В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 102
Текст из файла (страница 102)
m фУ'Н'Х:Ц'U'й, от n ? m nере,ме'Н'Н,/,х, ...'U, ...,Х n,Х т , Х т +l,···,,О !ределе'ны 'U д'uффере'н1J;uруемы 6 ощ?ест'Ност'U то'Ч'Х:'U Мо (~I~т, ~т+1 ... ,~n . То;,;да есл'U л'Х:об'Uа'Н 'UЗ эт'Uх ф!j'Н'Х:'Ц'Utt 'ПО'Х:а'Х:'Uм~л'Uбо m nepeMe'н'нымM отл'U'Че'Н от 'Нулл 6 то'Ч'Х:е JI/L) , тоэт'U фУ'Н'Х:'Ц'U'U 'неза6'uс'u,мы 6 'Не'Х:ОnИIЮIl ощ?ест'Ност'U то'Ч'Х:'UД о к а з а т е лLс То.Не огра;Ешаil оБЩl1ОСТll, будемсчитать, что в точ ,:е ]\.;10 ОТ,lичен от нуля Яl\обианD(nl, 71",...,n т )(15.301D(Xl,X2, ... Х т )',Iокаже\теоре\lУ отf.ЮТИВНОlО.l)едположим, что фУlIКЦllИ,и2,.
.. !imlависимы В не1ШТОРОП о (рестности ТОЧ1(И ]\.;10, т. е.одна из эти". функцю\ например 'Uk, Д'! все". точе< этоП о <1)eCTности выражается в ВИ;l,еНА; = фгде1екотораящируемаil ФУНЮlИя. ПОЛLЗУЯСl, праВlпом lифференцирования сложной фующии, вычислим проиводную функции 'Uk Ю шоБОl из переменны". ;Tl (l1 2, ... ,т).=БУ;l,ем иметь(l1,2,... т).(",.31)иформулы (Е.31), если их в !Ять lЛЯ кажюго значенияТО'lке Мо следуетпо k-я строка ilкоб1lана(15.30) представляет со()оП чшеПную комбинацию остальных1,2, ... ,строк с коэффициеliтамиcooTBeTCll:el 10l)аВНЬЕ'aCl"aCl"anl'дn2'...ПФдФдФр ШfOНПри М+= ХfO р.и Н2=эт"м СЮ.Т1.fO якоБИ;1'НодnМО чт" про lИfi' 'РfOчит УiЛ()ВИ}i, т( iipfOMLI.ЖfO рассlVЮТР( ННЫfO ВЫ}в(' фУЮiЦИИ '/),ЫiiKPfOCT} i' ,сти .шоб()Й то' ,Кi·}Х11212.(5.30\о Вi.ЮДУФункциональные матрицы и их приложения. Сноварасс>.
OTpiimфунк шй отnпере>.iеННЫi,J(15.28):2, ...15.28),х" ... ,Х n )'Нанъ!этот раз преД}}Q1}ОЖИМи дифференцируемые во, ...iTO фJ }iКЦiШ (15.28)HeKomopm'lо i7iеделеокреС17ШОС17Ш 17и'Чки,х n ) nри'Чем все 'Частные тчюизводные первого rЮ7iлдка этих функ'Ций Hen7ie7iblBHbl в самой 17и'Чке Мо.оставим из частных производных фJШiЦИЙ (15.28ЩJЮiаЛL};JЮд{j'PlдХlд,i2i }'Р2дХlдХ2д,i m'}'Рд,i mдХlдХ2дх n--дХ2(15.32)со }ержа} }ую m строк и n столбцов.И>.iеет \iecTo слеДJющееТеорема5,4.с}еДJЮ-\iаТРИЦJше.Пуст'ь у ФУН'КЦШJ1-l.алъноЙ ,матриuы(15.32) :Нiкоторый минор 7'-го nоршjка ) отли'Чi'Н. от нулл в тО'Ч'КiЛ10 о;~2,"" ~n)' 2) все ,миноры(7'в некотО7ЮЙ ОЩiеС17ШОС17Ш то'Ч'Ки1) -го nорлд'Ка равны ну2).
TOiiaa7'фун'К'Ций,представленных в указанном ,миноре 7'-го nорлд'Ка. независимыв ОЩiестl-/.Ости то'Ч'Ки. 'Каждал из осталъных фун'К'Ций зависит в этой о'Крестности от укаюнныi! 7' фун'КциЙ.Д оа з а т е л ь с т в о. Не о} iuаничивая общности, бу}ем считать. что в точке Л10 отличен от нуля минор, стою }ИПНапомним, чт,опреде. iитеЛh,COCTafi.'''i11i0J70MГТО порядка данной матрицы называетсяиз 'те,ieHTOR, "iОЯЩИ i"а iiересечеiiИИлибо г столб !ов и Г строк матрицы.2 В случ ;;', ;;сли Г = mil1( и, n), требование 2) сЛi:. ,у;;т опустить.каiiИi:-;АВ! iСИМОСТЬЛЕОi,;;МoiВЕОР\i1СДСЛi iТЕОЛLду !дСРIдХlд!д у;дсрдХIдх ;(15.33)не. iависимостъвокрестностиТОЧiШМофункт~иПи т сразу вытекает из теоре;; ы 15.:5. Остается дока-i or;la'UI, и".
..iaTb, что лю()ая ифункциП и,+1, ... ,и т )iависит в окрестностиот иl, и2, . ... и т . ДОКЮiiе;;' напри;; ер, по 'U r +l зав'Uсит в о'Х:рестности mO"l'X:'U ]У!;; от иl,'U r . Сосре.;оточимсвое внимание на первы\ т фУНi!ЦШiХ. Если обозначитьчереоооиl, ... , и, числа ВИ;lа иl ='Рlо00,Х2,... ,Х n ),о•••и,'Р, (~1, ~2,' ..
,~n) то всю <у в некоторой окрестности ТОЧiiИНо (~1, ... ,,~;, ~1, ... '~n) (n + т )~MepHOГO пространства первые тфУiiКЦiiЙ (15.28) предстаiШ!iii!Т собой едшюе и диффереii=цируемое решение сле;lующей системы уравнений 2):, ... ,== 'Рl(15.3 )СОП стороны, пос ,:ОЛЫ!!' !iкобианD(F1 , ...,РГ )ПJ(Хl,...)совпадаii,ЩИЙ с минором (15.3:5), отличен от НУЛЯ в точке НОто систему (15.34) можно в окрестности этой точки одJ{()зна"lНОl?азреш'Uтъ относ'Uтелъно Х .... ,X r . Иi ыми СЛОi,амш ВСiiiДУ;остаточно ма. юй Оiiрестности точ Ш НО системаединственное(15.3 )имеетдифферешшруе;;1 ое решение=ф (иl , ...Х,и т ,Xr+l, ...,Хn )15.35Xr= Фr('U1,'Ur , Xr+1ХN1) I! iiнечно, при этом предполагается, что т > Т.2) В самом f\,'ле.
в УК;! ';шном точю'все функции Р;нул!" а ;·!К ;биант,'оремы15.2.D(F1D( 71 1,Р,)(,71,,) = -)r--lт-Р" обт ащают-та!·; что ;;ы!! ;лне!!';5с35) и ПfOр {ЫfO Т равfOНСТВПОДЧfOРКНfOМс чтi' равfOНСТВ"полно' ТLЮсти,ссли"КРС,СТ; li 'ст;с] ТО'Э'<ВИJ{JJЛfOНТ;,1"1, 1"2,Шi;l'ТJШИТЪми (15с35), в п( РВШ'm'ЛЯfOмьн(YKJ3JJ'ТО,и заIlIечаiТчтоиИ 1'независiТТотуравнfOНИЯ~ЫfOо()раТЯТJЯ в Т<iЖ с J.fOСТШl ОТНОСИТfOльНi' 1"1'+1,с IиффfOрfOШlИРУ'; ЭТlс; Тi'ЖДfOстваПfOРfOМfOННОЙ Х!, n)(В ча' тно'/), ,, '/},1'+1X1'+I,... ,Хn ,бу (ем иметь- <61)1 Ь.сс+ a{Jr дфгдерг a1jJlaTl (!х!Заметим с что равенства;{се\{ З;lа'1е;lИ1с ;д уг = О.~д•••(!х!справе ;ливы( 1'.36 )-( 1,.361'), ...ых XI, ...• Хт,Х т +;ере\!е;,х n из;ляlеКОJОРОЙокрестности точки Л10 .д'; того чтобы тбедит ,с,;ТО\!, 1ТО фУНКlИя И1'+1 за {1с ;СИТВ некоторой окрестности ТОЧ;fИ МО от И1, ...
,И 1' , ПОсJ.ставим зна~чения Х1 • ... ,Х 1' о; редел,;е\!LIе уравнения\(15.:55),+ 1 }-еравенство (15.28). При ном И 1' +1 превращается в фушщию аргументов и... ,Х n , ибо И т +1",+1, .. · ,...,И 1' , Х1'+IИ 1' ,fЕ 1' +1, ..,Х n ] = Ф (и, ..., ...,Х n,X1'+I,···=·,, ...СРТ+(XI •... • Х т ,, ...
,,И т • Х т +(И1,,,,,Х n•...(ну Функт~ию мы обошачили ;iуквой Ф). с Jстается ;lО;Шfатъ,ых ХI ...Х т , X1'+I,. ..Х n , с';ежащих в ;lостаточно малой окрестности точки lv'[,j, функция Ф'Не зависит от Х т +1 ... Х n . Дл,; это; О достато' ю доказаТf" 1ТО;ля всех Х1, . .. ,f!n из юстаточно мас'юй О;fрестности ТОЧ;fИ Jvlf !что для ;{се\{ значений пере\!е;справес ;ливыравенствадФдг[о([='('+1, ... ,n).(15.37)ПродиффереНffируе\! функ lИ;"по ;ере\!е; юй Х!,n) как сложную фун fflИЮ. При этом получимayr +1 a,,'l---aTlдх[aepr+l д",г---дх гд, [ayr +дФ_-дх[Рассмотрим тепе; ,ь с ;едтющиП минор;.ы (Е.32):дуfдх г,6,=1--д угai[+о ПО; ,яд;<а матри-дер Iдх[дергi!Xl(УХ Тдг[дерГ+1дерг+1дерГ+1i!Xl(l = '('+1, ...дг[15.38);АВИСИМОСl ЬПо УСЛОВЮ i , т(iipEOMLI этот минор ]хи;е'Н, 'н, /Лii i'ПiО1{,'Х;U JI/L)множим раВЕОНСТШl ( Гi 36 ) (""ТСТВУiОЩiii" /ШГЕОбр/шчЕОСКИЕО допою6.,,6.7'O?ipi'i 'Пi'Н,()-ПЮТЭЛЕОИ ПОСЛЕОiТОГ" сло)кимМЕОНТiШ ПОСЛЕО {.НЕОГО столБТ~/i МИНОР/iэти раВЕОнства, В силоы о ТОМ, чт"НИЙiЛЕОiiЕОНТiiii(а!нто стол;сумма пр' 'из ,сдс-СООТВЕОТ; ТiiУЮТТ~ИЕО аЛГ(I;iраiiСЮlе ;lополненияшементов <Того (iPyrOrO) CTo'i()lla равна опреiелителю (нулю), получимдФ6.
= -д 6.7'+1 .15.3:5Х!В равенстве (15.3:5) сим iOл 6. обозначаетioР (15.~8) paii i ыйнулю ВСЮiУ В Оiiрестности точки Ма а алгебраичеСiше ;lОПОЛнение6.1'+совпадает с минором15.:53), от.}И'ым от НУ'!ТОЧiiе Ма . а стало ;iьпъ, и внекоторой Оiiрестности<тоП точ~iШ 2).З равенстваокрес (нос (И точкиГi .39)' iаключаем. что ВСЮ;lУ в неiШТОРОПсправедли ,Ы i\aiiei [С! iia (15.37).
ТеоремаiOказана.Приер,И, = ХIВернеМб! к iiсследоваi;iiЮ за iiiСИiЮСТИ ф\ iiКЦiiЙ+ ++ Х2 ++2Хl Х ЗХ,+Хф\ i iКЦiiOнал ,на>! \ia iРИllа12(Х21+ .Тз + .Т4)lеГiШiiiдеСТiiеi\ieeT2(Хlвид1+ .тз + .Т4)2(Хl1+ Х2 + .Т4)2(А 1 + Х2+ .Тз)i.ИТЬСЯ в том. что все опре,iелители 3~ГO поря iiШ TO~io равныпричеiВ'iюбой точкеространства, Х;, Хз, Х4), У iШТОРОЙ не все четыре iШОр,i.Инаты ;! 1, Х;, Хз, Х4совпа;lают, хотя бы О;lИН И опреiелителеП второго ПОРЯ;lка2J12J411отличен от нуля. Ста io ;iьпъ, в окрестности .'iЮ; юП ука iаннойточки ии И",, незаВИСИМLI,а ИЗ зависит от Ии И1) При ЭТОМ мы ПОВТОрЯСiМ РаАТУЖf\(iНИЯ, ПО"iРО(ШО опис;шные н" с.
584,2) Поскольку все ч<tГТНЬНi ПТЮИЗВОf\НЬНi, ВХО"шщие в МИНОР (1'';.33) непрерывныточ;;е Мо , то и сам \;и;юр (! 5.:<:<) "е"рерывен Tii'iKe А10 . Н;; \iiгдапо T(iOpeM(i 0(; устойчивости Ш<tКi1 ШiПТ ;'рывной фуню!Ии ЭТОТ МИНОР ОТЛИч(iн ОТ НУЛЯ Шi ТОЛЬКО В Сi1МОЙ точке ;;;0, но и внекоторойОКР(i(:ТНО(:ТИ.llОН'кiТИС УСЛОВНОi(i'IbHмалш ь:'кю:трсмума.IiаНШ'J\'I л()кальньр:'iIOПЕО (Вiiзапы пикакимиTi"iВМЕОст(' С ТЕОмзаТJ:а',IaмаТЕОматике иТРЕОМ,}!М(С РiОiiOШИТ(п! 'ил; '!КЕОниях;(iВИii ('laCT;' встрсчаЕОТ(ЯmnЫСh;ШНiuи эr.;сmрt;,АtУМО6 фун,r.;ци'u, аргУ,АЕе'нmы h;пmо-роймумы такого РО,iДдоnол'!!иmJЛЫ-lЫ.М UU/,(i6'UЛ.М /'/IЛ3'U.
Экстребудем 1Ш')ЫК1ТЬчтобы отли-чить их от (без;!словпых) экстрем;!мов, из; чеппых в§ 6л, 14,ПРlшедем пример заiД'Ш об ОТЫСIiании '}!СЛОЕНОГО экстрем;!ма.требуется пайти экстремум ФУilКЦli и = х 27Р при+'}!словиш что аргументы этой фун iЦИИсвя')И х= х2- 1 =У+У - 1;!jiаIшениеО. Таким обра'ювлетворяют '}!словию,экстре,(lТфупкции =ищутся '!!Р '!!Л;Т(),6Cfil nЛOi !;()сm'!! ху, а лишь 'Нл nрл нойдлii решешlЯ iюставлешюй за,iДЧИ ПОiстаВli/, в1;!НКЦИИ 'и = х 2УСЮВИii свя')И Х+ -+ у2значение У, опре,i,еляемое из1 = О.
Таким iiVTe,([,,1 свеiюставiе1ШУl1( задачу к задаче об отыска,р' бе)ус ЮВПОlО экстре,(lУ,(lаФУilКЦli= 2х 2 - 2х +Послеэкстрем;!м находится без труда: ПОСIШЛЫiУ и'= 4, ТО фУПКЦИii= 2х 2 - 2х + 1 имеет1/2 при х1/2, Таким оiiразом, фующия и =с ус ювием СВiЗli х= О li//leeT усювпый liIIli//lY,(и = 1/' в TO'lfie/2,О'(метим, 'ПО беЗ;!СЛОIШЫ(\ минимум=4(х - 1/2),миним; м и =ФУilКЦli= х2+юстиается в точке (О, О)в точе,(l, даже из ilаглядпых сооiiражепий (рисчто миним;!м фУЮiЦИИ и = х 2+ у2равеп и15(6)=О.очевидпо,графшшм IШТОРОЙ слу'китiiараболоид вращеПИii) па всей ПЛОСКОСти ХI! пе совпадает с ее+мипим;!мm ilaхУ - 1Переходимо; (щей пос [ано:ке задачи о;! отыскании условного экстрем;!ма, ПустьнаiПИ э (стремум фУЮiЦИИ т+niiеремеппых,х niти паличииm '} словийФУilКЦli(15.40)связи, ..., ...ПреЖiе,7Iт), ...]'n, У1, Yii1О.]'n, У1, Yii1О.Bcelo vточпим само ПOIытие услоВlЮГО(15.40) при паличи свя)ей (1",.41).
Бу(15.41экстре,(lУ,(lаговорить,595'KCTPE\IY' .5пр'/),(15.40;чт.О(15.41'I,,},Л' гт уело(ХIо'КреГi"'iШ!'!I,n!'!,ч,!',''/),'КоI.е ФУН'К'Ц'/},JI. (15.40) Н то !'КС J\,;10 янлш те. {, на 1.60 !iJШii.,!' 'Ш'/},.меНЪШii. !t)ее аНI1 че'i!'/},il но псе,!' т,о'!'К;!!х. 'к юрд'/},'iшт,ы 'К:О'!!,ппы,!' !!довл;т,вОРЯlОт, !!словu!!.,!' св. {,ЗU (15.41).Для наХОЖ.!.ения условного экС'! реuмума фупкци(Е.40) !!ри па . tИЧИИсвязей (15.41) пре! юложим, чтоции,СТОJ!щие в левых част"х равепств!ифференцируемы в некото15.41),рой окрестпости рассматриваемой точJ\,;10 причем в само(\ точке J\,;10 . [астпые !!рОlзводпые ука',аШI,fХ Фупкцийкипо Уl,. ..Ут непрерьп ны, а яко/шанD(F1 . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
