В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 100
Текст из файла (страница 100)
В;том случаеди(k= 1,,2, ... ,т).днЕсли мы,!отим обеспечить существование у нешшо за,iанноI,I=функции ито.естестве;ср(х, у) чаСТЮ,fХ проишодных второго iЮР!fдка,Ю.'!ОДiПСЯ !'силить тре(' оваfШЯ,на' фунюшюналоскеf[ыев теореме 15.1, а и' енно: ПРИХОДИТС!f доiюлнитеЛf,НО" что(',f,J;Т, у) i'f,Jла сва разаfU тр!'ема в рассматривае:VНiii то тке. В этих пре,шолоnp01tiiBO(j'llbl.xжеНИ!fХ остаНОВИ;iС!f на в ,fчислении 'Част !ъивторого Тiор.ядnа.Введем iюлешое в даш,нейшем ПОН!fТIГ iЮЛНОЙ частной iiPOИЗfюдно11 функции. Предположим, '!то нам да; аемая функция трех apiY;ieHTOB Ф(и,:г,у), приче'аргументов и сам ш;ляетсяодин из этихi исlн!>ереfдв!"других аргументов Х и у Тогда функцию Ф(и,х,СМа'! lНT [;ать как слоскную функцию i [;ух аргумен'! ов х,Ю,fе iiРОИЗВОДЮ,fе;той сложной фунющи iЮ Х И у будем Hai'вать nол1-tЪ!ми 'Част1-tъt.лли т!роизвод1-tъt.лли фу1-tк'Ции Ф( и, х,DФи у и ii('ЮЗffа'тать СИМfюламиDФ'по ХПii правил!'DijuтроваfШЯ СШiЖfЮЙ функции мы пол! 'тим Gпе,iУЮЩ те <!юрмулыДЛ!fука ,анных полных частных прои (водных:Ш'дiI' дидФОн дхдхDy =~.:: ди + ~.: .к ВirIЧИGпению чаСТНirIХ ПРОИЗВОДНirIХBTOPOiOiЮРШка неявно заданной фуню [Ии.
Ради опреде,fенности в! ,fчислимд2iiРОИЗВОДНУЮ --о ДиффереНЦИРУ!f первую иi фор;;ул (15.11)дудхпоуиfюдны'!имаяд!ид!днfЮfшимаfзаfШСИ'iО"!ие,'ПОчастны'!каж, iаятре,! арг!'меfTOf;иХ, у,ПJоизизявляет> я функцией1;OTOj)bIXDдидуд.!и'>'миметьдF D+дхдРб'u5771Иф !>Е1 ЕЮ!! ,ГУЕ>С>СТ11!ЕСТВОВ \НИ!>)удР (д 2 Р дидu-а;:а;;; ауд'Р)дР (д'РдН+ fUдY + fu[+Р5.1),01JOl'lательно2 Р_' (_дР) 2_д_"Р_' _дР _дР _ _д_д,т;Пu ду дuдхду_дuд'Р)+ а:;:ау2Вставшш в ПО.lученную фор\tyлу в! Jражениеиз форм\ла;;'2 аудидl/ 'определяемоеиметьд'_Р _дР _дРд'Р дР дР[+и 2 д,т; дудуПu дх дu_3(15. 2)Совершенно аналогично в ,lчис.ШlЮТСЯ чаСТНЫI' llРОИЗВОДЮ,lе2u Адду".
налогичныммето, ЮМ Ivюг\'т быть вьнислеllЫllРОИЗВОДЮ Je трет! ,е! о и lюследующих lЮр [дковП рм ефУllКЦИИ U =ы.Вы lИСШ1ТЬ част!1у)хза,!дlу2)д!!дхдуд2дуд,т;про 1З юднуюб'uдуд.!u - е-(Х+У+U) =(15. 1вччис.ТIи! частнче1+1+=1.О.Тот же во тос lД!! функции. заданной уравнение!и2+ х 2 + у2п ТШ УСЛОВИИ. что Ф.' нкцияF ( u.соответствующее число раз.191).lЮР!lдкад!!Далее очевидно, что'lacTHbIeюй ПОСjе,;,ством ура fllениярежде всего. lюл ,зу [сь форм! ламиllРОИЗВОДЮ,lещ'рвогод2 uВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьI_1/)а 2 - О.дифференцируема в данной точкеИ<шшьзуя(15 1ш л\ '!имднхдн, д!!дхиметьд!!D (;){!ун2D!fОсоБЫЕ' точки ПОВРРХf Осс!И3.смотрим некоторуюfеляемуюдинатв!лоскойffТОЛЫза,!ДfШОИ(Х. суравнение'функцииРас-ffoBepXHocTb S (плоскую кривую L), опре!fЮЛОЖИ'F(x,:t}, z)системе ко'ю= О). Относитель~очт'f она имеет непреap!Y\feH-Рf,ШЮ,fе чаСТНЫf' прои !водны!' перво!о fЮР [дка fю все'там ВСf!ЩУ в некоторо!( о,рестности ЛЮ1ЮЙ то'!(кривойL).Буде' называть данную точку fюверхностиL) осо( о (, если в это!с( точ},е ОlfращаfliТСЯffРОИЗВОДЮ,fе ffepBoro порядка функцииSS(кри-нуль все частные).усв m,рестности особой то'!киF(x, у, z) =ПОffер'! юсг'fельзя примеf итьураfшению(F(x, у) = О) теоре\;у 15.1, т.
е. нешзя утверждаТf"это ура fffение разреfхотя бы 'fТff'fсителыюШО!с(пе-ремеНЮ,fХ х у z (х, у). ТаКИ f обраЮ\f, участок fюверхности S(кривой L), приле!ающий к особой точке, может не допускатьо,юзна'!f'frO проеЦИР'fffаf ияна о,коор,шffатffыI!f плосffCкостей (ни на одну ТЕ осей координат). Структура поверхности S(кривой L) в окрестности осоtюй т'fчки f'ожет lfыIff ffчею сл'fжной и требует ДОПОЛНИТf'ш ,ного ИССfедоваНИff.То'!ки ПОffер'! юсти,), [е ЯffЛЯff'п~иеся ОСОl'fЫМИсffРИНffТО HaffJBaTf Of'f,lK!!06e !!fыпl•. В окрестности обыкновеннойточ},дейс! ffyeT теорема 15.так что прилегаfliЩИЙOlfbIKHOвенной точке участок поверхностиЗf а'! юе проецирование хотя быS(кривойа ОДffУL)допускает одно},оор,fЮ ffbIX плоскостей (хотя бы на одну и! осей координат), что существенно() участка..
Найг' особые точки },pfTOBoro },о!Оl'шегчает исследование это!П р+дР-м еры.z2 = О. Пос},олы,!с F(x,:t}, z) - х 2+дРх2+то дх = 2х,д "'~ = -2z. Е, [стве; юй осоl'Ю!С( точкой является на'!а{!уло }(оор,ат. Хоро! ю ИЗffес! fЮс что в окрес! fЮСГ' это!с( то'!киfюверхность конуса не может бf,fТf одношачно Cf!роецированани на одну из координаТЮJХ fшоскостей (рис. 1,!.З).lECTBOB\НИl!пш ской крив! Й :1:2 дР= О" Ч;1С11lЬН~ про 1З1ЮДНЫ!" 11М! 111Т 1ШД дхдР2у" Об!" частн"leточках плоско! ти (О,+2:г++37 ),пршгшодны!" обращаЮТС1l в ну!и(-2/3,в двухИ1 этих двух точ! К толь-ко ТТСР15CLЯ ТТРIШ<1ДсlеЖliТ Р<lССЧCLТРИВ<lе,юй кривой, т. е.
являетсяОС1)('О1.1. Пое1РОИВ КРИВ)"l!1 х 2 _у2 +х 3 = Оокрее1lЮСТ11(О,1lыI убедимся в томчто эта точка 1lВЛ1lется точкой са'юllересечеНИ1l lрафика (рис.5.4). Ясне), что в окрестности этойточки кривую н1 ш зя однозначно спроеlшроваТlни на ось Оха ось 01/.zРис.4.у15.3Условия,функции у =Рис.обеспечивающие15.4существованиедляf(х)обратноt\ функцииf фименим теоремуJ 5.11Д1! Вl"lЯснеНИ1l условий" lljШ ВЫlюлнении KOTe)11l"lX <I>\"НКlИ1l УИ'lеет в некоторой окрестности точки :го обрат-= fНУЮ ФУЮ(;i\UЮ х = f-1(y) определенную в lе110ТОРОЙ 01рестности точки УО[де УО =лхо).
Будем рассматривать У =11а11 функцию" опре1iеляемуюда ""(х, У) = лх)-f(x)11П 10нальным ураlшением lШУ =Тогда ве) тос о существовании11 \"нкции cOBlla1iaeT сBOllPOCOM о ра;реЩИ'lQСТИ относитеш"но указаННОlО Фунюшоалыюго ураlшения. Как следе1lше теоремы 15.замечаl ияllеред доказательство!1ТОЙ теоре';ы,\"твеРЖ1iе; ие: CC iU ФУЮ(;i\UЯ1MlJПОlУЧИ!слеДУЮlllееГ(х) U.ллсст от 1iU'ЧНУU 1 от НУля nроuзводНijЮ в !!с'Х:оторои о'Х:рсст'llости то'Ч'Х:u хоэтоu фу!!'Х:'Цшt в O'X:P!:Cmi!OCmU хо существует19*то дл"s 3.tlеявные функции, опредеJlяемые системойфункциона,it ,Ш,I>;:tенийосистемы функциот ;ТЛЬ-НЫХ уравнений.пре,ънущем парагра<l>е мы рассматривали1. TeopPlvlaBOiiPOC о существовании и дифференцируем ости неявной функuи ,опре,селяе:vн)'! посреДСf ;ff)M односс'О ФУiiКЦИОiiалыюр) ypai,-неНШi.
В это' iiараграфе м! рассмотрим анаЛОiИЧНЫЙ BOiiPOCдл!! совокуnности 111 (т - любое натуральное число) 1-tе,iiВНЫХ Фу1-tКi\UU, опреде J.яемыхп,осредством сuсте.ЛЛЪf Фу1-tКi\UО!taЛ'Ь'/lЫХИтак,{е!!ии.!JpaB;iЮЛОЖИ'что 111 функций,:1:2,··· Х п )= rl= r2Н2Нт,:1:2,··· Х п ),)m(Xl,ищутся как решение систе,iЫmХ2,·..,Х п )функ шонал .ных уравненийF 1 ;UlН2Нт ,Xl,Х2,···Хп )О,F 2 .UlН2Нт ,Xl,Х2,···Хп )О,Нт ,15.1 ),!!2,··· хп)=о.Из,"iИМ i,'ШРОС О разреi шмости системы ФУiiКЦИОiiаЛЫiЫХypai,-нений (15.14) относительно Ul Н2 ...
,Н т . Под термино' «решение систеМi(15.14»> м! в дальнейше' будем iЮНИ,iатьсовокупность m!!Шf(15.та!!'!ТО при по,сстаiке !ТИХ функций в систе,;у (15.14) все уравнения этой систем! о{!рап~аi' ,тс,; в тождества. эт'i ретпение м! Jсем называтьне iрерi.tВюи диффереЮiИРУСМiвнекоторой об.iасти D изMeiieiияперемеi[ЫХХ,Х2,...,Х п ,еслика}f{,;ДЯиз!(uиHeiipepiJВHa и дифференцируема в об.iасти D.римся ОlЮЗiiачать символом R ПJЮС'f ранс! iЮ (тn) перемеiЮJХ Ul Н2 ... Н т , Xl, Х2, ... Х п , а симво. юм R' пространство(15.13)перемеi+[ЫХ Х,Х2,···Хп 'Рассмотрим 111 фунюшй F 1, Р2 ,..., СТО'iЩИХ В левых чаCT,iX систеМiJ (15.14), и составим из чаСТЮJХ iiРОИЗВОДЮJХ этих:3581СИСТЕ\IЫфункций СЛi' "'ti>щий \юределит> ЛЬ'Б\' се>называтьЯn06u 1дРдНдР2дР2;)и1;)и2дРrnдР711дРrnди1i >и2ди 711о;те,селител;дР(15 5)вксаоnределuте.'iем5.15), .
..(или кратко лn06uа'l-iОМ) <!>\'нкциI1 F 1 ,ременюп;)~,пе-'11т И кратко обозначать си> вола>'111, '112,...Имеет мест;) сле,,\'j, ,щее за> ечател ,ное j·тверж,сение.ТеоремаФУ'lln'ЦUЙ15.2(обобщенuе теоремы15.1).Пусть 1111('111,'112, ... ,U т ·Х1('111,'112, ...
,U т ·Х1дuффере'l-i'ЦUj yeMыв1 16)О ,рест'l-iостuто'Чкul'vIo('11 ,nрu'Чем 'частныe про'112, ... , m , Х1, ... , Х n ) nрострш!стваuзi10д'l-iыe этuх фУ'l-iк'Цuй ПО nepeme'l-i'l-iыллл '111 '112, ... , '11т 'l-iеnреpы},, >,! в mо'Чn, Мо . Тогда. еслu в то'Чnе l'vIo всс ;/iУJfn'ЦUUft15 • 1{;···)6О ji iu~аюrnслв'l-iУЛ'Ь.аD(P,Р2 . .. Рт ))(D Н1, Н2"., 'Н 711"'.>··.·06"'."О'" .'.'. ,...,'"оm-'iu'Че'l-i от 'l-iУ'iЛ, то длл достато'Ч'l-iО ,лла'iЪfХ nоложuтел'ь'l-iыx 'Чuсел 101,102, ... ,10т найдетс.)) таnал оnрест}юстъ то'ЧnuоМо, ( Х1,···О)...хnnростра'l-iстваR' ,...'Что в nред'l-iостu СУlчествуют едlшствеJf'l-iыe 111 фtj!!n'ЦUЙудовлетвор,;!.ют !Jсловu!н'1'1111~11<иелах этоu101, 1'112о(15.13),Oi'jJeCrnnoтopыeft 2 <102, ...... , IU m - uml < Е т '11 Ш!'iлютсл ре'ше'l-iuе,лл сuсте,ллъ! ура !'l-iе'l-iUЙ1.
14) nрu'чем это рсше!!1t> Henpepыв ю '11вуказа'l-i'l-iОЙ оnрест'l-iостu то'Чnu l\I6.1) Карл Густав Яков Якоби - неме",кий математик3а мii,каза,а н и евытп,'При тnт"рремут"ррема5,1,Ш\i' в эт"м ,луча,' Ю'i"биаiобращаеТС'i в ч;,стную "р,шзв,(15,1,Д О3ал ьперехi" ит в15'т в1/д111е ом ыд"м методом мат,'М;iТИЧ",кой индуюiИКпр(не-52= 1тnт"рре;;аПОЭ'i рму до(т;г '''шо, предпй южитеор' 'М(' 15,')Сiii)аве,лив,)f i Лii систеМiJ m - 1 Функци,шальн JX уравненийдоказать Сiiраведливость 'той теоре;;ы и для систеМi m Функциональны < ураiшениЙ. Поскольку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
