В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 85
Текст из файла (страница 85)
НОГii значенияj!'нщии иI(M) в,ке А и;'П{)л,;)ует'ся 'Jндующая СИМВ{)ЛИ"i.liш лм)и шI'v[ --+АЬ,liшXl --+а;З;2--+ U 2,а т - к юрдинаты,ки А.шр!'е: ощ ·еделение ,Р'Дi' ,LШТО ша ,,'ния j!'н,т~ииИ!!1i стреылении точки l\6 к бесконечности.Onpeae,/l,f':HUf': 3. ЧИС/fi' Ь 'Называетс,я, n р е д е л '/) Hi,tгде а 1, а2,СФор:.
..з 'Н а 'Ч е 'Н и е .л.tУ 'Н 'Х: 'Ц И И Иnе д е л О .л.tУ 'Н 'Х: 'ц И И при М= I (М)---+при---+ ос (илиос), если ()л,я, любою nоMOj!fi 'НО у'Х:азат'/) та'Х:ое nо.!{ i:J/сителъ'Ноеи.i области зада'Ни,я, Фу'Н'Х:'Ции, у{)овлетворюо'Щих условш!! р( О, М)выnол'Н,я,стс,я, 'Неравс'НствоШ:J/сителъ'Норо 'Числа Е'Число а, 'Что дл,я, всехII(M)Ь< Е.Арю j:!еТИ',f'СКЮ' опера1fИИ н tД Фунюшя:.ш 111имеющиыи предель юе значение в точкецию.!, такж,' ИМ"ющю! предеш.ное ша ;i'НИ" Вснра"iДШВii след!;i'pf'MfJНHLIX,,пр ШОДfJТ К функ,ке А . .иМfJННО,!'твер)[{дение.I(Пустъ Фу'Н'Х:'Циии g (М) и.л.tеют в то'Ч'Х:е А nредеЛЪ'НЪi.еЗ'НШ'lе'Ни,я, Ь и с. Тшда фУJf.'Х:'ЦИИ лм)(М), I(lvI) -g'(М), I(M)·1) Это требование объясняется. в частности.
тем. что функция 'и = j(lvI)может быть не определена в точке А.[Нl [Ха {ЛЧГJ-l'{j"я, (''l(]'{ тn шепр!! УСШfi'Ш!! СДока'О), ронные со iТJ!B! ТJ].СТПН![Ь' 'ТВ"' } п ,ГО,твеР)Кfения'J-lШ Ьс, Ьсс,'"веРШf нно ;сна ЮГИЧНf,доказательству теореыы 4I:>есконечно маЛЬНf ФУНКии,ии,БСС'Х:О'Нf 'Ч'НО малой в то {,'Х:!зывafliIll= О.еслиМ-+Л+ ...fеГ1Ю убедиться, что функция I(1'vЛ = (Х1 - а )n 1"'")'TLm( - IО ,,; О )китf'' ILHI"If''С"тгд,,\ n1 ...
,nШ ",I'а ,тляеТС>l бесконечно малой в точке А(аЯli-а2 ... ,а т ) 1).Если фу'Н'Х:'Ци,я ИI(1'vI) ИЛfсст рав'Но ! nРfдеЛ'IJ'Ное з'На"lс'Ниев mO"l'X:e А, то фу'Н'Х:'Ци,я o:(NI)(М) - Ь ,явл,яетс,я бес'Х:о'Не"l'НОмалой в точ'Х:с А. Де!" твит" [ьн"liш ff(1'vI)liш и(М) -)liшМ-+ЛI (1'vI) -I'v[ -+ АНс ЮЛЬЗffЯliш ЬI'v[ -+ АМ-+ЛУЧffМ спет~иалыюе предстаЮIе fие для функт~ fИ, иыеющей равное Ь Щ ,едеш,ное значениеТОЧ1," А:= Ь+ о:(М){деliIll 0:(М-+А= О.СравнеШfе бесконечно ыалых фУНЮlИЙ нескольких переыен [ыхпроизводится точно так же, как это указано в п.
3 § 2 гл.длябе, 1юнечн" маШ,IХ функций, Дной. ОТ11етим,какв случае одной переыен юй, под сиыволоы 0(;3) ыы будеыЮНИ1,1ал,бе"1юнечн" 11аIУЮданноП ТОЧ1," А фУНКЦИЮболее ВЫСО1,ОГО порядка маЛОСf и, че11 беС1юнечно малая В данно!',[ке А фffНКЦИЯ ;3(М).5.Необходиеюе и достаточное условие существованиянредельншо 'НlаЧZfRIИЯ функи f,И, И, (критерий Коши).
Буде1lОВОРИТЬ, что фУНЮlИЯ Г(М) !fдовлетвор,яет в mO"l'X:e М = Аусловию Коши, "сли ДfЯ ЛIобог"ю,юж:ит" [ьногО чи, [анаПдется положительное число д такое, что, каковы бы ни были дветочки М' и М" из области задаНЮl функт~ии I (lIп, удовлетворЯlощие ж'ра ,"НС},'О < р(М',А) < д, О < р(М",А) < д, ДfЯсоответствующих значений функт~ий справедливо неравенствоII(1'vI') - I(1'vI") I < Е.СправедлИl ;с слеДf'Теоре,м,а'Ци,яI (М)14.2О{'Нfшная тс'оре1,1а(к;ритериu Коши).торо "lтобы ФУ'Н'Х:-имела 'X:oHe"lHoe nредель'Ное з'На"lе'Ние в mO"l'X:e1'vI= А,1) Достаточно учесть, что каЖ1\ая из функций 01\НОЙ переменной /(;1',,)=(:1'" -является бесконечно малой в точке Х;.
= а".=4ЮПГ!l.·lЕ?f.соб:г (}f i'!iJt.toш.f ('!!огпuшn У'l·. [.и, ''lrn,об:ы. Ф/лt:f1''Ц'U,Л'U,!{ПОй rnJ!'Ч:J1еK(J'Ilj,'U,. Доказатеъство этой теореыысо!!"!)шеннр ана . ЮГИЧНР1! !I,:a'С>! из HeJO путем заме!;ы буквтю!Ы'ТВ! :е! !!),'мыи а на (!VKBbIаl н!! СИМI3!!Л17 -А)'!н!р!ения= I(xl, Х2, ...,х ..!Л·,!2 И Ю!У' !аети А и заыеныфункц!!и'инескольких переменных можно опре1\елить понятие пр е-)де.л, юго з! "'!ени''! по 01\НОЙ из m'рем,'нныхпр!! ,риксщ ·'Н,!!ННЫХlнач,'-н!!я'! о! !!,.]Т!.НЫХ П"рем"!!НЫХ.
В СВ''!з!! с э!"!'!ает mfН'лие nовторн.ого,'!I"'!(J"Л·h,.,,,,,,, зnшч.е!!'!uл. Уясним это понятие на примере функции 'и =х иПуст!. ф.!нкц!!яl\ЮУГОЛЬНОЙ окрестности:1'01 <Ix -за1\!,яаd 1 , Iy - yol<1(:1'. У'Н,'!'!О !!сро!! пр''!d 2 точки 1Vfо (:го. Уа , заисключ,'ни,'м. (,ытт, М!fжет, с!"мой т"чки Ма . Пу! ТТ, дЛЯ К'ЖДifГ!' '!1ИКСЩ'"ваннOl'О у. У1\овлетворЯ!ощеl'О условию О < Iy - yol < d 2де.!ыюеlнач"Н!!"нкци!! 7),I(x, У) !fДН!fЙ пер" ен!ю!!существует пр еточке х = ха:I(x, У) = ,;(у),liшх--+хny-фИI'Си пусть. кроме Тol'О, существует пре",ельное значение Ь Фунюшиточке=.(у) вУа:= 1).liш 'Р(У)11 --+ '10чтовnовторн.о··У' в точкеliш..
, '·'!е.л,ное з!! "'!еше Ь1,\;10. которое обозначается сле1\У!' ·щимliшУ--+УО Х--+ХО1(:1'. У)=Аналогично опре1\еляется повторное пре",ельное значениеliшI(x,у).Х--+ХО У--+УО!слов!!я раве!с!ва!ВУ"пов! ,'рныхпре",ельных значений.ТеоремаI(x, У)d 1 , !У -Пуст'Ь ф!jЮ;;Ц!!,Л14.3.·'РЛ.моугол'Ьnо!!,ocrnu1:1' -<'·лен.а в н.··1{;отороU<МО(:ТО. Уа)d2,шч.еnuе Ь.1{;J.!OMe того. длл лю'··o"t'!.!eбого фЩ;;С!!.]Jован.н.ого< Ix - 1 (f!, СУИ~"ствУ"т nредел'Ьн.о·· .зн.а"tен.!!,еt{г) = liш I(x, у)и длл люf.юго фи.сирова того У, О < Iy - yol < d 2 суи~е'и 'и.мее!'!· в эrnоu11 --+ '10з!!л"tе ,ие 'Р(У)liшliш,дат еприIx -ха!<бliшх--+хоliшХ--+ХО У--+УОУ--+УОт, с т в о,пре!!,ельное значение=ТогдаС!}nt едел'Ь-Так к!!" ,!,!Н!'!!Ш''!<бp!!BJi i " Ь.· ..
·СтвУют",'--+"то !ля тобого Еи Iy - yol1(:1'. У'>Оее!можно указать такое бвыполняется неравенство1/(:1'. У) -ЬI> О. что< Е, Таким ,,(,разом, в прям"уго.!ьноЙ окрестности 1 '!xal б и Iy - yalпfчкиМО значения функции I(x, У) отличаются от Ь не больше чем на Е. НО то! 1\азн!, !ени''! 'Ф(х) и 'Р(Х), !!'!азанн,'" в фор' !л!!ровю' теор" !.! пр!!·щих неравенствам I·!"т.!ич!,ют,·о!неч,'xol<б и Iy - yolЕ, Сле1\' н,!,!е.л,но.
и<б, также!нач,'ния этих функций В точках ха и Уа соответственно существу!'·т и равныТеорема 1\оказана,1),fНl,fX\fожно"'"де,1ИП, mfH пие п",то! ного"fCTe{!дво !Н1,Р' ПО" '!'дов '11\/П,ся двумя индексами m идл"элем"н ыИменно, символ"начала определяется после1\овательность {Ь n"о'liшliшn-+"--+Ьn=так HC1:~T,тaeMЫX1fp1 ,Р'а"аm "liln-+',О1\И'СЯ предел "то{! после1\о',ателт,ности {Ь,},опрещ\/Т"ю'означает, чтоа затем на'аССМ1fТ!'ИМ, напр"Д'1fЙНIЮ ПОС1'дО!,ал Л1,Нf' Т1, {а",n}, где а",n~7in!T,Ф """рованное ЧИf,J"Ka,,,""" , что'os'"liшn--+оов сам','щ\пе, е, ,шН!Хcosmp/q, Г,п,е ри поэтому=liшm-+ 00- це,,1ые'шсла, то при n ~ q'eeMn!,1.
llными словами. если Х -cos mn)qН,liшliш'osm 27in! у1.-Если ж"ирра,шо'--+оотна,л,ное'шсло, то пр"поэт"У,1Ю"'Г"nC"Sm 27in! уmliшn'003l' os 27in!''лраведП!'а н и е. Испо, П,'"1,'ОО1П--+ОО,"Ч{ Н нътП':fЪТа,т, мът,м."е, ким сп о' обом за1\i,Т1, ф' нкцпреП,ел liшliш С01,т 2"1 §1гл.4)>'!на.:fИТИ-"ак пов',fpHbl{!"-+§ 3,Ilz:преРЬШRIЛ,Н' фУНКИИ,ИИ НZ:СllОЛ!,llИХ лн:ременных1. Определение непрерывности функции нескольКИХ лн:ременных, llY1'TL ТОЧ1,,' А ,ринадле +IИТ об'тидания функции и =f(M)не'1Д,Ы,ИХ"'Р"м,'нных и,юбая Еокрестность точю' А содержит отлич [ые от А точки области;"дания '11' 1Й функции.ОпределениеФу'Н/к'Цил и=(М) 'Ндзываетсл'н е пр е-р Ъ! в нй в т"l 11: еА. ес ш nредСЛ'Ы-/'О1 з'На"lе'Ние этойфУН11:'ЦИИ в mO"l11:e А СУ ществует и рав'Но 'Част'Но.МУ з'На"lе'Ни'lOf(A).ОТМ'ТИI1, чтоНОСЛ1 фунюА=liш М,---+ЛУ' Ю1ШС' н;нр,'рьш-мож ю записать в следующей форме:limIv[А(М)(lim М\т---+А,ки, В Ю110рЫХ функция Ш,' обладает'Т130М непре! ""ШН1 ,назьшаются тО"l11:а.МИ разрыва этой фуню [ии.'11рМ'rир,с'мопреде,ениеН;'1'Р"РЬ 11Н01'ТИпользуя определение предель юго значенИI[ фуню"'Н1,Т~ИИ,И'С помощьюид.Определение 2.и =(М) называетсл 'Неnрерыв'Ной в mO"l11:e А, если длл Л'lO 10, О поло i11ителъно,,'о "lислалtOJIC'Но У11:азатъ та11:0е поло i11иmсл'ыг!" 'число 8, 'что длл вссх mо-fЕСКОЛЬf вниЕfЕПГЕГf''lCJi' М и8 облш ти 8а, '!i/I-/,'IJ"я,щ!m,леrru ор,я,'Ю1Ч'IJJn(М,)Н!,tnо {н,епu'!!,(РШiСШJПВО(М) - J(A1Н(J,8Ыi'!{,('jjJ.С,я,Оnреде,/l,ениеи =J(рынноиНо:ж:еслиfiонаnнеnрсрр,lfiH(J,ii'(J,ждой rnO'lix:e этого Jtoliшжестi!(]"Назовеы rЧi'lЦющеi!'!!ЕМJ (1\11)==6.игде М-по i'!!ihiM njl'IЦЮ1чев mо'ч,'х;е А фУ'J-l'х:'Цu'/О д.!!,юбая,ка IГоnрсдСЛШМУНI(14.5)J(l'vI) - J(A)Ilбласти :задания функции.'ть точки А и l'vI ИI,iеют соотвеТСi ileHHo координаты а1, а2,.
.. а т ИХ1, Х2,· .. Х т · Обо:значИI Х1 = 6.Х1 Х2 - ([2 = 6. Х 2... ,Х тат=спользуя эти обозначени!!получим для,риран!t'НИЯ !I'н;т~ии 6.и,'ТВIприращениям,ументов 6.Х1" .. : 6.Х т , следующее выраже fие:6.и=J(CL1+ ~X1, а2 + 6.;Т2"": ат+ ~Xт)- J(CL1: а2:··· ,а т )·(14.61с iчевидно, fjл,я, неnрерывности фУ'J-l'х:'Цuu u = J(в mO"l'x:e'J-lеобходuJtoto u {)ocmamo"l'J-lо, "lтоБы' ее nрuраще'J-luеnpefJcmaвл,я,ло со )Ой 6ес'х:О'!!,С'lНО лtaЛУНI в mO"l'x:e А фУ'J-l'х:'Цuн , т. е.
нt оБХf!димадостаточно, чтобыliш ~ u =М---+АliшМ---+А(I (М) -J (А))= о илиliш6.и=О.(14.71~J;l---+O,иХ2---+0СЛf!вие 11.7) мы бl'N'М на:з"шаi е, раЗ'J-lост'J-lОЙ формой условu,я,'J-lеrчiеры'J-lостuu фi Н'х:'Ции u =в ffiO"l'x:e А.ДЛЯ фУНt;т~ии u =(Х1, Х2,. .. Х т ) неCl;ОЛЫ;ИХ ,еременJ( )ных, II'/EHOопределить ИIшятш,' нt 'i ,р! 'рьшно;'ти ПII1ДН' IЙIГпер!'м!'нных ,ри фИЮ'ИРf!ванных :значениях о;'таЛЬН"IХ "lii'M!iИНЫХ.
ДЛЯ Оifределения этого понятия рассмотрим так назьша('мые 'Частнъи fiрuрmче'J-lU,я, фУНК1fИИ 11J(X1 Х2 ... ,Х т ) вточке меТ1, Х2,. .. ;Т т ) ПРffffадлежащей области определе fИЯ;;'Нl;Т~ИИ. Зафию'ир,'!'м в;'е ;,рг;' "ieHTLI, Kpo"ie пеР1ЮГf!, а первому аргуыенту придадим произвольное приращение 6.Х таю I!'еЛ Iб"I,ка1;01Iрдинаi;tI;И Х6.Xl Х2 ... ,Х т наХf!ДИлась в области заданИI! фуню. Соответствующее прираще fие[нихфункции называется ''l(]'{ rnМ(:71,:72,пр IП!iiЩ! '{ИМ ,м ) фу IКЦИp;tJ"t,Х!п), соответствующ [м пр Iраще IИЮи обознача!' ,,'я ~XlТ ш,и;в точкеаргумен50;,;,(14,8)f(:71нало; ич ю определяютс>! част [ые приращеню! функции, соответствующие ПРIIраще IИЯМ других ар;ументов:~x=f(Xl Х2~X,' Хз '",Х т ) - f,Х2"":7 т )(14,9)= f(Xl Х2, Х т -l, Х т+ ~Xтf(Xl, Х2,··· ,х т ).Введем теперь по шт [е непрерывности функт~ии 'U = f(x Х2...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
