В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 94
Текст из файла (страница 94)
пусть Мо )!вЛ)iетс.;! то"l-Х:ОЙво·:JvЮ (н'Ного i-х:сmfiеМУJvta. Тогда, еслv. в точ-х:е l'v10 в'Ыftол'Не'НоусловV.еа;2 - а22 > О, то фу'Н-х:'Ция 'И. f(Y, у) vJvteem в этойnUi"l-х:е ло-х:аЛЫt'Ы'Й э-х:струму ч (ча-х:сv.ч:цм npv. al1 < U и МU1шму!!при al1 > . Если :ж:е в точ-х:е Мо al1 а22 - af 2 <то фу'Н-х:'Ци)!и = f(x,не и! л'т в этой точ-х:е ло-х:алыtого э-х:стремуча 1 .Д Оаае лсв О.iaiiСДЛfШОСТiчастисформулированного утверждения непосредственно вытекает изтеоремы 14.1(; и критерия Сильвестра знакоопределенности KBa~д<;ат iЧНОЙаА1а21а2а22докаже' вторую 'iacTi утвс!рждс!н iЯ.
И i'aK, пус;ъ В ТОЧКСi МОс! iaiiСДЛfШО HCipaBCiHcTBO аnУ2 < О.что в это:'с. [учае второй диффереНllиал d 2 '1J, в точкепредстав'шет собойз н ао п емн н уформу. ')аССМОТl 'им с iа'iалаа 1О. ИСiЮЛf i!Я в! СДСiННi Ie JiЫШС' оую i[iа'iе[iИiii-оо-ху- урh'2 = -р-'юлу iИМ СЛfдун;щее выраже iие для ВТОIЮiОЛ! гкоiРОВЧJИТЬ, чтоiрИh,1, h.,=О и(z2uIMo'лучай 0.110.22 2)= 10.'2iИhим! с'тiазные знаки,О сгреБУ"i ДОПОЛiiИ'iеЛi,iiOi'О !fССЛi'ДOiiаН!fЯ.При этом р может быть ка); уг '..
!Но Мii.lЮЙ Вi'ЛИ'iИНОЙ. Ус. !овнеВЫШi. (нено.111+h~=[них,fВT;;, тся16,;е:е[с'рс;м; нн' ,й ф, 'рм;;й, Иф'fКЦИ,f НС; и:еетто fЮ;ю ['е-l'v1{))1''к ;льн;;г;; э}{стрс'мум:;al1 a 22о выт; }{ас;т,BbIfffeн:; писанн; >г;;выр ;жения дляполучится2(14.84)d '/J,IMo =П\Сf ". h,i- оВС;Шfчина h'2 СТО'}след.' с'т, что такой выбор+ a22112)(2a12111hма.}ауслов fЯ h,~ + h 2 = 1и h'2 во:можся), что выражениесохраняет знак ве.'ШЧИНЫ2a12111. 10гда из фор[а}{ при h.; > ОМУШf (14.81) вытс'}{ас;т, 'ПО ([2'U,12\,[o и\}еет ра :}fЫС'.f<h'2О, т.<j>ую{ция u,у) НС; и\}еет локашяого э}{стрс;мума в точке М;;.
Утверждение по.'шостью доказано.4. Примеры исследошшия функции на экстремум.1)Найти точки локального экстремума функцииu = АХ'где А-X~mпереыенных+ 2Х2 + ...(14.85)отличное от нуля ве1 1ественное число.отыс}{анияf"ОЗМО:+;ЮfО э}{стрс;мумаюлу 1ае'сле-дующие уравнения:дuд:1:1=2АХl~=д:1:2=2Х22=д11,---д:l: rn2Х т= О.( 4':-'6)И:;aB1fe1 ий (14.86) :а}{Ш"'lае\l, что еди [стве1 ю1\] ['О'1возмо:+\ ЮfО э}{стрс'мума ,fВТ;U'ТСЯ точка Мо(О,1, ...
,Что' ыI исследовать ф' нкllию ( 4.85) в этой точю; МО с помощью достаточных условий экстреыуыа вычислиы второй диффеl>е1 1шал(14.87)Очевидно, что при А>a.1a (14.82)U все значения второго диффереНllИ&1;2,"" &1;rn одноврс;мс;нно НС' ;аВ1нустрого положительными, т. е.
при А > U второй(14.82);едстаВЛ,lС" соfю1\] ПО'ЮЖfпешяо опре-d\!являютсяделенную квадратичную форыу. llоэтоыу при А>функцияиыеет в точке l'vlo(O -1 ... ,-1) .'юкальныЙ минимум.При АU второй дифференциал (14.87) положителен при(14.:-'··<... ,(lз;"n- == О, dJ == 1 ОТРИll,ате.Тlе! [ри dJj•. . . , dX m =Это означает, что при А < U второй диффере1 llиал (14.82) предстаВ'lсо{юй знакопере\lе1ю;адратичную форму. llоэтоыу при А <функция (14.85\ не имеет вточке Н 0 (О -1 ... ,-1) .'юкальногожстреыуыа.(l:1;,О,ГГА. IИЕН2)вНа1 Нl.!lЛ<>СЮ>СТll Д:l},(П I>РЫХН:lЙТll Н:l11ТН, ,ситеЛЬНII кот' ,ройMaTi.'Иl1е] 'llии,n.,2,>е1' '1ЛЧi ны.]Т' ,й пл, ,IЮ ,Iти точкуMI>el1T543lOИСКАЖСIIК\lУ 'Ар 1:1Л<ЯЫХTII[ек явля-ется миним lЛЬНЫЫ.Та" ЮlКMI>"el1TllНСсРЦllточек относительно точкиСИСТi МЫM:lTCiP1:1ЛЬНЫХiVinI(x,L 'гщ[(х -=(ik)2+(14.88)k=то iадача сводится к отысканию точки 1'v10 i!o УО), в которойфункция (14.88) достигает своего ыиниыального значения.для(14.88)отыскаl1Иil-дI =2дхточекl'ОЗМОf+:1010экст]аф'1ЮiИИполучаеы следующие уравнения:nL(14.8 i ))'mkk=llавнений (14.89) iаключаеы, что единственной точкой возможного экстремума функции (14.88) является точкаМОУО), КООРДИl1аТlf которо;:] раЕНЫ++ ...
+'lnlal _ _т:а2'lnnan:];0 = ----'=----=----"_ _ _ _-'-.с:..ml+(14.90)дI2L 'т!,> О. то(L!!22соглас!1Оа22д2 1= д if 2У1 f'('РЖДСiНllk=доказанноыу в п.функция (14.88) иыеет локальный минимумв ТО'll,е 1'v10 (:];0, УО) с коорди 1юа:!и (1 .90). Легко убедиться, 'lTOзначение I(x, у) в этой точке ЯВ.'!Яется минима.'!ЬНЫЫ. Заметиы вiаключение, что фОРМУ'!Ы ( 4.90) Оl,еде'!Яют координаты lleHтра тяжести рассматриваемой систеыы материальных точек.§ 7.Гра,.'И,иентныЙ метод поиска :i!KCTpeMYMa сильновыпуклои Функциив этоы[а]ИiлагаСiТСЯ теория пти]юкоlримсяяеыогона практике градиентного ыетода поиска экстреыуыа сильно выlУlOIOЙ ф' 1ЮiИИ.этого метода10 01 НСl<аНllЯ 1'ОЧl< мзуется тот факт, чтоление, совпадающее счрезвычайно проста.приближенно1Нllмума ф' 1КЦИИ 'т,с'мсснных испо.'!градиент этой функции имеет направнаправлением наибо'!ьшего возрастанияfНl,fXвН;l fравл( н в ;'т<>рону наиболыо убыв аj[1[2,ii;'нование iiЖИ-ни;lД lТЬ,чтр еслоотп\а iЛЯЯСЬо= (Х['О Прfiн('леfiOГii,:r: m , l'lbI ПОСТРОИliffЯточек'гоприблюрекуррентной Фо\м{ ледостато шо малом ПОЛОЖfiтеЛf,НШ,iПОСfеДОfiатеЛЬНОCf'i,сойдеТСl к точке миним('ма функции{Xk}СТРОfОЙ реализации этойj(;r .fРОСТОЙ идеи и по;'вящен на;'тоя-щий параГРШjВыпуклые множества и выпуклые функции.
П{!сть12,Х2.' .. ,и Х2 = (Хl, Xi, . ..• Х т ) - две точки тмерно! о евклидова (ространства Е т KOTOPbIi' мы можем рас1.смаТ\fШЮ(,какfie{торыс соо! fiеТСТВУЮЩfiкоординатами.Назовем о т рез к о м, соеДИНilii!ЩИМ точки Х1 и Х2, мншкеСПiO TO!leK пространспа Е т вида Х1t(X2 - Х1 , где t - любоечи;'ло из ;'efMeHTa О :::;; t :::;; 1.+Будем обозначать отрезок, соеДИНilii iЩИЙ точки Х1 И Х2, символом ХIХ2.Оnреде.ле'/-l,uе 1.
NIJ-tожество Q то'Чеn nространства Е тJ-tП3'blвается'bl пуп л 'bl М., i{'ЛИ оно облп.дает следующи.;\лC6iJ'L'icmfj, '.Н.: nan;J;i'bl бы н'и !!'blЛ!! )ве то'Чn'u "1• nринаl ле.жащи, MJ-tо.Ж' {'m,;iY Q. отрез оп :С1Х2, их С, '!диJ-tяющи'й, т,п,];;i!;"nринаl лежит это НУ .HJ-tОЖfст;iУ.ПРИllерш; Вl,Ш{ liЛОГО МffOifiеСПiапро с [ранС! lielюжет;'лужить т-мерный шар (безразлично, открытый или замкнуполупространспо Х т);?.е. МНШiiеспо всех точекХ ,Х2, ... ,Х т ) пространства Ет, 111-Я координата котор,lXудовлетворяет условию ХН ;? О).Примером множестваСЛУЖli Т 'дополнеШiеQ,не являющегося111-мерногошараBbIff{!K [ым,т-l/lерШ,iможетшаркоторого удалена /отя бы одна точка.ПусТi Q - некоторое МlfOifiеспо TOileli пространCf lia;Т - любая фиксированная точка этого пространства.Назовем р а ст он и е м от точки Х до множ, 'стваf'ОЧ f{!юf'oileli!iiНЮЮ граш, расстоянэтогоот ТОЧliХ доаQBceliO {IЮЖНЫХl'lНожества.Будем обозначать ра, ;'тояние от точки Х до множества;'имволоми{Х,Q545i'aK,iiЮПi,p(:r: Q)люi ,iJГO ;"ш()жеСТЕ:Ip(:r:Q пр' ,стр IHCi iiaэт, ,iO [ростраНСТВ,I СУЩi ,'твует P,I, ,'т' 'iШИi р(.т, Q))rти, если ТО'lЮlОднакоПРИШ:1;lлежит МllШЮ,.:rт13Умножествачто р(х, у) = р(х,QQ,то р(х,, ч,I, тю)Q) =не всегда сущеСТВiiет точка1f такая,Q).Tai! напр i;Iep, если ;шожество Q представляет о т к р ыт ы й111-мерный шар, а х - точка Е т , лежащая вне ЭТОiОшара, то .1 TaiiOro ;,шожества Q не Сiiществует i'ОЧi!iакой,=что р(х, у)спраiiеДiiШОх,(ибоHepaiie iCi [iOоткрыто! о шараЕсли в, е же у множе,'тваР(;У,х,Q),тоtTa(]Х,[ествует точка у такая, чтоточканаiываетсяр о е к Ц и е йт о ч к ин а м н о жт в о Q.Проекцию точки х на ;шожество Q будем обо iIIa'iaTb с i;ШОлом Р(} х).Подчер (нем, что еслi'ОЧi!а х принадле iiИТ ;шожеству Q, тоPQ(x) = х.Итак, iроекция PQ х) точки х на множествоопределяеТСilсоо! ношение;iПолезно о! ;'IeTiiT' 'iTO MO!iieT Сi'ществоватr, неСiiOЛi,iiO проеi!iiИЙ точки х на множе,'тво Q.например, е,'ли Q - т-мернаясфера с центром в точке х, то любаil точка Q являеТCil проекцией точки х на множество Q.СправеДЛИiiа, однаiiO, слеД.l'ющая лемма.Лfiмма 1.
Е;'лu J\л'Нджест60 (] пр, ';'mран" т,iП Е т ,я6л,яетс,я6ыnуnл'Ы",ira.мnн,!/ты,.М, а х - Л,Ii!!а,я то'Чnа Е т , то сущ'ст6ует и притом един,ст6i'Н,'НЛ,я nроеnv,и,я то'Чnи х н,п .;\л'Н,о)Jiст60 Q.о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем[,ествование х о тб ы о д н о й[} оекции точки ;Т на множество Q.С)(iозначим р(х, Q) раССТО!ШИ ii от точки х до множестваопределению р(];, Q) как точнойiiшей грани ii!f110IIай-yEQдеТСil по,'ледовательностьР(;У,-+р(х,>Q TaKail,чтоQ).опредслеНИi1 iлюбого ЕУn} точек множестваО все э,iредела числовой по,'ледовательности дляieMellTi,'У!IIая сIIeiiOToporO HO!ilepa,1) Ибо множество р(х:. У) дЛЯ всевозможных У, принадлежащих Q, всегда).ограничено снизу (например, числом н' ль18Б.А.
Ильин, Э.Г. Позняк, частьI[нихP(.l, Q)-Е()ТСfода ;'Л(fУZ:Т, ЧТiiСПiа Е т [iO всяко:лv 1'е()р( I1Ы,f'iii;'ле1 слi 'iae+Епоп); 1У в си-ЮЛЫfiiНО В( ikрштраССiiюследовательно;'тиможноватеЛi,НОСТЬ {Yfi n }' где n =[од iоследовательно;'ти {Yk n';'TPiiH-ТiiЧz:К пр'я iляетсяi'Л,выделить'iОДЯЩУЮ;'Яиз этой)ЮДi юследо,2, ... Обо iIIa'iiiM 'iерезпредел;'илу замкнутости множества Q}'f'ОЧiiа У принаДfеifiИТ ЭТО:,1У IIНожеству. Ос fается дока iЮх, У) = р(х,liш р(х,Q) =["что).n-+скснеравенств3aI,1eTiiM, 'iTOх,у):::;;+ p(Y'YkJ;'оотношениеН:Ю1 и изчтоIp(X,Yk n )i iОДИМОСТИliш (х,iia р(х,+ p(Yk n ' У)ЮДi юследовательно;'тиQ)iраведливоИз ЭТОiО ;'оотношеx,y)l:::;; p(y,y;;J.-х, У), т.
е.) =fреУГОЛi,lIи р(х,у) :::;; p(X,YkJк У вытекает,= р(х,n-+сксТем самым доказателы'ТВО ;'у, i,ествоваН:Ю1 iОТЯ бы одной ,рох наHO:iiecr [iO Q заiiершено.теперь,еКЦ:Ю1'iTOСi'ществуетточки х на множе;'тво.т ооо Дапро-llреДiЮЛОЖИМ, что ;'ущеСТВУfОТраз лепроеiiЦiiУlУ? точки Х на MHO:iiecr [iO Q.Гак как множе;'твоiIВЛi1еТi я выiiклыы,' то весь отрезок У1У2,соеди fЯЮЩiiЙ ТОЧКii У11/2 щннадлеЖii Т МНО:iiеСПii Q. В 'iaCT-двености, множеств; Q принадлежит серединаYl;от} е iiia. Убед iI1СЯ в ТО:,1, 'iTO расстон'Н !е Р( х,'К'и х до (/'Каза'Н'Но'Й середu,'Н'Ы отр, ,'Кастоя'НияУ2=+ У2) от то'Ч,строго ,не'Н'b'LШ расх, У1) = р(х, У2)'Искш, ,чимYl ;YlУ2 ука (анногоХ.р(х, У1) =р(х,) =изра! ;'мотреН:Ю1этом ;'лучае Р( х,тривиальныйYl+ У2)=;'лучай,KOiJIaО, в то BpeMi1 како, ибо иначе (т.
е. в ;'лучае равенстваобе [О'!1/11/2 совпадали бы с хнемогли быть различными. ИтаКi в тривиальном ;'лучае Yl + У2 = Х2неравенствор(!,У'(14.91 )очевидно.Докажем те [ерь неравенство (14.91) в случае, ко! да Yl + У2 о/::о/:: х.547,i,k1 1;С1 ск 1Лщног" Пр()jj ;1;СД(1) :'Ibl п' ,лу {им О ,отнош\рспо, ъ;уя св'П\ОСТ\С1НСТЕ:lР2(,т,)/,2)/, +)/)/x~,22Х/)/11Х:)/l)/2\-2= 4[(1/1н 1iЯ двухЕ п!х:)/2 -Х \-2-'-2-+-2-)-Х,1/1 -х)14.92), У2УбеДИI,IСЯ теперь в справедли юст{! строгого неравенства)того восполь;уе:,IСЯ,что для любых векторов аЬlространства Е/Т!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
