В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 73
Текст из файла (страница 73)
12. А.З ае ч а н и е.fлает В' )прос 1,)б 1щеНfлерешш)ститощ итераций, т. е. об оценке отклонения n-го приб.ти.ж:ения х nОТ точн)fo 'тначешfЯ КОРШf С. И'т2.7) непосредствеfно вытекает с fе1\ующая oт~eHKa:1:1:11 Гf,е СУ-ше,~ суn(ь-то 'шая вер ,;няя грань Фуню f,ИИна котор,)м fПОШ!РОf1afвощаяilI'(x)X11 -1(х) на сегменте [а, Ь],раСС\fаТРИf1ае\fыjr коре;отрицательна на сегменте а, Ьи Х"лежат по разные стороны, то"Есш! ПРОf!Зкак указано выот корня С,и ПОCjтомуспраf1едш!ва слеДу, 11 щая 1щеНfла:I;TЕсш!>f<ecl11~Ix n -Х n -l1·в рассма; lнваеМОА1 сл\чае f{'тяп'та пр fбш!>f<eHHoe'тнаlение корня полусумму 1\ВУХ послеювательных приб.тил::ениЙжх'nто получим сле lУЮffУЮ=oll,eHKYl' *п - 1./'тС::::::+An-lпогрешности:I·T n-.Tn-ll.5. Общ:<шшанИ4' метода к<:ъс<:ът\',гхьных.1о. Рассмотрим сначала случай, КОГ1\а искомый корень уравнешfЯ I(x) = о ИЗ')'лИР'fRан на неlЛ')Т'ipО\f Cel'\feHTe [а, Ь], наром фУНЮ1,ИЯ f(x) ИJ\1еет не обтю'Щанnчу'юс,я 6 нуль nel!6YHi nроИ360дНijЮ и ограниченную 6mОр!jЮ nРОИ360дНijЮ.
Докаже А1 что'iTOMСЛУ'lае наl'mется такаЯlOстаточно маllая окрестность корня С, что если нулевое приближение Ха ле.Ж:ИТ в 'iТОЙ окрест-[;Нl llИЙ,НОСТ1 {:1: п} о 1р*ЩЛ)ДИТ i "Кза\iети*'-корню4ШfeMaif р;КУРР;н; нойс,чт() YP;'1;HeНi1eР(!),(12У)имеет наl:erMeHT8 [о" Ь] т()льк() один корень с, (;()впадающттт':'т (;корнем уравненияПо;тому вместо уравнения (х) = оM1,1 будем решать урarшение (12.8). Для эт()го. взяв некотор()е Хо,11построим итерационную послеювательностъХ п +l = р(х п ) = Х 11iамеТИJ\I.
lTO рекуррентная формулает с pel<yppeHTf*1 *iР\iУШi1; 2.1).( 2.9)(12.9)в точности совпаl,а-Чтобы 1\оказать СХО1\ИМОСТЪ итерат~ионной последовательности {х п }[;CKO;liiMYс. достат()чно доказаТ1" что в Heii ;-торой Е -окрестности корня с произвошая р' (х) .)'l,овлетворяетусло[;!!IF* 1 ~ СУ1, и [!'iЯТ1 хо Уiiа'iarШ()l; -- ii!l>еСТf[i)СТИ(см.
утвеРЖ1\ение 2 из п. 4). В силу требований, налО)кенныхна[кт~[;ю, наЙД'[Cif ПОЛО>l<итею,ные ч[;сла 1n N такие.<lTOВСЮ1\У на сегменте 0" Ь11'(х1выполняются неравенства>11"(:1:)11~ N.12.Поско, [ькуР'( ;Тf'т() [;з)[еравенств1-[1'(;[;)]2 - f(;[;)!"(;[;'[1' (;)]22.10:[;ы[еiает слеДУ;i'щая oт~ef[Ka:IF*(x)1 ~Из не11рерыRf [)стиf(x)!,,(x)[f! '>]2 ,If(;)INФУНii 1"1вытекает,1)чт() вЕ-окрестности корня с ';та функт~ия Уl,овлетворяет неравенствуlJ(x)1 ~де СУ -12.12)Ф [iiСИР(iRанное число из интервала Оставляя неравенстваYiia'iaНi.,rr;; СУ,(12.11)реСТНiiСТИи(12.12),<СУJ\IЫ полу lИМ,<1.СОШilTO ВСЮ1\У в;СliрНЯCy)1~ о:1.[ем самым с Ш1\ИМОСТЪ после1\овательности(12.к корню1\0-казана.1) Эти неравенства вытекают И; того.
что ПрОИ!БО, ;,наяи не обl'ащается в н' ль на l'ассматриваемо;,; "е; ;,,;енте.l' (cr)непрерывна23а м е ч а н и,Т Д н{а:;],Лff СХОДffМОСП послеДОf;атеюност!' {Х п } К КОРffЮ С Л fШЬ Прf' 'СЛ'fRИИ, чт,) НУЮf;О; Пlнближ;ниел; жит В1О;таточно l\Ш,1ОЙ [-окр;стности корняВы()ор1)ез труда осуще;Тf;ЛЯ;на (>.fRР;\;;fш,)f; бfКТР')-H'ff<H )fO ;;01\ей;твующ;й Cjлектронно-вычис.тит;льноЙ м;].шине при ПОМОЩИнеСf')ЛfffXа м е3fр,)б,а н и ения корня2. ()т~еним отклонение приближеннс;го знатrе-от то'шого зна'lения с.CjТОЙ целью разложимfКТ~ИЮТейл та с остат,)ч-Н JM ;леном Е форме+ 2" f ,,(,);,[тоf(c)- Х п )2 .агранжа:П олагая(Х п )ф opMYfe...,;тои.
~в+Х(Х - Х п )+с и учитывая,= О, БУlем иметь0=(Х п )+(с-+Вычитая из после1\ней формулы формулу лх п )f'(xn)(x 1 н Х 11 ) = О, которая [;ыте {ает из ре {У1рент!о CO')Tff )шеffЮf(12.9),полутимХ п +lОтсюда. ffСПОЮ,З'Я-l!"Ш-fl(. пс;гfРИЮfТf,те(Х 11lllе l.iб,):начен fЯ2.10),ПРffде;;к сле1\ующему неравенству:-N2тnПОС;fе1\овате.fЬНО применяя1Х п-с12 .CjTY Off,eHKY 1\ fЯ17,= 0,1,2, ... , полуlим С fе1\УЮЩУЮ оценку:IXuH 2' .cl ~ ( 2тnN)nIx;) _Дадим ;iб )сно;ание мет')да касател ,н ,ТХ при нескол ,коиных пре1\поло.ж:ения.'сть НСfi;iМЫЙ 1i;1Тfень С УР(1);неюfЯ=О нзол fl1О);(1)насегменте [а, Ь], на котором ЛХ) имеет ,MoHomOJf/HYHf nеl6УЮ nроU360д'Н!jЮ, СОJра'Н,я,ЮЩ!jЮ оnределе'Н'Ный 3'НШК:. Эта )Р') ПЕ')Дf fаяобязате.ЪНО непрерывна, ибо она не может иметь то [ек разрываперЕ))0рода.
а мон,)т,шнаif ФУЮШffЯ дру)ffX т,)че;{ раЗР;,ТЕа [е\feeT.Ради О;lределеНЮiСТИ предполо.Ж:ИМ. что ПJ1ОИЗ)1Одная 'Н ' ;;бъt-6аеm u nОЛО.жшnелъ'На на сегменте [а; Ь]. Дока.ж:ем, [то итераff,ИОНffая l;iслеД'fRатеЛЬНОСfЪ {х п }, котор')Н ХО = Ь, а ;Т п + определяется lерез х п С ПОМ')Щ;,т (12.9), сх')дится к корню с.!':сли для не;{')Т')I1ОГ')HO\lepa17, окажеТCif, чт,) х п=с, где с-ИСКОМЫЙ корень, то j(x 1 , = f(c) =и из ФОРМУЛЫ (12.9) полуlИМ, что И Х п +l =. ПРОlолжая аналоги'шые раССУЖ1\ения, мыf;Ю llИЙпоследо;ате.m ,Ш)эт,)м('Л' чае;rок;ж;';;т;рац;о;чт,);ая;;п+2-41;;п+;в{:! п}последо;;ате.m(ход ;тся ки; комому корнюТ;';;рь док]ж;'Иf);;,М;lНдy;;ц;;чт,)Ь, тnп ;;п;;п1 У1} ;н.//"n;нор-Я,етn СОО'ПI/llОUU~-;;м~ :7 п +1 ~;n ~ОТСЮ1\а БУ1\ет слеювать, что все Х п прина1\ле)кат сегменту[с,;;б,) хаЬ ПРИf;адле;;<ит эт,)му се! менту), а также т,)т=факт, что после1\овательность {Х п } является невозрастающей иПОТО;j'СХ')D)fщеЙся.сил'';вер;;<деНИ;fиз п.4сх'щи; ;)стьпосле1\овательности {Х n и принадлеж:ность всех ее Cjлементовсе; ;;енТ' [с, Ь] (а пото;" И сег\;енту [о, ) завер llает д'н;а';ате.mство СХО1\ИМОСТИ Cjтой после1\овательности к ИСКОl\ЮМУ корню с.остается;оказать.<шеf ш;fм сХп ~то Х П +~ Х n +1 ~ Х U '<:1:"что еслиУ1\овлетворяетТ);да изПуст; сХ 11 ~лс) = О, получ;;соотно-уд' IRлетв, Ю;fет со,)тн,)шеНИ;fс ~2.9)_ f(;r;n) - f(c)Х n - Х u +1 -j.".........., "'nПрименяя к вырюкению, стоящему вби.Лагран)ка.
полу' lИМХп-Хп1 =(Х n•шслителе после1\ней 1\РО-с) г~;~)-,< ~n < Х п . с;;лу тог,), чт,) пр,)"·;в'щнаяубывает и полшкительна." 1\робь fj'((~n )) положительна'-'(х) неде с:ГВОСХО1\ИТ е шницы. т. е. О ~ Х п - Х п3 а м е ч а нне;;аетlая: 13.1 - Х"М;н;л;)ж;;тельна наl'[0"Ь].и не пр е-Хп 1 ~ Хп 'когда Г'(Х)е; ;е тр;; сл\-не возрастает и отрит~ательна на [о"Ь]: 2)в,)зрастаети поло +;.ителы;аff.ательна наВеn[0";аЬ].; 3) Гj'не' бьшает и о;не1)11-из Э; ;;х трех случае;; ;)б')сно;а; ше ;;етода касатель-ных ПРОВО1.Ится в полной аналогии со случаем, рассмотреннымвыше.{},;;ети;; ЛИll'что В сл\чаеследует вз;fть ·;начеш;е ха =Ь, аза нулев,)е приб.m; ;l<еш;еслуча;fХ3) -Зf;ачение:1:0 = 0,.
Это обеспечит прина1Лежностъ всех членов итера f.ИОНной послеДОI;ате.m,ш)сти {х п } celMeHT·сх;щи; ;)сть этойпосле1\овательности к искомому корню с.3а м е ч а н и е4.Укаже;; ;щеш;у от;;лонеfШ;f n-г,) приб.m;)кения Х" от TO'lНOГO зна'lения корня с (при сформулированныхвCjTOMпункте пре1\полшкениях2pff/)ВЫ!fжа, б' де/ 1фор!\луОтсюда по, f\ч fМ[ующую оц! нку(1тnминим;'1льно! знаЧiНИi]' (:г) I на сегмент! [а, Ь] Форму-ла (12.13) позволяет Оff,енить отклонение х п ОТ то шого значения1!1iрНЯ с че!е'; значеfше МОДУЛif задаюфую/у(х)=то'[ке6,!lетода Х4врд, ПреДПОЛО>f i=кореньуравнения] (хте [а, Ь]на ЮiТ' TOJ\.f Фунюсиячто ИСКОi 1изолирован на некотором сегменимееТЛfо1-tоmо1-t1-t!jЮ nерв!jЮnроuзвод1-t!jЮ, COJpa1-t,яющую nогто,я1-t1-tый 31-tШК.iшределенности БУfем ститатъ, что ,па ПРОИЗВО1\ная не убывает и по, юж:ительна на сегментех=Р(х,/feeT[0,7>].Заметим,гдеР(;т)=хна сеГ\fеfпе [о,[тс) 'равнение(1: -х:)Лх)!1Ь)- !1/)1)(12.
4)только ОДfШ KopeffЬ с, СОf;пада;i1ЩИЙ Скорнем уравнения ]По;тому вместо уравнения ] (х) = ом! будем решать у!а;неЮfе (1'4). ДЛЯ ЭТ )fO, ВЗifR Ха = а,построим итерат~ионную последовательность= х' _ (ЬXn+l =..I(Ь)iаметим. [то рекуррентная формуладает с рек'ррентной(1Дока,ж:ем,Xn )f(X: n- {! ;n(12.15)[то послеювательностьхп12.15)'в то шости совпа-С Ш1\ИТСЯ К искомомуК тю i1 с.=Если 1\ЛЯ некоторого номера 17. окажется, [то х пffСf/i)/fЫЙ ;/;тень, тс)(х п ) =(с) = Оиз фор/!\лыJлутим, что И Х Пм!с, Г1\е2.15)по1 = С. ПРО1\о,тж:ая аналоги'шые раССУЖ1\ения,Пi)слеДiiRательнодокаже/1чтоиХ п +2=Х п +3=... =с,т.
е. итерат~ионная послеювательностъ {х п } сходится к искомому корнютеперf пi) индукт~ии, чтi) еглu х п i!довлетвор,яетсоот1-tоu,е1-tu,я.м а ~ х пС, то х п 1 удовлетвОI ,яет соот1-tоше1-tu,ям а ~ х п ~ Xn+l ~ с.Отсющ И из ТОГО. [то xf!= а.
бу!ет сле1\оватъ, [то все х п принадлежат сегмент' [а, с] (и тем бiлее сегмент' [0,7>]) и [тс) после !Овательностъ {х п } является неубывающей (а потому и СхОДЯf!рI;;Ы СЧИai'M,что Р(Ьf(!; )= Ь- Г(Ь)непuерывна на в"е;;; ;'е; ;,,;енте [а,Ь],,;а фУiiКЦИЯf;Ю llИЙ4fIЗ<ХОДiI ;1Ост;;эт,) '::1 i;ершит дока';ат;лП f1Л; Д тат; льност;;iIт;;рац Юi{:! п},CTi;O;;;;jYкиско;;корню СИт;,]кю ;аз;]<~ Х 11ш;; ffИifМ~ :7;+1 ~<Пусть а( Х пI (с)= О, ПОЛУЧjIХпХ;;1 -П!jIмеНЯ1fjb.С, т,) ;;;п+= -:1:;,чтос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
