В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 83
Текст из файла (страница 83)
СОНi'РНТСНШf а"аювво1l,ИТ;Я понятие!.ии трех переменных. Для ';того вместоЮfКi'с'Гна {l'vI} 'rOLiCK 1'Нj',лидоной;УfКШf j;зя'ГЬюсксс'Гно {М}сн j', идона щ){;с'Гра!! с'Гна.Т;;к ю;к ТОЧЮ 1 М евкли.;ювоЙ плоскости опре1l,еляетсяшумяХ'IJ, а тосн,а l'v1 CHj', идонаjЮ; п;а!;!,'Гj;аКООР1l,инагми х, у' и z то 1I,ля функт~иi'! 1I,B Y"x и ;рех переменных"!iЮРДИ ;ата;;;мы б\дi'М ';ш;трсб,;ять СО1)ТВСТ;ТВСНН;; iJбiJшачi'НИ!' '" = .f(x,И.f (х, у, z).
Если!.ия= J() за u1 на на множествеl'v1}, то Э'ГiJ ЮfКi'СТНО на.;ынастся оБЛ"fтъю(f!упк;ци'"и = .f (). Число и соответ!'твyr<>щее 1I,аннойиз мно1))чевидн". 11рУГ И шар представляют собой f,ШОЖf'ства {1VI} точек ШIOС-1<ОСТИ И;ространства ДЛЯ 1<ОТОРЫХ р(М М(;) ~ Н.[НЫХскес'Гна1М},аз; ,1 ';а'Г;81-/,/; ЧГН'!!Г,Мn; 0''1/1\; е J\;1СОВOi;УПНОСТЬвсех ч;!стных зю чениП фун ;т~ии{;аз;,п;ае'Гся ,н;;ож:сс пво,;;'=f(M);;{f'ЧеnuuуmоuДляЩИ 1\ВУХ переменных можно ввестифиr,;а, ИМСШlii'фi!;;К;ЦUU 'Ll :г, у';fПО;';рхnо;mъ, mо'Чк;u к;оmорои u неюm к;оораинаmы (х,Р!н:смотрим примеры1о.
U=..;4 -, f(x,!.иЙшух и трех переменных,х 2 - у2, Обла! ты" з!лания;iТОЙ функт~ии явля!'Т! Я круг радиуса ~ с цснтром В начако;;рдинат, а множествозначений пре1\ставляет собой сегмент О:::;; u :::;; 2.. О'!)Л!Н:ТЬЮf!!НИЯ120 . u =VX2 + у2 -этоПщи явля-4ет! я множество точек, лежащих вне круг!! р!лиус;;;а'!ал!' ;,"!ОРД!! ;ат, а2!.ентром!!й прсд! та1;ля! 'Г собойОТКрЫТУЮ полупрямyr;·;. <)бла! т ,ю задания эТi!Й фу нкции ЯRЛЯ-3. u = Jcos;x'МШ!сКССТf;;; 1М},ко!!рдинаг ,1;,,, ;г!рых ;ДОRлеТRОРЯ-+ у2) ? О. Это нер! вею тво+ ',1,/1.
"~ ~2 2kп _ 7r2ЮТ нер!шенству cos(x 2Ю равенствам:::;;"k = 1,), ...разом{Мкруг!!iaKfMiiбсостоитизрашуса2'J!! /2центром в точке0(0, О),ш'образшп!стеП (рис.;швивалентнообла14.1).4 . u = 111x1/z. ОблаСТЫОf!!НИЯ этоПП!!ЯR''''тся!о +!ес'Гно{М} точек, коор!шН!!тыЮ.JТ; ;рыхуд;!Влств; ;ряютнеравенству :гу z!Оскес'Гномвсячи!-ос<ювая<>О; азнаLiСНИЙ+ос,5. u = х 2-пf ямая1Г+Обшн:тыо з!лания это!';функции яf; ;яе'Г! я нс!'КЛИ1\ОВОпростр!шство!Оскес'Гнома'ие14,знаLiСНИЙ?полупрямая иО.4. ПонопТ'я m-mерного координатного 0POCTj'?aHCTBaи m-мерНОiО еt;клидоt;;! простр;!НСтt;а.
M1-tоJfCесmео всевозMoJfc1-tыlx УnОРJiдо'Ч~1-t1-t'ЫХ сово!;!уnносmей (хl, Х2"",х т ) rn 'Чuсел41')П()Н'lТИЕ,J rn:[;2(J,прПри 'jTOM КСОВQ};УПНОСТЬ:[;1, :[;2,, :[;п') мыllа"ынать то" l"ОЙ ЭТОГi' ПРiiсгра; ;с'Гна иоБОЗЮiЧiiТЬ 01\НО!";М Числа :[;1, :[;2,':[;"" Н,'ЗЫВaf"Т~СЯ i':iЮРДll ;ата:) ТОLi"И М, Запие MCT1,J2,:[; ,,)а" 1ас 'Г'l"a ivl1"ООРДИflа'Гы Х1, Х2,· .. ,Х rn 'Г::~J\Л~Р1-аkО евi,Л, :дова пространства. KoopдиHaтHO~ npocтpaH~:т:ю Аrn Но :ываетс:т-.М еЫ.М е в '1\; л и д о в ыпро с т ртО.М Е ПI , еСЛ"Ll ,не ;::ду люБЫ,Н"Llто'Ч'I\;О-, ...М.:: м' Cг~,,x~J и м" (х", x~,...,x~J 'координатного про-странства А rn onpeae;i.eHO расстоянuе 1 р( м', м") по фОРМ. улер(x~)2.'['"("1") =(14. )BBe:leHHbIe ШiМИ понятия l1H\IepHOro КООР:ШШiТНОГО ПРОСТРiiН~с'Гна Аrnm-МСРf",lО ,'Нl',Лllдона llр"с'Гращ:'Гна Е П?1) Евкли юво m-,,;ерное",'дс'Ганля-;;остранство представ';яет собой та;, назыMHOii,eCTBO {М}.
элеваемое MempU"ieC'h~oe nросmРШliсmво. Произвольноеме;;ко;'01;01'0имену;р ;'Ос!то' ;кам"наз;,шае ;'Ос!метр,,' ;ескимствOi'"сли существует правило. с по, "'щью ;,от"рого любым ДВу"М'М"М;;О2кестнаj ,нстанитс;;соо; "етс; ""ер(М' М"), Ha:~ЫBa,'Moe р~с;mОЯIiU>'Мзан;;ое пра,,;шо;танточ>,а",;;екоторое'lИСЮэти;,;и точ>,а,,;и. При это,; ука-;отж;;о бытт, так"м,";"ПОЛН}iЛИС;, с;е;у!Пщ"е ак-сио,,;ы (a1i;;UOMbl меmричесм)го nросmршн" mва), ) ;ля любых М' и 1\II"p(Mi.M ii ) = p(Mii.M i ) (си;,;метрия расстояния): 2) для любых 1\11' и 1\II"р(М' ,Н") ~ О, ;;РИ'lем, если,н' М") =то то';ки("OH;;a~дают: 3) для любых трех точек 1\II', М" и М'" выполня,'тся Нi'paBeHCTBOп(М i М,и) ~ р("Н")Ми,) ;;ера"е;;с;;;о треугоm,;;ика).Уб,'ДИМСЯ, что ввеД;'нно"с;'елт,но}iНЛ}iетс;;метр"на,,;и "в;<лид"Вii;ескимпростраНСТВii дей-прос; ранстном.самом;елеСllра;щц-лив' ,сть ш 'lJEbIx ДБ;Х а;<сИi;М метрического ;1" 'странства очеВДiiна (см.
форм<л; ( 4.1)). Убеди;,;ся в справедливости третьей аксио,,;ы.lУСlЪ;,.х;"-коор ;;;наты ТО'lекm2:[(; -х;)]2 =-х;')i=l. М", м/II, Имеем р2(m2: (х;"-.По ;агая= О,Xi/ix~')i=!1=1х;.'-+х; = Ь, и исполт,зуя неравенствок гл.,уня <овского10),най;е,'~----mчто2: (X~II -x~.') (X~II-1=1чтоp'(1\I1'. М п ,)p(1\I1' , М")(+ p(M i'2rn2: (хМ п ,).п'х у ) ,т. е. p(1\I1' , 1\11' i) ~[НЫХю'Г собой обобщсния Yf,;a ;аншп; ныи сю;ПiJ' ятий ,,;'юрди 1а'! 1ЮГiJидона Пlk)с'ГраffС'ГRаTO',feKСИМRО,ЮМ1\;1}'inтvvериогоМ1,IеffКЛТТДОff1fПРОСТР1fИ-обозна LШ'Г1ю-жество точек rn-мерного евкли ЮК1 ПрОСТрi НСТК1 Е rn'Грим"'о;"ЛЫ';iJпримср,н:ЮсС'ГRRт-Рассмо-юмпростраш тве ь rn .1.Юсf{еС'ГRО1\;1} нс: f:iJ:',fOcf{HbIX 'Го LiCK, ,,"юрди ,аты,J2" ..
,J rn КОТОРЫХ У1\овлетворЯf<>Т нерс 1 венству (Хl ++(xr-x8)2+ ... +(J rn -хgJ2 ~ R2, назыюется т-м.гр'Ным. шаром.радиуса R с Цi'ii'ГРiJ"ТОLiЮ' 1\;10 (xi, ХЫ, ... ,x~ . Тю;iJбраюм,тiый [ар Оffредсляе'Гс':т [,;акЮсf{еС'ГRО {1\;1} Т" i'RОЗМ1)}f{ttыХточек М: ра, стояние р от каЖ1\оit из КОТОРЫХЮ некоторой точки МО (центр"дов" творяст штавенству р(1\;1, Мо )Если ра, стояние р(1\;10'riJ")от каЖ1\оi't точки множестваУД,Н: iСТТi"ряет с'Гр,ном"R.{! '1"'раR:'iiС'ГRУ р(1\;1,Мо '!1\0< R,то множество {наЗЫКiеТiЯ Omi,PblmblM rn-м.ер'НЪ/..;\л шаром.20.
J\Iножество {М} точек, Рiнтстояние от ЮiЖ1\оit из ко'riJPblX до tt'f';iJ'ГiJРОЙ 'Г11\;10 "ДОRШ''ГRОр1'1Ю'ГtЮtИЮр(М, Мо ) = R, назыюеТi я т-м.ер'НоЙ сферо/J р! 1\ИУС 1' R с T~eHТР' 'м в точке 1\;10.3. I\Тш)жсг1\;1} ТО LiCIO, ',,,,юрди еаты xl Х,, х rnРЫХ уювлетворЯf"Т неравенствам IXl - x~1 ~ d 1 , IXrIx rn-x~,1,x~1 ~ d 2 , ...на;i,iRастся m-,,,,repnbl,,,, , noop)uHumnbl,", , nа-раллелеirшrедо.м.
При этом точка Mo(x~,x~, ...x~) Ha.ъrвaCTся T~eHTpOM :1ТОГО тn-мерного Шiраллелепипе'ГыXl. Если КООР1\инаУДiJТiЛСТfi1РЯЮ'Г СТР1Н"Х, ... ,Х rn TOLiCK МШ)}f{Сi Т1iанеравенствамx~1< d11\;1}IX2-x81 < d r ... IX mx~1< drnтоЮсf{еС'ГRО {М} на;i,iRастся omnpblmbl,,,, , т-,,,,,,р :ы,,,,' noopd'Ll :ат'ныl •. nараллелеnun~дом"Вве1\емпонятияEonpecmHocmuт-ЮГiJпр, ,с'Гра! [с'Гнаточкипр :,НO'Ijголъnоuточки Ма . Будем. 'Называт'ь Е-Оon[Моевкли ЮК1е,т :о,тир ~ С т 'н О 'с тэтойю т О 'Ч-U(X~и' х8, . ..
,xg,) rn-.;\Лf'Р'Ного ~вi,Л :дова nростра'Нства Е П?omnpblmblU т-,"""'Рnыи шар родШf: ацс'Нтро,,,, , в то'Чnе 1\;10.Пр,ям.оугол'Ной Орест'Ност'ью то'ЧUМо~., т) т-,,,,~epnoгo "''',nJ!u)oBa nро,тра'Н,т",'" пазы шгтс,я любоu Omi,Pblmbl,U rn-м.ер'Нъ/.71, i,оордu'Нат'Нъt.71 nараллелеnu,.[8, .nс)це'Нтро,,,, , в то'ЧnеС танед1\;10.(ТiСДУЮЩ:'"У'ГR:ТЖд'"Люба,я E-Оi,ресmносm'iJ mO'fi,U:идова rn-M.' р'Ного nро:тра'Н: т",'" Е П? содсрж:'Ltт 'Н!nотОРУЮЩ.щ,,,,юуголъ'Ную onp" :т'Ностъ этой тО'Чi, n. Люба,я nр,ям.оуголъ'На,я onpecmHocmb то'Чi,UCOd~P:JICUm 'Н~i,;оторую E-Оi,ресmносm'iJ тО'Чi,;U481П<.ШЛИЕllСКО'ГОР' ,!'{М}т-МШi}КСС'Гi1i iЮГ11 ПРiiс'Гра <с'Гна ЕrnГо'Чк;а М ,lluож:ссmван 10!М}u1i!ыlасnсiiт()'Ч,'f);()'й ЭТn()" i ' .;\ЛН():JICГСПiва,l'v1,E-ок;ресmНОС1!i"mо [К;'Ll<'TiК <ИДi 'Т1аСiСД" ЮЩlli' П11'"CI'ilву тnСУЩlOсmвуlO'Тn Нif1()'П/,()-все 'П/,о'ЧК;U,мНО:JICес'П/,ву {МТо'Ч!,а М 1) назыаетс,я<т1,1!г р а н u 'Ч Н О '11 то'Чк;о"/i .;\ЛНО:JICееит люба,я Е-ок;рестностъ этой то'Чк;u содер !!i'Llmnpi7'J-lаd iГ:JICа'ЩUIO .;\ЛНО:JICесmву {Мтш, U HIO nри{l'vI} ,е.М!!.MHo:JICecmeo {т ъlО} пространства Е rn назыаlomс,я О т 'К р 'ь/,с с т в Оu л 'Ll О б л ат ъ ю.
ССЛ'Ll люба,ятО'Ч!,iа эт(ро .;\ЛНО:JICествавнутренн,я,я.Еслu !,а:JICда,я граНU'Jна,я то'Ч!,а .;\ЛНО:JIClOства {М ,явл,яетс,ято'Чк;ой этого ,llUO:JICe;rn,o, тnо .множ:ес пво l'v1} uа:ыоеrn;,яза,м'кнутыl"Если множество {М} пре[\ставляет собо!'; ооm сть, то множе-стно!l'vI},точекiiOЛУ'1i"!jTOrOюс !!РЩlОСДИllСllИСМмноже! тк'ш!зывается з а м,l'v1}Т1ССХ !раllИLШЫХн у т О7lобласrn!,ю,Отметим что если все точки оБШf(lТИ {М! нахо[\ятся внутриш,'ю)Т, ;рОГ11 птара. Т11 эта 11бласть называется О га н 'Ll 'Ч ен О 'й.В [\!iльнейшем НПЛ ПОШiiO, iится понятие св,язного .;\ЛНО:JICе<т ,о. П рсдвар !,!'Гельш i \!ЫПi "неnрерынойu К;Р'LlfЮЙв многомерном ПрОСТр!iнственlonргрыно7l !,Pue07l L в npocmpaHcmelOм,ы, будем, назы1,отъ ,ll,uож:е;т1Ю {М} то'Чек; этого nро;тран; тuо, к;oop)иHaтыХ1, Х2" .. ,Х rn к;oтopыx nредставл,яют собой HenpepыHъlee функ;i!,'iШ nарам,етра,У'2Мыбудем1""2= 1'2, ...
,'\ rn =!оно!ить.") ,,'11'110::::;; :::;;<Рт'Г11'!x~,...l'vI'{З.(14.2)x~J'Е rn .MOi!!iuo COeu'Llif/Llmb.1... 2 х rn пространстваpынонJ, !,PUe07J, L если существует таюш непрерывная криваям " !Х 12Хопрсде iя,\!ая !!ара!, i''ГРИLiССКИМИ уран;x~(0:),= <Р1 ({з),x~=ями<Р2 (о:) ,x~ = <Р2({З),.2) LiTO= <Рт (о:) ,x':n =Рrn ({З).С, [юрмулируем понятие связного множества. Ji.lHo:JICecmeo {}nро; mpaH;mi,1i Е rn иa:ы ,оет;сн ъlССЛ'LlЛI, ,(iыc1) ОтмеТИ;,iСТБ116что при ЭТOi' точка М{1VI}.В.А.
Ильин, Э.Г. Позняк, частьIнепринадлежатьMHOiiie-[НЫХ!'7!!о,ну3а м е ч а н и еО'! ['!РЫ'ГОС И СRЯЗН!Отметим, что ИНОГ1\а оош СТЫО назыв! ют!!',аПР!!С'Г!!! !'ГКр! ,I'Г!!!"ЮсКi"С'ГRОР!!ссмотрим сле1\УЮi iип примерЮсКi"С'ГRО {М}Еrn, ОПрСДС!Я!'АОС !ратшснисм+ ...1/1.3'i1,назыв!!еТi я rn-мерным эллиnсоидо.;\Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
