В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 98
Текст из файла (страница 98)
ибо в противнс[м случаенарппаЛОСI, бы УСЛО([(fе существовашfЯ у фУЮЩ(ff(x:) (а MHO~жестве Q единствеНН(iЙ точки лока. fЬHOГO минимума.Далее можно утвеРЖ[l;ать. что на множествеQEимеется лишьк о н е ч н о е число точек пос (едовате. fЬНОСТИ {х: k} (ибо по~с(е, ювате.(ЬН(iСТЬ(Xk) у КОТiiРОЙ имеется бесконечн,[е чис юfэле\fеI(ТО([, удовлеТВОРifЮЩИХ (еравенств<!Xkможет сходиться к чис(у 'т).Стало быть, !fЫ доказа,что ДШf (юбогономерN,):[;(еО найдеТСfначиная с которо[о все Э.(ементы ПОGтrе, ювательности{Xk} (e/i<ar шаре СЕ раД(fуса [; с цеI(трО!f в ТОЧi,е Ха. Этоошачает.
что пос(едовате.(ЬНОСТЬ {Xk} сходится к точке Ха.Тем самым для с(учая i[[раниченно[о замкнуто[о выпую ю[ омножеспа Q ОСIЮВI(ая Teope!fa дm,азана.П<!сть теперь Q н е оа н и ч е н н о е замкн<!тоевыпуююе множество. Снова 'иксируем ПРОИЗВО.fЬную тс[чкуэтого!шожества и состави!'(14.116 при(14.115 .ПриитерационнуюIюс(едо([ате.fЬНОСТ1<!GЛОВИИ что чисю а удовлетворяет неравенствамюказате.fЬстветеоремы о существовании локально[оM(fН(!а у с(!ю ([ып<!клой ф<!НКЦИff (C\f . . 2)<!СI'аНОВ(fЛff .что точка Ха локального l\ШНИМУl\Ia сильно выпуклой Фуню i.ИИ(х:) на неограниченном замкн<!то' вып<!клом множестве Q ле~жит в той части QR множестваЮiторая содержится в шареС Н с центро!' в ТО' !ке х: , ради<!сi,OTOPOrO ([ы4"рю (fз \ GЛОВИiff-1 gIad f(x:Та!' же <!стarювлено,fЯется о[ раниченным[то ПОД\fНожест юО.QRюжестваQя([-выпуклым замкнутым множеством и чтс[fвсюду 'Н(! Q R значс!юfЯ j( Х;'i'ВОСХОДЯТ (х:Так как в сил<! леммы 7 (а точнее в сил<! неравенства (14.127)Шiследовательность(Х А): является нево;растающей, а за пре~де.
ами QR все :~начения(Т) превосхо, iЯТ(1!1), то все то'Чn'U'UтеРШЦU!i1-t'l-ШU послед, iоатеЛ'Ь1-tостu {Xk} лежат Q ; а потО,'f[I;.fЯ лобого нс[мераPQ Xk - аfk. gIad лх:л)=PQR Xk - а. gIad j(X:k)565fЕНИЕит( рационную ПОСfедовате.fЬШСта.нозам( Шf п.Чz:ГZ' в(ен(Tf, (14. 16) '10 'f<-на!Иеf)(н;суждеf !И,fсведетс,}о Г ру :~;.МЮfУТZ"fУ f;ЫТТУКЛОМУ мшн<е(тву Qя,а н и-е. кY'f<eрассмотренному выше СfучанОСНОfша,f ['еорема ПОЛНОСТf,Ю дor;азана.а м е ч а н и е 1. Особенне; просте; выглядит ПОСfедеша3тельность[l;fЯ случая. ког Щ множество(14.116)Q с';впа, щетвсе '! пространство,' Е 1n .
В это', случае для любоМ ТОЧf;ведливо равенстве;(14.1Н;(х)-се;х спрах. и потому рекуррентная фс;рму. апринимает видX:k+lз а ~I е ч а н и е2.=X:k -СУ 'c,Iadf(X:k)'Излшкенный нами ~Iетод позволяет при выполнениис 'iiТВ;'ТСТВУЮЩИХ УСЛiiВИЙ искать р' шение Хао=о~ ·т,2,о...ф, нкцш шальных, равнений:f1= f; (.Т1, .Т2, ... ,.Т rn ) = О,f2= f{T1, .Т2, .. .Х т ) = О.(х) =;аСГiiЧif ii замесгип,>, ',ПJ ретттеifие у сазаНif ii 'С 'кой л 'к шьного ~IИНИ~IУ~Ш функции1(,)а мч а н и е3.= fiИ:~.ттоженная Н:,~IИ теiiРИЯ отыскания л 'ЮJС;ЬНОГОминимум" сильнii выпуклой (вни:~) функции б,·· к ,ких~либii ОСЛiiл,:ненийifереноси"а осгыс:сание ЛiiкаЛhНШ'О "аксимумаifУКЛiiЙ (вверх)функции.ДОПОЛНЕНЕО ВЫБОРЕ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗБИЕНИЯ СЕГМЕНТАДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛАв гл.12для приБЛIпкенного вычисления интег} ал"ь/ f(x) dc(14.133)амы Р" :бивали c;'r~IeHT [а.
Ь] на достаточно бiiЛЬШiiе число n павных ча~:СГИЧifЫХ се: "енсговна :саЖДiiМ из Э:егмеifпm замеifЧЛИ'f(x)МНiiГiiчлеНО~I ну';' вого. ll' рвого или вто} "го порядка. Вошикш iЯ при ЭТiiМпогреШНiiСТЬ ник ,к не ,Учитывал" индивидуальных СВiiЙСТВП НПnIУfНl,fXе,"РС'l'веНiЮ,Щ:'l'аеi\ОПРОС оi\аРhированииi'O'ieK paii ,иеНi,f','осно "юго сег-,авыборе f\Шfфиксиро ,а fНОЙ фУНЮfffИ f(1) 'l'aKOfO оптим fЛЬНОГО ра:~БИf'НИЯ основного cf'r~IeHTa н" n, вооБЩf' гово! я, не РfШНЫХf\PYf' f\PYf'y чаСГИ'fНi,if Cf'i'ifeHCГOB, fЮf'орое Оi'f'спечивало бы \fИffИ\fал ,ffУЮвеличину погрешности ДfШНОЙ приБЛИ)Кf'ННОЙ формулыВ "а, f'оящем f\ОПОШfении \fbl О' f'аfЮВИ\i(" на реТТТf'ffИИ п<азаffНОf'О f1О-проса, ПРИНff 'fm'жаЩf'~I БН Тихонову и1 аЙСfff'ЯНУ 1)приБЛIпкенного вычисления интегр ша[а, ь"а14, 33)ра:~обьем cer~IeHTчаССГИ'fНi,if cef' ifeHCГOB ffрИ П"МОЩИ f'O'feK< Х1 < Х2 < ' ..
<а = ХаДлину k-ro чаi тичного сеПlента [Xk-1,СИ~IВШIО~Ih,т ,к чтоhkПреf\ссгаВИi\ инсгегралXk -Xk= ь.(k = 1,2, ... ,n)обозначим1.шще с\ м ifbl инсгегралов14.1:1:1)/ f(x) d.T =t14.1:14)f(x)k=lаXk_lприбли,шм КffЖДЫЙ IB интегралов в ПрfШОЙ ЧffСТИ (.134) с ШfМО пью однойиз трех приБЛIпкенных фОРМ\'Л (ПРЯ~НfУГОЛЬНИКОВ, трапеций или параi'ОЛ),Любую из указанных трех формул можно ЗfШИСffТЬ В виде'~Jгде узлы+ t,h k + Н в .f(,)14.
35),k(i = О, 1, ... ,1) i\ыбира i1f'СЯ f'af\, чсг"бы оссга ,'О' 'Нi ,п\fИ~Iел по}'ядок h'k при некото} "м S > 12).Вс'Т'аRЛЯЯ 14.1;'1 i) R (14.134)~1iОЛУ'iИ,i\ ч'Т'''t,и ве, ачлен Hs,rn,kьn/dx =m-l14. 36)hkk-1=0где14. 37)k-1Поссгави\' B"ffP'''' о выборе сгакш'о раЗi,иеНif',' {:1k} сегме ff'a], ffрИKOTOPO~I квадрат погрешности (.137) ДОСТИГff' бы МИНИМУМff при фиксиpOBaHHO~I числе точек разбиенияn,РОВfШНОЙ приБЛIпкенной фОР~Iулефиксированной ф\'нкцииЮfа "расг m fгреПfНОССГИ Н;.т (f) зависи ,'олы<очек р" fбиения, т. е.
является функцией (n определенной в тетраэдре< .Т1 < Х2 < . . .и фикс и-тffю fй Ш fСТfш"вке ВОПРОСff(! 1.135).выбора ПРО\fе\f'" ,'О' 'Нi,' f сг! '-)переменных Х1 Х2, ... , 'n-1,х,Поскольку указанный тет} аэдТ' является открыт, ,й обл fСТЬЮ, то минимум функции Н;,rn"~I. рабiiТУ б.Н. Тихонова ив1 аЙСffРЯНff «О выборе ОПТИМffЛЬНЫХсеток при приближенном вычислении квадратур» (Журнал вычислительной \fa,'e\fa\fa,'e\faфИЗИfiИ, .9,.\'15, 19(i9).=2 В частностИ, для формулы ТРfшеций в2, S 2, taО, t11, qa1/2.=====14. 35) следует полшкить m567fЕНИЕfюо;)ще говоря,Нf' 'Юf f'ига fЪСЯ (оп f'имаЛhНОf Оможе , вооБЩf' ,'О юр " И Нf' сущеСПЮf\аСГh)Cf'r"rfeHcгa,,'lO)KHO,т,аO'fД ,ко, ,JlpKa;~aTЬ,nо'ретн,ос "иR;,m(Лдостигается н,а так;о,м, разЬдR;,(/)дХk= о (k = 1,1оуслон'U,-Рис.ОСТ:ШОВИ~IСЯ более шщробно на случаеt,о14.4~I у Л Ыэсг"м случае в фОР\fуле 14.1:Ш) слеf\\е ПОЛОЖИСГh, qo = q1iв ре'ультате чего формула 14./2,ь/d; =tшнения14.
38),та п е Ц и Й.= 2, rnвО,tr,прини~raет вид36)hk2k-1аУрХXk+l(14.138)( 4.139)и.134),- Xk-1)(k = 1,.139)силуприводятся для ,'тогослуч:ш к видуf(.T;+1) - f(Xk-1) = {(.т,,71-1).(14.140)С\'ществование решения системы \'равнений (14.140) обеспечивается соху анение~I знаК:f второй ПУШИЗВОДНОЙ f//(x) н:! cer~IeHTe [а,Ь], т.
е. сохранеffие\' напраШlеНf;',' ВЫПУ:\ЛОССГИ криrюй упри::;; .т=::;;Ь.'ЗШ,IОПТИМ:fЛЬНОГО ра,биения cer~IeHTa [а, Ь], ОПУ еделяемого уравнеНИЯ~IИ(14.140), обладаfiiСГ слеД\'f\:ЩИМ геомесгричес \И\' СfЮЙС ПЮ\f: сек;ущая, nрош:rJе;r'тr;чк;'U график;аf(x) с rri" "Ц'u.сса.lvШ ;rk+,{;rk}nараллел',н,а к;асатеЛ:rн,ой к; ук;азан,н,о 'АУ гlю:рик;у, nроведен,н,ой 'rере-з\ k -1,его то 'к;у С абс"ЦиссойXk.ЭТО св"йство является прямым следствие~I равенствна рис.= О, 1, ...14.4(ра, СУЖf\еffИЯ ,е14. 40) и иллю§ 7 :л.
8:Д"ка:ать, что у :лы<приб.тппкенного ра:биеНИЯi>paf:e,fi сг :а rfИ{Xk}="kУf\lщлеПЮРЯf,i11/3(k = 0,1,...\'ра :ffeНfr"M(14.140)1{Xk}близко{Х k}, узлы косг; fрШ 'О ,юследш:асгеш ,r,'(14. iка,\71ра:~бие-}. Таким образом, ffрИ бош,-ших 71 вычисление интегр:шаношениями(14.141щтт :бкойговорят, с невя:~кой) порядка .\2. ЭТО О шачает, что при большихние(k,71), Оffредел:"еМf"е ре \урреffСГffЫ\fИ.\If//(ffРИ.\самые, чсг оформуле трапеций с р:! ;биением'" fреf\еЛЯf\, "СЯ peKyppeHCГНf "ми,'-) обеспечивает п' ,грешность, б.тпвкую к миним fЛЬНОЙ.ffаf",сги в ра; ,осге А.Н. Ти "0-нов:!и.
1 айсfРЯН:fОТ~Iеченной В сн,н:! С.566 .ГЛАВА1~,ТЕОРИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЕПРИЛОЖЕНИЯПонятие неявной функции§ 1.атематСf'аКИ\fИf[<еизадача\fИ,ееприло>[<еНИ,f[<огдаffepe\feH":ОДИТСffая'И,с ;'аЛКИfiаТf,СЯ,ШЛ,fющаясяпос ,fbl~,у,...задается lliiсредствомF(u. х. у . ... ) -О.(15.1)СЛУiадачи l'ункт~ией аРГу'ментовfкционального ура шешfЯв этом случае говорят, чтокак Фуню[ия аРГу'ментовзадана неЯ6НО.
Так, например,'ункт~иясматр шаема,f в [;руге х: 2~+ у2--J1 -х2, у, . ..- у2, рас\южет быть НС:ЯfШО заданапосре, [ством функ [иона.!Ьного уравнения+ х 2 + у2F(i ,х, у)- 1(15.2)Естественно . возникает вопрос, при каких ус.ТIOвиях'ункт~ионаш,ное граВ!fение1 однозначно разреf ш\ю OTHocffTe, ю 'И.т. е. однозначно опре, [еляет явную l'ункт~июср(х У... ) иболее ТОНКИ(f вощ ОС, при каких ус ЮВИЯХ.5Та явная функция являетсяu дuффер('нцuруе.млU. Эти ВОПР:iСЫ не являются !!POCTbТMfi .I'ак фУЮ;Цfюналы юе гравне! ше (1 :,.2),Гf;ВОРЯ. определяет в кругеше явн·,Й фуню[ии-V1 -+ у21 Kp:iMe указанной вых 2 - у2, бесюшечно мно!о [l;PY-rfifКЦИ(f.
Ta[;oBbТMfi ,ШШfЮТСЯ фГНКЦЮf U = +J1 - х 2 - у2.а также юбая фуню [ияравная +v1 - х 2 - у2 !ля некоторых !'оче[; (х:,из [;руга х 2 +~ 1раfша,f -J1 - х:! - у2для остальных точек этого кру! а.УСЮfiffЯХ. обс:с!!еЧfшаюпих однозна'ния (15.» относительнострации. Уравнение (15.выяснения Вfшроса обfОЮ разреrШiМОСТ!, opaBHe~обратимся к геометрической иллюопределяет в пространствех. у)ТЕОГ ,:м2pa[l;\ОТМО{ тиCYl1усаО, у), не люка llУЮ вВ(' ъм( м натакун,'lЛЯ кот([l;OC 1'ат(' , 10l('Ж(}l 1а(}ио,iiiе'Цuруетсячто15, )ююрдинатш:н!еСJIИО,IтураССll1атринатн+ х 2 + у2FCu, ,у)ЮСКОС'l'Иl'ОЧliРн()литичсски эт(' о:~н()ч(}ет,Функт~июи- 1 только в указанной окрестности точкиuliЧСВИ,l'нО,()лой О <р«, п 101' l'И,',;псnостъ56')то уравнеШiе(15.2) ОДlюзначно разре1 lИ\Ю относи~тельно u и опре, 1еляет е, lИнственную явнуюфuнкцию u =v1 - х 2 - 1/' при ~О иu= -Vl - х 2 -Еслиже~( 2нау< О.сфереSвзятьточкуА1 1 (О, Х, у), 1ежащуюЮСКОСТ1i Оху (P1C.15.1) то очевидно, lTO чаСТl, сферы S,Рис.
5.1жащая в любои окрестности, неодноз'НЛ'ч/но nроецuруется наnлосr.;ост!,, Оху. Ана,lески по ОЗl1а'lает., lTO есlИ paCC\lal К!+вать функцию F( 'и. х. уточки7111,lИf'то уравнение=и2(15.1':2+ у2 -1 в 1юбой окрестностине ЯВ,lЯется о, щознаЧН'f разре~ОТlЮС11тельно 'и. Обра! иf' 1Ш1iмание на то, что частна(!роиз юдна(! ддFU=2и фУЮЩ1iF(u,1':,•=и2+ х 2 + у2-'Н,(обршщастся'НlJЛ'Ь (JJ\;lu и обращаетCi!НУЛl, в то' lKe7111. Ниже мы установим что для однозначной разрешимостив 01,юсти то' lКИ М(! обпего ФУЮ,Ц1юна,юго uраВl1ени(!(15.1относительнониенул'ЬYCTaHo1f iiuПРИШlипиальнун' роль и!рает необршще-то'Ч,r.;е М(, ·;асrrmоИ nроuзuоднои ~:.ОllУllЮУСЮ1f1lЯ.
при 1,ОТОРЫХ (шная ФУЮ,Ц1lЯ, llредс lа1f"lЯ~ющая собой единственное решение уравнениянеnреръu/'Нои(15.1) являетсяд!, ,Iiферен!! ируе.моИ.В ДCLш,не(lтпемы будем обозна'lalЪ пространСТlю llере\lешх. у .... ) символом R а ПРСlстранство переменных (т, у, . .. )с 1МВОЛО ,1 R'.
РаД1i сокращеllИ(l записи и для удобства reO\leTp1iческой ил, юстра11ИИ будем рассматривать две переменные х, у.2.Теорема о сущеСТТ4JтаниидиФ;I)еренцируемостинеявной функции и некоторые ее применения1. TeopeTfTff о сущеt(ТВОВffНИИ и дифференцируеТfТОСТИнеявноii функции.ТеоремавHer.;omilЮИ15.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
