В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Пуст!, Лх) 'РuффереU'ЦUРУiiМii u въmу'Х:ла j-Щ3 io\f'X:1-tуmОМ въmу'Х:лом М1-tо:жестве Q. Еслu nри не'Х:оторомnоложuтеЛЬ1-tом СУ nрое'Х:'Цuя- СУ • gradi{i)) то'Ч'Х:u- СУ • grad (iUна .Nt1-tожество Q совпадает с то'Ч'Х:оu iU этоJго МНОНе о ес пвп, то фу1-t'Х:'ЦuяJ(x)нмеет в тО'Ч'Х:ii Хо ЛО'Х:ii.Jl, ,uыlпMU1-tUМУ·Nl.Д о К а з а т е л ь с т в о.неравенствоИспользуя лемму14.117) для точек Х = ХоЛХО4,запишеми у = Хо+[Нl [Х+ ~:!,l'деfринадлежит(хоfi)бой в! кт' ,Т!, fЛЯ кот'peiY, н,та'у п, i.ЛучнQ,лхо)а,iiiil'iiто [ка у:1:олхо))хоУ чит",твая , тттоPQ(TO-ихо ПОilУТПЛ\Т П'~ ПUСТТСдglad.f(xo))него неравенства с [ед\ fi)щее соотношенпе:О.(gradЭто соотношение, справедлпвое для любого вектора ~x, для которшо ТОЧi<а~1 iринадлежит,в сил)ыстанав+ливает, что Функт~пя.f(x)пмеет в точке хо локальный минимум,Лемма 5 ДОi<аiана.редположим, что ФУНКiЩЯнашраНИ'fеННОi'.fзаiii<НУТОi'чим тn l\шнпмальное значениеCTPOl'O болыпее тn, Tai< 'fTOхявляется спльно выпуклойклоi' iшожестве Q.
Обо ifia-на множестве.fтn =чпсло,хЕС;Л:с)i<ai<а fL -mil1 j( х ) .Фикснруе i , 'шсло V, С'! ршо болмножество тех точек х множества Q,MHO!fiecTBoQ,под~(14. 20)V.ЮДi' южество оtрани fенншо мносамо является огранпченным,QJL, И обозна Шi'iЛЯ которыхfiecTBa Q~Убедимся в том, что множество Q являетсяа м к нт ы М, Пусть х'"произвольная схо, iЯщаяся ПОСЛi' юватель~-НОС'! [, TO'feK iшожества(!.Требуетс>! ДОi<аiать, что [реде2,этой последовательности также принадлежит м!:ожествукак i<аждая точка :С'" прпнадлежпт множествуго номера kСтрого выпуклая ФУНКi шянаQ,а попом\.fхQ,Q,1)Такто для i<аждо~во всяком случае непрерывнасходимости последоватеш,ности{:Ck}квсилу определенпя непрерывностп функт~ии вытекает схо, i.ИМОСТЬпоследовательностп {}} к чпсл\. Tai< как все элементы сходя пейся числовой последовательности .f(Xk} удовлетво~Pi! HfТ неравенствю!4.121) тоiредел I (1fi) этоi\ ЮС>fеДОЕа~тельности у' ювлетворяет неравенствам fL ~ Лхо) ~гл. 3,Кii,i( иСХОДНОii множест юBCiJKOMс.",Чii'iiрииадлеiiiИТQiiВ,]Яii С"iai,iiiHYT ",',"преДi'Л55;)3.ирин 1Д.Jlежита)тоQ.мн, '.жествуи;fзна ше!;'ЛЬ(вочтf\то (казамкнутости:Tuмн,,-fсшерн ;'но.вс;Ит;,]рЫХТ;fче«едл lf'Ы нераве!си]изтваюже(fтаQ,дЛЯ кот'являеf С( заМКНУТf,;'4.120)UiраничrННЫIli.Докажем теиерь следующую лемму.ЛеммаПУС!i!' фУ1-t'Х:'Ция f(x) сиЛЬ1-tо въmу'Х:ла 'На въmу'Х:-6.ЛО.J'vt за.J'vt'Х:1-tутО.J'vt .J'vt1-tожестве- любая то'Ч'Х:аа - любое'(!О.нкнси iU'ЛЬ1-tо;' 'Число.
символ ,6.х обозuачш';(; раз юсть,6.х =х -PQ.fgra;х ) - х.Тогда сn! аведливо 1-tеfюве1-tство:{gra;fх ,,6.х) ~ -,6.х 1.14.123 )QQЕсли же. 'X:po.J'vte того ..J'vt1-tОЖ!lствоQI!O.!.;.f.1-tО !fП'ствусnfюведливыl неравенстваогра1-tи'Че1-tо и то'Ч'Х:аQ.'!ля 'x:omopыxllliH,то найточе'Х:1.120)nf!U JLхЕ(дется строго nоложитеЛЬ1-tое 'Числоr!та'Х:ое. 'Что справедливо1-tераВ;i1-tсmво(! 4.124;Д о к а з а т е л ь с т в о.CTf!O (14. 2;».Докажем сначала неравен-Фикснруем ИРОИfВОЛЬНiТОЧ':уи.
иривлекая лемму4,заиишем неравенствоB\feCTOа. grad f(:c),TO'fKi-аB\feCTO(шо fieCTEa14.11 Т, взяв в немTO'fKi . При ЭТО('иолучим неравенство'С;--a·grad),-a·grad(:c-а·gгаdJ(:с)которое с учетом обозначения ,6.х =(ере (штттеТСfюследне,о(ения вытекает.fх- ,6.х.(еравенс; ваиз С!.
gra;, ,6./)а это ищиводит К неравенствуJCTaef С! до«аfать, чтотом, что Q ограничено исуществуетr. gra;fх) -х,6.х) ~ О.Oi;CTBс«ал тно;очтоa(gradох -в видеаИзPQ)+1(14.12;».ирн ДОИОЛНfпеff,НОМ иредиоложеннчто х ирина. (лежит иодмножествуо такое. что сираведливо неравенствоQ,(14.1:'4).(Нl (Х:1:graz Лх)) TO\f,мн·')KCCTBZ' Qxl(14.этанаФункт~исй точки Хсначала, что веl'~ТОРllаяфункцией точt<не!в щаPQ(X). Дляявлястсяэ', шо ДОС ато'шо доt<а<атьнеравенство(14.1:>6)сираве tливое для любых векторов Х и д.х.В СНЛУ ле .z(tысираЕедл f!'Ы4HepaBeftCTBa+ д.i)- PC;(i), РС;(Х+ д.х -PQ ХИсиольз\+ д.хнераве!,PQ ХtCfBaPQ Х-О.- PC;(i)+ д.хнераве [ство) ~ О.КОffш-БУf\tKO-вского. иолучим т~еиочку соотношенийIPQ(X+ д.х)PQ Х Г+ д.! ) PQ(X + д.х+ д.i)РС;=(Х~+ (д.i,++ д.!PQ ХТО'fКИчто ФункщIЯ СУ'.=- PQ(X)Хиз которой и вытекает неравенствоИтак. доt<а<ано,д.х))+ д.х - PQ(X) ~д.х) - Х, PQ(X + д.хPQ(X)- д.! РС; + д.! ) )+- PC;(i)) (д.!,+ д.!) - PC;(i))Iд.il .
1 'с;(:с + д.!- PQ(X) PQ(PQ ХРС;х,-'fTO1,(14.1:>6).(г) \Ш.шtетсяtеирерывной ве:тор юйИз снльноi\ выклости (.г) навытекает,f(x) также является неирерывной на Q век-функцией точt<. Но ТOl'датеоремы о неиреРЫВfЮсти сложной ФУНКt щи и неирерывности разности неирерывныхФУНКt щй вытекает, что и Функт~ияЛх)является неирерывной на множестветочки х.-QХвекторной функт~ией561]\I()дулЦИЯУ <азаННi;ijпот()\;\Bet< tt;рной[<ЦН,т, е, ска, fЯрная ф\ нк-более ,ш.шtt тtя Нi"(14, 25),eto[аШЩ\'tИтак, ФУНКЩIЯюжестве(141:>5)непрерывна и неОТРlпательна всюдуQна з;]мкнут()м t;гр;;ниченном мн()жествеВ такомВТОРОЙ 'lсореые I3сйсршт~аСUllсореыуДОСТИl'аетнаcBoel'Oюжестленого значенияf.казанноеП5JЛожительно, нбо еслн быQ нашлась,;лось нулl' paBfбы точка Ха такая, что PQ ХаО, а )то о;начало бы в снлу леммы\ШОifiеСТЕаЭТсlМИНИl\Iaльное значениеCTPOl'O,го14.7)неотрицател ,fЮl'Ожестве-Q,[а\;аш,~l'то на \шо~f (Ха )-СУ')ТОЙ5, 'fTOзаве, юмоTO'fKe,го\;еет единственныij на \шожествелокальный l\ШНИМУМ (~ то время как этот минимум по опре, [e~Qлениюлежит внеQ).О, инеравенствоl'14.124;доt<а;ано.Лемма6ЛеМ,;ИJZполностью доказана.7.Пусть фун'Х:'ЦияСТ) сильно выtj'х:лаa на въtny'X:~- любая то'Ч'Х:а,СУ - любоеHtpfiBeHCniBa"f (14.115) д.х - разност'ьЛО.J'vt за.J'vt'Х:нутом множестве'Число,вида{14.12:».Тогда при nе/;е;тоде из то'Ч'Х:и ;с в то'Ч'Х:уf= PQ(x - а .х),Нfi'Чение Фун'Х:'Цшt ЛХ)Ht'BO,pficmfiem,nри'Чем 1)ЛХ* ? (~Лх)(14.1271Если же, 'x:f оме того, .J'vt1-tожествоQ'nРИНfiдЛtf:ж:итсn/юведливо неравенствовенство14.1271ог/юни'Чено и то'Ч'Х:аni()'Че'Х:Q,Шll1хЕ< !'X:()mOPblX,тоHepa~nеретодш!! в неравенс пвоf(i) -(! 4.12>>гдеl'О - постоянная из лем.J'vtыl 6.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Достаточно для любой точки х\ШО!fiеСТЕаустаноппь неравенство (14. 2~), нбо и; fTOl'O [еравенства и из неравенства14.128;сразу вытекает инеравенство(14.1:14){для точек х, прина,tлежащихQ,при условиНi чтоQOtраНИ'fено).Сначала докажем неравенствокаЯf ляетс;;в нв ви, [у что точка1)Из(14.115)т=(14.1:17)е н н еPQ (х - СУ • gratвытекает, что (~(V_ k22для случак когда точ~точt<оij)> О.fюжестваQ.И\;еях ) принадлежит l\fНO~[Нl [Х;т;т'ств\на Ю>ТОРf\'Q,ф\ нкциязн;; "'НИ f ')ф<>Р\fе Лгде ~x = х*х =Используя.;,paHif;;;'шм(х(14, 29)< 1.ЛХ) - х, U <(14.1:13) и правоеИ: фор\тfЫ Тей, юра (14.а·PQ(xюлучн_~I~j2+ k 2•2(Vчто для случая вн\ тре шеi\выразимПрннеравенство)_Tat;кл[ентро;'ЛХ) + (graf ЛХ) ~x) + ~=4.104)си, н,но выле ТСЙЛffра стато'шыi\ЛХ*/(:1:)неравенство~jI2,ТО'fКИ :С нерю енст! о.127)юказано.Пусть теперь :С является г р а н и ч н о й точкой мншкества Q.
ПО определению граничной точки найдется ПОСЛf' ювательность {:С n } внутре! НХ TO'fet; ;шо [;ес! ра, сходяща;fС>f кДля каждой точки х n по формуле ейлора с центром в этойTO'fKe;fЫ'fИМЛх;,х(х* - х n )],*(14. 30)<<где Оеп1.Учитывак что правое неравенство14.104) справедшво дляв люГюй точке множества Q и что/ (х) является непреBeKTopHoi\точt;на ;fНO!f;eCTEe,юлу~чим, что В пре, fеле при n ---+ 00 из соотношения 14.130) BЫTeKa~ет Сffрar;едливость нераве fCfBa.127) ДШf рани'шоi\ точt;множества;faQ.доt;а:ана.Переi\де;'Teffepf,fепосредственно к доказю е,II,CfBYос юв юйтеоремы.'на'fала докю+;емОСНОfШ\теорем\fрИДОfЮЛfпре, лоложении о том, что замкнутое выпуклое множествоявляется таt;жео гQа н и ч е н н ыВозьмем произвольную точку хl множестваQи составимитераЦИОfШУЮ пос.:-теДОЕатеЛf,НОСТ1 {г n } точею Оffределяе\fЫХрекуррентным соотношением (14.116), при условию что числодовлетвщ ;feT неравенства;'.1 ;;).леммы 7 а точнее из неравенстваTet;aef(14.1:17),сразу же BЫ~что1а:k2аким образом, последовательностьО./(XIJявляется невозра~стающеЙ.i ак как, кроме того, эта после.
ювательность ограниче~нкции л:г) н;]т!тоОбозначим Прi'1ii'BaTi льн' ,стиi'pe\iY 315черезна[ачеЮiеii'же~изОЛ,fL }lcH() ,ii'жеi твеQв(т члены нев()зраi таюпей (ходя;[ i'ЙiЯльн()стн не i1i'НЫ[ii'теоремегл.:1.10,:1),тодя(iпределав с е х;]нненомеровkсправедливою'равенствоДокажем, что для предела fL справедливо рав! нствоQ1(! ) .fL =тn == llliПредположш.;, чтоположим, что fLтn.ал[,ноеравенство несправед шво. т.
е. предогда. если обозначить черезмакси~iTO[аченнетех точекQ,нав снлу[еммы7[айдется стршо;ОДМНО>[iество;олш[;такая. что справедливо неравенствок следующем;(14.1:;0),то[,ная ПОСТШiНнаii(14.128)rкоторое приводит[еравенству:-1QfiiБОl'ОСуммируя неравенства(n -1)1,:'k22---с [рar;едливом; дляравныхаMHo>[ieCTBe Q.[ля которых справе. [ливы неравенстваk.14.записанные[ля номеровkмы по. I;ЧИМ.
что для любого но\;ераили, что то же самое,лх n ~ J(Xl) - (п - 1) (-;;; -k22(14.132'))HeparieHcTfia (14. 32'), с[[рar;едливые для fiiБOl'О номера n,тиворечат неравенству (14.131) иГю величина, стоящая в правой'iасти (14. 32')[ри достаточно болномере n с ,аНОfiИТСЯменьше числаПол;fL.'ieHHoe>fLложения[ротиворе'ше до;·:а :ывает ОIIшбо'iНОСТlтn, т.е.;оказывает, чтоfL =что последовательность} сходитсячению тn Функщш 1(х) на множестве Q.JCTaeTCiiностьXkдока:юi"'iTOса\1атn.пред[ю;оказано,l\ПIнш\';а.'fЬНОМ;[перац;юннаiiПОС.'IеДОfiатеЛi,сходится к той точке Хо, в которой это минимальноезначение юстигается 1 .1) НiiМИ уже ДОiiаiано, ч;ве:Ha~ДО! ИГ!ii' О;1.,ШН '1.,1iiЛЬНОi· iНiiчение фу 1КЦИИiДИ 1СП," 11НОЙ точю'ва.11а[нихIIIЮИ;!'!''i<Ifте,fЬШ е<р ,[тыточкеI'Opaif[ар(iб( ipi1IИ(Л(!iИ\ саО(Ю:~Нil~с[(нтромту часть м~о:же( тване (оде! iжит Т(!' [ек[ара[т(!'нраничеННiiе мно:же(тво! так что(у ВТШЮЙ т( (i[)е\fЫQ:~i1[1;(Хсвоего м( fН(!Q,(тига( тi1ЛI,НОГОмноже~тве зн~чения, которое мы обозначим через тЕ'Ю!~,fKH<!Toe(в (и~Hi1>.Можно утверж, щть, что тЕт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
