В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 92
Текст из файла (страница 92)
си.МОЙ тп':,ке МО ). Тог: la для любой то':,ки М из= 1(J\!I) =Пусть...указшн'Ной E-окрест'Ности МО справедлива следующая формула:.f(Mo)+~1..f(M)dul .. +А2.},;[!I .}Л!+ ... +1d.n и I+ /'п/щр),Ма(14.58)в которой "lерез р обоз'На"lе'Но расстоя'Ние Р(Мо , М), а символо(рn) обоз'Ни.':.ш'т беско'Не'/!!! малую при р -+(и!ш при М -+ Мо )ф!j'НК'!l,ию более высокого порядка .малости, че.М рn.ФОРМУlа 14.":8) llазывается Фруо й Т й лр а (сцентром н TO!fKe Мо )остато!шыы Ч.fеном н фор ы е П е а н о.3ае ч а н и е.(1 .58) ffMeeTn+L~kВ б:;Н, ;/lробной заниси форт fула Т)'Й.!! ;раl;ИД:оDХ -Х )-дХl+ ... +оX;!!.-XТn)-дх .f(~1' ~2""о(рn))n;;тХ1Sаметиы, что н fранойст;л)'ниkХтmн)'р;"~т)+ о(рn).14.59)!faCT!! (14.59) iTOffT суыыа мно! о!шена;лныхХ1,Х2"",Х тИ остаточногочл)'на.n = 1 сле.'.'/ет треБОllап,.
'lтобыбыла только задана в Е-окрестности точкиточке Ма .u = f(xи,.12, . . . •. !иффереш шр; емаХт)в самой[нихОбозна fИЫгочленом,(М) разно; ть ые} <ДУе,ПОЛОi;(М)Уf<азанныы мно-ffM.f(M{,)nY1)~+д"'1k=l( 4,60)Теор, :la 14.1'",*юказа 1". если М1.1 уста110ВИМ, что приВЫПОЛl1е 1ИИ ус.f· 1 ВИЙ этой T,·i1peM1.1 R n + 1 ()I,;I) =Доказателн:тву теоре: 11.1 14.15* предпош,двеfе: 1I1bl.Ле.м.мtl.
1. Если функчи,я .f()I,;I) = .f(X1, :[;2,... Х т ) 17. рuздиффереЮl,ируема в то'Ч,кето как са.ма(ХО Х2 ... Х"функчи,я R n + 1 (М), оnред11л,я1'ыа,я l'ш;еlf 1 тв;'р (14.60), так и в;·'ее частные nроизводные по любым nеремен'Ны.м Х ,Х2,··· ,Х rn110 nОl',ядкаД о17. включительно обl'Шf 1 (аютс,я в нуль в точке Мо .а з а т еь с тО.ПРff 17. -1ФУНКЦff(1 .60)ПРИ11има1 т ви;lи равенства)R2()1,;10проверяются'=иН,(О, -д- Мо;·1паР11O.х")==при всех ~...,т)Дш ПJоведе 1ИЯ И1ЩУКЦИИ предпоlOЖИМ, что лемма ;праведлива для 11екоторог" 110: ;'ра 17. ~ 1, и дока)ю :1, что в таком слуае она СffраfеДЛИRа и для номера 17.1.Пуст;. ф; 11Кff,ИЯRn+;;(M) =лм)n+1-L~[(Хl.f(M)-+ 1)+р;сз диффере11 fИРУ; :la в точке.f(Mo) -оХ(17.и),,---ИХl+ ...
+;=1Равенств· 1 R n +2 ()I,;10 ) =о_] kд;С тпроверяется элеме11таРIli 1но Y'feCTb, ч [о каждаff f<РУfлая скобf<а (Xiщается в()I,;10 ).!fi)R(1в точке Мо ).Нам остает;я доказать, что ДЛff л "богод f.i n +2 ( л~/1)н;е'facTHbIe. -1; 2, ...jЮffЗRодные э fОЙ(14.61)юстаТ·1Ч-обjа,т самаl(JУНКЦffDXiдоlOрfЩ <а 17. RКЛ; fl!fЛЯ этог;вости1ВffTe fЬHO обращают; я R нульТОЧf<еа,fa шог; 1пр; ;lПОЛО)ЮЛИЯсправе fЛИдля н· 1мера 17. i/ 1стаТОЧIli 1 дока ;ftT; •• чт; 1 функ f!.ИЯСИ,fУ сд;ЪП и52;)IИФФЕl'ЕНlд~,:+, (М) опредешеТСl ранештноы типа (14601 а то'шее рад!(М) - и:;;, (Мо ) -u + ... + (х'т-х' т1\UJ'ml(МО ).(14.fi2)kТакllce переыенные xi (i = 1,2, ...
,т ра ШОl ранны иВХО;lЯТ в выр;йкспи;' lЛЯ R n +2 (M) симметричш;, т;; ;1Остат;;ч 10ДОl,азать раllенспю (1 .62) ДШ i - 1 . е. ДОl,азать ранештнои!-д (Мli )Хl14.63)Изт; ;чнО(14.61) О'lеllИДНО, 'lTO ДШl ДОl,азате.lытна (1 .(3) достаБСДИТ1'СЯ, чторонанньг: Х2, ХзlЛЯ к;йк ЮГ;; нО; ; 'ра...k =Так как при;шффсрсш ;:ир' ;ванииХ2, ХЗ, . .. 'Х!!' фиксированы то ве.lИЧИПУоDподXlо= (Х2- Х2)-а,-,2диффереНЦИРОllаШl...,17,+при'Х!!'-перемендХ т ) ах, ..10 Х1 можно рассыатрина; ь как постоfШНУЮ. К ЭТОЫУlедует добаllИТЪ.
'lTO поско. lЬKY сиынолы аХl'аа... ,ахо!ахrnlОЛЬЗУЮТ; Я ДЛfl обраЗОllаШlНЫХ Фуш,цииНИ К Спри ;lИффСРСП ;:ир' ;ва lии поноpaCCMaTpllllaTb'lac ;НЫХ ПрОllЗ юдР Оа н н оTO'lKe МОука ;;шпые симв' ;lbl также1ОСТOfшные llеlИЧИНЫ.В силу сказанпого ДШ доказатеlЫ.тва равепствастаточш;ddXl[,о{Х1- Хтож-(14.64) 110-l.ИТLСЯ В справ; ;шивости рав; пствао-Х(14.65:~; ) д~; + D][иффереНЦf!РУ~f фуню;ОЛOi <ну'"учитыная[!м Юо, мы ПОо fУЧf!М ранештноDюf:af:отме [енну;{] ныше незаl,ИСИМОСТЬ(7:[;1от Х,Индую(1за-в;'ршеll f1Лемма1 до :азанао,т[С.Аi.АШН( М)2.Х2 ...
, Х m )фУIJ1И~И./l, У;)06,и'т60РЛ!; !Uu..я1) R(M) nnРUU3UОЛ'Ь'НЛ./lтре(;,::а'Ни./lМ:рuз дифф:р: 'Нчируемuото'Ч'Х:еооMO(Xl, Х2,о. .. ,Х т )'2) сама фУ'Н'Х:ЧИ./l П( /\1 и все ее 'Частные nроизвод'Ные по любым '113 nереме'н'ныlx Xl, Х2, . .. Х т до nорлд'Х:а 17, в'Х:лн: iшnель'Нообращаютс./l в 'Нуль в:!'Х:аза'Н'НO'Ll то'Ч,'Х:е JYJ{1. Тогда дл./l Фу'Н'Х:чиисnра:едли:а оче'Н'Х:uR(M)R(M) =z:le (У'Х:6 п йо(р:'),Ofi0311 :о'и''Но р:u;т './l'Ние /(14.66)ife:JfCJy mO'i'X:u ыи(1\110, Jl,;1)иМ.оказателlfыIеe :аетf!ЗПриствутв: РЖ:j: ни:' лемм;"=17,руемо;т f 1)у; оЮ,fШП(JI,;1) нточю' Мо , КОТ' :рос И; :':'Т вид:R(JI,;f)дН (JI,;Io)R(JI,;Io)о+ о(р).дх:k=l[)R- О -(JI,;Iо )У ff!тьша~f чтомыд;rkЮЛУ'ff!М что П(JI,;1)-О д ш 1,сех1,2, ... , т,kо(р),Дш прове;iеllИЯ И11ДУЮfИИ ПР:'ДПfJ н:жим, чтосправедпша дш 11екоторого 110;,fepa n ~ 1, и докажем, что в такомслучаесправеолива и ;шя110;:'ра 17,Пусть фуш:ция П(уДонлеТНОР~fет днум требонаниям леммы 2 дЯе рапТогда.
: :чеВИДНо,fю(:ая част-+ .llаяПрОИоfВоднаяuэтоиФ 'llКЦИИпсрвог::поря, 'I"a дП (М) (k -_0000"000'0nх:= 1,2, ... ,т) БУ;iет Дi..:вЛСТВОРЯТЬ дв\м тр:'(юваниям лемм;"Д л я н о м еа 17, а ютому (Н СИfУ сделанного HaMf! fредположеllИЯсправе! лив' :сти лемм;" 2ш 110; :'ра n) будет справедпша оце11ка(14.66* )ТСП:'рЬ, что ПОСКОЛ;,КУ17,~•то17,+~и функцияП(JI,;1) уДонлетноршощая днум требонаНИЯМfеммы 2 ДШf номера17,,во ВСяком случа:' : !Дин раз !jиффереll fИРУ:';fа В fжрестш;-1) См. соотношение ( 4.16) из п. 2 § 4 этой главы.531;ти ТО';Юf МОПоэтоыу ДЛii этоji ФУШ<ЦИif i;ыiiлненыы УiЛOi;ИЯО. (Оiласно УI<азанной теореме,lЛя люСюй точки М из достаТОЧIli' ,,;алой Е-аКР; ст;юсти точкина 01 резке Мрнайдет; я то 1ка N TaKaii 'lTO спраi;еДЛ1lRафор:;улатеоремыдля ноыера1 15дЛП(Мо ) + ~ 2.)Xk- оП(М)k=l'sаметиы те 1ерь.
чтоками )1.;10 и )1.;1, ар(,)1.;10)юсжоль <у точ <аNлежит ыеj;jДУ точ-расстояпи;' ;'Ж l.У точк ,,;и )l.;1p и )111, тоютому 1fЗ (1 .66*) нытекает. что~ р-)посл; ЛIЮЮюлуо(рn).оц; пкуВи14.67)учитывая,что11fM 'lTOR(M) =о(р;')k=lmоТак какLХ;'~i)2Xi-р, то ОКОН'lательно юлу-i=l_Ю1ИЯДо к аз ао(рn:авершепа. Л:еЮЫОЩЫРiеыыь с1иRО:. ;:. ;аТ е оДока:апа.е ы ылегко1 .15*РОRОД1fТCii2.В са: :,м д:'н'. Вj,]ше у)ю' :,т: :'чалос!', чтоlЛЯ д',ка:атеш,;тна теореыы 14.15* достато'шо у;таНOi;lЛЪ. 'lTORЫПО. шешlИусловий,;той теор: :lLIШ фУIIЮlИИ (14.60) спр ше,lЛиваlеllкаR n+1 (М) =СИiУiеыыы;аыа фуш<ция (1i;ce ее 'laCTHbIe ЩЮllЗ:лпым Хl, Х2, ... ,Х тПОРЯ.lха n ВК.iЮобращают;я R нуъ R TO'lKe )1.;10' Но тогда RllЛУiеы-в:дпые ПiJiЮ(,'"lfTe.IbHOо(рn).1п: р:"м]] 2ш фУIIЮlИИ 14.60) справедшва оцепкаТеорема 14.15* доказапа.§ 6.ЛОЛilЛЬНЫЙ ЭЛ41ТР4'ТVТУТVТ функцииR n +1()I.;I)m).П4'ременных1.
1lонитие экстремумаНеобходимые услоиия локальноз.'Офуш<п ия- .t Хlm неР4'ТVТ4'ННЛИ.1Jкс'з.ремума. Пуст],Х2 ... ,Х m ) Оl ределе-)l.;10 (Xl,;;;2,... ;;;т) пр' ,страllm lеременных u -.tв llею)т, ,рой окрестпости точкиства Ет.IНl IХГОRОРИ IЪ. 'НО фУ'Н iчия.t (М)'Ь 'НЫ U ,м ас и ,м у ,М ( О аъ,','ли f u.Uд,:тг/.f,Я rnu. '·u.Я -о'х;ресn; ,,,'сп·;, mл"!'х:оторо/! а'Нд'!., f i'{},i'Аl о)i..Я' f NСЯ f f{jибо ,i.'/Jсреди 6' ;':[;f'Начеffи'; .t(,;'! фу'Н:х:v,Ш!!!3!fJeM f 06opumb. что- .t(M)имеет 6 точ'Ке МОЛ о 'к а Л ъ 'нU Э 'к С т р е ,м,М.,';лиим; ;'т 6 эт· '!!.
точ'Ке 'i,ибо ло'К !.ЛЪ'Н'blu Mun, имум, либоло'КаЛЪНt,!U ,ми'Ни,л;l'!fМ.УстаllОВИМфУШfЦИИ и -п!'! !бходимы!' условия!! !каЛЫI!!ГО экстр! ;;у;,;аоб.lадающеН R данной ТОЧifе М{! ча! ТНЫ-.tми пр!!и!в! !;;пыми первог!! порядка по вс!Д!!кажем след\ющ!'"и;.;у т в е р ж д еперемеllиесли фу'Н'Кчия.t(M) = .t(X1, Х2, ... ,Х т ) оfiлu.
!ает 6 то'!'Ке 1\I10(~1' ~'2, .... .. ~т) част'Н'Ы,ми nроизвод'Н!'f,ми первого nоряд'Ка по всем nеj'!'MeHH'blM Х1 Х2 ... Х т и им!'!'т 6 этоu то"!'К!: ло'Кu.лъ'Н'Ыu Э'Кf=mре,мум, то все частные nроизвод'Н'Ые первого nоряд'Ка обраща-1\11!)fi!тся 6 т· ,"!'КеНи.;.',.[.1Д(Мо )=6 'Нулъ, т.диО, ".--(Мо )ИХ2к а з а т е лр шеiiства14,68).аргу;,;ептыХ2Хз=;npU6! ,!ли6'bl PU6!:Hcm;a:О,... ,ди=-д. (Мо )ХтО.(14.68)L с Т В о. УстаllОВИМ справе.fДИВ' ;сть первог;;Фиксируем у фУПКi!ИИ и =...Хт ,положивихpaBifLХ2.t;;иоTO'iIO!.е.ЮЛQJЕХ2Х2,оХз-о...Хт=Х m .
ПРИ Э10М мы ЮЛУ 11!М ФУНКЦ1!и =.!,Х2, ...... ~т) О 1110Й пер;" ;'lIп,;й Х1. llроизво f!!ая этой фу iК!1ИИ ;дщим коорДi!Натам-... ,соответf'ТВУЮ-Хзоооной::;1еременно1R точ<е ХХ;ОН11адает с '1аСТН01!jЮИЗRОДН01!(МО )·Так кш: ф, iiКЦИЯ m переме iiii,iX и =.t(M) и; ;';'т!!;каш пый1\110 то у fазаннаяодноji 1ejeMeH.t(x, ~2,'" ,~т) и; ;еетюкаЛLНОЙ экстремум в точкеИ п;; ;т; ;м' В сил\ реfУЛLтат!!в п. 2 § 7 ГЛ, 8) пр!!и ;в;дпаяЭКС1 ремум R ТОЧifеiЮЙ ио:[;1= Х1,·;Т!!Й фУiiК!1ИИ ;дп!!й п;'р;"о;'lIп!!й В Т!!ЧЮ' Х1 = Х1, совп ;;;ающаяс чаСТllОЙ ПР!!И ..fВi.дш;Й :~ (МО ), равпаIЮ.Перво;' равеllСТВО14.68) доказа ю. Оста.рав; пствадоказьшают; я анаЛОf'ИЧНО.П!!дчеРКIli"чт;; р шеllства (14.68) (т. е, ;;бращ; пи;' в llУЪ Вданноji ТОЧifечаf'ТНЬГ: 1РОИЗRОДНЫХ пеРRОlО ЮРfIДifа)(14.68)являются ЛИн!;'1ИМ; fI;И и пе являютсявиями!! ;каЛЫI' ;го экстр; ;;у;,;а фупкции и;;; ;стат!!чш ,fI.;И= .t(M)в точкеус1\110.533ъrИЖСIIК\lУ еНаПРllыеРе у фунКlдu,роизнодныедну>:дu,и1ejeMeHHbIXникакого "кстрем\ма в этой точкенеобе ча, тныеTO'lKe М{j(О, О), но(О,)) указа шая функцияибо эта фУНКЦ1lху ранна нулю н ,abloji то 111leО), агоещо мал,,]) (j окрестностиТОЧ1llИ 1Р Ш11-11MeeTeMo(fмаст как ПОЛО)К1'1ТСе!ыrыс,!O'lКll,так и отритщтслыrыс значсния.11l0ТОРЬГ: обращают,я н нульпервого ПОрЯе1ка фушсщи им:[;1/'(J,обра1ца "те! н нульн о з м он о г оэс= j(M),liceастные ЩЮ1lЗ юд-называются т о ч кр е ы у ы аэтой фУШllЦИИ.В кюк,юй точке в" ,можн, ,гожстрем\ ма у функции и =j (J\!I)может быть ЛО1llаеlЬНЫЙ экCl реыуы, одна1llО наеlичие этого эютр,11YI.1aМОжно установит).шшвий локаеlЫ1ОГО эк',.с помощ).ю ,н ,статочных усвыяснению которых будет по;вяTpel.1YI1a,щ, н слеlУЮ1ЦИЙ п' нкт.Из доказанного llыIеe У1 liерждения нытекает и др,\таilсловий локаеlЫ1ОГ, ,е,кстрем\ ма:если функчи,я и =и,меетвв то'Ч,ке Мрj(M)этой тО':,ке локальнъиt!J,иал dullV[,экстре.еЦ'У,м,этO'LlJ\!Ioственно относительноито дифференравен Н!jЛЮ то:жде-независи,мЪlХ nере,мен-Hыx dX1, dX2, ...
,dx m .,аыом делеdul2\il0 =1Осжоль llУддu (Мо ) dX1 + дди (Мо ) dx;;Х е'XlТ' , Ие l равенств14.68)вытека, т, что при люБыT dX1,праведливо раве11,ТВОflu-&12,... d) mО.2. ДОС'одто'оные условия локального экстремума. ПриФО1iМУЛИРOli1llе достаТО'lНЫХ У;ЛOliИЙ ЛО1llаЛЬНОlО ЭКСПiемумафунк~щи m Ш'р" ''lIных и = J(J\!I) важную роЛi, БУ.lет играт),liTOpoji дифференциал этой фушщии н об, еlедуемой TO'lKe Мо .В п. 2 §этой глав),) м),) убедились в TOl.l, ЧТО для случая, когда щнуыенты х1ИИ иХ2,...= j(X1, J'2,'"х rn дна раза Д1lффереНЦ1lфунк-являются либ" не 'lШИСИМ) j[ееИ пере-,ме 1Ш,1I И.
тибошнейными фУ11КЦИЮ.и HeKOTOj),IX независш l),IXпереме ш),)х, второй ,иффеР"шщал этой фУНК1lИИ в да шой точке110110 1редс fаliляет собоН 1шадрати'шу"' форыу относительlиффере11 1иаl"В арг\ме 1ТОВ dX1,dx;; ... ,dx m слееlУЮЩ1'Гl'liида:rnМО-rn2:= 2:=aik(14.69)i=l '=114.70)fНl,fXи;f'е<>риЧИТ:iтелякр>'>априв, ,ДИМниfратичная ф;>рыа »тн, ,сительно переменныхm,11т)=L L Щk l1 i /1 ki=называется(о тп о л о ж и т е л ь н оЦ а т е лоолюбых значенийЛf:', эта форма [рин [маетцательные)н н о Й,Дk(14.71)1о п р е Д е л е н н о йл е но),С'С' fИ для11т, одновременно не равных нуЮf о по.'юж пе,ШяыеЮfО ОТ1значения.Квадратичная формалm(14.71называется з н а к о о п р е Д еесли она являеТС>f .'fИУю пй'юж пе. [fЯО ОП] ,еде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
