В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 101
Текст из файла (страница 101)
по пре,шоло +ieiЮiОiiИаi~ -ОТiИчен от н)'ш в точкедНдР1дНди1ди т -1ди тпдJ m -1прrn · · · · · 1дрrn · · · · · 1ди1ди тп -1nРrnдРтпди1д 'rn-то хоmнl'vI{i,(15. 7)диnРrnди тпi['ы одШ-l ИЗ миноров(т -l)-го iЮРiiдка 2) это; О якобиана отличен от н)'ш в точкеМа .ограНИ'iивая общности.сем считать. чтоТОЧ!fе МаОТiИчен от НУШi обведенный рамкой минор, стоящий в леiЮМ BepXiieM (ТЛУ. Тог,са.силу пре,шоложенияуравненийiiepBbIe m - 1систе;;ы(15.14)ситеЛi ,но Иj И2 ••• ,И т - . Тfчнее,ложитеш ,ныхност!чиселЛI,f/ ( оТ' )чки lVJ{!( И т , Х1т-1101 102 ... ,Е т -1оИт ,ЛiiXj,оХ2,. .. ,оразреШИМiюстат,)чно маЛi ,IХнайдеТСiiцространстватакаяR fIокрест-цере;;енных), что в цределах этой окрестности оцределены15.18)котор!,ieудовлетворяютУСЛОВИiiо- Иm ствеНЮJ'Ет -ИявляютсянеiiреРiJВЮJ!пр"али iИИэтии дифференцируеМiJ!("словирешение!един-системы перiы!; m ураiшений (! 5.14).Подстави! найденные Функции (15.18) в левую часть iюслед-1) При этом след!'ет !'честь замечание 2 к теореме 15.1.2) Напомним.
что МННОРОМ (7П l)-го порядка данного определителя 7Пго ПiiРЯ/l;ка па",ЫПi1СТСЯ ОПРfI\СЛИ'Т"-l)-го ПiiРЯ/l;ка, 'ю '!'ЧСП ,ЫЙ и",данного определителя 7П-ГО порядка вычеркиванием одной строки и одногостолбца.:35ЮСИСТЕ'ЪIура шенийЭ'f (тм лев;ш часть последнего из(15прев! У1щает' я14),Н т,-функцию, заfШСЯЩ\'},1 только('/},п, ,,'/},П', Х! ,'/},П1.).:!п)('/},;п,1.:!п)5.19)функцию мы обозна'fИЛИФ).
Тауим образом, поG {еднее из уравнений систеМfJ (1,ffРИВОДИТ нас к уравнению15.])0)в силу равенства}faTbФ(и т Х1 ...15.19)как слопкнуюТуllИс}юиХ;1\'ожно расс' атриaprYMeH'foB.Тог,;д Пjиме}}Яятеорему о диффереющруемости сложной функции, MfJ \'оже'\'тверж, ;дть что функция W(и т , Х , ... ,Х n) дuффеj е'l'щuруе.лла!!еnоmорой оnресm!fOсmи mo"lnU М;'(и т Х1 ... ,сm!\а R". Раве}}ство (15.19)ш>след}}ее из \тав}}е}6з}; fЛяет У'! }fерпкдать,бы доказатьи это\fOвить,nросmрш!15.1 ) по-Ф(~т, Х1 ... '~n) = О. Поэтому, что(15.20) ПРИ,fеНИ,fа теорема 15.1что к уравнениюравнениеразре}Ш'fOотноситею ,ю>'!ТО частная произво,итfOстаТ(JЧНО \'стадФ"ая -д.
непрерьшнаотлиа отНтнуля В точкеl'vI6'.Чтобы сдеfать>то, Вf,fЧИСЛИМ ука ;анную част-произво,14)П(J,сстаffИМфунющи(15.18),сиф<!>е!еНЦИj\'е'... + д"тп-;д"l д 1тпдР771 - 1 дФ;~ ди 771далее ПjО,++ дРтп -;...\TaBffefсистемыffOлученнче fIpИ этом тождествадР1дР1 П Ф 1----пеРffЬrе '111-1являющиеСjf решением этих уравнений,дди 771 ·········1Пф771·········1'Н тпит .15.21 )д"771'771_11{fO+ д~771-1='ПU тfU [р\'ем по и т ра {енС'! fЮдФ"i \и тп(15. 9;.5.21 т - 1Пол; 'fИМ(15.21 'т);{МffOпКИМ теперь paBeffcTBa15.211 )-(15.21 т ) {а сои! ffeTCTB;'}iiщие аюебраические ДОfюлнеНII1f,~2,'" ,~т ;ле' ентов fЮGfеднеfО СТОifбffа якобиана (15.1-) и ПОGfе>того GЮЖИМ>ТИ ра-Так как сумма произ!;еде Е!Й элементо!; да!юго столбца определите.'Ш на соответствующие алеi)раические допо.
шения элементо!; этого (друго!о) сто,!бllа равна опреде'штеШ i ' (ну'!ю), то!ШЖ;l,ая !ша.f.ратная ско, ,fШ равна нулю, а f(руглая с шбка равнаякобиа!(15.17).I акимоiiраюм, мы по'!учим(15.22)ЗдеСl, сим юломчеСfше6.обозначен l!кобиан(15.17)а 6. т -алгебраиюполнение последнего Э.'!емента после;lнего сто.'!' ,ца, которое со!;!!адает с (lШЮРО\f, об!;еде! ым ра\fКОЙ ш по пред!юложению. отЛ'U'Ч//-I,Ы,М от 'Нуля в точ (е lvIo . ПОf.елив равенство(15.22) fa,око! fател ,но найде\15.23)Форму,!а(15.2:5), с! ра!;ед шваl! вTO'fKeМ6', доказываетfe!рерывность частноП ПРОИШО;lНОЙ ~\II в точке М6' (и()о 6.
и 6. тdiimсостоят из faCT! ых произ!юд! ЫХ функций... , и т непрерывных в точке Мо ).Кроме того. и.форму,!ы((15.16) 10Гс .23) вытекает. что'U , Н2, . ..д\llв ТОЧf(еОТJШ fa от ну.Ш! (ибо якобиа!ОТЛИ'fе! от ну.Ш!TO'fKeI ем самым мы ;lОfШlа,!и, что к уравнению ( 5.20) можнопримеНИТl, теорему15.1.СогласноноП теореме!ля ;lостаточно малого положительо... ,оно!о чис!а Ст 1айдется такая окреСТ!ЮСТl, точки М6хnпространства R', что всю <у В пре, f.елах этой окрестности определена ФунКl шяKOTOpal! тдовлетворяет тсю!шюоl'U m- 'Uml < СтИ я!; шетсяналичии ного условия е;lинственным непрерывным и ;lиффе~реНllируе\реше!уравнения (15.20).
И\fеl!фующии (15. 8) являются ре111ениями первых 171 -ний (14) nри любых 'Um,;Ч,... ,1I nвиду. 1ТО1 уравнеиз окрестности точки М6',585{'И(ТЕ\IЫи ВСТ;ШЛЮiф\ [1КЦ1!1;lЙЩ,ННУi{' ф\ i1КЦ1iЮ,заВИСЯiСРт (Х15,24)(15,18,толы<о (;т т PfOMfOHHLТJ< Xl,Х nмы получим,Х n,Х,Х n'Um-l(Эти фующии мы обо шачили символами, ... ' ! m-l.) 'Георема о iиффереНllируемости сложной фуюшии ;laeT право утверiiiдаТl" что КЮiiдая 1,iЗ ФУНКlшй lPl,... lPm-l диффереНllируе>'iав Оi<рестности точки ]\.;16 о , . . . • ~n).
Таi<ИМ образом, мы окончательно ;lОiШ iали, что m фун шийщ = lPl (Xl,Х n,и2 = СР2 (Xl,Х n,У;lОВ'iетворяют в окрестности точки< с , ... , IU m - ~ml < Ст15.25]\.;1/; условиям IUl - Ul<представляют собой при 1аличииэтих условий е iинственное непрерывное и ;lифференцируемое внекоторой окреСТiЮСТИ точки M6(~1 ... ~n реше ше систе>.
ы(15. 4).Остаетс>! доказаТl" по ф<i1КЦЮi (15.25) ПI,едста Шii i;T собойединственное решеiше C1icteMLI 15.14), <Довлетворяющее <с>юiiM Iu - '~jl < С! ... , IU m - ~ml < Ст (!достаточно \iаЛЫJ<поло.жительных с , .... Ст)'Пре,лоложим, что, кроме ФУЮi iИЙ (18.25), существуютеще m ФУНКlшй, ..., ...(15.2 Г/),Х nтакже являющихся реlllением системыщхусловиямlUl~ll<Cl,...(,14)и у ювлетворяю--'~lm <Ст'Тогда, в силу преДiю'южеiШЯ ИНДУКlши, перible-11ций ( Г;.25) пре.iставляют собой ПРИiа;lанном и т = '11т е.iИНственное и Nlфферент~ируемое решение системы первых (т -1)ур ШНfOний ( 5,11при з;щаf fiJM '{'т fOДИНСТВfOнно!' рfOШ!'fсист!"fПШLТJ< ('т - 11 ypaBНi ниП 1514) Д;JfOТJЯП;;;МИ(15 8) ;;,fiИМ iJбр;; юм, справfO ливы СiЮТНОШfOНИЯХ,( 1.;18'\, "J,Х n,KOTOPLIJ< ФJ, ...
'Фm- - те же функции, по и (15.В такт, случае ЮG fеДfiееiеfше (15.и СООТfюшеfШЯ(EJ. 9) позволяют нам утвеРЖ;lать. что и т является е,f.Инственным реfffением уравнения (! ГJ .20) т. е. и т = и т .При наличии равенства и т = и т ИСf,азувытекает, по U = 'UJ,(15.18\Тео; ,е\ а2.15.2соотно ffениПит-! = 'Um-J.18')и... ,пош ЮСТЫ J ' доказана.Вычисление частных производных функций, неявно определяемых посредся"Вом СИС'ЯJ"cмы функциональных уравнений, В этомпункте мы преДПОЛОЛОIМ, что выполнены условия теоремы15.2,и займемсявычислением ЧJJСТНЫХ ПРОИЗВО"шых функций (15.2''1). ПО"iСТJJВИМ функциисисте\iУ ураШiеiiИЙ (15. 4), реше iием (<О! орой ЭТИются, И ПРОf\Иффет i'Нiшруем получившиеi"Я ТОЖf\;;ства по .Т/ПолучимдР! a i1д,1"1 д11 тдР!О- + . .
. +----+-=д111 aXlО11 т aXlaXl'i(! 5.16)a1''m д11!дРт д11 тд11 т, aXlдРтaXl+ . . . +----+--=д.т/РавенстваО.представляют собой линейную систему уравнений от,}111il11 m~Н ,сительно т, неизвестных дп ' ... , дх! . Определитель этои системы яко(15.2i))биа"(! 5.17) отличен от нул", R iif,рестности точ"и А10 . Стало(15.26\ имеет еf\инственное реШi ниi , опреf\i ляеМОi' формуламиD(, ...систе\iаКрам;;ра:,Рт )ii11kD(111, ... ,11k-1,Xl,11k+1, ...aXlD(F1 ,F2, ...,Рт )D(111 112 •...11т \11т\ырал.:ения для частных производных второго и послеДУ'fiШИХ порядков 1), шфференцирования этих формул.можно получить посреf\СТВОМСущеСТВОВ;;НИi' этих частных ПРОИШО,,;ных О ii'спечивается f\ОПОЛНИтс льными огранич;;ниями на(1''1.16).587[ABIiCIiMOCIbВзаигйногерног оМо(ходнозначноепространства.отоИра) ,гениеГасс ,10ТРИМдвухнекотороГгГm,-мно)кествг"гресТ1 [' iстиТОЧ1ГИ,Х) т функций[,и1(Х1,и2,)2(Х1,15(Х1, ...итРеМ см;;триваемыеХ т,),фунюшйЛ)ХтосуществляютотоГ;рюьтниг'ука iаннойокре;' )ностиМО на "е1;ОТ' ;рое iiщ;жестш; {lV} m,-меррого простра,,~ств;; пет г'менных и1 и2,...
и т . Это отоГ;ра)кГiНИГ' н;; iывается вэаu.МНО од';;а'Чгг'Ым, если каждой то ,,;е из указаН1ЮЙ окре;' )но;' пг то',,;и МО соо! ;;етствует только of\Ha точка множеств;; {N}, т;;к что при этом к 1Жf\;Ш точкамншкества {Л'} соответствует только одной точке указанной окрестн, ;стиГО jI(J,f Мо .Из TГiopeMЫ 15.2 НГiПО;', ," 1ГTBГiHHO BЫTГiKaeT слеf\УЮЩГ'Гi утвеРЖf\ГiНИГЕст, фугг1'.;ЦЩ'5.27) ;;1,ФФереНЦ1,руе,ч'Ы в 01'.;рестност1, т;i'Ч1'.;1, А10 ,при С).М все <астн'г,;; nроиэводн'г,;; nГ]7вого nоряд'К;а непрерывны в са.моЙ'К;е А10 • а "С1'.;ц ;1,(15.27\iб1,сD(Yi, .... Ут){У(Х1 ...сiтJи,'Че,с cim,осуществЛ,гi,10тод ;0" ;;а'Ч ;оеор [й ;i1'.;pecm iiiCm'!! т;i'Ч'К;1, А10N o ( [, ...
,, Хтг;еn,=Уi(!fi,отобрuакещьеФу с1'.;-;;е1'.;ото-;;а ;;е1'.;от;iРijЮ о'К;рестностъ то'Ч1'.;'!!,Х m )(15.27\...В самом f\i ле, СООТНОШГiнияэтoii тСi'Ч'К;е, то(i=1,2, ... ,m).мшкно ра; см;;тривать к;;к системуура;;нений относитеЛhНО Х[, Х;, ... , Х т , для 1<О! орой Ю,;ПО, iНГiHЫ условия тг оремыокрестности точки1'';.2.НоTOrf\;;эт;; систем;; ВСЮf\У внекоторой(;;'1, . .. ;;'т) имеет е, 1инственное решение:(15.27'ХтОчеШЩ1Ю. что фТiКЦИИ=='~~тi, . .
.(15.27' осу iiеСТRЛЯЮТ обратн,;е отображе iие.Заметим, что в условиях сформулированного утверл,:дения как функции(15.27), осуществляющие прямое отоГ,рюкение,ШК и функции (1';.27')осущеСi ЩИiобрат",;е о! ображе"ие, ЧRЛЯifiТСi ;;еnрер'Ы;гн'Ы; н. 1;заИii1НООf\нознаЧНОi' отог,рал,ГiНИГi, обл;; 1ающг''" таким свойством, на:~ываГiТСЯ гО.меоМ;iРфГГ'Ы,ч.§ 4.1.Зависимость функцийПонятие зависимости функций. Достаточное усло;iiЮС'; иПустьmфр; ;КЦИЙ от ОД;и тех жеnпеременныхl(Хl,ХР, .. .2(Хl, Хр, . . .,Х;, ... • Х n )(lБ.28)о [кры lОЙОПf)!м!рной!i'k,:)ля(15.2CJ)где Фне'Котораяопределенная 'U д'Uфференц'Uруе,мая в соответствУ1ОщеIl област'U 'Uз,менен'Uя свои! а; '!'!у,ментов. Функции иl, и2, ... ,и т ;iY;leM называть зав'Uс'Uмы,м'U в06ласnшесш ОДi1а 1iЗ ЭТ1iD,ФУНКlшй (iiceю какая) зависит в об!iасти D от OCTa,!ibHbIX.ЕСiИ же не существ\ет дифференцируеМО!"'i функции Ф таi<ОЙ,что сра iY iЛЯ всех точе1! области D справе, iЛИВО тож (ество ви Щ(15.2:5),тоы буде>.мыми в о(iластиичет!Ipexиlи,'изеы.пере>.!еi1.
Легко \беДИТl!С!i1"32,Покю!!е>.=у1ТО три ФУНКlшиХ4,+ 2Х2ХЗ ++01 iJIaСТИ DiiCel< ТО'1ек (Х ,Х,!,х+у И!i2то>.!,2х 4',Х+четырехмерного пространства, ИI юэтой области2'U2-'UЗ''U=,и т независиых= XI += Хl +;; 2= 2ХIХ2 +iависимы В!iЮI Ю!!для1азLIВаih функции 'Uj, и2""D.=те;что lIiie ф\i1КЦ1Ш двух пере>.!еiых иl-у независимы в любой об!iасти D ПЛОС1ШСТИ ;I"У,содержащеП начало i<оординат. Ясно, что функция иl сохраняет поСТОЯiюе Зi1а'1еiшеу =1\ЛL1аiРЯ>.ЮЙо! проходящей через нача-!Ю координат15.5).По на этойпрямой функция и;; имеет переменюе Зi1а'1еiи2 = 2х, Поэто>.' натом участке этой прямоп, 1ШТОРЫЙлежит внутри D, и2 'iaBe;loMo не 'iaвисит от иl.
СОiiершенно ана!югично!.Оказывается,внутри об!iастиГис.115.5Dчтона\част- у = о и2 = О, иl = 2;1" к сталобы [Ь, 'U1е зависит от 'Ui.В частности, в Кi!чеi"ТВС: об, !i!стиможно вшть некотот ую окре} ТНОГТЬфИКСИРОВi!ННОЙ точки МО n-мс:рного ПРОСТРi!Нi"ТВi!.5Ю;АВИСИМОСIЪЗаза ,1'С'ич а'курсе .IlинеЙн ;й аш'ебросm1.nlт,висимыми в о;;ласти('сли ,,(ЛЯBC(jX,;вводит' я,iiазточек о(;ластиза~D oflHa изЭТИХ функцийRi,(ражаетс; в виде линейной фТii(ЦИИ от осташ,ныхлинейнаязависимость фунюшй ЯВЛЯi;тся ЧiiСТНЫМ случ "'М ';шисимости ЭТИХ Функ~ций, ибо, если фун((ции nl,линейно за (иси\'" в области D, тоОСР,этой о(нтаг'стино не являющиеся вв ,(iiисаНiiые в при\(ере 1).но С','jj(('СТВУЮТDзависимые в оБЛii~линейно зависимыми (н;шример, функции,Теорема 15.3 (достато'Ч,ное условие независимостиФ jН'К','ЦШ'1,) Пуст '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
