В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Из соотношения!Ь ЛЬ!Ьif(b)выражеfв jшадра; нifMУ1\ОВ, fетворя;;'УЦfRЛ;; IВ )Шfет ;:0; )т!-(l2.E),j )ш;; ffИсоотно-[м :7 п ~учитывая, что,n)[лс)f(c)],jX Cj;- f(;;n)][!(c)-f(x;n)]')бках те тему Ла-гранжа, полу ТИМХпrjeXi '1-< ~;; < с, с < ~1;ПОЛО\i;ите.m ;;>сти<12.1(;)(с-(Ьn -Ь, так чтоjP') пв'щf*В силу неубыванияГ'(Х) ;;;;>жно заmIсаТjчто О<Г(~n) ~ Г(~~)· ОТС;iща слецует, что др,)бь в прав,)]f част;,(12.1(;) пололсительна и, кроме того, не преВОСХО1\ИТ еiИНИТ~Ы(ибо (!>с) (~~) + (с - Х п ) (~n) ~ [(Ьс) + (сxn)]I'(~n)(Ь - :1:" )f' (п) . Стало быть. О ~ :1:;;+1 - Х п ~- Х п , т.
е.Х" ~ Х;;+l ~а м еа н и е 1. Мы{;ает Н j,Ш,)Жjjтельна на [а, Ь].неlая:lай, КОГ1\а,т еще1 f'(x) не возрастает и отрицате,ъна на [а,Ь]: 2) f'{;ает Иja ja(х) нев"т;растает и ПОЛО\j;ите.mцательна на а, ЬTpjIf'(x)нео!pjj-.сл;чая ана.Л: )ijIЧЮрасс ,;;>тре! Ш')МУ выше.сл;чаеуравнение f(.r) = О, так же как и выше. заменяется уравнением (12.14) икачестве нулев,)го приближения берется Хаа(при ';том после1\овательностьтаклее оказывается неубываiiiщеЙ). В случаifХ 2)3) урюшеЮjе (х) = О заменяеТCif неуравнением (12.14 , а уравнением1дер!;Х_-х_(а- x;)nr)f(af(x)И В Ka'leCTBe ну, [евого приблилеения берется точка Ха = Ь (приэт')м j;;>след,татею ,носу {х п } ;;жазьшается нев')зраста;i" jей j.3а м е ч а нета лее самая oт~eHKaMeTO'j,a"yj;a +,e\j, что для ;;jет'ща Х тд СjjравеДЛИi;а(12.13) отклонения Х;; от корня с, lTO И длякасательных.и(вif()iШМ()И~cieПс)(Н! реi(}шимет))телстиПРlЛПОЛ(»i{ИМсубыв ЧТIIIII______-7~--~~~--_&----lbif()ЛОЖН'!Сна сегменте lu, ь j (рис.
l:г.6).Опре[l;е,iИМ Х1 по MeToiiT Kaca~теЛЫiЫХ.ВЗЯi; за нулеiюеближение точкуго определнмтохорX:,iноiiPH-После это~прнмеюiЯ менексегменту, а к сегменту [а, {1]. дa:~А[ее,определнмKacaTeiЬHЫx,Рис. 12.6ХзiЮИСхО iЯ\iетодсиз:р:кенайденного Х1, а Х4 iЮ \iетодсхорприменяя его к сегменту[Х2с ХЗ], Указанный процесс иллюстрируется на рис.12.6.Преим.)'i (ества комбинированного MeTo[l;a состоят в слеii.ТЮ~щем: BO~llepBblX. он дает болеесходи\юсть. 'ieM методхорд, и, BO~BTOPЫX поскольку пос[едоватеiЬные приБЛИii{енияХnХ n + iшмБИНИРОi;анного \iетода с разных сторон прнб.ш~ii{аются к корню, то разность1 [дет оненку погрешно~стн эт()го \iетода.
Есзашже jjюе зна'iение iШРНii взягIx nX~=§ 2.Xnl:Сn +;Cn+l, то Д iЯ погрешн,)сти получим оценкуПриближенные методы вычисления определенныхИНТziГ'l*алов1.Вводнхн ! замечаНI'ТЧ Прн решенряда акту ал сных фи~:~ических и технических :~ac iДЧ встречаются опреде. [енные интегралы ()т функций, пеРi;,.юбразные которых не 6ыражшюrnся "{ерез эле.Ntенrnарныe функ/и/ии.KpO\ie TOf'O.
в iiрнложеННiХ прнходится иметь де.Ю с опреii.еленными инте~ра [ами, сами nодъt'l-Шjе~гралъныe ФУН1\,i!iии 1\,Ornnpf,fX не Я;fЛЯЮrnся эле.Ntенrnарныl'и•. ЭтоПРИВО,iЛТ к неоБХОiiЛМОСТИ раfработки приб.шженных MeTo[l;oBRii,'шслеНli;' Оllреде.[енных [штегралов 1 .В этом параграфе мы по шакомимся с тремя наиболее упо~требитель iblMH прнб.шжен ымн \iетодюсш вычислеНli;' опреде-1) Заметим. что приближенными методами часто пользуются и для интегралов.
выражающихся через элементарные функции.lШТЕГГlbI<llНЛТРilЛ.;В: .Ntern, ·Y)O.Nt пр.я.Nt, ·уго/.методомОс новна:!(.Р:! э; их ,нто ювтеiРilJЕН,iЙ ф' Нi,T~H,.!U!;;!':·'''',. ;ilключаетг.NtemOUOM rnрп.Впо,l.blН-пр нт'iй iipИJЮ[I;Ыf(x)многоч.ш:ном, СОВПilП;ЧКl'. для уяс-нения этой и l.еи рассмотрим при малыхинтеграл11Jf(x) (lx.-fLпре[l;стаВ.ШЮl ШЙ собой ПЛОl l.а,Ъ узкой КРИВО.;инеЙноЙ трапе-ши,;ежащей iЮД i'рафшшм ФУНКiiИИ у(рис. 12.7).фУНКШf!' лх)iЮi'оч;еномна сеi'мею еf(x)Н';евогопор [дка,аhименно константой ЛО).
При этом интегра.J лх) (l.rприбли-женно замеН;ПС:l nлощадъю nр.я.Nюу.;олъ1-tuк;а, заштрнхованногона рис. 12.8. НИ:l<е мы покажем, что при определенных требованиях наf(x)ошнбка, со;ершае.iа:l iipИ такой замене, нмее!у-hуОРис.hхРис.12.7iЮРЯДОК h 3 .у12.8амен 1М, далее. фУНКШf!i f(x)го порядка, а именно линейной Функт~ией усf(x)в ТОЧi:ах-hh.Рис.12.9НOiо'ше юм- kx+iiepBo-совпадаhJ f(x) dx-fLприближенно :~аменится nлО'{!!,ады{! пр:: 1fОЛU1-tfu1-tоu трап! i!,UU,заШТРИХОliаННiiЙ на рис.12.9.деленных требованиях наНИ:l<е мы шжа:l<ем, что при опреf (х)ошибка, совершаемая при такойН;I·Ю)l'"многочленом втор )го П 1 )РЯ[l;К 1, Т+f (:г)совп \ДающейпаР;lб.)Лl)Йточ <ахlJ, О И11"'томhуf(x!(lхfLфuгуры"лежащей под параболой изаш'! рихованна р!!с. 2.10.НИJ!Jе мы покаJ!Jем. что при опре,!.еленныхтребова шях на фУНЮШJi'оншб!<а, с,терf(x)шаемая при такой замене, имеет порядок 11,5.ЬЕсл!! требу8'! с;! вы!!!с шт!, И !те!'раJ f (х) (lxа1;],ПО любому сегментусе!'мен'!то естественно этотна дос iаточно большое числома.!ЫХ сегментов и к каждому изто!; !!lш\!енить ИЗ.!ОженыеЭтих сегменрасс'ждения.При этом мы и ПРИ[l;ем к мето,!ДМ ПРЯМОУГО.!ьников, траш'Т~ий и парабо.
в их общс'м !;иде.l.ета!ьное И:~ЛOJ!Jение каждого из Этих трехОметодо!; дается н!!же. Здесь же мы сделаем одноважное для дальнейшего замечание.аеа н и е.Пуст'ь ФУНКЧUЯ,чент, [а, Ь], а хl, Х2, ... ,х n -Тогда uа лnом !'ег,Ч1нте найдет!'арuфметu'Ческое .f(11)fnна сс'Гмс'нте [а, Ь]. Тогда длянеравенства m :( f(ч) :( NI (kmиNIравноf'точные грани!ииJifб'fГО номера /. спра!;ед !ивы1,2, ... , n).
Просуммировавэт!! неравенства !!О всем номерю,!n,на се'тО'Ч1И ~ такая, 'Что !реднее+ .f(X2 +.,. + .f(X,,)В самом де,!е обозначим череззультат наf(x) Henpepf'fBHaнекоторые то'Чкu се i.чента ;а.=1,2, ... ,и !!Одел!!реполучим:( .f(11)+ ЛХ2) + ... + .f(.i n ):(М.nТак как непрерывная fl;ункция принимает любое промежуточное значение, заключенное между rn и М, то на с; гмс'нте [а,1;]най !.ется точка ~ такая, чтоf(~)=.f(11)+ ЛХ2) +, .. + .f(.i n ).(1 17)n2.Метод ПРЯМОУiОЛЬНИКОВ. Пусть требуется вычислитьи !те!'раьJаdx.(12.18)lbI<Pa:~ )бы"cel'MeH'lаХ2Х{i,Ь]P(U!?t/hlJпрн Пj)\lОЩИ Tj,)'l(KЬ, О()ОШ;lЧ 1М ч( pe:~ X,!k-1 сре,шЮЮH;lх<n417lШТЕГГ=12 11)(12,18\прямоугольниковпло! (а !.еЙ прямоугольников с высотамисоответственно равныx2k-<, X2k]Тj)ЧКУ птмz:нтаlЮl;нтся';аменериснн'! (ТI ';Ш;lми f(X2k- ) и основаниями, равными X2k - x.!k-<\ю'толышки заШ'l рихона [Ы на рис.справед !ива формула12.
1Ь - а (этиn.Т'а с;нм '!бразом.ь/!г,!.еdx = ь - а [fnR-.) + .f(хз) + ... + f(x!n-остаточный член. Форму !а(12.)]+ R, (119)на:~ываетсяnр,я.АюугОЛ-Ь1-tU11:06.Докажем, что! если фУНЮlИЯдется такая ТОЧlс;аИМf'1'Т на сстмс'нте [а, Ь]f(x)непрерывную вторую прorг ;ВО[l;НУЮ,то на этом сегменте най71, '!ТО остато lHblij 'шен R н фОР\lуле (12. 9\равенс 'той це. fЬЮlеним сна-f(x) (lx,с шта,!, '!ТОьХа ,А'1-fL,A'2k-2 Х 2k-J,А'2k,,'2nфУ1-t11:i!,U,я лх) U.Nteem на сегмеюn,[-h,1-tеn]нрыl--Рис. 12.111-tУЮ 6торую nPOU360i}1-tУЮ.Дш этого п !Двергнем ДВУКlатном'стям каждыйhо1,о-h14интегрир !Ванин, по ча-следующих д!,ух и [те! ра. юн:В.А. Ильин, Э.Г.
Позняк, частьIа1=//(х) (х+11) dx = [(x+h )2/, (х)]а-h2 / f'(x) (х+11) dx-h=-h=[2(х + h) . f(X)][fLf'(0)11'"f(x) (lx =а={(O)h' - 2/(0)11+ / f(x) dx.-hДля второго из интегралов совершенно аналогично ио. fУЧИМfL12 = -f'(O)h 2 - 2· /(0)112 / f(x) (lx.аПо.
[усумма иолучеННЫХfЛЯслед.' iiщей форм' [е:11ивыражений ириво fЛТ кh/ f(x) (lx = 2,[(O)hО т~енимму [Увеличинуcpe[l;Hero+ h)2rийcer .. ieHTe11 + 12-,+ 11 ;12.ирименяя к интегралам~=~I22- h)2. Мы иолучим, что найдутся точкаfiiaна cer'MeH'ie11] та;не, чтоfL6на(х) (х + 1/,) 2 (lx + ~ /аfLа-2/2)(~1) / (х + h)2dx + 2/2'= h6' f(2)в сил' замечаниятакая. что/а-h"/фор-значения и учитывая неотрицательность ФункИ (х-hточка1и[-h,О] и тоа=(12.21)) + ~З f(2)юшце и.1 насегменте[-h, 11]найщ'тсяlbI<По41'}lШТЕГГД,'fOMY1)С1ЖС'ННС"h1(х) (lX= 2/(0)11 + R,(1-fLгдеТак как (;е, lичина21.hпредставляет собой п, ющадь ПJ!Я~мо,то, lьника заштрихованного на рис.иhJ1то форму lЫ12.8(12.22)ДОf)азыван)Т.
,)то ошибf)а, совеРfIIаемая прн за\fене(1dx указанной площадью, имеет п !рядок h 3 .-fLhТаким обрюом. ilюрмулаJ(х) (lх ~2/(0)1/, rn;mо'{нее,-hь'{гм .if.i'}-l'ьше 11, Поэтому для вычисления интегралаJdxаестесвенно представ пъ этотно бо. lЬшого числаnl' /(х) + l' /(х)Х2Ханн'; еграл в внде с ммыдос аточ~интеграловХ4Х2Х'2n... +l'/(х)(lxX2i,,,-2и к каЖДО\fУ из указанныхннтеГI алов пр lмеШl'f [, ФОР\fУЛ'(12.22). \читывая при этом, что длина сегмента [X2k-2, X2k]ьра;на - - мы fЮ lУЧИ\f форм' (У Щ) l\Ю' f'ОЛЫШКОВ19)nв которой(5десь афункт~ии14*l'rJ:( Ь. Мы ВОСШШЬЗОlДШIСЬ форм' юй (12.17) ДШ(х).)2)Мс'тодЛИТI,TI*aiH I щи.КIКвыше,НС-ннлтральJ (х) (lх(12.18)аРаюбьем сегмент [а, Ь] на n равных частей при помощи точека = хахх.·х n = Ь рнс.12).
Ме; од траIIенийзаключается в замене интеграла (12.18) суммойЬ;n а {[лха) + f(x,)] + [f(x, + ЛХ2)] + ... + [.f) + f(x n )]}~ b~, {ли) +ющаден(ik- )итрапет~нj(Xk)траIIении заНIТРси с высотами равнымина рис.~COOTI;eTCTBeHHOОС ЮI;аННI\Ш,iXOBaHbl(1)) + 2Xk - xk-12.=(Xk)}равны\ш__а (этиnТаки\! обраЗО\i. с таI;едшваilюрмулаьJf(x) (lx =2n а {/(а,) + f(l;) +аn-Рис.[де12.} + Н,(12.24)R - ()стю О'IНЫЙ чле [.(12.24) нюывается ФОIЧУмулалоu mраnеu,иU.Докаже\I, что еслннепрерывнуюдетсяTaI.;a;If(x)вторую ПРОИЗВО[l;НУЮ.т() [ка71,что;jCTaTOнаCer\IeHTe [0,,1;]на этомсегменте найнмее;тоIНЫЙ членRв форм· [е)имеет ви(12.25)От~еним сначала интеграл+hJ f (х)(l;считая, что фу1-t'Х:'ЦИ.;j-h(х)60дну'!;на сег.че1-tmе-11, +h] 1-tеnр;jJ'bl61-t/j'!{) 6iПОРУЮ nРОИ3-lbI<ПодвеРl'; ,1 интеl'Р lл421lШТЕГГhJ f(2)(.! 2 - 11,2)-fLГРИРО;;lНl1ЮЧ;lСl,'[lOш;л\ч 1М+fL- J (х) (lх+fLJ(х)(х22-11,)(х) (х 2 - ) ] I:~(lхf'2-h-h[2f(x)x] I+fL+2-fLf(x) (lx =-fL+fL- -2[I( -h)(х)(+h)lh+2dx.(12.2(;)-fLв СИ,lУ(12.26)ПрИХО[l;ИМ к формулеhj 'f(X)dX=f(-h!+I(h);h+R.(12-hгдеТJ(/1Так как величинаf( -h!(1h).+ I(h) 2h представ, шет собой площадь2трапеции, заштрихованной на рис.
12.9; т() форм' 1Ы (12.2и (12.28) [l;окюывают; что ошибка; совершаемая при заменеfL/(х)dx'l;азан-fLьш 1;ЫЧl1С1енияlпегралаf(x) dx, l;al;и в \lет(ще llРЯМ()~аугольниковпредставим этот интегра,больш()го числаnв виде суммы [l;остаточноинтегра.ШfR.f(x) dx +.f(x) dx + ... +f(x) (lx .ХNПРИ\lеНЮ1 к l;аждом'ЭТl1Х и lтеl'раЮ1; форм'мы и придем к формуле трапе lИЙдш остаточного члена (12.25).(12.28)1(12.24)ыс выражениемпарабол дляВЫШ(ЛС'Нfj,iннтеграЛ;lьJ (:г (lх(1 18)аразобье\!cHoi;aа,наnравныхпри помощи точек аХ2X2k 1Х2n=частей=ХО<И обо-через X','kсере,iЛCer\ieHTa [X2icc-2, X2icc]' Me~интеграла (12.18) суммойзначимРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
