В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 93
Текст из файла (страница 93)
[е[либо ОТРИllательно определенной.КЕадраТИЧ[fаяа (14.71) [а;ываетС>!м е н н о Й,н аоесли она принимает как строго положительные, такстрого ОТ1llaTe.'fЬHыe зна'I< ния.КЕадраТИЧ[fаяа4.fаЗЫЕаеТС>fан аоп р е Д е л е н н о й, ес.'fИ она принимает либо только не отри['е. [fяые, .'fИУю ['О.'[fеПЙ'ЮЖfпе. [fяые значс:ния,обрашается в нуль для значенийнс'1,ав;, ...ю0la-это:·,11т, одновременноЛf<i.Сформулируем так называеыыйnpv.mepui1Сильвестра знакоопреде ;енности квадратичной форыы 2 .НаюВС'м Jvштрv.цеi1 nвадрати'Ч//-iоLl ФОРJvtЫ(14.71)следуюшуюматрицу:А =(LikЕс'fИвсе=(i(Lk,называется(L2(Lm>12(L2(Lm(Lmlат2( 4.72)аттэ.
;еыенты матрицы А удовлетворяют условиют: k =2, ... ,т), то YI;a;a; fая а! РИllа= 1,2. . ..с и м ы е т р и ч н о й.1) Все приводимые здесь опредеЛ1'НИЯ и УТВ1'рждения можно найти, на1:pi11ii1'P. R Ю:ИГ1': ИЛhИН В.А .. Позю:к Э.Г. JIИ1:еЙ1:ая аЛГ1'бра. - М.: Наука.1978.2) Дж.
Си. 'ЬВ1'СТР - 11НГ. шйский М1пеМ1ПИК (1814 1897).535н [зове'72)следу}с}еЛИТ(iЛl}11А;"21... ,К]си' 'еТРI1ШОЙнорамм [тр щы1ИИ1ааа2аа2а:на:З2"23(iа11а12а21а22л }руетС>}t:звидесш дующихдвух утверждений:1о. Длл того 'Чтобы nвадратv.'Ч'I-taл фОfiма (1с СИМш~тРV.''llШ'Й матри'ЦС'й (14.72) с!влсшаСi. nОЛО:JICuт~Лi НО Onp~ijCле'J-lffОИ, 'J-lеобходv.чо V. достатО'ЧffО, 'Чтоf!ъt все главные МUfiOРЫJvtaтfiV'ЦЫ (14.72) былu поло 1iCuтеЛЪ'l-tЫ, т. е. 'Чтобы былv. С! fiaв1 fjлv.выuсрав~·ffстваА> о.Ас> о,... ,Аm> О.Длс! тссго 'Чтобы nваffратuчuас!(14.71) с сuчмгтРU'Ч'J-lОИ матрu'Цеи (14.72) лвллласъ отрu'Цателъ'J-lО Оft.ределе'J-lНОИ, нсоБJ одuчо u достато'Чно.
'ЧтСi{>Ы 31шnи главных миноровJvtarnfiV. ~ы 14.72) 'Чеfiедовалuсъ, ПРV.'ЧеJvl знаn А был опц и'Цателе'J-l, т. е. 'Что.·ы былu сnраведлv.выuеравеf ства2.А,< О,А.О.АзО,Aj >О...Теперь ыы подготов ;ены к тоыу, чтобы сформу fИровать идока;атьтеореfМу,iстанавливаюшуюдостаточныеусловиялокального экстремума.Теорема 14.. 16. Пустъ фУ'J-ln'ЦV.л,Х2, ... ,Х т ) один разJооm nepeJvle'J-l'J-lblХ V. = .f(1\;1) =в н~nотороиоo1\;f i eCrn'J-lОСrnV.
то'Чnv. 1\;10 Х, Х2 ... ,Х rn ) v. два разаpyeJvta в саJvШИ то'Чnе Мо . Пустъ, np0Jvle того, то'Чnас'с! то'Чnои вО3МО:JICного эnстр~муча фунnцuu v. = J(), т.([vI2\,[0 = О. Тогда. еслv. вПИfiOИ дv.ффеfiе'J-lцv.ал ( .69), (представллет собои nОЛО·iiCuтелъ'J-lО определе'J-l'J-lУЮ (Ornfiv'i~aтелъно onpefff'nвш;ратUЧUУНi форму от nгрече'ff1t'ЫХ&1;, &1;2,'"&1;rn то фУ'J-ln'ЦV.л v.
=(М) VJvleern в то'Чnе 1\;10лоnалыtыи мшшму,i (Л Сi nаЛЪ1tыи lfаnсuчум). Еслu :JIC~ ernOpff'il( .69),iifiедставллет собои знаnоnцс еlfeff'J-lУЮ nвадратU'Ч'J-l{jНiv. =не имеетJлоnалыtого эnстр~муча вто'Чnе[Нl [Хоаае лрс,мы, пре mолаtая, р;tfИ ОttРСДСtЛС,НН;;СТИци;tлшнн"чт,;преfставляет собой ш>ш;жительно ,юре [е-(14 (;;)), (14.70)};вадраТf;'Шf<>>С'( от[с,рс,мс,нных ([.Tl,d:r:..:,I;;кажеы, что в ()Том ;луч;;е функция'(J,) имеет=.f(,([.lmв Т' ,чке)I',К;Лf,НЫЙ "иtfИ:"11.f3азложиы функциюв окрестности точкиr=форму,tе Тей'юра состато,} [нм члс,но'Эf'01']ПОформс, Пс:аtю,Влс, n = 21 .J\lbIпот чи:'ЭТО:.t, '}ТО.f(M) - .f(Mo)причем в равенстведиффереНllиалы(14.входяшис' в выраже fИ)} д'!щиы приращениям(1 .([11·1iXk -переыенных :r:k,([11.11\Io иd 2 11.11\Io, равны cooTBeTCTBYf"~k) этих переменных, а величинарюша!Х 1П-\;;.)2 •(14.74),1JmПо условию теорс,мы точка 1'v10 является точкой во :ыожного экстремума.
llоэтоыу на основании реЗу,tьтатов предыдущегоtую;та ([11.11\Io = О. унияхмы(14.69), (14.70)tридади'рая это равс,нство и полаfаядля второго диффереНllиалалс, Тей'юраm.f(M).f(Mo) =~(14.73)с [ед.· ,,;шивы]о= ч-; k,ВfЩ:mLL(Lik1 k=Достато'} ю дока:а!'}то д'!["всс'" достато'} юалых р[равая часть (14.75) ПО.'южите.
tЬHa. (Это и будет означать что в достаточно малой ок] >естности точки 1'v10 ] ,а:ность .f (1'v1) (1'v10 )положительна, т. е. функция u =( ) имеет в точкело};аш,минимум.)оПоложим4.дл)}рh' iХ?,-:1:2---,f ЫТС'};ают1) Д. ш ФУНКЦИИ 'и =(см. п.4§51,2, ...,т. Тогда и: выраженияслсдующие соот юшеt fИ)}:+ ...1.(14.76)/(1\11) вып ,. шены ПрИ n = 2 вс"С.lЮВИЯ Т;'оремы:::;; 1,14.15*.гдеьрэтой главы).=537iiЩf ii 'сiiб(гнаЧi ниf'Befefбf пъ переписаНii в f'Иfе.f(Ma)(М!ОТНОfнение о(р:') предстаВiшет собой бесконечно ыалую прир --+ u (иiш при--+ФУНКllИЮ, которую ыы обозначим 0:(1').р"Введениеэтойфункциипозволяетнаызаписатьравенство0(;") = р2.0:(р), С поыощью которого мы придадим соотношению(! .75*) вид:t~ р2 [~ ~ "i/"hih" а(р)] ,- .rlеперь уже нетрудно доказатьЯf ляеТС>f14,75"что правая частьюло КИТСiЛf fюi,j для всех достато'шоf"ИЧffая форма(14.75* )аш IX р.
KBaдpa~соfюй ф'[к iИю,i=l k=1оп! iеделеннуюры(14.76),инеп! се! сывн"наПОВС,рхностипредстаВЛЯЮf fей собой заыкнутоеi'ДИНИЧНОЙИограниченноеТС,О!4.указанномMHO~МНО;+ТСТЕО. ПО второй теорс,мс' f~i'i'iс'рштрассаиз п.гл.2 §свос'!'!14)эта ФУНКllИЯ достигает наf'ОЧНОЙ ни.fей г! iаниизной о fРСДС,Ш,ННОСТИ кваДiаf"И'f11т111,ны ОДfювре:,:е:грань р,ю нуло,Bf,fTeKaeT,'fTO(14.76),не paB~что ,\ка;анна;: ТОЧ:fаяfИЖНЯ;:удовлетворяющие соотношениюс т р о г оПО,iЮЖ пе,ifи и; того,п о л о ж и т е л ь н а.lак как бесконечно ыалая придостато'шоалых р \ДОfШС,Тfюряет--+ U функцияо:(р) при всехтовся правая часть (14.75) является положите,i:ЬНОЙ при всех дo~статоч:юалых р, . е.
при всех l'v1, достаточно бiШ;КИХМа .Это и означает, что функциялока,i:ЬНЬШfepaEe:fCTf"u =(М) иыеет в точке М;}'И:fИ:'СОЕершс,нно aH&:-ТОfi"ШОгда второй дифференциа i :ОТ!iицатсiЛЫЮu = .f(M)100(p)1 <о!iСДС,Ш,ННУf<i':тоCJI'':аС"(;o~предстаВiiяет собойю;аДiаТИЧi, (1)''имеет в точке М;} лок&:-тьный ыаксиыуы.Докаже: ' TC'ffC'Pb втор'ю часть тс,оре:'в случае, КОlда второй дифференциаiiставляет собой ;накопе! iеыенную квад iатичн",11"ция 'и =( ) не имеет лока,iiЬНОГО экстреыуыа в точке[к iИ;:':тоllрежде всего установим следуюшее вспоыогательное свой~ство знакопереыенной квадратичной форыы(14.71 .[них/',СЛ'(J,'На, 'П!о 'Н'(J, (/1~,Ф (h"сл дн!' со Ю'К:Уn'НОС'(n'(J,,!!~~J 'П!!i'К:'(J,С, '{'(поi'ilayn=)!'Нл'Кхт,(р!ергJvtс'Н'НЪ!JY (h~, h~,, h'2,!+1,JvtCH-h,'m+npV,"lC,!!,Ф(h,~,h,;,...
h,;n) >О,О.В саыом деле, в силу определениядрап!шоi!j(t~fаi!jдутсяи (t~, t~,t; ... ,но ш' равных ну'!. ..дрс'( 4.78)знакопереыенной ква-СОВQ}!УiШОСТffарг'еifТОf',t;~) состоящие из чисе, i, одновреыен-и таКИf!, чтоФ(t~ t;, ... ,t:n )> О,Ф(t~ t~ ... ,t:~)<(14.Положивt"1,J(!;')+ (t~)! + ... + (t:~)р4.80)У'!ера)'f'ая,Oiip< ДfiЛf!Н fЯ'iTO)[,г выт< кас!т,ю адраТИЧiюi!j <IЮРычтоh'Ф (h ' ,!,...
, h''rn =ф (/1" ,(14.71). .. ,!, "!~~J1(t~)2+(!;)+ ... +(tiп)= (t{ ) 2.ф(j'j/",'+ (t~) 1+ ... + (t~),',. ф (t" t~ ... t~~J,мы получиы (в силу (14.неравенства (14.78) причем из соотношений (14.80 сразу же вытекают равенства (14.77).Вспомогательноефо] !мы дока)ано.свойствознакопеременнойквадратичнойВО)В] !атиыся ТfiПf!РЬ к дока )аТfiЛЬСТВУ второй части теорс!мы.Зафиксируем две совокупности переыенных (/1' 11' ... ,(h ii , h,~, ...
, h;~),!ДОfШf'f'f'ОРЯЮЩfff' СООТНОШfiНffЯ14.и (14.78), и докажеы, что для любого р > U найдутся две точким' (;1;; JY:, ... ,:1;~rJм" (:1;;',) пространства вт та!!'iTO р(м', мо ),Х,-р=р(м", мо )"Х",-о1,р=р,Д'iЯ всех=1,В самоы деле, положив для любого рноыераi (i = 1 2, ...,т)тn.>идля(14.81)каждогоъrй>КСl lK lY "), lрИ (("м В силу Р шс;н,тв((iшеllИilМныl53')Р'ШС,Нi l"Вi{;2 _р(М',т,о.11"рl')=о.'11')(Х т - З;т'~-{Х 2 - З;2{~pj(l1~)2 + (lf~)2 + . . . (l1;;У=Тепеl;Ь уже НС;Тl )"дно убедиться в том, что для случак когдавторой дифференциал (14.69) (14.70) представляет собой знакоlС"РС;МС;ННУЮ квадраlЯ'l IfЮ <1>01, ф" lK iИil U = f(l'v1) le Иilеетэкстремума в точкеЗаl исьшаil для <1>УНifЦИUf(l'v1)=ра ;'>Оже lие в т;юститочки МО по форыуле Тейлора с остаточным членом в форыеПСДlЮбеlШ это ;аЗЛО;+ТШ"lС" в (ка;анных ВЫШС" TO'lKax l'v1'мы ПО'lУЧ~Ы вместо (14.75) С'lеДУЮl ше два раз >Ожения:ЛМ') - лмо ).f(=~L L Щk(Х;- ~,)(X~- ~k)i=k=lmmО)( " - О)'''i 1xi - J;kЩk Х,Сllравсдливьн' для всех достаточно М<L'lЫХ РПодстаВЛЯil в эти ра;ложеllИil зна'lС;НИЯиз равенств (14.81) и учитывая, что 0(р2) =--+ О,l'vJi'..m") - .f(lрИ Ри""Ы пl ;идадимiаЗЛО>f С'ШfЯ" ."0(1'(14.82)+ о (2),f(14.8<)"'""'"> О.i~i) и (з;:'·а(р), где а(р)и~i)--+ Uслсдую-(14)';))щий вид:тnf(M') - ЛМо= /~L'=1 kт(М")- лмо )=~Li=1тLaik I1 ;'а(р).k=llоследние два соотношения ыожно также переписать в виде:ЛМ')-ЛМО =, ...(14.82* )[нихСО()ТНi;шс;НffЯУчиты!';:Ф(h,~,h,;,,h;n)ВСПОМИН,iЯо78)О и Ф(h,1, h~,= р(;;тн;;шс;нивеЛИЧИI,,ыып()лучиыиз;ПР,iведливы неравенстваI'Орые";i,аЗЫI ;;н;тТеореыа14.1(;(0ОИ.f(отс;т;I'ВИС'он,стр; м' м,!полностью доказана.3 а ы е ч а н и е 1.
Ес:ш второй диффереНllиал два разадифференцируеыой в данной точке возможного экстремума М;;ф' IКllffИ и= .f(l'v1)iрсдставляет соfю1;]это 1;] TO'fКl' iшазизнакоопреде'fенную квадратичную форму, то нео,{Ьзя сказать ничегоОi,еде'fенного о наличии или отс;тствии в этой точке ЛОК<L {Ьного экстреыуыа.Так,Н,Hai;fe];т 4+ у4у каждой из двух ф'+ивто] 'ой ди;j;фе] ,еНllиал в точкс' во;ыожного экс-а l'vlo(O О) I'ождс;ствс;нно,авеfш;,iрсдстarшяетсобой квазизнакоопределенную квадратичную форму), но TO'fЬко одна вторая и; ука;анных двух ФУНКllИЙ иыеет в этой точкс'локальныЙжстреыуы.Для решения вопроса о локальном экстремуме для случая,iiOIдавторо1;],е! llиалiрсдстarшяетсоfю1;]iшазизнакоопреде'fенную квадратичную форыу, следует прив fечь дифферс:нциалы {ЮШ'i' высоких порядков, но это выходит;а ;амки данного курса.3а м е ч а н и е:«оd 2 '/J,IMo?2.(с;юmве17umвеннп)!вл)шmс;! необхо;}:/1, Ч'Ы,м условие,м ло'Х:алъногпчи-lшч:ч,ма (ча'Х:сич:ч,ма) в mоч'Х:еJBa:JIC;}:b! Jиффгренчиру;,мпi1 вЭ17U}'й 17и}ч'Х:е фун'Х:чии и = .f ( ).в самоы деле, пусть, ради определенности, и = .f(M) имеетв точкс; l'v10 'Юi,аЛЫIЫОИ!IИ оЮ усло!';:;'полнено.
10гда найдутся 111 112 ... ,Рассыотриы функ fИю;авсдо:юопредео,!е!лю. Функ fИЯt О,п]F(t)F(t) =.fприо!1всех([2'/1,1?О[евы-такие, чтоо+ tl11,!2достато,!, ...юмао,!опооду-обязана иметь локальный минимум в точкеF"(O) = d!ulMo< О.3. Случай функции двух переменных. На практике часто встречается задача об ;кстреыуые функции двух перемен-541ных(:r:,iiiщиесяУ)В 3Tiiэто:'"(ун (теы прив! д< м РС' iУЛfШ'1Т iiслуч:!Обозн !чим ч !стные пр, ,изводныеi'Oн(еl'v10ох. У) си'ЛИВii следующее'Ид'И, а 2,д'ид2 и""''''тстве[О! iЮ~в некот, ,ройЮ.(р:!у т в е р ж Д е н и еПусть фУ'Н:Х:ЦV.я ивут nepeJvteHH:blT 'И.f(x,оу) odv.H ра,зофеfiе'НЦЩiуеJvta в O'x:fiecmHocmv то-ч:х:и l'v10 (х У) 'И. два fю,зафереff'Цируеча в сачой то-ч:х:е Мо 'И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
