В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 103
Текст из файла (страница 103)
. . ,Fm )D(y! ... ,Уrn)хотли ,ен от нуля.В5.:\такшдляслучаедостаточновСИ . tУJ\,raлыхтеоре.\Рис.поло ки15.6теЛНIЫХ чисел"1, "2- ... _"т]\.;16 ;~1,'" '~niiрострапства iiеремеппых (Хl, ... ,х п ) что ВСЮ-па!\! !.ется така" окрестпость точкиду В пре !.елах этой окрестпости QtiредеtепыФупкцийYI =с.рl(Хl ... ,х п )!!2 = с.р2(Х1".. ,Х n ),ювлетворяющих !'СЛОВИ" \ IYl -у1< , ... ,(15.43)IYm - уii1<m,!В J!IОЩИХС" при tfа . tИЧИИ Этих усювий едипствеIIIIы.\дифференцир!'емым ретттением системы ураiшенш'\ (15.
1 . По !.стаiШЯЯпа!\!еlшые фУtfКЦil (15.43) в (15.40)сведем BOiipOC о с!'щеСТВОКс! Р' VСЮВПОrО экстремvма в точке МО у фупкци(Е.40)при наШI'iI~И СIШЗе!'\ (15. 1 \ к "вопросу о сущеСТВОЕании i iезусловПОrО экстремума в точке М6 у сложпой фупющи ар} ТlептовХl,···и=ХN, ...= Ф(Хl ... ,х\,).(15.44)<УЩЕОСТf (,вании"n;стр(J\,rYJ\,raМЕОтодами, \!каза! шыми в§ 6 гл"!(la СВСДСПIЯ услошlOГ(! "iЮТРЕОмума кализ()вана в j "аимотрснном ВЫТТТЕО частном'к:AtЪtустан! !f1итьпоМЕОрЕОреше}!ulОШ'(!! iХ()ДИМЫ('С'ш '(реусл! !f1ИЯс\!ществовапи,! \!СЛОВПОIО экстреМi!ма в точке Ма . Итаюiii!CTLФУIIКЦ11Я (15.40) диФФерепцируе;lа в точке М;!имеет в этойточкеэкстреМi!М при налIНИИ Сfшзе!"j (15.
1) или чтотосамое) ФУЮiЦИЯ 15.4) имееfTO'lfieбеЗi!СЛОВНЫ(\экстремум. Согласпо устаповлешIOМУ в § 6л.\!словием беЗi!СЛОВПОIО экстре!;lУ!;lа ilн!пкции ullеоБХОДИМЬЕ(х , ... ,х п ) вточке М6 являетс,! р шепство пулю в этой точке !l1ффереlЩ11алаэтой ф\!пкциидФdu = -д dxХ+ ... + -дФdx;; = О,(15.45, ... ,С11ЛУ ипвари;штпоiiepBOl о дифферепциала и равепства (15.44) фОjМi!тождествеппое ОТПОС11те""lЫЮCTll фОР!l,у (15.4(;)!"lOжпо iiереitИсать в видед/д/Р/Р/du= дХl dx +"'+дх n dХ n + дij1 dУf+"'+д(fт dyrn=(15.46)(В этой формуле все частпые проишо"le берутс,! в точке Л1;).)Подчеркнем, о"шако, , по в равенстве5. 6) dYl, .
.. ,dyrn предстаВЛiiIОТ собой !l1ффере'Щ11алы фупющй (Е.43), так что равепство (15.46) ,le ,шл,!ется тож"!"еством ОТПОС11тельпо dYl, ... dYm.Предположим, 'ПО в \! iаfшения связи 15. 1) мы подставилифУ'lКЦ11(15.4;\), ЯВЛЯl;ifli11ес,! решепием систе!"(Е.41).этом ураШlешш (15.41) обратятCi! в тож"!ества,мы iЮЛУЧ1"",дифферепцируя эти тож!"ества"дF1дХl+"'+аХNdY1+aYlдF1=дijтО,(15.47)+ ...+a- dxn + aYlХndY1+ дРrnдУт=0.Так как яко' ;llап (15.42) по пре! юложеП11Ю, отличеп от 'lУЛ'!в точке М;) то 113 ,ипейпой систе'"(15.47) dYl ...
dYm 'lOгут! ,ыть выраженыTll эти выражепи,!линейные ФУЮiЦИИ dXI , ... ,d];n. Если на(\-iюдставит,; 11Х в(15.46),то, собирая в iЮ-) При этом, конечно, придется подчинить функцию (15.40) некоторымусловиям.5975л\!чfOНН!равсН( тв(' ЧЛfOны, С! ;ДfO) ;жащш'!J\'I,d:l n,d:!"мы :'УДfOМиметь(154;3)dXIгДi''jСРСЗоб; <зна 1СНЫnфун <ции ча( тных щ)()изр; >Дныхкак в paK1HCIRC (ЕА86иси.МЫ:!"А= О;nepe;;t!;... ,'!!'!!Ы:Г,А;;,; lак,ФИIУРИРУЮlтоИ'незаэтогочтоПрисоединяя\!казанным раЕеНСТЕамmУСiOВИЙ СВi1З11 (15,41),{iO 1УЧИМ '!jeo(/xoJ'UMble i/СЛО6'UЯ сушеСТliOвания !словного ЭКС'l рем!!ма фую<ции (15. О) при наличиисвя)ей (1'":,41) в Вl! 1;8=1РавенстваО,:.49)...(15.49) iiредстав щот собой систе/1У+ n урав 1еm + n lШОр 1янат ТО'1 <и ЕОЗМО ;кного ЭКС'l ренийщя определениямума." 2.
Метод неопределенных множителей Лагранжа.ПриизложешIOМ\!СЛОВН010iiepeMeHHLIXх,...выше/1етоде ОТЫСК Ш1!Я точек вО')можногоЭКСТj!ем!!махnХ1 ...мынарушилиХNС!/'1/'1еТj!ИЮвотношенииУт' Часть иЗ этих пере/1ен 1l,!Храссма'! j!Иваликакнезависимые,остальные-как функциэтих iiepeMeHHLIX. В ряде С1учаев это приводитк усложнению lъп<лаДОl<. ЛаГjан ;кем предложен метосимметризирующий рош, пере/1ен 1l,!Х.
ИзложеШ!IО этого /1етодаiiOСВi1щен наСТОi1ЩИЙ iiYHKT. У 1iOЖИМ раве11ства (15.47) соответственно на ПРОИЗliOльные (и пока еще неопре18ленные) постоянные1iOжитеШ!'\'1...,\,т. Нолучен ll,!е после vмножеНИi1равенства сложим по'шенно с равенС',вом (15. 6). В"реЗ!!ЛЬ'lатеiiOЛУЧИМ С1едун!щее равенство:дЧFdxa:i:lГ1;8+ ... + дЧFdx;;,+ ддЧFYl+ ... + ддЧF;;У!dYIdYjj;(15.50)C!/'lВOфунщия(15.51ЭтуфУНКЦИЮ1,1в1Д;;1Ы1ейшембудем11а )ЫВl!TЬЛш'ршн,жа.;'штая, 'ПО ЩЯ ф\!НКЦИЙ (15. 1) выполнены условия, сформулированные в iiреДЫ1;ущем iiYHKTe, и что фу 1КЦ1!Я15.40) диффереНЦИj\!ема, вы"ерем множители '\'1, ... ',\,jj; так,чтоб,! выпол шлись равенствадЧF = О.ду!(15.5:"завеДОМii м; iЖНii cДi латьс ибiiЛИНЕОйной сш15paf ЕОНСТЕаЩ)ИВiЩЯТКTcMi c+ л m дРтду!О--,опресiселпе (Ь которой (якобиап (Е.42)) отличеп от ilYраЕенстр 15Бn равенство (15.50 принимаеf ви.
В си ,у(15.53)ПОСКОiLКУ iiрИ сделап;Т1""licclX Вiссlше iiред юложепи (Х переilешыle,;Т n ЯВЛЯЮТбi неза6'UС'UМЫ,JvШ, то из равепствак(15.53)за-,чтодФ-;:;-- = О,ИХlПрисое15.41),ilЮi к уравпе шяммы получи i с JCTeMiдФ... ,д'Т'О.o:i: n...
'-дехn= О.(15.52)(15.54)n + 2т (равпепийдФ... ,ду!Р1 = О,+ 1n(15.54)ДЛЯ опресiселенияnэкстремумаiшожителей Л1.. .УСЛОВИ(iCBii3lJдФ = ОдУт,Ртс15.55)=0fШОр iинат точек возможного (СЛОЕНОГО...,Л m . Практически при реализации этого метода поступают следующим Оi1раЗOJ',·I .. 'остаВЛЯlот фУПЮf.Иl'i Л"lрапжа (Е:1)шя этой Фупк щи '!!Лгодяm'П'О'Ч/К;'U 60З.МО:JICного беЗijСЛО6НОi:О э'Х:С'!лре.мусма.множителей Л1,iiYTi.ОТi.lскаПИiiетс" заКОППLЕуравпепий... ,исключешlЯщншлекают условия СЕЯЗИточек В03 iсШЖПОlО УСЛОВПОlО(15.).ТакойэкстреiilУiilа (iВ+ибо оп iiРИВОДИТ пас как раз к с JCTeMe n2т:).
ПРlJiсlер ПРlJilеilешlЯ мето (Д iюжитеiей Лагранжа (1удет3.paCCJ\oIQTpeH в п. 4.Достаточные условия. В этом пун !те МЫ рассмO'f римодип и3 путей допошштеiЫЮГО исслеюваПИii точек вО')мож юго(/СЛОВПОlО экстреiilУiilа. ПреДiЮЛОЖlJiil, что в точке МО вы юлпепы пеобхоУСЮВИ(i экстреilТlа (Е:5).Кроме того, ЮiЮiнительно ПОТj:еiiуем двyr!раТНОЙiифференцируемости(15.40)и(15.41)в окреСТiЮСТlJ точки МОчастных ЩЮИЗЕОДНЫХ)ИЙilепреРi.IВНОСТИ всех:i_rO порядка в самой точке J\,;10 . Из fШНструкци ФУilКЦlJ Лаlрапжа (15.51) очевидпо, что nри нал'U'i'U'U!6ЯЗ{'й, (15.41) экстреilУil(.I Фупкции (Е.40)ФУilКЦlJ Jыlап--5995жа (овпадаЮ'fтогда из рЕОЗf льтат()в1)ЧТli для по,§ 6 гл, 1 выт( (а("!ия д'''fаточн()г" У(~ЮfШЯ Эf(СТРСJ\,rУJ\,rа в ТО'1У фупкци"ди {,Щn'/J140М)iiрИ 11а . 1ИЧИИ (ВIlЗСЙ (Е,41{,I[,}.Л 15,55)IIЮТВСТСТВИИр( ЗУfLт"тами §мы М' ')КЕОМ констатир, ,рать наличиЕО в т' ,чКf' J\,;10 МИНИМf!ма,f),m,oilгл,1если iiрИ (1а fичии свя')ей(1"1.41)12\1[0> О, и ilaKc1l i lTla! еСfИСделаем еще несколько заме'1аний пра (тического характер".
ПреЖlе всего oTMeT1l i l, чтод'Шfнjiере'!щ'Uалd2\]i ,MO:JIC1-tО в da1-t1-tO'L'l mO"ine Л1{) воз,мо:JIC'!!О;'Q эnС'!лре.м.ума выl<d2 \]i1"i'Uслят!! тап, пап {сл'u бы все nере,}.л{1-t1-tЫI Хl, ... ,Х n , 711, . .. Утбыл'U '!jезав'ш'U н!;!,ми. В саМШl деfе, в общем случае второй диф2ференциал dфую(циине обла.lает CEOilCTBOM инвариантпости формы и юлжепб" с учетом )ависимости 711 . ... ,Утотd2 \]i]'n О iре.l.елят.ся равеПСТВОi(d.!1д~ + ...
+ d;yn д~n + dYl ~ + ... + dYm ~)дw+ -д.dYlо2У\]iдw++ ... + -д. d2УrnУ n·ТО'1 (е возмо ,кного э (стремума МО СПJаЕедливы раЕеНСТЕадwaw= О.i 'УrnTaf( 'ПО d2опре l.еляться тойдdXI д.н.'.+ ... + dxфОРМfЛОЙд! -дlГ n+ dyд-д',У!д )+ ... +dх m д ·Уrn(ЕKOrla все iiеремеппые х1 .... . Х N • 711 .... ,Ут пеза\Далее, замеТИi'l, что iЮСКОЛf,.Кf! (1амн!становить знакоопре.l.еленность d 2\]i лшLl'ь nри 'НЛЛ'U"iIШ связейчто и в случае,виси(15.41),\.56)то припровеВЫЧ1lСfепий Сfедует в формулушяiюдстаВИТf.
вместо dY1 ...их зпачешiЯ,опре.l.еляемые из системы (15. 7). После этого сле.l.ует ИЗf!ЧИТЬBOiiPOC о Зf1акоопре.lелеflНОСТ1l d 2 \]i в lаппой точке Мо , ТЕ:пеРf.мы можем перейти к рассмО'! рению примера.1) Это вытекает из того, что при наличии связей! 15.41) разность 1(1\1!) с разностью !!'! 1\II) U\lIo).- 1(1\1Io) совпадаетПриг,н:р. Предп, л, ,ЖИМе что HaJ\'I треб;!!; fСЯ наtепи ма :симае tЬHOeимш шмалы Ю!;з:tа; l( нияш; Шtt Ыопр' 'ДfOлителяУ1(15е57)еГ nУnпричем извес [на сумма квадратов элемеН'f ОРго опрееtеелите.СТРОf:И этоЗадача сводитс:t к ОТLIСК:Ш но экстреМ:ШНILIХшачепий фупкции n; ffеремеППLIХ (15.57) при паее:ИЧИИ слееtеУЮЩJХ n ус ювий свя ш l ):+X~ +хуX~eГ [ее 11'1, 11'2, .
..+ ... + zy+ ... + z~+ Y~ + ... + z~= 111= 112=( 15.5i3)11"е,зае [днные положительные числа 2). Для реtдчи рассlOТРИ,решим более ffPOстую задач:!. Фи'Х:сирУ{}Vt У оnре, i;лиmеля 15.57) в э'Х:сmР{}vtaл'ь11,n -шения fюставле:iНОЙ'НЛЙ mO'i'X:e;лееме'н/п'ы всех С'!ЛРО'Х:, за UС'Х:Л'Ю'iе'Н,u,OaHO'L'l k-Ilтаком с:учае опрееtеелитеее:Ь (1';.57) !еlOЖПО рассматрифую:цию n переменньр! Xk, Yk" .. ,!k.
Явное выраже-!'П!]Ю'Х:U.ватьпие этой фупкции мож:1О [1О :учит:;, разложив о fреде:итеш; [1Оэлементам k-Cj С'! рш:и:(15.59 )[еесь черезk, Yk ,· .. ,обозна'lены алгебраи lеСf:ие 1Ополнепи:t соответствующих эле:lептов Xj,7/j, ... ,ZI;. Так как э:емепты все:<опрееtеелителя, [:роме k-й, фIН:СИРОЕаны в ЭКС'f ремалнroй точке, то X j , Yj, ... , Zk мож:1О рассматриват:; какf1Осто:tШI;lе числа. Но ставим за tдЧу об отыскапии э'Х:сmреМУ.J.ловфУ'Н,'Х:ЦШl5.59) nри 'Н,аШl'iШl О;)'Н,ОЮ условия связи 32xk1) BOf!po!+ Yk: + ... +(15.60)Ci!'щесrnвова'Нuu экстр! ,"а,! ;H!;IX з ;<lчеf!ИЙm;I!!;:пае:ний, ибо функция (15.57) является шnр!ры'н ,й функцией СВОИХменных на замкнутом множестве ! 15.58).2) J'vlbI ;,пускаем Т1 ИВИ:lЛЬНЫЙ случай, Ю,Г,lЛ х,тя бы ОДНО из чис!\/Тh1h 2 ,...hnl!;lПНО н;;лю.
В этом!Ю1!!е :е;lИ: [\/ТЬ(15.57)но равен нулю.3)качестве этого условия мы берем k-e из условий (15.58).:!;стпеl1-6UI5для рto jj(,НИЯ= Х!.и дляУ(+Yk!т!!й фу!Лаграю,ка2Zk+h;), (15 (1)!щи р( тттим Р!!П))()(!!!вийп !ходим коордип !ты точки воз; lОЖПОlО экстре;lY; la(15.62)Пос! оянный J\'IНожитель А лег ш исключить из условия с!шзи. Из этого услови!! пахоша т !чепи!!:~+ Yk2 + ... + Z; <41'kспова опускаем тр<b>Текст обрезан, так как является слишком большим</b>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
