В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 75
Текст из файла (страница 75)
12.13тонупарабол заКiючается в :~aMeHeЬ;11 а {[лхо) + 4!) + ЛХ2)]... + [/(X2n-J=Ьбnа{[/+ f(x;)] + ...4f(Xl)4f(X2n-)+ f(X2n)]} =n-n-42:f(a)+f(I;)+22: (X','k)k=l(X','k+)k=Oющадеi\ фигур. заштрихованных на рнс.13 предстаЮI,iщих собой криво,;инейные трапетцш, леJi<а; ;не под параболамиii!ЮХОД>iЩНМН через три то';графика фу iК;НЯf(x)С абст~нс-сами i','k-2 X,;k- и x','k ).Таким образом, справе,i,лива <lюРму ;аьJЛх) ,1х"па [I(a) +',-1(Ь)',-1+ 22:f(X;k) +42:1)] + R,k=Ok=а(X2k+(12.29)где R - остато';парабол И,;ИнаЗЫi;аеi С,! фор.Ntуло{!;аДокаJi<ем, что еслиимеет на сегменте [а,1;]непрерывную четвертую прorг ;ВО[l;НУЮ.
то на этом сегменте най~детсяTaiia,iто';ка71.что остато';ный членRв форм';еравен(Ь_а)5(12.30)R - - 2880n'1+Из примера1)2п.4 §2гл.11+ I(Х2k)]'чето,;вытекает, что выражениетого, чтоЬ-бnа=.с 2kЬ---.с 2k-2ббn+' Щ ',i.статш ;етсобой площадь, лежащую под параболой, проходящей через три точки графика Функпди ЛХс абсциссами .T2k-2 •.T2k-1 И1Ы ~ 1ШТЕГГ+hJ/1,Ю oт~eH 1М СН;lЧ;l,r1:T, сч П;1Я,фу!!/х:--fL,+11,]'н! пр е Р'ЬМ! '/-l У'!! ! ч;rnmрrnу'!!!дЛЯ ЭТОГО ПО[l;ВZ:рГНZ:М чz:тырz:хкр lТН )му интz:гриров;шию по'{ас{;'!!:~ СЛlЛ,'!iiЩ!!Х[l;BYX!!Н', (граш)!!'Оh/(4)(x)(x+h)1(X-~)dх, 12= Г (х)(х 11)1(x+~)(lx.1-h!я{{еРЕ()ГО из!'{их инте{'раЮЕ{Ю{У'!И\{о/(4)(x)(x+11)3(x-~) dx = [Р3)(х)1+h)3(x-~)] ~fL-h_{Р2)(х)+3(x+h)2x-~ +(х11)3]}[h +6/'(х) [(х + h)(x -~) + (х + h)2]} О fLоо/(х)-fLdx =-hо8h[/( -h)+(О)]+/(х)(lx.-fL(1!я12совершенно аналогично получимh1 -_ ,1(3)3- /'(O)h 2-8h[/(11)+2/(0)]+24/(х) dx.
(1оПосредс Е()" сложен!!;! с! Ю{ но{нений(12,31(12.32\{Ю{У-чим с {едующее равенство:l' /(х) !lхh-fLоценки11 +12-применим к интегралам11сред {его зна'{ения, \ч пъша;! не{юложителыюс'{+(х -~) исоответственно,{,и12 Ф ормулуФУН!;Т~!!(х +~) на сег\{ентах [-h,o]++h]чтона сс::м: нте [О,тсн+11,]наcelментеточ~та:не, чтс,(6:Еfl:r+h+f(4)(6)/СТоСнова исиользуя замечание в конце и.се; менте[-h, +h]на 1дется~iИз(12.33)и1 мыTO'iKa r; таi<ая, 'iTOио. }УЧIВI, что на~~5 f(1) (r;)._(12.34)окончательно иолучим(12.34)h/!d;r = [т( -h) + Ч({)) + f(h)] 2h+R612.35)'-hгдеR=_(2J/.)5 ti4 )( .)88О .r;Т'ак как ве,шчина12.36)[f(-h) + 4т(О) + .f(h)] 2hире6илощадь фнгуры,шс.
12.10, то ;iюрмушС:'},ставляет ссюойиол, иарабо.юi:1 и заштрихованноi:1 наи 12.36) доказывают, что о! ш[iка,12.35)11,сове]J f(x) dx указанной и, ющадью, имеетiаемая ири заыене-hиор~}док h 5 .ьДш вычисления интегра.Г f(:r) drтак :ж:е как и в методюащ шмоугольников И траиеций, иредставиы этот интеграл в видеCYMMi,} nра,ювХ2/ f(x d;rХ4+/ХаПримен:ш к i<аЖДО\i\Х2nf(x d;r+ ... + /fd;r.2Хнз ЭТНХ интеграЛОi: фОР\i\.ш,}иыы и иридем к форыуле Сиыпсона (12.29) с выра:ж:ениеыостаточного члс:на (12.30).Сравнивая остаточный ч,}ен (12.30) с остаточными членами(12.20) и (12.25) ыы у[iе,i<даемся в тоы, что форыула Сиыисо~(12.36)lЫ\ lШТЕГГнаб, ,ъш.\ю то lНCH'le:'ФipM'лы ирямср гольник штр, Ш ll.ИЙкачеств(иллю( трат~ии ириыенения форыулыСИМИСОЮl:1(0обраlИМСЯ кll(ленюринтегр,)ла=.Гничик)я(ъ для ИР'iСТОТЫ 'lНач(:нияыи :1 О IB С(:ГМ( нта О2,.f()lJолагая:Е- е _х и вычис шя Щ юи:~водную(:Е)- 12х 2 + 3celMeHTaизбсз тр\ l.а ··б(:щмсях ~ ;УО ~ llЮ BC;lCOоже:(12.30)оце!том, Чl обыть, iа:~i\ив сегмент [О,IJl Cy)1 <1'lTO IRI <144п'всего на иятьiaBHbIXсуммой,О[,сс;хслу lае'тверждать,нив рассматриваемый интегра.ш:;4(4:Е 4 ;унзи схог· ,'талочастей и замев иравой частиiМУЛЫ Сиыисона.
мы вычислим этот интеграл с точностью до11144·5'5.Заключительные замечания. Ка «дый из ИЗЛОСi;енныхв этой глаl,е:'eto:lol,ВЫ'lИСlеl ня корнейypaBllelи Ollредеlеllных интегралов coJep:JICum 'iemr.;o сфор,м,улироваНН'blЙ алгорит,м,лля ироведения вычислений. [ругой особенностью ИЗЛОСi;енныхметодов является стереотипность те:;ций, lсоторые ИРИХОДlПСЯ ИРОlЮ:ЩТЬвычисштельны:;оиераlа каждом отл,еJыlмM шаlе.Эти две осоiiенности оiiесиечивают широкое ирименение из.юЖС:НШ,iХмс:тол,овИРОi'( л,еНИiiiaВЫЧИСiеiibIXcOBpe:ieiбыстродеЙСТВУЮiiiИ:; вычис.тппельны:; ыю шнаВi,iше ДШ ириб. нжеiф'iСЦНfMi,iЮlО i,i,iчнслеНИii[а, Ь] на достаточно бо.iЫ юе числоментовpa.ia (12.18)отисхо:щли нз разбнеi ня ос] ;ов] ЮlО сег:е] ;iaДibI hnр а в н ы Х частичны:; сег-нз iЮСiедующеiij замеШ,i ф'iСИНна ка:ж:доы частичном сегыенте ЫНОГОЧ.iеном соответственШ, шулевого,иервого и.ш второгс, иорядка.1югрешностъ,возникающая ири таком иодходе, никак не учитывает ИНДИВfщуалЬШ,iХ С!юйств ф'lСЦНf(:y).Поэтоестественно, во:~никает идея о варьировании точек разбиения основного сеГ:lеlпа [а, Ь] и l'l,iборе ДШ lсажл,ой ФlilССИРОl,аlфункl.ИИх) такого оитимального iазiiиения основного сегыентаЬ] на n,говоря, не pallНl,ix .
iPYl:iPYlY 'lаСТИ'lНl,iХ сегмс:нтов, которое обесш:чивало бl,i минима.ЪНУ;Р :{(ЛИЧИНУ иоrlielВlНости данной щшб.ш:ж:енноЙ форыулы.i.оиолнении к гл,14 . ыIостаНОllИМСЯiaреа. нзаиииlсазанной идеи, иринадлеСi;аiiiей А.Н. Тюонову и С.С. Гайсаряну.1) Рассматриваемый интеграл не выражается через элементарные ФункЩ и: .
,енЯ1ТС" В <га, ис ичикоii физике, теориип ;и. Э ОТ ИНi <гралтепiOПРО'iOДНОСисии.ГЛАВА3ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВЕще в Э.iеыентарноы курсе ПРИХt ,;щлС!сь сталкиваться с суммаыи, содер>r<аrrщми бесr.;оне'Ч/J-юе чисю слагаеыьг< (наприыер.с сбеС}{О}iеч}ю}о'шсла элементов гео;}етри'}ескоi;jпро~грессии). Такого рода суммы, называеыые ряда.м/u, и и:~учаютсяуТы .;ста}ювнBiaBe..чтоripH HeKOTOp},iXусювнях!Яды обладают свойствами, аналогичньЛ\ш свойстваы конечны:<сумм.Понятие числового ряда§ 1.1.и его частичные суммы. СХО/F.ящиеся и расход;.wщиес;.w ряды Рассмотрим бесконс:чну:: чисюв;ю после\iо};а~тельность иl Н2 ... ,Uk ...
и форыально;азуем из элеыентовэтой rюс iедоватеъности выраже} не вндахЩ+ и2 + ... + Uk + ... -L( 3.1)Uk·k=lВ},iражение (1::.1) прин:по iаЗ},i};Ю: ч:ш лизы",сто рядо.м" Отдельные элементы Uk, из кото] ;ыхраже} не 1::.1), приН\по называтьправило, мы будем поль:~оваться Д!Я обозначениялоы суммыL.Сум.м,у nервЫ:Е n членов данного ряда б!jдем называть n~истоу12Sn·так,Sn =UI+и2+·· '+;:12-!ik. Р;;;) 13.1)етсяС:Е о д я 1ц U .м, с.я. еслu с:rодuтся последовательностьчаСii!U'!!!!ЫХ (у'"" эт'гоэт;'·· !!рсдсл S ПО; ,,·доватеЛЫ-lостu частuчных C!j.M"M,называется см .м, О i1{Sn}данного ряда. Таким образоы, Д!Я с :одящегося!Яда. иыеюrrero427ПОlС\ММ'S, Ml,1мож( М Ф )рма, ъно11«('ТЬ ра ((НСТ1Ю00LЩ1kслу ЮС, сслиSNЕС с!щсс ПОУС П,ас-n~ooхжнем, что понятие суммы определено ли! ъ для сходяl<ol!e'lпосредством пре!f('.lЬ1Ю'О !!ерехол,а 1).щегося рял,а и, в ОТЛИ'lИе от !юн(!ти(!юйCYMM1,!,В1Ю ЩТС1!ЗамеТIВI, что рассмотрение чис.ТIOвьг< !Ядов есть новаяма ИЗУ'lени(!l1СЛО (l,!X !юс !едовате, ъносте ~j, ибо: 1) каждомуданному!Яду однозначно соответствует пос!едовате~ъностъ егочастичных с\ыы:ка:ж:л,ой данной после!f( ,вательности {Sn}одно:шачно соответствуетност,!яд, для которого эта пос!едовате~ъпослеД01(атеШ,lЮСТЫ Рl(л(!етсястаточно по.ю:ж:ить членыk> 1'ltlегочаСТ1l"!Яда равными!ыхсуммSЛ-1 при'Uk =Sl)'=Одной из г!авньг< задач теории чисювьг< рядов являетсяустановлениепризнаков,схо!щмостиР И ы е1.покоторыыраСХОД110СТl1ИЗ\Чl1ы1010.!!.а1ч и с л о в ы х)е1штъвопросоР(!!!Д.р я Д о в.вопрос О СХОД 11 '.' ОСТ11 рял,а11 + 1 - 1 + ...
=L(k11(1СКОЛЬК.'= О . ..мо>,<но1 1k -(1::.2)11Sl = 1,... не иыеет предела, ряд ( 3.2после. !.овательность его частичны:< суммS2n-1О,,S2nраСХОД1ПСЯ.2.скойРассыотриы ряд. состаВ.!енныЙ из Э.!еыентов геометриче!!P01P(ссии:00- Lq-'1(13.3)k=lа...Очевидночто приSnЭТО1О рял,а при+ qn-1Iq1) 13 101 реМ1н,юii М1.1теМ1.1Т 1кемы, ВВО'lДТСЯ понятие суммыПОЗВОЛЯ1Т С\ 1,'1МИР01 \1Т1·.Дополне,ше311q-qf:.1-q1имеет В1 1Дq-q13.4)последовательностьчастичны:<''Ууказа,1Н1·.11.,1 выше пон\, ием 1YM~',а в различных обобщенных смыслах.
ЭТОСМЫСЛ\.1Х 1.,шогиераС1·1011\,щиес\, РЯI1""TEOl"им( (т llредел, ра ш "lйсумм Вп (ХОД псяюы, приIq3Т,l"КИМ обр,_1_qр,н;сматриВ{ емый ряд! \;!щится И имеет сумму,равнуюПриНОСТТ>)иIBшвснстваОЧСВИДН!i" что пснш:доватсль-(134)CT"LclO БЫТh, И Р<1СС\ТGLТРПR<1е"тый рял) Р"Ll:ХОЛИТСЯ.Iqрасходимость)Яда13.3)+ственно. В самоы деле, при qДОl;ател ,lЮСТl1 Вп о lеВlЩllа, а прив изученный вы! [е3.Пусть :Е)ЯДусыатривается непосред-n,= -1расходимость послер~щпереХОДl1 Т(13.2).<Iшксщюванное чисю.
Дока:ж:еы, что ряд-1( 3.5)iавную е Х •ыы получили разло +iениесходится и имеет суыыуВ п. 2 §Маклореllа ф";)гл.lЩl18xn -ХI(13.6)... + (п -2!1!Из фор\л(13.7:Обозначая через- еХ IR n х),( 3.6)).( 3.7)IXln Ixl .( 3.8)~-I еn-ю частичную СУ:\Л\IУ~lщеи(1::.8lepaBellCTBOIBnПОСl<О.ШУ'11)!"ы lЮЛ" Чl1[Т + ~ + ~~ + ... + (: ~-;)!]жем переписат!поеХeXI ~ l:r~l! Ixl-12,при л "бом фиксlpOBaHHO'Ixnlп--+оото правая часть неравенствап.)Яда( 3.5 ,ыы мо-(13.9):Т= о 2n!представ. )Яет собой Э.lеыент( 3.9беСl<Оllе'l юалой послеДОl;атеШ,lЮСТl1.
Но это и озна'lает, чтопоследовательностьВ 7 ,} сходuтся r.; 'Чuслу е Х • Стало быть, иря;r1':.5)схол,ИТСl иеет С'С "."ШОЛ07,! 07 мы 0[;03""....См. прим<р3Ип.3 §3гл.еХ •Ю3.1.42 i )ПОlСоверш< ННО а 1(tЛОГНЧ1фуню(Иiij;Тъ:уя фОР.iЛ'Хt(+:аз()Ть,М( клоре11ТС' р l;l.Ы-k=lищ (и любомюванном значенииcooT1feTcTBe1 ю paB1lыIeсходятся и имеют суммых и сон ;Т. (ПредостаШПlе:' ifИтателtрсаыому у[iедиться в этоы.)2.Критерий Коши С+ОДИГ;'юсти P(~дa.сходимости ряда,по определению,e10Л.ИМОСТИ после;l.ОlfатеШ,lЮСТНj'al< l<al<1Ю[lРОС оэквивалентен вопросу о с:;о'lаСТИ'Ш1,lХсотоM1,1получим необходимое и достаточное условие с:;одш\юсти данного ряла, сформу.ШРС1вав критерий СХО;l.ИМС1СТИ КО1 ш ДШте.lЬНОСТИ его частичных сумм.
Ради удо[iства приведемМУЛНрОВl'i' критерня Кошипосле:Ю1fатеШ,lЮСТ1l. Дл.:: т!'?о'Чтобы nоследоватеЛЬ'J-tостьбыла с:rодJИцеЙс.я, 'J-tеобходu,м.одо! rnurnО'ЧЛl!' '!rnобt,!1! ';)/С'lиnеЛi,j !.ого 'Ч/шлu Е j fЛ-ШеЛ!1l' "'!'Р NЩUТ условU1!' nвKa'leCTBe? N,'Ч/лоj!.OHCPOU n, удои 1!'rnи!'р.::ЮU для всех 'J-tатураль'J-t'blТ р (р 2,3 ....
)Сlедствня нз ЭТО1О'твержде1ня. ыI [10сле-дующую основНУ1!' теорему.Теорема13.1(nритерий Коши для ряда). Для того001tk !;тодuЛ!i1собходuмодл:: любого по 10;)/С'ШП,! ((,j!.Ого '((tсла Е jfЛШСЛС::N'Ч7Тю для всех 'НО,М.еров n, удовлетвОРЯ1!'щu:r условU1!' rl.дл::1luтураЛЬ1lЫХ 'Ч/ш !'л р? Nuп+рL1tk< Е.(13.k=nДля доказательства этой теоремы достаточно заыетить, что веЛИ'fИна. сто;] !!дя [ЮД зню<о' 'одул;!неРЮfеНСТ1fе(13.10), paB1la;азности частичных сумм- SN. Подчеркнеы, что крите] шйСХО;l.имости Коши ПРС':!сташп!ет в ОСНО1ШО' теоретн 1ес <нйпе;ес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
