В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Пуст,.or.;pecmHocmUF(u,1':,то'Ч,r.;uдuфференчuруе/,шо х. у) пространства R,ТЕОГИ5i НЕЯВНUХпр! 'Ч,е,м 'час'!!!')ИЛО ?<ЕНИ5iе,ли!!!о')f.'Х;! М{!!Езнод'!!!!" дРЩЮ20то'Ч,киnО 1i?jЛ'Ь,обращае'!!!сяд!!'ПШ'Ч1iе Аlоi'!!Л",'то дл,iложиiТiеЛЫ-lО! о 'Ч,ислО уО) n?!ост?!iИ-lствfiсс{ [;lu -~I'Ч,i!.С Тi1!ЛЯ про{, любо )) до) ТN UiШ'Ч,1Ш!!!аn(н!R', 'Ч,то в< [;оnресп носп 'ь,;тO'l'1 оnрестности существует uJинстве'!!ная фунnция!;доuлетнюряет УСЛОUU10те) до,- <Ре, , У), nотораяи яuляеп !Я решеНUЕ/),! ураu-не'l-tияР(и,,у)(15.3)nРU'Ч,Е/)! эта Фун!,чия и = <р(х, у) неnрер )!(JHa и дифференчируе~м,а в уnазанно'Й оnрестности то'Ч,nи M~.3а м е ч а н и е1.В условиях теоремыможно опустить15,1ше непреРЫВi юс!'И частно!!! ПРО!!ЗВОДi юй ~~ноитогt.aiютребоваiпридетсяi), iTO()))i'оч!!е М{!юпо, шительноэта ПlJO!!ЗВОДi!аяне обращал ась в ну,! Ь не только всамой точке Мо, но и в некоторойiжреСТН\fСТИ эт!fй точки и сохраня,!аопределеiшыi1'3i!a!!этоi1 Oi!реСТiЮсти.Д о К а з а т е л ь с т в о теоремы15.1.1.Прежде всего докажем! что дляiia, юго [; О о оnр! ! ! ! ! ности то'Ч,nи(lf, у) существуетдостаточноедuнстоеннаяO~--+--,----+-~---+-_и =удовлетворяющая условию< [;<р(х:,ии яuляю'щаяся р!шеН!i!,М урш,не1iия(15.3), Чтобы сделать д!жа~i)CTBO бо, iee iаГ.ШiДНЫ ,буде i )СОПРОВОЖ[l;атьeio iеометрическойзате,iюстраЦi!еЙ.Рш.15.2геометрии(1)!.3Изизвестно,ана,iескойчтоуравнениеопределяет в пространствеRнекоторун) поверхность S (рис.
15.2 , причем, в силу усювияР(Аlо ) = О, точ!!а Аlо ле)f!jiТ на "то!! iю!!ерхности. С гео\!етр!!ческой точки зрения однозначная разрешимость уравнения (15.3)относите,10 и озна'iает iTO iасть повер::ност!! S. !J'жаща!!непосре, iственной близости к точке Мо , может быть о, шозначноСПР!fе!!Ирована на координатную п,юскость Оту,ТЕОГ ,:м2\ОТМО< тиCYlРади о lР(Лz:Лz:НШдРн:! ';,-буде>' сч(T1!положи Уiелы!Лд'n:~:нной ЩiРИ Ш(;.lШ Й В МО и и;ш 11РЧJl, 11НР!;' фун '1Ш!?!.осп'/)выТТШ''l'!i 1{, )l.;1о ,1TaT1,. 1TPl'OЧ1iе )l.;1о Тогда изча(нЩ 'О1!:~ВОД~THal11ещ ,ерывности OК;]'~(;ремы ;,б у(l'eKaeT, 1TO571рйчив( (тиншй,деfJll,я,'!i'!i'ТnOpm'1 ~:1Накаor,;pe;niЛО)1! ;;m('Лi '!!лnЭту окрестность мы можем взять в ви, {е шарадостаточ~но >lа.ЮГО [iаД1!уса с це11Т1JO>'l'ОЧiiе )l.;1о .далее 1Ю~южите.юс' ч 1СЛОнасто.
1,ко >la.чтобы iшждая из TO~чек(~ - c,!i:. у) иC~l+ c.!i:, у)этого достаточно вз пъ с меНЫТIllнемчтоприжем братьэтомснизуслежала внутри шарарадипса шара О.)ограниченокак >тодно малымe10лишьнулем.([I;ЛЯnОД'lерк~имыMO~по будет использованонами ниже.Рассмотрим'уню~ию F( и, ,у) ОДН'iЙ переменной на ce1~оменте-сгеометрическойиэто означает,(см. рис.F(u,x,y) B[I;O.nFоВОД;lая ~и и, :г,+гдао,то фПНКЦИl1поскольку этасст "с'нтаЗНШ'lеНUi'Кон'Цедалеет. е.точки;рения1КЦИЮ трех пере 'lеш lЬП:111)1115.2 .Так как произ~оlЬHa на сегменте и -поло;'+'осuозрасrnаеrn на это>,сегменте.'уню~ия равна нулю в середине=+ои.
х.ио~ и ~ иоои), тона ле; О.М 'Концеи. :г,о TO~YKa;aHH'i1o;;л,{'ееrn оm.ричап i'ЛЪНОiположител ,ное зншч,;нuе на nраоо.Муr,;а:юн' юго сегмента. т. е.[iaCCMOTp1!фuнкциии-с. х. уии+,:Г,Д1iУ::переменных х и у. т. е., выражаясь геометрическим языком, pac~смотрим'унюtИюF(u, ,у) на двух плоскостях. параллельныхiiООРДl1Натной ПЛОСiiОСТИ Оху, пеР1iаl1 l!З которы:: ПРОХОД1!! черсзточку, а вторая - через точку.
Поскольку F(M1 )11,F()I.;12 )Оф::НКЦИl1 F(u, :Г,непреРЫВ11а 1iСЮД:: в1аре О .то по теореме об устойчивости знака непрерывной фуню t.ии на>указанных плоскостях найд::тсяmаr,;иеor,;peimHOimuточеки М2 , в пре[l;е.1ах ЮiТОРЫХ l;уню~ия F сохраняет те же знаки.что и в ТОЧiш::)I.;1М2 . Эти oKpeCTHOCТl! >lbТ може>' 1iЗЯТ1, ввиде открытых квадратов с т~еНТРа1\fИ в точкахи М2 и Сдостаточно >lа.ЮЙ СТОРOlюй 261а15.2 указанные Юiадраты заштрихованы).
Тот'акт. что'уню~ияИliСТОЯННЫ:Й знак на указанных квадратахF(u. х. у) сохраняетана.l:итически Bыpa~ТЕОГИ5i НЕЯВНlF(i; F(i;lXило ;<ЕНИ5iЕ, Х, у)+Е.х.у)при>IXIyylпйiИНИ;6(15.4)НиМ\: \:(;.ловию: GОЗЪ,Мt,М О ('?ТШЛ'!, ,маЛ1i{,М, 'ч,'!т!.оБыl оба уl;;азан:ныlxn'Квадрата леiif'али в'Нутри шара(это заве[l;ОМО можно сде, [ать,iiбо uеНiЛЫ Кiiадратов )1.;1)1.;12 '1ВЛ'1Ю 1 'СЯ 1'НУ 1п еН1 11И 1 'ОЧ <а,,1шара n ,При таком выборе л об~я'~о~ка ~po~~pa~CT~a (и, ,у)КОО; динаты которой" дов [етвOf яют неравенствамоlu -~I6,у-у(15.5)Е,боде! iежаТi; iiНУТрИ шара П.
с гео ,iei'p" iеской TO'iКii зрешiЯнеравенства (15.5) опре[l;еляют открытый прямоутольный параллелепипед с пентром в точкеле,iЬНЫМИосямкоор, щнатх,Nli 1уии со сторонами, паралСiютветственноравными2Е. 2626. Этот параллелепипед ыоБО'3iiа'iать СИ"ii!О!ом П. Так как параллелепипед П лежит внутри шара П, тодРвсюду в nараллелеnиnеде П ) nроизвод'Ная ди nоло,?/Сителъ'На.I<pO\ie того, в СiШУ HepaBeiiCTB (15.4){(ame.ii,bHauа'Ни,?/С'Не.лiос шва'Ниии[KЦНi!ПОЛ!!и, х, уHi'ume, ibHauаоm.риверх'Немос'Нооа'Нии П.Докажем теперь, что уравнение (15.3) о, i.Нозначно разрешимо относите, i;HO и, еефОiiКЦiiЮ F(u, :г,paCC\iaTpiiВaTb ЛiiТТП;ДiЯшаченийу лежащих внутри параЛ,iелепипеда П. Уясним, что требуется [l;оказать.
Пусть м' (х, у)С! ранс!iia, координатыОДОii ii'оИначе iОВОРЯ, пусть(х, у) --i'i!Oiлюбая точка прояютHf;paiii НС! iia,,1< 6.(111.6)л обая точка ПЛ 1 iСКiiСТИ Оху, лежащая внутри квадрата с пентром в Тiiчке. У) и со сторонами равными,f6. Требуется Nжа;ать, ЧТii !ля КООР[l;инат,у точ-М' найдеТС>i,'t'ь-Eиiip [то,,1 ,ди'Нстос'Н'Нос, iИСЛО и из iiНтеРiiала'~+E такое, ЧТii F(u, ,у) =iеометрической ТiiЧэто означает, что люба!i щ Я"iая, iiapa, [еiая оси изреНИ!iи пересекающая параллелепипе,П, пересекает поверхностьBHOTI)!i пара, !Ле, iешшеда П в ОДiЮЙSi'ОЛЫiО В одной ТОЧiiе.)Зафиксировав значения х и у' у ювлетворян пие неравенствам1(111.6), рассмотрим фонкuию F(u, :г,;1ента и наВКЛЮЧiШ открытые квадраты, лежащие вег" "СНОВiШИЯХ.cei-ТЕОГ ,:м2о\lCНie и-\~О СУ!'/},~'/},+ С"н;]OTPC::~T:e М{ M~, где А1{тZ"iКИ iiСРС:СС:ЧСН !я пря\юй, ii1Ю~ХО[l;ЯЩ(:Й ч( :р( ::~ точкуи п; ,ралл( льной (,(ири(.ШfЯ ,iИ пар;]ллелепипедадУ152)Х.
у) ПОЛО'j{fiтельн;]д'nС \НHOBa~i;ш i:;Ш про iзвоДнаяфую:~-СJИЯ F(u, х, у) возрастает на этом сегменте (или, что то же самое"возрастает на отреЗi:е А1{ A1~). Но тогда i1З ссловю: F(J\;I{) < О,F(J\;I~)О вытекает,ооiTO BiiCTpi1 сеПiеiiта и -~ и ~ инай, jется \лно е, jИнственное значение и такое чтоF(u,,у)+Сu(или. выражаясь :еометрически. внутри отрезка М{ M~ най, iетсяСД ШСi i:C'HHaji i'оч:а М., iежащаji на повеР:НОСТi1 S.)ПУСТi,Teij\I)1,iКЦИji и = <р(Х:,СИ,iiЮ i1ЗipyeTтоiipa:i1-л';. посредством кот,;рогс, кажд';Й т' ;чке, у) из окрестности,;.6) стаВИТС\i в соответсТ!'" еДЮiствеiшое Чi1СЛО и i1З интерваоia и -о<и <и+,ДШi которогоF(u, Х:,что в окрестности=о.
Мы ДOl:азали.(15.6 существует единственная ,уню~ия и х. у , ~'ДO:: :е:::оряющаji СС,'IOвию lu - ~I < С jШЛjiющаясярешением уравнения (15.;12. Докажем теперь чтс; фу'!!.'Х:'Ци,яу) '!!.еnрерыl'нлл влюбоi1 rnо'Ч'Х:е М' Х. у О\,рссrnносrnuiaK т:ат: для люi':ойточки, у) из \жрестнс;сти (15.6) въlnО }'не'н,ыl rnе .же усло~ви,ячто и 1ЛЯ точки M~ (~, у) то :остаточно :оказать непре~1)1, 1ШОСТi, ФУШ:Ш1 и =х.
у лuш:, rnо'Ч'Х:е M~(~:, у.[l;оказать, что 1ЛЯ люБО1О достаточно малого положительно 1о Ссупествсет i1О :О'ij11теш,ное Ч11СЛО д i'aKoe., iTO ДШi 1юбьп: х иу :овлетворян пих неравенствам 111ИВО неравенство lu -~IС г <еод. у - 711д. справе[l;<р(Т, у) о<p(~, у). Ес.1Ивзять В качествето число, которое выбрано выше при расCl\ЮiреНЮ1. 1, то ссщеСП:О1:Ю 11е д обеспе'iю:аеТС,i нера1:еНСП;ЮiИ(15.5 . Остается заметить что в раССУЖ[l;ениях п. 1 положительное чис.:о может быть взятоугодно(это отмечалосьв п. 1).Тем самым непрерывность функ JИИу) установлена.1е\1 услоuис неnрср ,тностnu1КЦИИ и = <р( Х:,В ТО' iKeA1~(~: у)разно/П\ноi1ОБОЗ:1а'iая iерез /::"и i1О шое при~;) И~Iенн", люб;;й точке 2\!I' (х,ка М(и,.т,у) l'р"п'раНСГRаRи/ окрестности 15.6) соответствует точ~1'а1Сая, чсг;; ф,'\Н\\ЦИЯ Р(и,.т,у) обращаесгсянуль в точке М, дифференцируе~ш в нек;;тор;;й окрестности точки 2\!I идРи\,еесг R Э1'ОЙ о'\рессгноссги ОСГЛИЧ1'УЮнуля ',аССГ1,УЮ ПрОИЗR'Щ1'УЮ ди'i('ОтветС'!;]pry'iiY!i'iii""ЧТi'О,Оюка у;]т!aeTCiiФуню шиСР(:1:, у) в любой точке(15.6).'(J,-В силууа, ечаНИii, сделанного в п.
2. достаточно докаiаТi дифференU !р\"емость функции u = ср(х,в само!"! точке(~, о . Чтоt"ibI это с,(елать, iibI !ИGПИМ ПОЛiюе Щ "иращеi6и функции u= ср(х, у)точке(~, о ,сои! iiеТСТВ\"ii1щее приращеi иям аргуMeiiToii 6х и 6у. Поскольку P(~,~, оО и P(~+6и"~+6x" 0+F("ii, х, у) В точсоответствующее rrриращениям aprY\ieHTOB 6и"-то nОЛJfO(; nрuра'ЩСJ, У{Ске l'vIo(~, ;~, о ,6! и 6у равно нулю. Но вфункции Р(и,х,у)то'!кефУН1);'Цf{iiсилу УСЛОВИii дифферею шруемостио ~,:'/J) это ПОЛiюе щиращеiимеет вид(~+~ 1)( дРдудIдРЗ,(есь исе 'чдсrn1-tЪtе nj оизводНЪtе дu! дх1);(;Мо о :1:, у): а,и1О ри{ 6:6иИтак, м!---+u(3) 6у.дЕду беруrnся в rnо'Ч,-О.О.получаем15.7)Сог [асно разностной фОР\iе УСЛОВИii непрерывности функцииu=в точкеl'vIo'(О)х, у---+при{6;У"---+0,6у---+О.Таким об-разом, можно УТПСрж ,ат'" что ИЗ ус"опия {~~ о еле.
"·СТ,что а,{Jи1 ---+О.lЕСТВОВ \НИ11дР'аянуляПОСКОЛЬКУТОЧiс;е{----7 ОIдР/::"у "Ы! i].жение дu+~y)----7О,Т!Р1!/::"у ----7 О,+Iн' обую цаетnсям(!ж,ю поделить ,а15.71ну !'ь. В таком слу ,аеi 'и/::"ХдР +д!!рез\ль ате ',его мы полу ,им:;+ СУдР)/::,.и = ( - а;./::,.хд!! + 8()(д!дР+ --+~Iд!!-+д!!/::"у.(15.8)теореме о !!редеш,ном значении частно, о двух функ шй можем утверждат"чтодРдР +8дu_ду--;;;д'""'р;--- - - дР-д!! +д!!гдеILиVо при {(15.9)/::,.Х ----7 О./::"у ----7 О.Со юстаВЛЮi формулы,!Р)/::,.и = ( g.:~.+ V,!.8)(и(15.9),окончат! ш,но !юлучимf,~)иду.(1.
10)Р1lФормула15.10) докаii,шает диффер!= tp(!, у) В точке l'vIb(X, :ч). Те\ сам!н шруе\iOСТЬ фУНКiшиu=TeOpe\ia 15.1 !ЮЛНОСТi,Ююказаi а.3а м е ч а н и е 2. Приведенное докаiатеш,ство без всязал!" шений переносится на СЛ\'чай iеЯВiЮЙ функции.
заВИСiiщей не от двух, а от люБОiО конечного числа apiY\ieHTOB:1:1Х2... ,:1: rn1). Случай двух аргументовпреИМ\'щес'! iЮ,'iTOдоп\'ска8'!:1: иимеет лишь тоiаглюшую геометрическую иллюстра; шю в !!ространстве (и, х,2. Вычисление частных ПРОИЗВОДНЫХ неявно заданной фУi!КЦИИ. Остановимся на ВЫЧИGТIении частных проиiВОДИi,iX функции. не явно за,iанн(!f.l !юсредств!м \тавнеНИii1) И, в частности. от одного аргумента.5.:1,.Пп:тьf;ЫПОШ[ыусл(нияTi'\'peMbIПiiiл,аЩi" ия функции'/),5,1для ШiЛ [(ТОT(ir,у) СПРёшедшв\' пре,iстаf;, fениепредстаВfение и теорема 14,9ЩiЗВ(if!fЮТ утвер(15:10)скдать, '!то '!aCTHbIi' ПРОИЗfЮДНЫ i ' функции'/}, =ШfЮТ\Я фор' ул((' Иу) iюредедРд!д,т;{iU{iyдГдудГди15.11)диАна,югичю ,fe формулы с iраведливы и ДЛ!f случая, ко! да ю !fВHOзадаf ая функция завис тт не о"т дв!"!, а от любого I(О!югоЧИCJlа apiY' ентов Хl Х2Х т .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
