В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 86
Текст из файла (страница 86)
, Х т ) п! i i ДН!iЙ из i!'Pi'M!'HHLlX.Фу'Н/к'Цил 'U = f(Xl, ;Т2, ... , Х т ) 'НЛЗЪ!.ваетсл непрерывно!; вm/)"lne l'vI(:! 112, . .. :7 т ) ПО переменной Xk, если '{лстное приращение ~з;, 'U это!; Фун'К'Ции в mO"lne М nреiУставллет собойб!'с'Кон!"'lНО .малун! фУН'К'ЦU'i!i от ~Xk, т. е. еслиlim ~з;., 'U6,!--+О=(1 .10)О.ФЮ,СИР01iаННf.IХ значениях 1icex пере; ;eHНf.lx, кро;;е перем; 'ННОП :7k, l!i!Нf,ЦИЯХ,'шет собо!'!функт~ию одной этой переменной.l'i!Нf,Т~ИИ пii i!'Рi'МiЯНОП XkШ 1',;сет непрщ ".ШНi1i;1занноПфункт~ии одной переменной.
ОчеВIЩНО,условия непрерывности функции 'U = f(X1 Х2 ... Х т ) I3 даННiiЙ ТОЧ1,!' l'vI 1Ъ1тс'Кает непрерывность этой Фунюв точкепо каждой из пеР,'МiЯНЫХ Х1,Х2 ... ,Х т ' Одн 11,0 IГ непреi".ШН!iСТИ функции,о',ке l'vI по каждой из ,еременных Х , Х2не 1Ъ1текает,I3i50бще ГiiI3!iРЯ, Hi', ,р; 'рь 1iHO' ть ф!!нкции,ке.lтобыубедиты'яра'след!!ющи!'10. r..lLI будем Г0150рИТЬ, ,то функциян; '! ii !!'рь!!!на I3,ке l'vI на, ПРiiХОДЯfI !'Й черезf,эту точку если дл!! любой последовательности точекlРЯМО{,-"j,"ХfJД,яще{""ji"Ятельность!ия'UГ (Х,="ТВ"значений Фуню{I (M,J}ша',iЯИi' f(l'vI)l!(e М.'!!Н!щии{lO'этой[('ДОl :1-имеет пределом частноена ,рямоП функпредставляет собой функт~ию одной перемеff-I3,ке М.
Та1,НОП, то iOнятие Нf', ,рi'рЫ1!НОi'ТИ функции на'; iI3падает,оче1 идно, с iOнятием неiiрерь!!!ности указанной функ !ИИ одной1) Термин «частное приращение» употребляется iля тOl'О, чтобы отэтощегоПр!iра;;'i""ПРОИЗВОЛЬНЫМ.'",Х".,(,тПi"mi i,"прира;; i,ениямПР!iраЩi'Н!iЯi~Xl, ~X2, ' , , ,~"14,6),,00е'"всехiТi!Юapl'YMeHTOBfЕСКОЛЫ:ИХпер ем е fНОЙ В частности, непрерывность функцив точкепо oT.fe fЫfЫМ переменнымипреfстаВЛ>fет собой непрерывн04.'тьна f рямых, ii ЮХfJ fЯщих через[ку lvI и пщ аллеш,ныхкоорд fffaTHbIM осям Докажем, что фу [к fИЯу2{ш 'НрС'рLшнаО)юнаточкуIkexОиз н'рс'м, "Иных Х И у, т.непрерывна на каЖДOff из коордШ"=у2оТОЧf,.t'О,fffaTHbIX04.'таfLЮ,IХ Щ 'я: н"тх,осей, но не являеТС>ffРОХОДЯЩИХ черезпоэтому не >шл fется непрерывной в точкеfiшмая,ш'шая отrrОР'динаТЮ"IХi\ажда>f04.'еИ и ПiН'ХОДЯfная10 [ку 0(0, О), :lO+feT был, fредставлена ура1шением уО.
О Н'ВИДНf' на таю ,йfРЯМО;:'kОТЛИЧЮ,IХ от О точе1fветствующая последовательность+ k2 '= kx.гдеri'ЮfТ~ИИ поСле' ш послеД4.ша,еЛ,Н04.'ТL {МПЯНЮ,I И Р 11ТНЫ ~.делзначенияТак как приi::.kсходиТ' 'я к ТОЧ1f" О, то '! ютимеет пре-3 fаче fИЙ Фунюо этот предел отличеf' от НУШfнеС01 1"1Да,"чаСТЮ,IМ ша Н'НШ.'м Фуню ШИfЦИЯраЗРf,шна'1п ,й[ке на 'iассматрива,'f,Ш'MOf.:'ность функции на 1юордина1Ю,IХ осях 1Ъ1текает из 10ГО, что ееша н'ния на Iних о' ях раВЮ,I НУЛf'iожет СЛОЖИТЬС>f впечатлен{к fИЯ двух пере-мс'нных непреРf,шна на Лf"боi'rпроходя н ,'й н'р'" данную точку, то эта фУНКТ~Юf непрерыв [а в vказанной точке. Сле-Дующю:' при:.1ер Ю1fаЗf,ша, '1, [то.вообще говт ,ря, не 1a1f .Рассмотрим фУНКЦИЮ{f(M).что. хотяl.,2 y,,40(0, О)Прi'-+О-+4У#2НКЦИ'А непреРЫВНi: нс: люБО{·i ПРЯ'ю{i,= kl.'равны---:;---k'"на о'·'фУНКЦИИ на паi.аболе у= pl.,2р~- - - .
1 ак1 + р2как при.../IВf,пеКi:{'Т'ругой стороны, значенияпостоянны И равныНКЦИ" Прi' СТi.Н'i','i'Н"И' :iЧКИпараболе также равнои ПОЭТОМУх-О.того. что ее значения на этой оси равны НУШО. Сде"ыюеlнаЧi'НШ'у2она не является непрерывной в этой точке.самом .:,.еле, значения фунюfИИ на прямой упри ХХприНi:ЯХО1\Я н.еЙ через точку+ ,;2:р2' И ПОЭТОМУ пр е-К точкепо i'iазаННО{iО этот пре ,ел отличен отнуля И не совпа1\ает с частным значением фУНКЦИИ в точке О, то функ fИяразрывна в i,ТОЙ точке.тнихт.ИИН:'~ооьН:'~ихныесвопс:ретvтенных.lCTBittи\tнепрерывныхt,CTt;aос<дпереJ\IенныхЭТttхан а,ны дока; ,тельствам соответствт<"t<at<пп;;'м;'нной,пояспеппя,tt;;'РЖД;'Нtранил!),fl<ункций О,шой\tbl'танать;jjf,KpaTKtt f'предс)стат;ляя д;,'тали дс)казат;,'лт,стн ттитате,ттю.10.
Арифп р еры в н ы м иунстОС!тесопациадФ у н к Ц и я м и. Спр:шедливо следующее;;".Пусть фу'Н/к'Цшtf(NI)фу1-t'К'Цшt (M)+g(M), J(иg (f.;!)-непрерывнъ! в то'Ч'Ке А. Тогда((M)·g(pblB1-tыl в то'Ч'Ке А ('Часпmое при УСЛО61Шg(A)и :~:~ непре# О).Доказате"tь~ство этого утвер +;дения совершенно :шалогично дока; ,тельству4.2.рын отлж нй Ф у ндем понятие сло +;ноП функции нескольких переменны20.ф<'н[;еПусть;;ttиХl = epl(tl, t2.··· ,tk),Х2 - ep2(tl, t2 .... ,t/),(14.11)Х т = epm(t ,t2 ....
,t/);ад:шын"мно +;естве{N}еВКЛИДОВitПРОСТР:ШСТВitEk(tl.t2 .... ,tk[<о )liДtt tatbl[;'Кпр!)еtран{'tt;;,). Тifдак<,ждой точке N(tl. t2, ... . tk) И; MHo>t<eCTBit {N} ст:шится в соответствие с помощью формул (11. 1) точк<, f.;f(Xl' Х2, . ... Х т );'t;t<ЛИДf)t;aпростраt tCTt;a Е т .О;i<!зна'fttM{\tнож;'~ство всех тitких точек.
Пусть и Хl. Х2 .... ,Х т ) - функ~цtt 1n-tt;'pe\tet tЬTX, задаt tая на указаtн!жестt;;' {J\;f}.этом СЛУЧitе мы будем говорить, что на MHO>t<eCTBe {N} евклидова простраНСТВit Е/ определена CiЮ;JfC1-tпя фу1-t'К'Ция иГ(Хl. Х2 .. .. ,X тn ) где Хl, Х2, ... . Х/< янляют{'я функцtt \tи переменных tl t2, ... ,t/ причем эти функции определяются COOT~нош;'юt \tи 14.11).
Сttраt;едлино {леД<'Юt\'тt;ерждение.Пусть Х= ер (t... , :Гт = epm(tl, t2 .. ..а фу1-t'К'Циfi и = ЛХl, Х2... ,Iim ). гд~ bi = epiда СЛО;JfC1-tа/f а/ун'К'Ци/ !представляютсобой. t2tk), Х2(tl, t2.··· ,tk) . .. .,t/ 1-tепрерыl1-tьll в т/ 'Ч'Ке А(аl' a~ ..... а... ,Х rn ) непрерывна в то'Ч'Ке В(Ь 1 , Ь 2 .. ..аl.а2 .... ,ak), i = 1,2, ..... Toг~и = Г (Хl. Х2. .
.. .где Х Х2···, X Тnопределе1-t1-tыевыlеeфу1-t'К'ЦшtapгY,MeH~тов tl, t2, ... . tk. 1-tf:прерыl1-tпп в то'Ч'Кг А(аl' а2, ... . а/ . HaMe~fЕСКОЛЫ:ИХ4%[Нf [ХfИ\! ')('НОНН ,!е этап!,! до 'аза !елы' !на этог;) У! Н! ржд! Нi!П\'''!ЪА,п),оиз!;оm,ная СХ;)fЯщаяся К А!е,! )!;а!е,!ь-},i-ность точек из обл tСТИ {N} заf шия функций <р, (t ,/2,, t;),а {с;;от!;ет(' !нующая пос !;донат;'тотте!! ,fИ-В силу.,, t(n))'f,;непрерь,вности функций <ре В точке А, последовательность {сходитсяк точке I?,Ь 2 , .
.. ,(не ИСКЛ!ifчена ВОЗJ\Ю!!!НОСТЬ совпадения!;'К l'vlnт;)'!ю)й. В С!!е!!реры!;!!'''!и н TOTf!'J' В функции= Л[ 1, Х2, ... ,Х т ) ПОС1еДОВifтельность {j(iVln )} сходится,, ,КО,,орь,х'"нать,К(В. Н;)(,(п)'1' t(n)'),,равнь,,та посл;до!;ат;'л!,!!редста!!Ля;"с;), ;;)й посдовательностьшачений сложной функции, отвеча!!" !ую сходящейся К А ПОСЛiдонат;'Л!,! !'" !и N n } тотте!! област!!задаНi!;tK ЮtК J\lbI убедились, что послеДОВ;tтельность {f(iVl;; } схоД!!тся К !астно\!" зна !;'Нi!Ю f(B) тосам!,!Нi'П) ,;'т;!,!нност!,слО>!!ной функции ДОЮt;аНif.За J\1 тт аПj '!'! !;еде!здесь Д жазат; m,стн;) Щ ,;Д(' !анляет собой обобщение н" случ tй нескольких переменных ДOIШЗif!елы' !на т;'оре\!ы 4.5 о нi пI); f;!,1!;HOCT!! сложн )й фУНКЦ!!'!Дн)йпереll1енноЙ.30.нпТо р еep!,1HHайф14.4.Теоремас т о й ттЦЗ Н а К аЕс;;ш фу'!!'Х:'Ция и = ЛМ) 'Н,! nрсрыl'нлл в то'Чi-х:е А евх:лидова nространстваи если( )О, то существует тах:ая д-ох:рестностъ то'Чх:и А, в пределах х:оторои вовсех то'Чх:ах области своего зада1-tи!! (J1) не обращаетс!! в 1-tуЛЪи и.M~~т знпх:, совnадП1О1Циuзнах:о,м,(М).
Справедливостьfт;'оремыНi'Посредстне!ff;ьпеf!аето! !ределе!!!Я нi Щ,;-рывности ;I;ункции В теРМИНifХ «Е - д».40.Т еункзнар е м аиичерео х о ж Дн и илпромежуточноебоее п р е!,1нйн и е.14.5. Iycmb фу1-tх:циявсех тО'ЧХ:(fХ свя !ного ,m,1-tО;JfCгстваства вт, nтш'Че.М ЛА) и ЛВ)-uМ}j(Henpepынаa воевх:лидовп npocmp(i!-31-tа'Чеюt.!! этоu t/.if/1-tХ:ЦIШ в то'Чх:ах А и В этого M1-tО;JfCесmва.
Пустъ. далее. С-любое 'Число,зах:лю'Че1-t1-tое .Nle;JfCJf/ {А) и j( В). Тогда на любоu Henpepыноиi1х:ривои L, согди1-tяm1ЦГU то'{х:и А и В и ц"}.их:о,м, располагаю!! "ися в {iV1}, наидетс!; то'Чх:а N тах:ая, 'Что j( N) = С.Д о к а з а т е л ь с т в о.Пусть...
,= <pтn(t),а ~t~ (3ур;шнения непрерывной кривой L, соединяющей точки А и!!НОЖ;'''fна {Цi'Л!fЮ);! ра('полагаЮf f;'Й('Я н {J1 (с\!. п. 5 § 1).На сегменте [а,определена СЛОЖН;!Я ;1;УНКllИЯ и - f(X1' Х2""-,где= <pi(t), i =,2, ... ,а ~ t ~(3. Очевидно[нихзна [\'Нi!Нi!''')Й функцtt\tи ф\'на ('tTM\'H tet<циии] с it;падают ('О зна'(М) на Крttt;\)йt,f!;УНКЦИЯ одноП переllIеннойL,t<азанная (Л\iжнаяв СИЛУ утвер}t<дения рtettpepbl;tta ta (';TM;'Hte [f; и] И, ('oetaettKe' \t;'Hta [СУ, и] прttн t (taeT зttаттеttие СRtKe N t<рИRОЙС ююрдttНатамtt CPl(~)),СРrn(() ('праR\дшtpat;ettCTt;" (N) = С. Т;'орема дOtазана.пункта,tеt<ОТОР\iЙ...
,50.н аО г рн и ч е н н о с т ь Ф у н к Ц и И, н е п р еры в н о й\'з а м к нТ ОО Г Р ан о жс тТеоре,м,а 14.6 (nервпя т[;преАШ ВеU[;рштрасса). ЕсJШ фУ'Н'Х:'ЦИ.я=(}.;!) 'нгnрерыlнлл нл ;а,м'Х:'Нутом огРПЮl'{е'Н'НО,М ,м'Ножестве М}. то о'На огра'Ни'Че'На 'На это,м MHOftf!eCmBe.!становимся н" ДОЮtзательстве ограниченности(М) сверху. ПредmШ\iжtt ,ттто И(М) Нi' orpaHtt t;'Ha СВ;'РХ\' на М}.Выделим (юtк и в ДОЮtЗ;tтельстве ;\Н tЛОГИЧНОЙ теоремы 8.7)ПОСЛ:ДОt;ат;лt,t{J1nМ}, д,tяI()N.СИЛ\'§ 2) И; {}.;[;;} lIю>t<но выделить сходящyt' ;ся подпоследов tтель-ff=>HOCTt, М/Сn } ПI'\Д\ЛБо, t,llaho-I kЙПf;jjтрасса,ПtЛу зам; 'tattриttад t\'ЖИТ множ\'(' tt;y {.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
