В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 95
Текст из файла (страница 95)
не коллинеарны', друг ДРУlУ (т. е. таких, что#алЬ Нl! для одного l;ещественного л), справедлИlЮ строгоеHepal;eHCi lЮКОШl -!J(a, а) . (Ь, Ь).I(a, b)1Это о ;начает. что для дока ;ате.ш,спа нераl;енспа4.113) на:'достаточно убедиты'я в том, что векторы У1 -х и У2-Х не колли. е.:беДllТЬСЯ1'ОМ. ,{ТО Нl! для од юго вещеCi l;е iiЮГО лбыть спраl;ед 11ШО равенствонеУ1- Х =Если бы равенствоДЛЯ которогоp('i!#Iлlх).(14.114) было1, то былоСправедливость рав,нствабl,' том:'. '!то точки1/.?с lравед 1ИВОбы невозможно(11.94)ДЛЯ)/1 +)/22=+1такого лравенствоlротиворечилаявляются ра;личНl,'Наконец, справедли юсть раl;енспачала бы, что11.94)(Y2-:r:).( 4.114) для л = -1 о;на-~х, а этот случаи мы :ю'ключили.Итак, paBi'HcTBO 14.91) Hi' справедливо ни ДЛЯ одно! О веlного л, а пото: IY дока;ю е.ш,Ci lЮ неравенства ( 4.113) ;al;epшено.См., например,§1,л.алгебра», НЗ,i.-ВО "Наука»,213 самом деле, при аэто~г\· Ев"4 кни'"1978.#В.А.
Илт,иналЬ веЕТОР (а- лЬ) не является нулевым. По= ia,Ь)Ь)строго положителен и его днс 'риминант 4[(а ь)2 - (а, а) . (Ь, Ь)] строго отрицателен.18*iii'iTHbIi1Т} ('хчлен ia -Э.Г. ПОЗН·,·iка <,Ли iей iая[нихСоп, 'с [',шляяч[fс,чтрУl+ 2 v (Уl-4 [V(YI-4XУl --,YI-(У2 V(Y2-X)Тем самым доказаТi ЛbliТВО неравеШiтваX(х,1/2)]2 =Х,1/1+У2 -14.91),Y2-)X)]2=завеРШ i но. НоiTO llepaiieHCf [1O о{на [ает, 'iTO у 'iiНожества Q нашлась точка, более БЛИiКая х, че,i [iОЧii 1/1 и 1/?, а iTO ПРОТiiВореЧif i2'iTO iiЮiiдая ifЗ точек Уl 1/2 является проекциеif [СО'!х намноже;iТВОр(х,,т. е. ,iВЛ,iеТ;iЯ точной нижнейраНЫi' расстOiiНИЯвсево{можны\ 1/, принадлежащихПолученноетом.чтосущеСТВi!ЮТна lVIНоже;iТВОQ.iротиворечие показывает, чтоQ,двера {личные[ред юложение опроекциии1/2точкиХявляеТС,i О! iиiiочным.Доказательство леммыПерейдемTeiiepbОnреде.лен,uе 2.1ЮЛНОСТЫi! заверi [ено.к определен:vш! выпуклой функции.ФУ'НnЦUiЛ, за)а'Н'На;; 'На выnуnло.М .н'НО.жестве QnlJOiimра'Нствп Е т , 'Называетсл в'Ыу n л О 11 в 'Н 'U З'ил!! просто вn 1/ n л о 11 'На это.
н .·,;.'Нож<ст!f' , <сл!! длл любых двух!nо'Чеn хl 'U Х2Q 'U длл любо(!о ве!цестве'Н'Ног о 'Ч !с,/!аt'из с<гсправ, !)л'ШiO 'Нера (е'Нство(14.95)3. ФУ'НnЦ'UЛ f(x), задаюил ;Ia в·ыnуnло.м. .м.'НОжестве Q пр! 'стра'Нст!ю Е т , 'НаЗ'Ьtfiштсл С т р о гву;ТInл о11'На .!то.м., есл'U длл любых двух то'Чеnх.' .н'Ножества Q 'и длл любо!i'О веществе'Н'Ного 'Ч !с !а'U iтервала О<t <1!iерпt'изU!icmfiO[j11.96)Ясно; что всякая строго Вi!iПi iiлая наноявляеТС,1 выпуклой на этом множе;iтве.[ieCf iie Qфункцияf(x)Легко У'iтановить достаТОЧНОi' У'iЛОВИi' выiiклостии (соотв! т-110строгой Вi!iПiiiЛОСТifвыiiкломM множествеДВЮiiДi!;Q функции fдифференцируемой нах).Всюду в дал·ь'Н<11ш,е.м.
.м:ы буде.м. nредnолшmm:ь, 'Что .м.'НО.жествои.м.еет хотл бы од'Ну в'Нутр, 'Н,'н,юю то'Чnу.54')Ле];,.мд 2"щт!"",ад !{наd!(i' рааа д !4jферен'Ц'uр!!е",щ на в ,!n!;к:ло",' ,нножестве Q, fогi а длл того, 'ЧтобыфУ'Н'? 'z'ИЛ лвлллас!, выnук:лоiiвыnук:лоii i 'щ .м.но,у'егты; Q,'Чтобы fimopoil д !ффсрен'Цu.аЛ'тоilфУ'!IК:'Ц'И'И во вi'е:r; то", !({:r;лвЛЛЛi'Л к:ваз'Иnоло )f{''Ител!,но оnределеннои (строго по ,ож !тен'ЬНО оnределеннO'I'1) к:ва;iратu,'Чно'l'lФор,мои,оа з аеь св О,П\'сть Х!Х; любые двефию'ированные точки множе,'тва (], Рассмотрим на сегментео:::;;1 слеДУ;f l ,фУНКЦИ;f l одной незав:ю им ой !еременной :t:::;;11.97)Напомним, что второй дифференциал d 2 функции f Х) =,Х т ) 111 не:ависи: ({,!х переме !ных Х ,Х.?, ...
,Х т Вданной точке Х = (Х! Х.?,... Х т ) равен 1)f (Х! , Х2, ...=d.?Лх)тт2L L a:l"k (Х)='t=.~Xi' ~Xk'11.98),'=1iiЦ!!Ю4.117) два ра:а подифференцирования сложной фуню!ии, получимrnтр"LLi)'i=l k11де (Х ,Х2""Х22t(.T2 - Х1) (~iд!--[Х1д!,1a!ktпо пра!i Н '- ii) (5: л -iл ),14.91)\12и (Xj, Х,;, ...
,Х т ) -,КОО} динаты точек ;Т! ИCOOTBeTCТiieHHO.Сопоставляя соотношения(14.9S)убед !,1СЯ в(4.119)!раведливо; ти равеш'тваF"(t) = d2 ЛТjде в вы} аженииXi -t(x; - Х1(0)!рит ащеН:Ю1 ~x; вdL:i1TbI равнымиXi·дал ,11ейшие расе; i!iдения,раД1iопределе fIIОСТI1для случая, когда второй Д1iффереНЦ1iал d 2ПРО1iеде,;110 всех ТОЧiiах QiIВ.ТIi1ет;'я квазиположительно О1!ределенной квадратичной фор"юЙ. В ЭТО;,1 СЛ\"iае для всех t iiЗ сегментаtпраiiая(а, стало быть, и леваil) ча;'тьвсе!ttи: сегментар"См.
п.2 §5гл.4.(11.100)неотрицательна, т, е. ДЛil1;;?о.1(1)1Ю 1Хв Cfшу опре 1ел ен fЯдока ,;IП"2с< ют ЮШ( Н 1fЯдЛЯ 1;сехt1fЗ'1<Jc 1ато1О1Н<)сщ а ;ед 11Ш<Jнеравею'тво(о,Для дока ,;lтел ,С 1;а нера1;енС! 1;а ( 4,102) 1fСПО. fЬ,yгшение (14.и легю проверяе,J1,1е равенстваПреДПОЛОЖ1fМ J '1ТО 1;НПРИ сег:бы одна точка( 4.103)t1eHTaF(i)о.сущеCI ;1ет хотяF(i) доcerl,1eHTet,начеН1fЯнекоторой внутренней точке to ЭТОIО J'eIMeHTa, Iричем F(to) > о.в этой ТО'II1е t(! J])1!НI1ЦIfЯ1'1eeT Л0I1аЛЬНI,J, а поF!(to) =Но IfЗ неравенства (14.) в лекает, 'ITO производная р' i) не убывает на кем J'eIMeHT<' О :::;; t :::;; 1 а ютомуt,в которойс<ютно) = о.= о,4,да фУНКЦ:Ю1стигает Cfюего маКС11I.'1аЛ1,НОГО наt(!t1. Отсюда и и, \!СЛОВИ;1 F!(to) = О следует, что производна;1 р'неотрицательна BCICeдy на сегментеt(! t 1, а юэтому функция F(t) не убывает на этом се! менте.и на сегментеЭТОIРИВОДИТ нас к HepaBeНI'TBYР(1) ;;?F(to) >О.Iротиворечащему второму J'оотношенИ1{!(11.103).Полученное Iротиворечие дока,ывает, что [ред юложение отом, что на ,'е! менте о:::;;1[ествует ХОТ;1 бы одна точка t,в которой F(t)является ОШIfбо I1IЬE'1, т.
е. дOt1аъшает спра->:::;;:::;;ведливость ВJ';{ДУ на J'eIMeHTe о:::;;1 неравенства (11.102).Тем самым первая часть леммы (о вьmуклостих) IрИ у;'лоfвии, что d 2 f ;Ш.1;1ется ква,иположительно ОIIреде.1енноЙ квадратичной формой) доказана.,тора;1 часть леммы (о строгой выпуклостих)IрИ усло-вии, что (Р f ;ШЛ;f!'ТJ';! ;'TPOIO юложительно определенной квадраПIной формой) дока ,I,шается аIIаЛОГIIвенстваравею'тв14.101)14.10:\С1!ществует хотяодна ТО'II1аt,к выводу, что ри) имеет внутриi1ального 1'1аi1СИ' 1YI,1a to, ПРIfче1 1F'(to) =1'еРI;алео, изto < tJ\Iы снова(14. (3)Онера-;'0 знаком,и из;'eIMeHTa О :::;; t :::;; 1в iЮТОРОЙ11Ы приде1 1CiiMeHTa;;?Оточку лоНо 1'огда, ПОСiЮЛI,J'"(11.101) получим, что р', а )1'0 о ,начает, чтополучаем Iротиворечие ;'0<О>на юлуин-;;?о.вторым соотно! Iениемкоторое дока ,I,шает, что i'(t)I;СЮДУ на интервалет.
е. доказывает ;'ТРОIУЮ вьmуклость f(x) на мншке< t < 1,;'твено. Исходясправедливого на этот рази IреДIЮЛОЖИВ, что внутри551Л( ммапо. fНОСТЬЮ,'Jf'(l(ан;(Доказ;(нная лемм;( е( TeCTBeHНil н;ш, ,fИт на мыiльь о рассм()fреню! С I<Д{(ющеГ 11 ещ(iУКЛОМ множествеQ;;,'лее {!Зi1' !го;(СС( Вi,Ш{i1ЛЫХ на iibI-иша раз;( диффереюсируемых на этомОnределенuе{ва раза дu.ффере'Н'И,Uр!fе,мал 'На в mi;nЛО,М,м'Нож,ст(l' Q фУ'Нn'И,il!' j (г) 'На (ываетс!! СЛ Ъ 'н О'ы n у nлй 'На этом. м.'Нджестве, еслu j'УЩ, j'm(lуют таnи,ложu,те.н·ь'Н'Ы{ nосто.н'Н'Ны,е k j 'и k.l 'Что второйдвеd2 j этой фу'Н.n'Цuu, mjiilделлеМ:blй С;Jот'Нлше'Нuем.
11.98), вото'Чnа;т х .·,(.'Нож, ст;юQi;дов.нетв;Jрл,т Hepa;l' 'Нства,м14.эти;, HepaBeНi тва;, через ~x обознач; н в; ктор С координатаобо (начает С1алярш,;квадрат ЭТОiО вектора.Из левого неравеш'тва(11.101);'разу же вытекает, что второй дифференциал сильно выпуклой ф{!нкт~ии(редстав. f1leT собойполо f1i!тельно опреде!fенн{!ю во iicex точках 1'lНоже;'твафункцю;" а ютому (в ;'илу леммы 2) j'uЛt,'Но ;lbl iуnлал'На ,М'Н! 'ж,ст;lе Q фУ'Нn'И,i;" заведо,мо лв и;етс!! строго вы,nуnлой'Нл.!mом. М.'НО.жестве.Вме;'теШИРОi1итем класс ;'ильно выпуклых функций достаточноiiаженпт(! i1лаДНi,iх(адачах,иограНИЧИ1'lСЯклассом при изложении теориирадиеНТНОiО методаНачнемHOCTi!Н'И1!юиска миВЫ1lснения вопро;'а о суще;'твовании и о единствен1'lИНИIlY1'la.2. Существование lуНllНIмума у силт,но выпуклойф'уНi(ЦИИединстпеННОС'iЪ МИНИI'i'i.У мастроголой функции.
ПусТfмноже;'твеНOI!1есп;а(].Qфункцияj(xопределена на iiЫПУКЛOI;Будем говорить, что эта фУНКЦИ1l им; ;'Т В точке хао к аьйн, если сущее ii{!eTтакая д-окрестность этой точки Ха, что значение j(xa) 1ШЛ1lет;'янаii1'lеШ,ШИ1! среДi! (на!iений j(x!i1lli! (1О iicex TO!iKaXпересече fiiЯ д-окресТНОСТi! хо и 1шожества Q.ПТ (! Tai10M определеню! понятие ЛОi1алыюгоilНi!включает в ;'еi;я и точки краевого минимума функции jнаранице множества Q.Tai1i!M обра1ОМ, Прi! данна1,lИ определен11ОЖНО подразделитьточкиминимуманаточкивнутреннеголокаЛЬНОiО(!м{!ма (для Сf\чая, (1Огда Н'И ТО!iКИ являются внутренточками Q) и точки краево! о локального минимума;'луча1l,КОiда эти точки 1ШЛ1l ;!ТС1} раничными точками Q).[Нl [ХffЯ fюпр, ,С;1 О с\ щеСТВ()К1 ри е! fшственн< ,ст fi,i{;1ifbH, ,ГО\Нl нам пон 1доб iТСЯ слеД\!Юf fi1Я f;СПОмогатеЛЬНi1!! TeopeMi1Ле,мАfа 3, ПI!гтt,НЫn?!'КJlД!1! Н'i!i1же! !/!{ie Q ащ)а?fЛфере?!'Цuруе.мл,,я выпу? л т,я фУ'Н'? !!U,я j (:r; )lл,я того 'Чтобы этаДляЛ,фУ'Н'К'Ц!! l ' !!,нела ло'КаJi'Ь'НЫUв то'Ч'Ке го ,н'Ножества Q,'Неоптодu,мо u досrnаrnо'Ч'Но, 'Чтоб!!!любого век;тора ,зх, дл,я'Коmоро?ого~T nрu?:адЛ,)f{'uт .м,'НО !!!'!i'm!!y Q, было+сnраведлu,вf! 'Нiраве'Нст!ю 1(gIadа к а з а тл ь с т в а.'пержде fffЯ, дакаiа шага;;?1)Н е а бп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
