В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 78
Текст из файла (страница 78)
'i'pako(13.45)и(13.46'.14)на-(13.46 iа.ШiЛУ П1I\! НСРiШi'НСТВО1Срап iПТИi' ТТi рапеП i тптоспр iШ''n:ЛiШ'' ТТi рапеП i тп"g(l/k)~~qСОШiСТiШiЯЯпи,n:е(13.44)k'"POi' 'iiiСЛО>венстваы qQ1. Рюложив ФУНКЦИЮ"CTii п'чным ЧЛi'Н"" П фор'.!!· lсано (см. ц.1и(13.42)пер iiiПТСТ iOиqk(ц] и(13.47k o).17) ,n:aeT(цриk ?:]Jk1 По ;еф Людвиг Раа (е -швеilцаРi кий математикyi)l i,онечно, цри ЭТОI\l цредцолагаетсячто РЯД2.:PkЦО к] ailHeil мереАс=1начиная снекоторого ноыераимеет строгоnОЛО:J/CnтеЛ'Ь1iЪ'.е"iЛе1iЫ.ря..·ЮВР(+lPk(kk-1>Поскольку !,яд (13.41) схо'iИТСЯ при Qнеравенства (13.481 и теорема сравнения1 и расхо'iИТСЯ при Q = 1, то1:\.4 позволяют утверждать, чтоосрядI: Pkсходится (расходится).
Теорема1 доказана.k=l2) I'о'ШО а1< же. ка1< иму П К теореме1. IYCTbП" "пределению пределаIk (1с 1<ОТОРОГОпризна!<аХ Даламбера и Коши, мы СilедемсначалаL> 1.Полшким с(13.4:\" для этог"LI < с,]Jk±l)ео! еL 1= -2-' q = 1 +:0 = Lможно YKa:~aTЬ номерс.на-,стало б,.I'1"1., спране7\ЛЮЮ ле,юе<"еране"стно (13.42). Еслио . ".[ !юло !<им с =и, испол,.зу<определение предела (13.4 \!, получим, чт", начиная некот· .рого номера f!o,справедливо правое неравенство (1:\.42). Теорема 1 \.' полностью доказана.3 а м е ч а н и е. Отметим, что в теореме 1:\.!·' (1) в левом неравенстве(13.42) неш.З<q= 1,'l'OM СХО7\ИМОСТ,. р<ща .
Ю<i<ет не и\,е!'Ь . ,еПри L = 1 теорема(П) «не действуел> (в. ·!можна и ''Ходи]\шсть,и расходимосГJ. ряда).При м е р.Исслед.. вать вопрос о сходимости рядахLPk,где{а =const> О).k-')Ле! 1<0 про!\ери'!'ло "ризна1<i' ДаламбераКоши н "ри\,е"ении комуря !у ·,не 7\еЙствyr· ,Лс. 1рименим признак Раабе. Легко проверить, чтоНетрт!но сообразить, что последняя 7\робь при k ---+ CXJ стремится к производной функции аХ в точке х = О, т. е. стремится к ln а. В силу признака>>Раабе рассматриваемый ряд сходится при lna1, т. е.
при ае, и распри ln а,т.принопрос О сходимостиряда требует д'шолнительного исследования, так как при:~нак Раабе «не<7\eiic!!\\'е<Дрyrи\, примером ряда, н примене! ии к 1<ОТО! о\,уел. пришак Раабе, может служить ряд6.«,е дейстну(1:\.40).Отсутствие универсального ряда сравнения. Мы уже отмечали.
что признаки Даламбера и f<Оii!И основаны на сравнениях рассматрива-емогодля'равнении с. 'сте'reor.,e !'l)И'lеС!(оiiпро,рессии, а призна1<'аабемедленно сходящимся {или расходяшимся) рядом- на(13.41) .твенно, во:~никает вопрос о том, 'Не существует ли та1;;ОU у'Нивер-м· ')'еn'Но!)'Не'Ние с 1;;отор'ь,'(-р.\.д,позволило бы сделат,. за1;;люче'Ние о сходи . ·,!остирасходимости) любого 'Наперед взятого рядаилиnОЛО:JICител\.'Ными чле'Нами.ШЕе>; ГТЪI;'шше; С;,Л1f\B;,;юг() РЯf\;'11,;"б"ш;,чим "Ю\IБ"Л ,мисх, 'дящих;;я ряд;,и"';"тв; т-,Х·с;; ;;;'нЮчто Р; дихр.яд11,ee,Pk,Е;'Меслищег"с;' р; да су" еств;;етI:что для nа;нсдого 'ходямедле11,nеесамо',Х·деле, ,;ус';I:любоii сход;;щи iся ряд; г n --его nй ос ;а';ок.
До ;ажем,k='что рядp~, где 1) p~ = ~'Гk-ly7k, сходится мед ;еннее, чем ряд-00самом деле, если г' -nй остаток рядаI: p~,ТОk=llim г n = lim ~ =0.n--+,Х· T~,''-,--+00vr;:Докажем теперь отсутствие универсального сходящегося ряда, сравнение скоторым позволило Г;Ы сделать заключение о сходимости любого напередизя ;'ОГО с;;о';яшегос;; ряда. В само'';еле, если б;,[ та;юii уни;;ерсальн;,[ii схо-,Х·д;;щи iся РЯf\I: Pkсушес;; ;;о;;ал,О,f\ля не;о ПОС'l'роен;;ый ;;ыше рядk='мы ПОЛУЧИЛИ бы. чт"lim Р; = limk--'"k--'"rk-l ~ -г;VТk=Таким ;;;';ра:юм, из сраВ11,е11,ИЯ срядо','lim (vrн + vrkRО.k-+(X)Pk11,елъзя сд;;лаmъ заnлюч;;11,ИЯ о00I: р;.А;шло;и'шо f\оказ;,шае'; ся О'; с;' ;'С'; иие ; ;;;шерсаш,k-lного расхо';ящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о расходимости любого наперед взятого расходя ;;егося ряда.§ 3.Абсолютно и условно сходящиеся ряды1 ПОRI5:RТИЯ абсолютноусловно сходящегося ряда,Теперь ыы шрейдеы к изуч~нию рядов, чл; ны которых являютСЯ вещ~ств~нныыи числами,;,бс:го ;нака.Оnределенuе1.Буде,м называтъ ряд(13.49)1)Запринимаем всю суммуI: Pk.k-lря..·ЮВтн() J()ее!!·;!00LkчтоiiИ [!П!!!fipe1\e.!ieiiiieCi·;a:~af!O о 1'ОМ, преПО.!iага,тся ли при :'JT,!M СХО1\ИМОСТЬ са1\ЮГО РЯiiа(1:3.49).UKa:bI-'i!!~ТСЯ.
т !i';O~ ПР!Дi!ОЛОЖ!НИ! оказ,.!.ЛОС:!. бы излиш iИМ,В!"iip'!-i.!iИва СЛ~1\\'!!'щая T!op~Ma.Теорема 13.9. Из сх idUMocmu рядади.мость ряда (13.49).Д озО.ШИ 1\.!!Я РЯ1\а (т.Bblm"x:aem схо-(Во! i!ОЛhЗУ~М!'Я i';РИТ~РИ~М Ко-13. ). Тр~бу~тся 1\ока:шть, что 1\.!!ЯHOM~P N 1'aKO!'i, '[1'0 для iIC!X HOM~POH N,>люСю! О GОiiiВШТВiiРЯПЩИХ • СЛОВИi!'~, и 1\ЛЯ люБОГii натуральНi то рn+рL< с.!ikkn+любо! G> О.Тю; i·;aK руд(13.50)С:ОДИТ! Я, 1'0, R ! илу1'!OP~MЫ 13.1, Н!!ЙД~1'СЯ HOM~P N Т!!i';ОЙ, ,[то Д!, ilCTX HOM~POH N,iiiВЛiТВОРЯПЩИХ \'СЛОВИi!! n ~, и 1\ЛЯ любого нату] ,аЛЬНiiГО рn+рLkИМ~ЯiIИДУ.чтоlltkln+lМОДУЛi.!'уммыii~! i·;ОШ,t.fВiiСХО1\ИТ С! ММЫ ИХ МО1\.;Ш й.
мож~мn+рkслага!';аписатьn+рL!ik:(kn+Н!Р !il,RCT!','3.52)С.L(13.52:Iщl·( ::.53)n+(13.53:,получи.' Н!Р !il,RC[ ilO). Т!ор~маюка :ана.Оnределе'Н,uе 2. Ряд (на8ыаетсяя у с л о вд я 'Щ и .М с Я, если этот ряд сгодшnся, в то вре.мяо с х осоотr.;ar.;ветствующий ряд из модулей (13.5О) расходшnся.абсоЛ'!отно СЮ! !ЯЩ!ГiiСЯ РЯ1\а мож~т СЛУiЕИТЬ ря001) kko.1= 1-~+- -40+ ...
, Г1\~ а1.СХО.iiИТСЯ абсолютно, ибо П] 'и аСХО1\ИТСЯ ряПРИВ~1\~М приы!р условно СЮ! !Ящ!гося РЯ1\а. Докаж~ми УСЛОВНО, Х{,ШЕС'1Г4471.·lbIос!L!,=11123Так как со, тветствую! !.ий ряи:~ МО1\' лей (га] .1\юническиЙ РЯ1\)как мы '.'же "',насы, расхоJшnся, то i.ЛЯ,·ходимост,i ряд"+niOKa"',aTe.ibcTBaусловной(13.54) до,.·'Га! ОЧ!Ю до !.;" зarъ. '!'ГОряд с:о-1\ИТСЯ. Докаiffеы, что ря t13Jll СХО1\ИТСЯ к числу 1п 2. В п. 2 §гл. 8 ыы получили разлож, ние по форыуле l\liiклорен" функции1п(1+х)2.зЬ(1+x;)=x-~+~Там жешя всех х и: сегментао !iяка ос, ifТОЧ!ЮГОl)n-l Хn +Rn+ х). (13.55)4+"'+U~nх ~по. !f·чена С.:lе1\упщаяЧ !е!ш:IR n +11x)1+1и (Полагая в1п2=1--+::.56)х= 1,БУ1\ем иыi ть1зг(1) In1И.:lИ1[1-~+~-~+ ...
+ ( 1~n-l] -1п21 <()Гюзначая черезSnn 11n-ю частичную суыыу ряда (3.54), мы можем ш {уписать пос. [е1\нее нi равенство в ВИ1\еISn -1п2<1n+l.им обр;,'1.ЗОМ, Р;,'{З fOCTh Sn111пр< д,СТ jl:~ЛЯ~ГГ саБО!-l ;'ССКОН< '{но ма.:lУЮ ПОСl' юваТi .ilbHOCTb. Это июка ыветT СЮ 1 lИыость ряда (13.54:1н2, О персстановке ЧЛСIН. Н.i уСЛОШ.НJ CHO,.'j,.fR.11R..CrOCfR. ряда,имиз Rаж!!еiiших1ТiОik'ГR1·УММЫ коне'!но, о'!исла Rещественных слагаеыых является nеР'·.iVkстuтелъное свойство.
Это1·BO:t"kTBOутвеРЖД118Т, что от пере1.·тановки 1.Л1.1Гi.18МЫХ СУЫЫ11 неменяется. Естественно, ве1 :никает вощ .ос, остается ли справе1\ло1ТiО!fi·'ГRОдля су.··с;.:одящеГО1.·ЯрЯД1.f,. е..iVюжетлu U8.iVLе,штъся CY.iVLMa сходящегося ряда от nерестанов'Х:н членов это?о ряда? В :'J'ГОМ !lYHKTe мы RЫЯ1·П1МRОПрО1.· R о'Гношении условно сходящегося ряда. l\lbI начнеы наше рассы, 1Т]Уние с и :f·чения некоторой конкретной ш {установки ч.
[енов ря;!аря..·ювДля удобf1'Кf(13.54)RifДe54)11-!1в i·;Оiще преДi.fДущего iiYHKTffи имеет суыыу-1докаЗf.f.Лii ЧТО ряд (13.54) (·хоПереставиы тепе]·ь членыln 2.бы посл~ 01\НОГО ПОЛОfЕИТ(ЛЬНОГCf ч. i~Ha стояли.iiblX fiЛ~iia. В р~зут.fff1'( 1'аi·;ОЙ ii~P~f 1'аНО;Кiiчл~нов получим ря4~) +. ..1!k - 2ДокаЖfыйР(ЗУ'Ъ1'аi ~fзанной ii~Р~f"ГfНОi;КИYi·;ря/М~iЪШУЮ,(13":)7) СХО1\ИТСЯ и иыf(13.54:. Будс" оБОЗНffЧffТi.с\"ммы РЯ1\ОВи (чл~нов РЯ1\а7)сиыволаыи13.57)Sm(т с\мм\, в.шо(тn-( fffН"1'ИЧНi.!~ИCOOTB~TCTB(H-iЮ.
Мож~м заПИCff1'14ff -124k(так.Дат f '. Cfч~ви.;шCf, чтоS~m-l1-S?2 ~тS';m-lПОСКОЛЬКУЕтm-+х, (liшт-+ооИS2m(= -S,S,+4m13.59)+ -41 2'в ПР~1\~Л~ приш лучиыт-+ооS~m-l=~··S'2liшmс (мы;; О ·;Oii iaТ~ЛhНО ДОi·; fзано, fi1'O рядiiМ~~1' СУ:' ".fY" раRiiУЮ1"2. i- S.3.60)Т11.-S.ПОСКОЛhКУS=2 =(13.57)2i--S.С:ОДИТf яО, Яf iЮ. fiTOCTiL7IO быть, в результате У1ИЗШН'Н,Ой выше nереста-'Н,ов1Иl чле'Н,ов су,м.ма услов'Н,о сходящегося ряда (uз.ме'Н,uлас/). Рассмотр~нный нами конкр~тный прим~р пока:~ыва~т, что44~)lИЕС~l Гl.·lЫУС:1ОRI1О ~'ходящий~'Я ряд не n{)./uxJaeiYi Т!~P~ ·~E.ec п1!.т~ л'/)н ;К.М С;Ю1t~·rnло.М. ПОШfУЮ я~ f1ОС~ hна суыыу УCJЮВШ~RОПрО~' О RШfЯНИИ ffepe~ 1ННОfЮf'; ;шеf1ОRcx\~ шщегося РЯ1\а вносит сле1\\'1i;щее'Ге.
11.f1Ое .'/1'Rерждеff<аыеча-flрfffIaд.Т{'орема3.y~то. 1'О;{УХОШ 'НЛ1U'jНд ('!.! ~tЛj(); 'Ч'/J,/.MO:J/Cно та?;' n;'реставшnь 'Чле'Ны этого ряdа, 'jтобы nреобразован'Ныйряд сходился n 'Чис/!у L.Дк аа тл ь с т В О.Пусть13.61ltk1kЩ JО]Т;В, льный\'C.ilOBHO схо;шщийся РЯ1\. Об" шачим ч~р~;iiоложшnель'Ные 'Чле'Ны р ТД~~ (13.61), Rblflffbl'Втаю~мПОРЯ1\Ю.ВкакоыонистоятВ·jТОЫ])Я. а ч~р~;ql, q2, qз ... .моJ.iули отри'Цат~iЛЬНЫХ ',Шiнов ряда ( 3.6 ). выпиcaHHЫ~ В такоыПОРЯ.;fК~, В какоы они стоят В :'JTOM РЯ1\~. Ря(13.61) соД'ржит бесnоне'Ч'Ное 'iUслоположительных. тап и-,Р2,, ...отрицатель'Ных 'Чле'Нов. ибо ~С:lИ бы чл~новшогошака бьгоf,;Оff~'ff1О''~i1fЛО,ТО.ff~liЛИЯЮЩ"fIaС:ОДИi)О;·'Гf.f·;O-ff~Чf1О' чисю mрных 'fЛiНОli. мы бы f1ОЛУЧИряд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
