В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Его использование дш практически:.: потре[шостей установленияс:,:одш\юстиили расходимостите:.:или иных конкретныхТЕО("РЯЛС)l;,з((р,ш (ЛО, пшряж( но С ТрiЩС)( тямиПСН [О:"Н,lЛНчис" 1<р П(РИ~l Коши le снимает 1Юllроса об ""ста1lt,вле1ЛРУ1ИХЩJaКТИЧ( ски CJti>фектпвных ПРП:~Н{lЮШ сходимс)(ти п р,н;ходимостнРЯЛС)l;3 1 легкоIЬ теореыып:~влечь дваiЛементарньг<, но ва:ж:ныхСlещ ТВНЯС.ледС}П6"nе2:=.
Е,ли ряд00rn,{,iШ!Тп!ik !;тодит,я, iЛО ! !'еле 3!,оателъ/,=1=/'=12+1n-мПрпнято называть велпчпнуО е т а т 'к О ,м,ряда002:=Uk' Чтобы доказать следствие1kдля любого Е> О найдется ноыер NПОСIелнее неРШiеНСТ1Юства( 3,10)ieMbI 3,13.достаточно доказать, чтотакой, что IT n ~ прп n ~lеlюсреДСТ1iенно 1i1лекает из неРШiенсправедливого ДШ л!,бого рС.лtiдсm6'nе- 1,2,3, ' "и пз тео-'Необход'n.мое УСЛО6'nе схт)'n.мост'n р.я-200да). Для С:Еоди,м,оеmи ряда2:=Uk 'J-tеоб:rодu,мд 'Ч.mобы nоеледО6аk=l,!!.з,этого ряда...малml.Достаточно доказать, что дш данного с iодящегося шда и.шоб010 Еюмер N o та1<0 1, '1ТО при n ~ N o. Пусть даНОlЮ! ,ое ЕО.
CorlacHo теореые 13. найлется ноыер N такой, чтс, при nN п дш любого нат'раль>>ного р вьшо.шяется неравенствоlepaBe1lc [воэто(13.IUn+11<Еn~N!.Если теперь ПОЛО/!!IПЪ номеln~No вО). В частности. при р1имеет вндСПlУ неравенства13.11)iaBHbIbl,(13.топрпЕ, что и тре-бi валось локазать.По ЩiУГОЫУ Сlедствпеди,м,ости ряда2:=iмушровать так: для С:ЕО-2 мо/!!нощ 'J-tеоб:rодu,мд 'Ч.mобыразом,приИССlедованииlimщО. Такпы об-k-+ook=lнаС:<ОДШ\IОСТЬланногс,ряласлелуетпрежде всего пос\ютре11".
стреМИТСl ли к НУlЮ k'!Лен ЭТО1Оряда при k ---+ ею. Ес ш это не так, то ряд заведоыо расходится.Так, например, ряд002""'"k~ 512 300kk=l431ПОlр,н;хо ЩТ( ~1, ибо1iш uk -liш.,k-+", Qk-k~ooА115,',+ . ',UUkl!JГИЧНО Р<1СХО 1HM!)(T1, 'же 1! "'lеШЮ1вытекает [В того, что 1iшk-+oo#0выше ря 1.<1L (l)k1(- )!; не существует.ПО;l'lеркнем, ОД11ако, что стремление к НУ1Ю k-ro 'шена р~1даЩ!ИХ является ЛUf{IЪ 'неабгадu.м,ым" 'На 'Не aacmama'iHым,'у' ,аои, М с;тадима,rnн ряда.качестве Щ !ИмеlJa.Jассыотрпы ряд00L-=l+-+-+".k23(13.12)1k·-УТОТ РЯ;l с,бычш, называют гар', ,'nu/ч,СС1иtМ р.;!,)ин.
Очевил.но,'lTOгаР:1ОНИ'lеСКО1 о рял.а выполненосходимости,·б 1lШи)QО. Д• ока ,<ем,1однако, что этот рядход пся. Воспол ,зуемся критерне:' l\ошн.ло/rJrпельного ЧИС1ачто приnN1еобхо:щмое .\С1Овне[.окажем,по'lTO'Не су Jl;ecrn6yern rnar.;a!'a 'На.м,ера1/2Jac-N,.1ДЯ любi го натура. lЬHOГO рп+рL.!.k=,,+lв са:.1ОМ. 1.еш ,если взять12=РLk=nчто вk1<( 3.13)n, то дл.;! (жа,·;, угад1l" fюл ;шога n212Lkсуммеn:) -n2n12A=n+1с1a1aeM ;lXчто1аимс:н ;ШiЧ'из этпх Gтrагаемых равно /2n.)Итarс неравенство (13.13) оказывается невыполненныы.
каким б1;! большнM1;1 ни!яд 13. 2) расходится.3, Два свойства, СВЯЗ,Н1Омер1bleN.В силу1ipпеРИ~l l\ОШНсо СХОДllМОСТЫО р;.щда, 10.оmбрасыаюtеe r.;aHe'iHa;a 'iисла 'iле'На6 ряда (или даба6леюtе r.;ряду r.;аnС'i1l0га 'i!{.слапС ОЛ'Шi' т 1lU cxaauHa,rm; uл{{ рас:Еадн.м,осmъ .'rnа!'а ряда.Чтобы у!)едиться в этом, достаточно заыетить, что втате указа1JезуlЬ1010 отбрасываНИ~l (ИЛИ1оба1шеНИ~1) ЧЛС:НО1J, все частпчные суммы этого!Яда; начиная снекоторого ноыера, изменятся на одну п ту :ж:е постоянную ве. шчпну.TEOl"ЕСЛi!!2О'П/,J/i!ii'l?!.i!3,'"от'/},kUYJUf!!{iC ПШ' !!"i!а,я,-сik,00L'ПШ,j!""""тnогдi['когдi[ сгоди!!"-k=00с,я р,ядLuk1FG! аЬаз! ,а'!n~e част!!'" ible сумм!,! расс"дав саатветственна черези Sn, та ачевидна, что.kпасш ли( iapaBei!CTBa выте!<ает, что..S~ с!iае!iЫХ p!!~- CSn .
Изii!.eCT iyeT таiда и12--+00то!ька тагда. кагдаCYii!.eCTByeTи"иliш12--+"'S,!..Ряды с положительными членами§1. Необходимое и достаточноеда с положительными членаг!·!и.сматрим )Яды. все 'члены Koтopыгустановившейся традиции, ыы будеыусловие сходимости ряВ эта" i!араграфе Mi,! pac~неотрu'цателъны. С!едуяназывать такие ряды р,яда~мн с nоло:JIcuтелъным:uu 'Членамu (хатя правильнее была [iы упатреБЛ!Пi, тер"«р!щы с неаiрицатеJЬi !ыми члеi !ами» ).
Что. жекасается рядав, все члены катары!! страга ба"!ы !е нуля. та такие;"удеы Ha:~ЫBaTЬ р,ядамu со строго nоло:JIcшnелъным:uu!яды С па" юж:ите" !ьньвш ч"!енами саыи па!!!тс!!i!р!!"юже!!!ях.ce[ie частата!а, их прелварите"!Ьнаевстреча~НЗ"iе!неа[iлегчит изучение рядав с членами лю[iага знака. В да!Ьней~ше:"i. чтабi,! паЛ'iеркнуть, 'iTa ре'!ндет а ряле с палаЖi ,iеш,ньвш членюш. мы часта будем абазначать члены такага )Ядасимвоюм Pk вмест!, 'ltk·.~Лы ыа:ж:еы сразуатыетить аснавнае характеристическаесваi!]СТiЮ р!ща с iюлажительИ(,!'iлена:": ТЮ! ",р"v~,"""нч'Частu'Чн'ы:r С'ij,лМi такого р,яда ,явл,яетс,я неубыва!!'ще'Й.Эта паЗiюл!!ет!ам"'тверждеi не.Теорема2. Дл.:!С ПО !!';)lситслJ,i!.ы ',"'Члена,лiU с:rодuлс.я. необходu,лiO U достато'Чно.
'Чтобы nоследо!!!'rnСЛJ,i!.о,rnJ, 'Час пи J'i!ыxэrnогобы"л!' О 'lЮ1l!f,''lС1lU,Н е ах а Д и м а с т ь следует из тага, что. всякая СJадяща!!с!!iемыiЮG!едавате. !Ьнаст,ЯВ.)Яетс!! аграНИ'iеннаi!]Jвтea~3.8),а с т а т а ч нс т ьвытекает из таго, что ш 'сле"!.аватель~насть частичны!! сумм не убывает и, стала быть, для СJадш\юстиэтаi!] паслелаiiатеЛi,iЮСТН дастата' !На. Чi абi,! ана бi,!ла аграНИ'iена (в силу теареыы2.3.Признаки срав!иени!!В эта'Mi,! устанаi!ИМ р!!дпризнакав, пазво)Яющих сделать заключение а схадимасти (илиiаСJадш\юстиiрассмат] !Иваемага ряда nосредство,лi сравнеюшг2433'lEHAMll1.lbI3./'=1тель1-tым:uu 'Чле1-tа.лiU?U~P!!!!'UC!iП !сть, далее, для всеУ 1-tо.лiеровkсnравед{!()( 3,14)за собой !хо )п !,!ос пЬ ряда2:={k ОЛС'ЧСii!расходu.л!О! т!!k=l2:= p~,рядаk=lД а к а з а т е00Pk и;rai!ь с т в а. Об! значиы n-е частичные суммы ря-002:= P~ caaTi!eTC [ве;k=(1::.14)чает,{S;Jза !iЮ!iаем,что.10 через Sn И S~.
Из Hepa!!eHCTi!a!iTa Sn ~ S~. Пасле;rнее Hepai!eHCTi!O аЗiiааграниченнастьиаСiедавате!Ьнастичастичных суыывлечет за сС!бай j!граниченнасть ИС!Сiедавате!ЬнС!сти частичны!! суыы {Нn} И; наабарат; неаграниченнастъ иаследавательнасти !iастi1чi!ыIx с{Sn} влечет за сабай iearpa!насть иаследавательнасти частичны!! суыы {H~}.силу теареMi;! 13.атеаремае13.3даi!азана.а н и е1.В .·сюв!!бавать, чта[)ы неравенстваTeape!ibI 13.::маЖiЮ тре-была выиошена не Д!Я всехнС!ыерав k, а ли! !Ь j!·а'ЧUi!а!iпСJ>;отОРог!! jfOMCPU k.самаы деiе,в силу и.
3 § ,атбрасывание канечнага числа членав не влияет( 3.14)на схаДн'" асть Рiща.а м еа1::.::еост! пСiЛС.I! с/!раОС )лщзой,еслu в условuu!той mеоре.лiы за.лiе1-tumь неравенство13. 4)пср! Ш'i!С!!! ООМ:( 3.15);дс С-силу и.!юбuя !!!!ЛО.!Н !(,ii!СЛЫl!!'3 § 1,!!!!Cii!O !!!.1l! Я. В сама:' деле; вваирас а схал!!" 'астн ряi.a2:=э !i!Ивалентеi/,=100ваирасу а схадимасти!Яда2:=cp~).!И этам, канечна, ыа:ж:1на тре[)аватъ, чтабы неравенства ( 3.15) была выиалнена, лишьначиная снекатарага дастатачна ба.iЫ юга наыераkсос!J.M·/k'f.ленря!! ГО гтnро,';'k=liiоне'ч,ныii пределхLто CJ;oJUAtQcmb рядаоле {ет за собоu сходимость рядаk=lос!Pk; ра.с;о !U.М,ОС'П!;Lряд!!т=1вЛi'/,('i Пpi,'собоu ра.с;оаu.м,ос'П;'k=lос!р.яrJаLkp~.1Д О К а3а т е л ь с т в о.Так как liш Р:.
= L, то, поопределению предела, для некоторого стакой, ЧТО llр;; kN?LСтало быть, приk? N>справедливо неравенство+ос!.4.Р;.NL+c.ПосшдНti ;СР;;15С;i;Дi;С;;СР"15С;L с. В СIIlу,аJ\1еЧi;ЯИЯ 2 к теор, м; 1;\.3Теорема 1ii---+OC!О найдется номерLПустьpi, < (L(13.1 v;)c)p~.=рис;,ДСТВИС докаЗi;ЯО.ос!LPk UP~ -доа ряда со строгополо нпt'П iл!;,!!.,;t.. МU 'f.лен J.MU. Пуст,!;, !)алее, для всех '!!О.меровkсnраuедлш о нераuенстооPk+1t«Pk;- 1 •(13.J6)Р"ос!Тогда CJ;oJUAtQcmb рядаLP~ илечет за собо/; CJ;oJUAtQcmb рядаk=осLос!Pk; расходимость рядаLPk илечет за собой paCJ;oJUAtQcmbk=рядаLp~.k=lД О К а з а т е л ь с т в о.k = 1 2, ... ,n - 1,ДС n -Запишем неравенстволюбо/;''';'''р. Будем(13.16);;СТЬI/~"'".длягlOЛО,:llТЕIЫ1.lbI11{ ,ВСС наш,с 'ННЫСИЛИPi' ~Посколькуш,i ,С.
,Ci' Ю ра13ею '1'13' ВСР,,peд~с'Га13л"ег собо!·:; nОЛО.Ж im,еЛЫ-l./jjП 'iiiii"iТiОЯ'Н.· {<Ц'lO, 'jje '{j6'!!.С'!!Щ:IJ'IOни.мера. 'п, то,l:ИЛУ ~аЫl:ilCLНИ}l L кTCOPCblCL 13.1TCOPl:bll:ДОЮJ.З!Ш!..i..3а м е ч а н и е3.В !'СЛОВИИ теореJ\IЫможно Tpe~13.4ToiiLТ нсра13СН!'1'130 (13.б,,tjlO 13ЬШ{'номеров k, а лишь 'Н.а"нmая с 'jjenon орого 'j!o({;;НИi KO;;CijО чи{11'рВ,'Хнс 13ЛИ!,С',НС дШ всех(ибо отбрасы~на СХОД""1'"ряда).Обе доказанные в настоящем пункте теоремы называют те!фиведем примеры применения признаков сравнения.1.Иссш дусм ВОЩ}i ,;СХОДИМ, i{ти ряда00L з:ь kд'ЬО.k=lЕсли Ь1,ТО k~Ч'lС;р ;П'ма, РИl!!!,'мог{, ряда,с''1'РС;,;ИТl Я Кнулю при k --+ 00. Стало быть, нарушено необ шдимое условие!ХОДИlЮСТИ ряда и ряд раСJ;одuтся. Если Жi Ь1, ТО, ЮСКОЛЬКУдля любого номерасправедливо неравенство13 + bkи поскольку ряд00L1kk 1Ь1<bkсходится, теорема сравнения13.3позво~ляет утверждать сходимость рассматриваемого ряда.И{ilero11 ДУСi'ряда:,рос О {ХОДИ ЮСТИ Д Ш люб,!! о а1слсдую~00L1...
+ k'"1k ", =Этот ряд часто называютПосколькури а ~ 1 ДЛ!' люб,,; о(13. 7)гпр.мо !U'ч,;СnU.il' ряr!о.м.'iiщ'ра k'i!!13iДЛИl!ii 'CI)!J.~венство~и поскольк!' гармоническии рядсравнениядЛЯ13.3аk1расходится),то теоремаk=lпозволяет! тверждать расходимость ряда1.1) РаСХОДИI\lОСТЬ гармонического ряда установлена в п. 2 §(13.1 Т;РЯ,lOВ[И,H t , t aзнака сходимости рядовбtс положительнымии Коши ПришаЮIи Kll iчленами111'H01311 iнии рассматриваемого ря (Д с ря юм, составленным из,рог! ссс ш,а·,с,1'0СХ; i,ШШИ,С,\Т[ементоврядо·'... ,(13.
J8)или с расходЯI [имся рядомос!2:1=1(13.J9)k=Теоре.мй 13.5 (ПРUЗ1-/,аn Дшш.мбера)номероucnp(J61k,').1. Если IjЛЯ 6сеlили по 'Х:райне/i Atepe 'Н,ш'ш'Нля с не'Х:оторого HOAtepaIjли60'!!ep(J61k,'!!сm60PHl :;::::1 2)q( PHlPk(13.20)Pkос!то ряд ~Pk Сl;одшпся (раСl;одится).k=П. Если СУЩiСТП6Уi'!Р Прl Ijелk-+OC!Pk+lPkL,(13.21)ос'IТiO pt.a ~kPk СIОijШi СЯ при<и Р(JСlодиmся при>1'.,), II оiiLПназ'.1iZ"ЮТ призна'Х:ом ДалаАtбера (J nj,е~IjеЛi,НО'Й фор,ме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
