В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 79
Текст из файла (страница 79)
;'остоящийи; ч.'liНОВШОГО :~нака,f.;Ш которого СХО1\ИМОСТЬ ,у;нача. la быабсолют'Ную ;·ХОДИМОСТh. И'Гак. С РЯДОi\'СRЯЗ jffbl(13.61);'СС-кон~чных РЯ1\а с nоложшnель'ныlivшш чл~наыи ~ Pk и ~kk1\~M обо:~начать ш рвый и; :'Jтих РЯЮВ символом Р. а вт, .роЙ ;'ИМliОЛОМ Q.
Дою~ж,'fTO об;~ ряда РQ ЯR ;яют;.·Я Р ;;'ходящиыися. Обошачим симво./юм Sn n-f!' частичн\'i' с\'мм\' РЯ;fа(13.61).;'ИМliОЛОМ P;~ -CYi\"YY liCiX f1ОЛОЖИТ~ЛhНf)'fЛ~f1ОR, liXO-1\Я; ;JIX В Sn, СИЫВО.ilOЫ Qn - с\'мм\' МО1\\'ЛiЙ ВС, Х ОТРШfаТiЛЬНЫХ'fЛ~f1ОR ю:одящих R Sn. Тогда. О'f~liИДНО S~.Рn - (Jn'ГЮ;как по УСЛОВИf;; РЯ1\ (13.61) CX\~ lИТСЯ к Ш юно] JOM\' числу S, тоlim[·-+х(Рn -сто] J'шы.
так как РЯQn) =::.62)::.6 )'Не сходшnся абс iлютно,тоliш13.63)(n--+оо{13,(;2:{13,(;3:,получи!.кон~чногочислап~рвыхчл~нов:'JтихРЯЮВ.и; оставшихся чл~нов как РЯ1\а Р. так и РЯ1\а.5= 00, liшQn =n--+". 1\ока:шно. что оба РЯ1\а Р и Q расхо;штся. И:~ расхо.;lИ~р YДOliИ Q'fTO даж, f1ОСЛ~ удаш ния люСю; О= 00. т.МОСТ"liш Рnn--+"В.А.
Ильин, Э.Г. Позняк, частьIыыQВfЯтьСТ, ль большо~РЯ.lOВ"ЩЛО 'f.'feHOf; что ИХ"ЩЛО. Опир 1ЯСf. Н1.'. Эfffре;зойде'Г ,'fюбое н 1ffеред нз лоеДОf';ffжем, ЧfО можно 'Гак переС1;1-вить члены ИСХО1\НОП; РЯffа(1361),чте; в pe:~y.ffbTaTe получитсяряд, с:одящийся к ;jffеред нз ЛО\fУ 'fИСЛУПО.f1.·ЧИМ требуемый РЯ1\ c.ffe1\\ 1f;щиыисходно! о ряда(13.61)P01JJfOLВ С1МО:: деле. мыСначала выберемс УШ/!/Ы;!О положи'Гел .ТТЫХ 'шеНОf;Р1, Р2 Р:3,··· , Pkl ' чтобы их сумма+ + ... + Pklпревзотпла L.'sатеыюбавиы к выбранныы членаы ров 'НО ст iЛ'ЬКО отрипатель-q1, -q2,··· ,-qk·" что;'" оБЩ;1';'Р1 +Р2 + ...q2 - ... ока ;ал ась меньшеснова 1\оба~f;и:: ров'Но столъко fюложитеЛhНf.f··: члено; Pk +l,Pk, ... ,Р k з,чтобы общая суыыа Р1 + Р2Pkl - q1 - q2 - ...
- qk2 ++ РА 1 + + ... + РА ока;алась больше L. ПРО1\олжая аналогичныеТТЫХ члеfЮНq 1-. . .+Р А 1 -рассуждеffД;1лее, мы fЮЛУ fИМ ;'еСf,;онеЧНf.fторого ВОЙ1\;;Т все чле'Ны ИСХО1\НОП! РЯffа (ряд. н ;'ОСТ;;1' ко::.6 ),ибо каж.fыIйраз Тта:: ffриде ;;'я добанл пъ хотя бы оди'Н fюложитеЛhff1'илиотрицательный член ИСХО1\ноге! РЯffа. Остается 1\OKa:~aTЬ, что полученный ряд СХОДИТ1,'Я кЗаыетим, что в полученноы рядеПОС.ffе1\овате.fЪШ!fУf()ТСЯ груnnъ! поло шител'ы!ыlx И групп'!,!отрицателъ'ныlx 'fЛеНОf;. Ее!Ч;1(;ТИЧff 1Я 1'умма lю';уче f1ЮГО ря-1\а :~аканчивается пол!! iстъю заверше'Н'Ной группой, те! отклоне-ие лой ч ff''ГИ'fноi! 1'УММЫ О'Г1l0с;еД11е! О е! о ЧШИ;1L 11е 1fp1 нос:оди! модуля. Е1ЛИ же Ч;1(;Т1·1Ч11 1Яется 'Не пол!! iстъю :юверше'Н!!)11 группой, то отклошниеfТОЙО'ГL 11е 1fренос:оди! модуля 1юслеД11его члена пре1\ПОС.ffе1\неЙ и:~ гр;;пп.
Д.frя установления СХОflИЫОСТИрядаL ДО1,''ГЮО'ТНО убеД11'Г1.1 я'ГОМ, 'Т'ГО модули 1юслеД11членов группбесконечш! ыаЛ'у!f\ посшювательность.а :'11'0 неП01'реД1'твенно BbITeIOfeT из необходиыого условия 1,'ХОДИмости исхе!шого РЯ1\а (::.6 ).Теорема Римана 1\OKa:~aHa.О перестановке членов абсолютно сходяще, ося ряда.п))fыI\;;щеыы пс;нкте мы!Ока;али, что услов'Но сходящийсяряд 'Не обладает f!ере,местителъ'Ным своЙство,м. В :'J'ГОМ пуН!·;'ГС мы докаже'тто для вСЯi;;ого абсолют'Но сх:одя JJегося рядасправедливо nереместшnелъ'Ное свойство.3.Теорема13.11(теорема Коши).
Если да'Н'Нъи'l рнд сходится абсолют'Но, то любой ряд, nолуче'Н'Ный из да'Н'Ного рядаnосредство,м 'Не!;fоторой nереста'Новки'fле'Нов, также сходитсяабсолют'Но и имеет туСУМ,МУ, что и да'Н'Ный ряд.Д о кз а тл ь с т в О. Пу;'ть рядос!LЩ::.64)k=ll) Ибо мы ';обанл;е"f\аШ1"'Г; груп !у 'lлеш.! рон!;о ';ообщая сумма ,'не переЙдеп. через числоL.е;; пор, покаlИЕС~lPl.·lbI00LU~(1365)k=lряд, полученный из РЯД1J.(13.114)llосреДСIНОМ llеЕОТОРОЙ llере-~~Т~~:~Т~~ИС~:I~~;;Тlр~шную s; tO~~~~~;~ l(l~~~f>~ТДХоДится ~,~~~~~~~но.
Дока/j<ем снача.iта1).ЕN>Он~;йдется номерДостаточю~ 1\OKa:~aTЬ, чтс~lЛЯтакой, что ттриs>ТТРОИЗRШIhное ЕnN(13.6(;)Е.О. Так кю; ряд(13.64) ~'ХОДlfТСЯаБСОJШ;ТЮ~ и имеет сумму, павную. тс~lЛЯ выбраню то ЕUможно указ ;ть номер N o такой, что будут ~ праведливы неравенства<.::.2(р - любос HaTypa.ilbHoe число)::.67)ищ _Выберем теперь номерстичная с\мма ;~;~; рятаNs <Е 1::.68)столь большим, чтобы(13.6<;с HO~Hсодер шала 6се nep6ЪU~'Члеij 16 рядаОт~еним pa:~HOCTЬ, стоящую в левой части (13.66), ИlOкажем, что при nNТ.lЯfТОЙ ра:~ности справсlЛИВО неравен~THO (13.6(;).?~'aMOM дел~nLU~-, указiНную р~.;.зность можно преД~.·.тавить в виде(t U~-п-1lOMepi1ераиеi1С'l·Иа;.~~ щ) + (~щ -s)п-1(13.67)k-13.68)мож~ю изя ~Ъ p;fU'/i U то;;;;не<;.
В самом деле, предварительно :~аписав YKa:~aHHыe два неравенства сразными номерами N o , мы затем мол,ем взять наибольн;ий из flBYX номе-N o.2) Такой номервыГ;рать можно, иГю ряд (1:\.6,)) получается и:~ ряда(13.641 посредством некот 'рой пере;~тановки членов ..5*РЯ.lOВ;·:::кмодуле!]\:оду.:Ъ'Го изсу\"Д;;ух ве.;;(13,(;9)iieiiревос:оди[:]ММЫi1ОЛУ [ИМn-5 ~ L'/},~- L'Щk!ik -kk=lИз Н1р:.:.В1НСТВИ (13.~O) оч; видно, что для докаЗ::Т1ЛЫ тваH~paB~HCTBa (13.66) 1I,остаТОЧНОfC)ка ;ать, что при n ? N(13.
~1(13.71) З::М~'ГИ\;. :[то 1iрИ nп~рвая и:~ С\ММ, СТ; ящих В л~вой части (13.71), содер:житДЛЯ ДО1'; :заТ~ЛhСТ;':' 11~paB~1}:''ГBaNо ":рвыl' j .лсJ-lовв( 3.64). ВСЛ~Д;'ТВИ~fТОГО р;,;зностьnи;:,k=-LUJ:72)k=llР~Д;'Г;R:;;'обой су\ \;у (n - N o :[Л1НОi; ряд;;раыи, 'Ка:Jlсдый из 'Кот ipblX nревосходшn N o .Е; 'ЛИ1Iaтураш.11О1 р ;'ТОШ. бо:ъшим,+РNвс:nревос:годил номера всех (nу,;азанной Ci;M,Mbl, то для Р;;З11ОСТ;1110\;:[тобы 110\ 1р- N o) членов тОЛ'/J'КО чтово i;С;ЯКО\' СЛУ:Ia1(13.справ~1I,ЛИВО н1 раВ1НСТВОnN()LU~-LUJ: ~LIщl·73);"=.\'0+1Из H1P;;i;1HCTi; (1:.73)(13.67) В1Л~1;;;е'Г H1P;,ii;1HCTi;O (13.~1).Т1Ы с;мыы доказ;;но нер rвeHCTBO (13.6(;), т.
~. доказ;;но, что ряд(СХО1l,ится И им~~т суыыу, равн\';::. Оста~тся 1I,oKa:~aTb.'/1'в~ржд~ 11[~ 2) о 'ГОМ, :[1'0 ряд (13.65) С:ОДИТ;Я абсолютно. Дока ;аТ~ЛЬСТВОfТОГ1; \'ТВ~РiЕ1I,~НИЯ СЛ~1I,:;Т и:~ \'ТВ~РiЕ1I,~НИЯ ), 1C~ли1ГОПри1iРИМ~11РЯД;,iМД01·;аЖ1";'ХОДИМОСТh i;TOPO; О из рядов (13.~4)1I,OKaif';bl абсолютн\';:: СХО1l,имость РЯ:1аполность Ю1 ока <ана.i13.6;i:.T10p~Ma13. 1ППЕГАllИ:: К§lИ"lИС>l РЯ,Ариф,метические оперi:Ш,ИИ над сходящимисярядамивllараграф! МЫ расс:.IО'ГР:"'1ле llЮГО сложе11иR(Лl\:,11011POCхТ{'орема';11ОСТ:' 11011ере:. ножения сходящих: Я р !ДОll3. 2.ji,C!!'/},Lдоа рядах~ ;'k с:год f.IYiСЯ'/},/сk=lи и,меют с.! м,мы, соответственно равные И и Уто и рядхLltk± Vk)сходшnся и имеет C.!jM,Mfi, равную И± У.k=Обо:~начиы n-~ частичны!Vk) ;'ОО'ГR~'ГС111;ННО '1iр!З= иnУn .
Так как 1iш ИNД о к а :~ а т ~ л ь с т в О.LL VkМЫ рЯДОllltk,Уn и SN. TOГi1a,±11Ш ~~L = У, то ;огласно 1'; op~Ma:.n-+х±':.9n-+·х'3.10,=,И,;'УЩiСТ1,УЕТ 11Р~Д~i:±=liш SnИУ. Т; ор~маюка;ана.nТшиtм образо,м любые сходЯ'iJJ,иеся ряды ,можно i!очленносnладыватъ и вы'Читатъ.П~Р~Xi! lЯ к ВОП] .осуния ря юв,1\OKaij<iblBO:~Ы! iЕНОСТИ почл~нноГi! п~р~множ~-СЛ~1\\ "!Щ!!<;ТВ~РiЕ1\~НИ~.ххТеирема3. 3. ,",сли два рядаLltk иL Vlсходятся абk=1=1солютно и и,меют су,ммы, соответственно равные И исоставленныu из всех i! роизведениu видащто(k=,2 ...
;l=,2 .... )зану,мерованныlx в nаnо,м уго)но по! ядnе. тш,;ж,сходится абсолютно и его су,мма ра6JШ ИУ.Д о к a:~ а т ~ л ь с т в о.1;РОИЗR~Д~11Rlща ltkVZ1Об!!шачим ч~р~; Wl,W2 Wз, ...... : l1,Зii11УМ~РОRа11хны! в каком; ГО1\НО ПОРЯ1\Ю . Д! каж~м, чт!! ряL IWiСХО1\ИТСЯ.LП\'сть- n-я частичная cYblblaiToro РЯ1\а.
Суыыа Sn состоити; ЧЛiНОВ ВИ1\аИН1iКСОВ k и l таких чл~нов, вхо-IltkVII.ДЯЩ11Х!'УММУобо:~наЧИ1\/.наиболъшш'lS .. ,1Щ~1';С, 1';О'ГОРЫЙ МЫ111.Тог 1а в!! всяю м случа~13.правой части нсравснства!''ГИ'1Н г: !'УММ РЯДОR(13.7';;L lltkl Lстоит ПРОИ:~В~1\~НИ~ т-х ча1. в силу С:ОДИl\Ю!,''ГИ У1'; :занных пя 1Ов С ПОЛОЖИТ~,;lЬными ч,;;~наыи вс! их частичны~ суммы(а CT~JТii быть, и их проиш! 1iНИ! ограни'Чен·ы. ПО'iТОЫУ огРШiи-ря..·ЮВ',;ТОt<a':bIB:t: тИtим;;(тьСХО. tим: ;(ть1.Ui[;,Ч1'О п; ;следt шij ряд И;," :;т су .;! ;'iYН\'Р;ряд; ;,':;дитсяр:сумм:!SтоН; .;пm::·'Um от.6ВS.рав-(илуj:OiJiOPO,' М'!;:его 'у чм'Uруем. Каt<Ую бы мы ни взщIИ после ювательность (астало С,ыть, и nодnосл:;доваm.:;ЛЫ-tОСТnЪ 1)) частичных сумм этого[а, она сходитс:t к числуS.'Ш: заведомо равнаибо именно к этому числу схо tитсяНо вTat<oMслучае суммаS[аасLUV.i=lnодnоследоваmелъносmъVYm = (ЩvYmчаСТИ'i iЫсумм ЭТ010 ряда в !Да+ 'и2 + ...
+ 'Um)(Vl + V2 + ... + V m )·Теорема 13. 3 юказана.3 а м е ч а н и е. ПРОИЗi едение рядов(х)k=lk=liЛЯ многих целей у юбно:аписывать В виде( ~ 'Uk) (~Vk) =k=lk=l-'и'UlОтмети;" без доказатеЛЬСТЕа, '!ТО ряд, iЮЛУ'iеi iЫЙ iю,шеi iЫперемно.ж:ением двух рядов у<а:анным специальным обраюм,сходится и в случае, [<огда mолък;о один из двух перемно.ж:аемыхюв СХОДИТС:i а. ·:ОдlОт.н.о (а,)тойможет при этомсходиться ТО. iioКO YGTIOi iЮ). В СЛ"'iае, когда оба ряда с:,:одятся,'словно,почленноеперемножениеприводит вообще говоря,§ 5.ихдажепоэтом,'правилу,асход:tщеМУс:t ряду.Признаки сходимости произвольных рядовВ § 2[;1 устаtювили ряд iiризнаков сходю.юсти для рядовС nОЛОJICШJi.елън.'Ы·.":; 'Член.а чu. В этом параграфе мы изучим воiipOCО iiризtiака:·: сходи;,юс;и для рядов С чле iЮ.Ш";;;010зtiака.Итак, пусть(х)L'Ujk=1) в силу п. 1 § 4 гл. 3.(13.76)ряд, чл, 'Ю,l Ю ,'111Р,имею'! какИ(' УГОД! ю зн;rю,!,111з rмети\!, ЧТ11 дЛЯ уст;! 111вле! 1!,fЯ абсолюп;uоii, т,еПр, 'l}lде"'1Щ1IМОСТl1 3ТОГ11ДЛ11 у<таю>вл, 'ния СХ11 lИМ, ,<ти ряда с п' ,ложительными"'11'н;rмиLUkIг1мuж:но примеЮ1ТЬ любой и; Пl'ишаков §(признаll Даламбера,ОШ!l, Раабеинтеграл fЫ!!ризнак).
ОДl!акоодиниз yrlж;анных признаl10В не дает вu;мuж:ности ВЫ11СНИТЬ (олееmOH'x;uii вопрос об условноii сходи.мосп;·и ряда13. (6) 1Нил;:е мы и;аймемся ОТЫСllанием более ТОЮIИХ ш ;и'шаков,позволяющих \'станавливать сходимость Р"1Да3. (6) и ~B тех случа11Х ког, Щ этот ряд не 11ВЛ11ется абсолютно схо, ЯЩИМС11.1. Признак Лейбница. ПРИЗ1!ак ЛеЙСНffща ОТНОС11ТСЯ квесьма распространенному частному вид\ ряда3. (6),такназываемому JНaJ;очере1)унnцеЧУСJl ряду. Р11Ha;bIBaeTC11!'rta'х;очередующ'UJv!СЯ, если 'lлеЮ,l этого ряда 11О0'1ередно и\!е С1Т тополuж:ительный, то отрицательныйряд10шаКИ.1накочереДУЮЩИЙС1!записывать так, ЧТОС1Ы бl,l.Шl выя; лен,1знаки всехего членов, т. е. в видеР1?!де все-+ РIР2- ...+ ( - l) k- 1Pk + . .. ,(13.77)О.Теорема 13.14 (nризнаХ', Лейбница).
Е1ди ';/iе'Н:ы!'Нл!;оЧ!!jп:дУЮЩ1:гося ряда, будуч'U взят:ь; по Jvюдулю, обраЗУЮП 1 невозрастающую бе1'х;nнечно .малуюто этотряд сход·uтся.3 амечание'яд, удовлетвоl'"!ЮЩИЙ УСЛОВИ !м теоремы13.14,'lасто !аЗ1Баю! рядо.м Леiiбнu'Ца.1) Заметим, впрочем, что признаки Да,"амбера и Коши можно применять для усmШIiО6ле'liUЯ расходи.мосmи ряда с 'Ч.ле'liа.лш любого З'liШ/ШгаfЮМ Дi'ле, Ш'Zlкий раз, Ю1гда признак Даламб1'раpf'"раГХОД11'ШПЪ рида из М1Щf'лейL=l1tklk-й(13.76).К11ШИ к ,,1ссга1'И-рида1tk н''k=lгегр' f1Ик Н' '1Ю приk --+ OG,ПРИМ1'ра УГ1"аН шим, Ч1'О ридег.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
