~з::ведоыо Ш\I н;' о{:лад :ет,00L IUklказать, что ря,J!,k00схощтст ряL1СХО,J!,ится тогда и только тогш, когда1(1+1· Это иосле Тffee легко нытет;аетk=1с\;ществования ире,J!,елов(13.99)и(13.100).Детали Jассуж тенийиреюстав:шем читателю.В заключение рассмотрим еще несколько ириыеров.1о.
Рассыотриы (:есконечн;;;' ироизве,J!,ение.,х-13.101)3271"200Тат; т;ат; ряLk2cxo,J!, пся, то, R сил\ 1еореk 1конечное ироизве,J!,ение13.101)3.181Э. 9, бес-сходится аС;солютношя лю{юго+НКСИРОRaIfН010:ffа'fеfШ;Т Х, от ТНЧfЮ10 от lп (1леl = О. ±1 .....в ,J!,оиолнении 2 к этой главе мы ,J!,окюкем, ЧТОiТО ироизве,J!,ениесхотится к значению si11 х.
Теы самыы бутет обосновано разло)кение функции si11 Х В бесконечное ироизвет; ни;':;111х=fr (1-k=1k~:2)'13.102)Из разложения (13.102) ш теы исиользования соотношеSil12x;лементарно иолучается сле тующее раЗi}i ,же~сонх2 sin х2.нияfше:00со; х = П [1 -(2k~x2)271"2 ] .13.103k=lАС;солютная схо шмость ироизве,J!,ения, стоящего виравой ча-СПI (13.103),шя .iТЮ{ЮГО х, отличного ;;т ~ 2Т1, ...вытекает из теореы00L(2k-l)"k=1:.18и213.191) (1 =О.и из схотимости РЯ,J!,аря..·ЮВПОЛС11С1;'1 R UlЗ'ЮЖ8Ю!311т4~2)1,=1-х102)1,=1шл\ 'шм1,=1На!! и/са00П2(2k)2(2k - 1)(2k +11,=1234345...2k2k -1фор\!ул\!!ес. юж!!ых. .. (13.2k +Dаллисамо\,· нопривести к ВИ1l,у.1--+oo2k+1l1Пl - -2! 5а.[2 2k (!)2]2(13.104*)2k!)шнса нс; !О.'!!ОRаш, 1I,.'}Я ПJ ,иб.
!нженного вычисления чис!а п. В настоящее времяшя вычислениячисла п сyri!.еСТВi·ЮТ более эф!l ективные MeTo1l,bI. ФОРМi·ла Валлиса(13.104) пре lставляет интерес 1I,ля ряда теоретических иссле1l,Оliа!шi!j 2).ДОПОЛНЕНИЕВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ п.Теорема 13.20. Пустъ Pk сущсств1/ст nрсдел3 § 21Са1Сие угодно nоло:жителъные числа. Тоliш РН1 = L.k-+сХ)С1!'щсств1/стnрсделliп,--+,:'y~VPk,liшVPk=k-----rC<Jд о к а з а т е л ь с т в о.(13.105)р,ПР'!; ';CJc! cnpaeciJJ' ива фОР.М1/' Л ,.Pk 1Pk(13Л6)Прежде всего ,'юкажем следующее вспомогательное утверж .. (ение 3): если nоследователъностъ nоло:жителъных чисел....
ak, . ..а1, а2,СХО1!ит1Лп! !!;1тОр!!.М1/чиiЛ'!!,этом'!!J/CC чи1-луL сходится и nоследО1!ателъностъ средних гео.нетричеС1Си:!' эти:!' чисел bk = (jПl(t2 ... Пk.!ля доказательства вспомогательного утверждения!аМj'ТИi!. чтоliшk --+ ОС)111 (tkiИ'1У iJi'прi'ры!ноii= 111 L.'югарифi!ичеi ;iji,й ф" 1!КЦИИ(Последнее равенство формально справедливо и приL>u= О,!жон Валлис- английский математик1703) .'!i'СТНОСТИ, она может быть ИСПОЛЬЗОВ;iна Д·Ш'·iТ;iНОВЛj'НИЯ так н ,зы-2)Baeii,йлинг-С; ирлингач;iсть 2 на; ii"ijщего кут 'а).английски; 1i математик (169Р-1770).3 Под'!еркнем, '!ТО это утверж.'(ение имеет и самостоятельньС; ир;1;интерес.467lOПОЛl{{),да"НIn L[О ){),да по")д"),юлне ,неглпрlim InlimInL-+=k(Последнее равенство справедливо и при LО" когдаL =Из,,{)с,еднегоаве ,ства"снлу неп)ерыв, ," )СТИ по <,)з),те ),"ной ф:; "к, НИ, ,юл\чнмНтk)) = e 1nL = L.Нт ехр(ja1a2 ... ak =,Х/k--+c:o(Эти рассуж" iения справе" iЛивы и приL = О.)["п·)нюга')" ,ы,н))" утвержд("нш" докаiаii'"!ИсламР1,твов,шие преде ,аlim• сх;[[рнн') няя э,)К= J'3, ...
, (tk = ~, ... , мы установим суще-J'2Pk-1Р2JtPk и р"в("н(твн)(13.1О6). Т {)рем,)(13.20)док"з,ша .ДОПОЛНЕНИЕРАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИsinxВ БЕСКОНЕЧНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕРадн""добствараюбьем В'"IБОД форн,улы (13.1О2)О'НiеЛЬНЬ!J" П"" Ш{!о. Пусть т любое nоло:ж;umел'Ь'Ное He'l,emHoe 'l,uсло: т = Оп+Пр("жД""докаА,ен"что Д':Я ""'fбого о' "ШЧiiН)ПОТk7r (k ='"I.±1, ... )"JJ;,че ,ня е 1) (правед'ш,,'" с :ед"" "fЩ;""'~:;;:e = ([ _ ~i~2 ~)Ынт([-- 12т(13.1О7)[ля установления формулы~1,О"' те(13.1071"удем исхо" iить ИЗ <Iюрмулы Муавра+ i" in rne =,О"' е+ i ",in е)т.['асписывая правую часть это,,, формулы с помощью 'шнома Ньютона и'р ,внив"я мнимые ча(ти.
Пi) :учимSill тВ = т cos Тn Уч:л '"IБая. чтоSill тВт "'in е2""+ 1,б" Щ""3sin 3 В:,м) ть(т11(тв(е п·)KaiaTe""о-'--_-,---'"""::'--::-_'--'., СОБ 2n·2·3= cosпр;,в, )i", ч"сти (13.что если заменитьMnO,"O'l,H)сmг) сnи1 )(т"""-'-:с_ _'-'-" cos ·2·3_ - ' -_ _:'-"SlIl2В sill В(13.1081:и при ко' инус"х И' инус;,х 'l,Сmныг. т"кнаSil1 2 то Н nр(tНО'Й 'I,(tcmu (13.108) nОЛУ'l,umс.li',т," ",си iiС);Л{,О "in' е.
Положив zsin 2 е. ')бозначнмэтот много',лен символомF(z),а его корни символами СУ1, СУ2.•.,СУп. Так1) Нас в дальнейшем г,удут интересовать зна',ения В лишь из интервалаО< IBI < п.РЯ,lOВюп 2 елевая чаf 'Ъ (13,Ш8)при е;';1П f ;еz1_Б111m001Остается определить корни а ,002,а,С1'15)"101' нул:ям функции sin тn8, llОЛ:УЧИI\1акпредставить в виде=rn5аме ,ая, "то эти корни соответ-2'.;,... ,rnТем; 1т,при. шдим ';той. 2= Slnа,11.','mи с';итая, ЧТО О<<п:m,вид2ПN (1 __Si11 ~1.k"------=-sin _)(13.109)Фиксируем любое (отличное от нуля) значениеи возьмем два произmsinХ-.;in 2 ----'-'-=1mвольных натуральных ';исла 11 и11.,"удовлетворяющих неравенствам ,; Ix, <rn ----о Тогд;;р2рЫ11 Х·';1П-пk-lХm_ sin.2kr~ )R p (x1,(13.110))(13.111),К')юп~-m(п_1.SlIl~')..,';1П~kп:.-mПрежде всего оценимм;,'н' ч в'е;,ПосколькуR T/ ; ) .'инус'''',г,,·'щихВ(~П:/2, /2) .KpOM~ ~ого,ясно, ';то.!Ля всехxlm11 < 11.
=23.111), принадлеi+;;;Т<п:то аргу;"пер';" .'уучаствующих в это 't формуле,kп:/2 и, iТ;;'Ю быть,·')sin 2юп~u· .,Бll1~kп:-..,Ы11~m( ибf;.3kп:п:m2'инт,1т.рвал;;е.kп:2т< ('1.:::.4.2тkп:-m14СОБ 2и поэт' ;му,k"kп:22тп: > -).Так как для люБОГf;22т1/2 iправеД'iИВЫ н,равенства>1_>е- 23 1),Правое из этих неравенств элементарно вытекает из fjюрмулы Макло-р;'на: е- 2 (3 = 1 - 2('1(2('1)2+- -...1 - 2('1+1 - ('1, та'; 'f;;K 2('12< ('1.46')lOПОЛlдляном'ровk, щ +~BO' «'JДящнр,хSlIl21> 1- _ _7_n_юпПочле"но "еремно('а«= р1, р"ераве"ства:;<112),записаю,ые «!Л<А зна ,енийk =... , n, пол} '!ИМ следую "ую оценку <'!ЛЯ R (х1:ехр (-2Sin ~ ~ ---k-<,)'> R,,(x1 >.го112)k7rmчто ;'1,гу"е п1Sil1 2k<;,<mmk7r /т л;'житsin 32)из перво," четверти(а11312Т);;:L...,'.
"k=p+l ЫН""'в "ер "'Й че, В;','н И что1 ,17n 2(~)2(_)24/.2получим< 4[~ ~]<Такнмехр7n22( --юп<"хрпо,л"""раве ,ствопоз ",ляе,(а113.<130 <Устр;> R,,(x) >"и,, ,"пер'.фОР"У',езнач;'нИi' хт 2 "lnныйk7r(;1:(13<(13.11Р)числок б; СКО";'ч,,;,сти,'''",ер р. [о' """ЬК'<lim m sin ~ = Х.mтn--+(х)k п 2 . то С' ш"ству; Т ПР;JДел,евой ча(ти (13<11О), р,втIJрИ предел конечного произве< ,енияsinХmk-(1Sil12-.<,' ;,г:,,·,п-)' равныйm1)~~Эти неравенства вытекают из того< ',то отношение - - при измененииубывает ото '''редьвытекинтервале О<" 'т<иl1того.до2/ ,.чт"Факт УГlывания функцииcossin- t<g3) <в своюв'н;,ря.,'ЮВиб() КOl'Д)) ()нраве)1 ну·,юп х)B~лено, Но тогда существует и пре.,елч)ре1 Rp(x)этотiз щ'раве"ств (1311Р), 1правед iИ ",Е Д'iЯ люб()'"и из теоремы31;;''')(1ер'' rn,вытекает, чтоl)Н р 'Х))Формула(13.в пределе при тх(13.5)(13.6)СХ) даетfI (;sin х40.пределх2Нр'Х)'k 2 ",2Остается, сохраняя фиксированным х, устремить в формуле''')(1ер р к бе1 ,п)неЧН01 'н.щ,ед''Л liп,.вR[О1'){)"ЬК"1И"У нер ,,('Ш п,',евая ч.,сть(13.5)(13.116)г)т р не,ависн,,'г)реМ',I 3.1Р, с\щ,хтву"тр-+ооравен единице, то С} ществует и пре, ,елр"Iim-+00х )k "" .,П.:.с"sin х~хk=lТем самым разложение ,'!Ля Бlll х (13.102) установлено.ЗаПi) (,,)й а" 'логин с !,а,ложешiЯМН (13.1{)2) для ',inx'iИть "а.зЛО;)ICенu.Iiбес,/;;онечные nроu.з"еденu!!shxfI (; +=хх' )1hx2=fI [1 + (k=lk=l2k4X i )2,2] ."Заметим, "то из разложенИi" для Sil,X, COS .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
