В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 72
Текст из файла (страница 72)
,Указанная стягиванm~аясясистема сегментав имеет ашутачку С, к катарай схадит-("я каж,'Т.аЯ из ш;с.ш'д;;ваТi'льнаi"теЙ а n } и {Ьn}ге[l,ствиеиз теаремы15). Дакажем, что. с и является искамым карнем,т. е. f(c) = о. f(iС;«ШЫ<У ФУЮ<ЦИi"; f(x) f('ПРi'ры;;;;а В тачке ста кажТ.аЯ из пас г e[l,aB ате, гьнастей {f а n )} и {Т(Ь n )} схаштсякс). На тапа из усювий(ал)О,(Ь n )О, В си,гу теареfмы<3.13и З;;J\Ii,чания к этайсправедливы неравенствар(;в;;ыеискамага карня,тге.fс) ~>погучим, чт(; (лнавременнаTeapi'MiиР;;("("У<К[I,еНИi";fс)О, т.
е.?'таю г(с);;JIГ;;РИТ=(;гыI;<аниi";;За приближеннае значение этага карня мажнавзять тачку --+--, т. е. сере[l,ИНУ сегмента [а n , Ь n ]. Паскальку;ат(;чнаг(;;а'Ь-а-2n- ,таия кар ;я не б;;.ш;а 2n + 1.;;киаписанный выше праllесс пас г e[l,aB ате, гьнагателения сегментавj'iИ""}ОК Пt}[}О"Пt}':;]'i{'}.J1яе"[,I'"}ИТЬ ИС~«\'кор;[Ь С С "}юб()йнапере[l, за[l,аннай степеНЫi ( тачнасти. Так как аписанный праПРИiЮ[l,ИТ к;(;faKpaT;;(p,iY ГЮiп(;ре;iИЮ nдноmunныlx вычисштельных апераций, ан асабенна удаСiентшя праве[l,ения вы;; iЩИХ математических машинах.2. Ме'год каса'г,елы.IЫХ 1). l\lет;щ кас;тегьных ЯВ,fЯi,,'ТСЯним из самых эффективных приСшиженных MeTa[l,aB вычислениякар;ур;;в;ия f(x) = о.чисгений на (iыстратейств,Пусть искамый карень;теЬ].выясняя пака уславий=уравнения(х)ап i("анию<'(i'Ta[l,;;иза,шраван наК ;;"ат; ЛЬЮ,IХпри катарых применим этатMeTa[l,.;ена[екорня некоторо;обозн;,]-ЧffМТОЧfiУ fрафfiЮ]Т')ЧfiУ Во касат! [ьн'кв,)е при(imi [f<еЮiе ИСКОi [)} О f'i>рНЯэт,)й касатеm .ю>й с ОСЫ о ' О;т1 .чi р! зfCCOjf :Tf)нкции И fюзьмемнрТ' )Чfi mР;СiЧif Ш)fДалее ПР')RедеJ\.f касательную кграфику функции lерю TO'lKY В 1 с абсциссой Хl и возьмем завтор')е Пj fiближение абст~исс' Х2 Т')ЧfiпересечеюfЯ эт,)j; fiacaтельной с осью!Х.
ПроюлжаЯijТОТ про [.есс неограниченно, мын>слеД')Rательносп Хо ХХ п ...fрибтi [f<еню .fXПОСТРОИ\iзна'lений искомого корня.В праКТИ'lеских ff.елях У1\обно получить рекуррентную формулу, выражаf4)Щ'Х п + чере'; Х п . ДЛ)f ЭТifl О fюзьмем 'равнение У - лх п ) = j'(Xn)(:I: - Х п ) касательной к графику ФУНЮfИИТ')ЧfiеВЫЧfiСЛИ\i абст~ис-су Х п + 1 точки пересечения с.пойкасател .нойCjTOMпо.сос!ОХ.ри[)" lИМ12.1Форму. [аa.---------~~~~----_o--~i'i>PfiT\i(12.1)опре1\е fЯет ал-мет')дакасательюТаким образом, методтет.ТХпредстаlшяетРис.fiTepaff;iмет,щформулымеТО1\12.1(12.1 .пос fе1\овательныхБЛИ.ж:ениЙкоторыеСТjЮЯТС)fIрИ(или,Нi\ЮЩfiкак.IX.каса-собойприговорят,pefiyppeHTfНащей 1\альнейщей за1\а lей является обоснование метода касателью.IX.П.,) м!выясни оl усло.IX послеДОllатет .ю>стьзна'lений Х и, опреif.еляемыхмо\!'КОРffЮС.даДfiот~еffЮ'1),П0!1)е [lНOc!fi,СХОiЩТСЯ К искот.е.о! fiлонеfприближенного значения Х С ' от TO'lНOГO значения корня3.
Метод хорд. К ЧИСfУ щироко распространенных приб. fИ[f<еню .IX \lеТОДОIl решеf Ш)f 'рав! fеНИ)f= О '>т! [с )СiТСЯ \le (одXOpf..Перей [ем к описаниюПР;iКОТОРЫХ о!ijTOrO мето [а, не выясняя пока условий,IРИ\lеНИil.Так как касательная в точке Во пред"тавляет i'обой граф"к ;иффе+ую·.. llИИ у =точке .Т;\. то;;l)Ю'J\I i;тыск;;;;ияпервого пр ;бл"жения ,r1 о"нован на за,менеее дuфферени,uалом в1е"пиаточке,ro.flНl llИЙчт,)Лlf1а се1 MeHTzфункции 1(7) наПfнБЛИЖzНИi=[0"Ь]Ш'iii)МОГ')о1! зо~график]м за ну, [евоеЧ1fСЛ') :1:0 1fЗKOPHif He1i')T'!POzпа[d Ь] и обозна 1ИМ\О и В ТО'lКИ графика функции70 и ЬР')RzДz\l чере'; точки А о и В!Нф1f 1Ш фРЮiАоН и вс)зт,мем за первс)е приоли)кение ИСЮiМОГС) корня аОCff,ИСсуТО'lКИ пересе'lения )пой хорды С осьюДалееlр,теде\!хорл.у(см. рис.12.2).черезТО'lКИ графика фУНЮfИИ1 саБCff1fССОЙ хи П.
За втор')еприближение возьмет абсцис~суХ2точкиА1')ТОТспересе'lенияxop~,ю Ох. ПР')" шжаяпроцесснеограниченно,li)CTP )lfMПi)слеД')Rатель-ностъХl,... , п,...приближенных значений ИСКОJ'\1')ГОкорня.В праКТИ'lеских т~елях удоб~нополучитьвыраж( 14 )ЩРЮче!е'; х п ·ДляlР')ХОfЯ1А АорекуррентнуюЭТ)10! 2.2хп+"1ЮЗ1у- f(x:;у!а;нею,е ЛЬ)через точки А п_Н;n)лх п ))х:- ,r n-Ь---- xop~(Ь)), и ВЫЧ1fС-,тим абсциссу х n +l то 1КИ пересе 1ения i)ТОЙ хорды С осью Ох. Прихп +ф !рмула(1'= ;Т п -f(li)(ЬОllредеЛifет аЛГi)fНТ\i(12.2)\leTO, Щ х !рД. Tai1fM i)б~раз')м, мет,Д Х')РД представляет с,)б,)й метод итерат~ий, ю)т')рые строятся при помощи рекуррентной формулы(12.2).
Нашейдальнеjrшей ';адачей ifRЛifется i)б')СНО1;aI;ие \1етода хорд.В п.ifCНlf6зна'lений,\СШfR1flРИKOTOP1,TXli)слеД')RатеЛ;,НОСТ1n СХО1\ИТСЯ К искомому корню с, И1а1\ИМ оценку по~грешНl)СТИ мет')да Хс )РД.4. Мето;р итераций (последовательных приближеk4ИЙ). Из Ш . 2 и 3 ЯСfчто \1етоды 1iасатеЛЫ1ЫХ и хорд С1;Я~заны об1 l,ей И1,еей построения после1\овательных приб.тюкениЙиско ,н)муЭта 1fдея и ле 'l<'ИТ')сно;е 'плагае\!i)lО внастояшем пункте метода.Этот \1етодpaCC\H)ТIH1п!1! MeHeНl!х = Р(х).'равне;1fЮ( 2.3)2i!iПU~.< !;'/-/'О!'дем:7 пн;;.:з.тват;.ч! р;зF(:1: n - l ) ак;;.~выра.Ж:;;!··;!пзад;шия функциислеДii~:~;~::о~~;i ~~од;;тся.TX'~~:~:;:;;;~T?{~j)O~ c~~~~~быть, ее !;лементы могут быть взяты за приб.!Иженные зна'lе~ния!;того корня.Спрat;еДЛИВii следую; ;ее·твер;;;дение.YmBep:JICaeHue 1.
Пусть Фун,'к:'И,ия Р(х) непрерывна на ceг~.менте [а, Ь], и пусть все эле.менты итеl!а'ЦИОННО'Й nоследова~тельности хо х ,... Х п ,'"лежат на это.i;! сег.i;!енте. Тогда.если эта последовательность сходится к некотОIЮМУ 'Числу С,то !!казанное 'Чигло С является KOpHe.i;! уравнения2.:\).Д о к а з а т еь с т в О.Гак как после1\овательность {х п }сход;;тсяС и все ее эле:;;е;;ринадле;;;ат се; мент [а, Ь] тои пре;ел С прина;лежит сегменту [а, Ь ] (см. сле1\ствие 2 из Teo~ремы 3.13). По условию функт~ия Р(х) непрерывна в TO'lKe, ипоэто:;;; НiслеДi!Rательност; {Р(Х П - ) } сход;;тсяР(с). Та;;;;мобразом, равенство х п = F(Хп-l) в пре;еле при 17, --+ сх) пере~ХiЩ;;Тра;;енст;;о С = Р(с).
е. С ;;вш;ется ;;с!рнем ура;;неНllЯ(12.3). Доказанное утвеРЖ1\ение бу;ет существенно использова~но нами в lП.5и6для оБОСНl!Rания меТiща касате.m,Нl,ТХ и Х'iрд.Докюкем еще о;но утвеРЖ1\ение,часто используемое 1\ЛЯприближенного вытисления корня уравнения;;тера;;;;0; ;Hii!;',YmBep:JICaeHueHeKOmOpO.i;!пусть в.менте [сусловию-Е, СIF'(x)1(12.3)с ПОllЮ; iЬю;;iслеДi!Rательнос;;;.+ Е]2.ПустьKOI!eHb Уl!авнения-12.3.,иСИМ.i;!етри'Чно.i;! относительно то'Чки С се гщюизвод'Jf,ая функ'Ции~ СУ<удовлетвОI!яет1. Тогда итера'И,ионная nоследователь~, у которо'Йв КШ'iестве хо взято л'юбоеност'ь :1:0,Xl, ...
,:1:;0""'Число из се "мента [c-е;с+ЕI, сходится к ука:анно.МУ корн'!!; с.ДК аа т е л ь сПре;;;де ;;се;о;;лементы итерат~ионной после;овательностиуказаННliМУ сегмент' [с - Е, С+ Е].в самом деле. ;То принадлежит;;тому сегменту по условию. ПОCjтому;остаточноЧТii;Т п -пр;;надлеж;;тприна;лежит. ДляЭТii\;УCjTOrOcel':;;eHTY,х п - С = р(х п - )-некотораяTO'lKa,чтои;Т пе:;;уприменим формулу Лагранжа к разно~сти F(ХП-l -Р(с) и учтем, что Р(с)г;е ~прещоложив,доказать,=с. х пР(с) = р;=(х п -F(ХП-l . Полутим- с),ле.ж:ащая мелClУ xn-l И Сприна;лежащая сегменту[1' -Е,+ Е].Так какIF'(12.4)['Нl llИЙ1:1:(12.1::;;11<У), поскольку о(1'(1·11.в свою о lере1\Ь полу lим1 -Не!)ю;еНСТi;О4U7С'СТЮiаВЛИi;ает, ЧТС)Иiiслед"1Ш8J'l1ент х п раСПО.юж:ен к с ближе. Ч8J'l1 пре lЫ1\УЩИЙхп -'j. [емент,стало быть, так i,ai, Xn-l ПРiшадлеЖiiТ Cer\ieHTY [с- [, си так как 'jTOT сегмент симметричен относительно точс.
тоХ п ПРiшадлеЖiiТ этс)му Cei\ieHT\. ОстаетС)! Д н,а';ат!lTO после1\овательность {Х п } схощтся К с. Поскольку неравен+ []CTi;O 12.5)Сiiраведл:юlO для всех нс)меро;n,тс) с llil\Юi iЬЮ этогс)неравенства получим1 ::;; о:" 1:1:0 последнего неравенства О'lевищо,Ут;ерждеШiедоказано.;;;·ем праКТИЧ;lСКЮ1 з;;м; Ч;;НИЯС.го 1твеРЖ . ;.ешш. Пре.;пОЛОЖ; ;тнcl·lTO(12.7)Хп;сит;l ;ьш; Т--+с, ибо о:п;. ;ью;--+что доказанш;что путе;;; пре.
вар;;тельной пр;;ющки мы;;";,ус ановиш, ';то ю;теР;lСУЮЩИЙ ш;·сУ1il;В;;;lНИИ (12.3; изолир ;;йн ш;некоторо;,; ;'ег;,;енте [а, [,], на которо;,; проишодная Ф.'нкц;ш F(;r;; ,ДовлеТВОР;;;'т ус;овиюIF'(!)I ~ а < 1.Так как ;;ег;,;ент [а. Ь]носите;ьновообще говоря, не J!ВЛJ!еmСJ! CUM.Mempu"tHblM от-иском;;г;;то,есвыбрать н,левое приближеш;е Ха.чт ;(iы М;.;жш; бы';0выше утверждение;iы в;;у l'и с;'Гме;;т;;;'стве ;но,те;,;ПРИМ;'нить доказанн ;..;'им;,;етр;;чных[а,2;-а] ишотнос;;тельно[2; -Ь, Ь] (рис.'J{;O.M прuнадле:JICum сег.менmуС;.:; lllР;;Сотом,ю;;··.а~ЬЗамет ;;";, что Г.;еЬ] ;;и ;;ахо.ШЛС;; ис-комый корень с.
хотя бы ОД;;Н и; дву;;;.:; ;знию;·е2с-ьас0------0----0--Ь;'ег;,;ентовче;Ь]. Поэто-12.3)! (.3... у >;отя ;iы одш; из ТОЧ;'к а или Ь Пl'ИШ; ;ежит сим;,;ет ,;;чн; .... V относ;;тельно корня с сег;,;ент, всюд, на котором iF'(x)1< Ст~ло быть,по ;"'1 ;;йнейо.;ну из TO·;;lK а или Ьсо; ласно до;·..азаш;; ;му ;';Ы1l'"утверждеНИli1выбрать;а ;[0. Конкретновыбрать т' и; ;вухТОЧ;'кили Ь, дл>; ко ; ;1ЮЙ приБЛИЖ;'НЮ1;;·1c;TMe;lI;l· [а,Ь].На практикеlаще всего встре'lается слу lай, КОГ1\а ПРОИЗВОlная Р'(х) имеет на сегменте/!] Оiiределенный знак. Если эт;)тзнак положителен, то из формулы (12.4 сле1\ует, lTO после1\Овательность {;Т п } монс)тсшна.
Этот случай п!нвсщиттак называемой ступе?; ';ато'Й диагра.м,м,е, изображенной на рис.12.4.ЕСШi >i<e ПРС);;';всщная Р;(х) ;iТI)Ит~ательна на сеГ\fе;пе,то изтой л;:е форму.fЫ (12.4) вишо, что любые 1\ва после1\овательных,шемента х п 1 И х п лежат по разные стороны от корня с. Этот2у=; (х)оРис.Рис.12.412.5ПjНВ'ЩИТ К так fатьшаеА1А,АА сnиралеО(Аразноi! диаграмлt,е.изображенной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
