В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 82
Текст из файла (страница 82)
S!1ch неме,иIенно пол)",'аются разложения в (1есконечные произведения функций ti". ,cti".и th х,1ТЪХ.ОПОЛНЕНИЕ3ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯРАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВВо все", гл.13мы называли суммо,', ря.,аUзLUk=+...7)(13.Ukk=предел S после, ювательности {Su} ',астичных сумм этого ряда (при условии, что этот пр ,'Дел с\щ,'ству,'Т).В ряде за.,ач математи',еского анализа, пре.,ставляющих как теоретич,'скИi~'.,"к и практичеiКНЙ ин,ереi, "РН""'ДИТiЯ оп,рироватькоторых после.ювательность части',ных сумм не схо.,ится иaa1f,ii"J,! 6 гл.13оБЫ'))!'!J,! CJ,!blC.i)п!С!!Ш,ссm6усm.Р'Ада,н,.су, ''''Ыy'/;;a~ВQ!Ш".i,('Твопрос об обобщенuu nОН.limи!!Р!Ада U о сум,ниро"ании расходяще-гося в обычном смысле ря.!ас помощью ,/;;а,/;;u,!!~лuбо обобщенныхlOПОЛlMf'-mО'!ОН_щ,'Н!i:,r!{-""-ТОЯЩ"--- допоmi' нин мы{ie:{'да!{'у{] щ:р; ;:!ани-{ОС:!;НОВИ{iСЯне:!-;ТОРЬЕ обоб-Р:iСХОД-{ЩИХiЯ р-{довПрежде всего дадим общую характеристику тех методов суммировако: {;РЫ{iИ {iЫ б\щ'- И{iе:; дел{; Р:iЗ\МНОчтобы обобшея.щенное понятие суммы ,,,,лючалосебя О(iычное понятие суммыС:Т;О'!ЛЩ1J, ii,л в i!;:;!-ЧllдМ {М-ЬЦ;С 1J,н_нетъ обоб!i!;еНН!jЮ CY_HM'!i_1J,,с!;:{чnуюnрнтоу та",:ж;е ра'!Н!jЮS_Точнее,'!ОЛJ/ССnC!jMJvtyМе:о_! су ,iмиро:!ания, оГJладающиi1 указанным свойством, называется "егулярны_Дал;;-,('сте; :в,'Иii-; подчинить поня: не обобще шой С\М{iЫ iЛ; _'!ующем'00условию: е' л1J, ряд002:н_неет обобщенную су_ ; "у [Т, а рядk-l2:'L'k нмеетk-l+ Ви!),CYMJvty у', то рл'!-,нные_ Н_ 'еет обобщенную су_ '''У (АUАBV1.в-любыс по,;Метод суммирования, удовлетворяющи:!; указанному условию, называют Л1J,неUн'Ы_н.
В анализе и вего при;юж,'ниях, как прави;ю, им,'ют д(' юмнС р; "УЛЛР::ЫJvР! ЛШf,('i1nы"етода_нн СУМ_Н1J,рованш;. Остановимся на _'!вух методах обобщенного;У{iМНРОВ:ШИ-{,: ;р''д; :!;В_;:ЮjiЩН ';соб:,rй ин: ('ре; для ПРН;Юii:,'НИЙ.1, Метод Чезаро 1) (или метод средних арифметических), Говорят, что рл'! (13.117) :YMM'i!pY{Jvt JIM'; ',:до.Мсущсствустсредннх аршj мет1J,чес",1J,Х част1J,ЧНЫХ суму этого ряда+ ... +Snliшn-+ 00(13.8)(13.1181;:а!ываст: Лс!.M.MOiiм,'тод!; ;уммиров::ния Ч; З ;ро О !('видна. Рсгуллрnо: С'!!, м('то_'!а Чезаро вытекает из примерас ;{юмщ'-:е.изука,аiШОГОрассмотренного вПРИ{iер!;:iЬЛ ('кает,"ость iSn} Ч:iСТИЧij,Ер-:!::д (13.117)(13.118) существует и также равен S.Прнвещ'- - ПРИ{iер:,rряд- "',--';:!ящнч:')ополненииeim:--':'!ИТiЯ к чн;л'обыч,,'1к гл.3.:ЮiЛ; :юва::' :ь-S.-- ;м:,н л,',то пред('-норуемых методом Чезаро.1)Ра;; мотримз ;в''дОМ{; р ;сходя ::я -i;я рЯ_'!2)-1)k-l = 1k=l111 +"".Поскольку все четные части !ные суммы S2- этого ря:!а равны нулю, аn{чст !ы: ча; : нчны(' С\М_iЫ S_'n-l р ;:iны (':!инице, то пред('-- (13.118)раве" 1/2.
Та:<нм ';браЮМ,ра; ;М!;ТРi:ваем:,rйряд С\М _iЩiУ('методом Чезаро и его сумма в смысле Чезаро равна 1/2.2) -читая. чт-; х - люб{;:' фикс ир- ;B:iHH{;:' в; ще; тв,'НН{;:'И l интерBieвал!; Uх211", Р:iССJ\ЮТ1 -им з:!в; дом{; Р:iСХОДЯЩИ \;я 2) ряд00LCos;,x = СОБХcos 2;+ СОБ 3; + ...(13.1191k-l1) Эрне;:ья iСКИЙ {ia:' (ia: нк (1859-19{)6).2) "асхо_ !ямость ряда (13_1191 !iез труда усматривается из приве_ !енногониже выражения для его частичной суммы.ря.,'ЮВЧаi iнчнаяCY"'Mi' 'тOl'О р'''да S" уже П iД(чнii'Ha§ [)Подсчитаем 'p'iДe,e"12СОБ(m + 1)")]c·,sx - (0"('"1+ l)х14n Sill х222Отсю,'ш оч, iiieдHO, Чi'Sl.11тn,р[,'!+ S2 + . . .S,12,·00(13.11'»)'у",мнр\е'" "етодЧеiар, и,'"С" М "а в с "ыc~i /2).i"'iетод СУМNiИРОВНТИИЯБГiЛЯ. ЭТОi ",е: "iД 'у",мнр'""yaCi:OHa 1вания состоит в следующем.
По данному р ,ду(13.117)·'остаi;ляется cтe~рядL+ ...+ ... +(13.120)k-lЕ",,,,,<yr.;"<''''';пы/! ст,,"сп;;;;'! ряд СХОii1J,тiЛ длл1J,lim S(x), - t ; -оесл1J, су, 'мав то'Ч,;' х =S(x11,х;;а Ш{,;;iсрвпU<этого ряда нмеет левое n; едел'Ьное зншч,еН1J,еговорлт.РЛii (13.117) Ci/МJvШРУС,М"ом!ри этомm;а '." ';по!' nрсдс.;л{,о!' зп i'ЧС1f,1J,С 1f, i3'blвп' ;;,слСУ,НМОU ряда (13.1171с.нысле Пуассона-Абеля.Лш{" ii1f,Oi"" ",ет i'Ш (У"'ЩiР"iii'НИ'"iiiГiЫ ii"'T (OMHe~ний.
iокажем регУЛ'iрност'Ь этого метода. Пусть ряд (13.117) сходится вобыч,,!,',' с",ысле;еМ,','Т (У"'М", Рi,iiНУЮ. Тр,'б\етс',; до ii'З,iТЬ: ) что ряд(13.120) схо,;.ится ,:ля лю(юго из интервала Охчто сумма S(i/)ряда (13.120) им; ет в точк,' Х1 ';евое пр;',:.ельное зна ;;'ни,';;авН!,·' S.<Докажем сна ;ала утверждениепос;еД!iВ'iтеЛЬНОi [Ъ<.Так как ряд (13.117) 'сходится, точл,'нов явл'.;ет(я i;!'П;'i1f,i 'Ч1f,О мало/iогl'аН1J,'Ченноu, т.
е. на 'tдется такое числоlvI,стал!, быть.';то ,:ля всех номеровk(13.121)Используя неравенство, Чi" Х - люб!,·'1Симон Дени Пуассон -оценим модуль j.,-ro члена ря:.ан;пеР;i' ;;аUх; ',лучи,,'французский математик (1781-1840(13.120),lOПОЛl1.-1рядсходн:;"С ::;ло быть. в=1срав", НИ·.,сходн : С·., и ряд13.::iо:"ажем теперь ут::еРА:де!! :е(13.12{))ПустьSnn-я час :и':ная сум":а р "'i.a!Ч'О i;б,lчная ·'·м":а. С :юмощыг' преоБР:;i.;в;iНИ·" Абел'" 1)убедиться в том. ':то для любого х из интервала О < х < 1 справед(1;: 117),легколнво ТОА:де::) LSk xk -1.=1из следующего о':евидного тождества:х)S = (1L s,k-k=i;бознач:;": Tk kй о: :::то:: р :.шПрн7),нмс'ть:)LLS(13.k=1k=1Н'iИxi:)LS - S(x) =T k Xk - 1 .k=1>Наша цель доказать, что .!ЛЯ любого Е> О наЙ.i.ется 8О такое, ':то леваяч;:сть (13.123) ":е,,ьше Е дл'" Bi.e:" Х, .,:Дов':е: ::i,рю,,;щн нер:,::еН!1- 8Х1. Так как остатокряда (13.7) стремится к нулю при k -+ х, тоД'Ш :юложител:.ного чн: л:, Е/2 iJ:'ЙДi'Тi.Я нг,":ер k o т ,кой, что TkЕ/2 прнkk o.
Таким оГ:разом,<<?:) L:) L<~2k=k oХk-1k=:oОстается доказать, что .!ЛЯ Х, достато :но ::лизких к е. :лнице.(1 -х) kГk х k - 1 1-1k=12'но это очевидно, иГю сумма. стоящая в последнем неравенстве, ограни':ена.РегУ'ШРНО:":е: гда Пу;:ссона-Абел'" .ю :::'З;iНа. ПL(-1)k-1 = 1ПРНМiра снова+ ...1+k=Для:того ряда с· ,ставим: Тi'пеннойряд ви.r.a (13.-х+_ х3+ ...k=1Абел., (13.82)·:Т;iНОВЛiтриваемомслучаеследуетположитьустремить р к бесконе':ности.в25.о и затемря..·ЮВ:т;S(:T;) =го рисуммирvем м' то,",омПуассона-Абеля равна 1/2.нннма;ше на то'1:'01Iv::c:суммаАбеля совпадает с его СУМ;,ЮЙ в смысле;аiiн:.:м: М02Ю:О доказатт,;3.124)н ГМ;.:Г.I1е ПуаСi'она-Этот факт не является слу-;то есшСУММИ; ·уем мето.:ом Чезаро; то0;;су;,;миру; м и методо;; Пуасс;:на-Абеля приче;; су;,;ма этого ряда в смысле.
Iезаросонпадает С е;'О суммоi н см;.:сле Пуассона-Аijе·;;;. Более того. суще. "'тодом Пуассона-Аб;'ля, но ш· су;.;миру; мы;·мето:ом Сезаро;). Детал .;:ое ИЗУ';е;ше ;;се;:озмо:ж;;ых мето:о;; о;:о;;;;;ен::оСТВУЮТ РЯ1\Ы, сум;.;ируе;.;ыего СУМ; шр;:вания расходящихся рядов пр. ·водится В . ;;;нографии Г. Харди«Расхо; ·;;;шес;; р;щы»-М.: ИЛ,1951г.1) ТакИ!; обра :ом, можно c;ia:~aTb. что мет ..д Пуассона-Аб; ля является.
"'тодом с; м;.;ир' ·вания че;; мето:; Ч;·:аро.б. ·лее «сильным>Г л А Б А14Функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХПонятие функции нескольких переменных§ 1.1.О чlzункцт!ональнык завт!стпzюстпк между Н4Ч:КОКЧ,кими переменными t~еличинами. При изучеНШI многих вопроCiJВС4тествознаниявстр,'чаютсятаки,';аВИСИМ04ТИмеждунесколькими переменными величинами, КОГ1\а ЗШ1чения О,;шойэтихПСРСМСllШП;l;С,iИ LiИll11ОШЮ4 т"юниями остальных переменных.ли60;i11ределяются,a'l;Так при ра4 смотрении какиххарактер lt:'гИi',,а(;апримсрCl';;п;;;'Гш;сти рили темпеР;1ТУРЫ Т) ю м ПРИХО1\ИТСЯ УЧИТЫК1ТЬ изменениеэ'Гих хараl','Г;РИГприкаждаямиКООР;ШШ1Т;1МИх,ЮТiЮ4 ть;;'Г од; юй 'Го LiКl,' 'Г,ла'r;;"l"aуиТiлаZ,тоопрсдс,яе'Гс';;'ГрсмяРЩ'СМ;1ТРИК1емыедскартоных; рактерш:ти-'ГеМllсра'Гура Т) опрсДi' ,ЯЮ'Г4';;тnpex переменных х., у иямиZ.При р;н:смотрении физических процессов, меняющихся воl;РСМСllИ.опрсдс.' ЯЮ'Г4 н;;значениями 'Четnырех переменных: трех КООР;ШЮ т точки х, У,lipСМСШlплотностьt.
Hallр';iТОГОзнт", ;l;ЫХllpllП1заИli;влениеzми четырхx псрсмснных х, Уиt.р,с6аflИЙопре1\еляr;;тсяzа.;азначенияД;я И3,У';СНИЯ таю;го р;щазависимостей в это;; гшше ВВО1\ИТ4 я понятие Функт~ии нескольПСРСМСllllЫХ и ра.;;ИRастся аlllapaTдЛЯ И4 слеДОRаllИЯ такихФунк;иi';.В теории;ий нескольких переменных У1\06но пользо-ваты:я геомст;ич,'СЮ)Й тсрмин;; 'i;г:иеЙ. Непосрсдствснн;; ЯСШ;,что 06ласты;; з;ланияЯRЛЯСТСЯства).llСКОТОР;;Р;иишух (или трех) переменныхЮ;'l{еС'ГRОДля геометризат~иипш;п,,; ;стинаших пре1\ставленийПр;.)(:тра;;оФунк;ииПСРСМСllШП; уд06;ю l;Rес'Ги llО11Я'ГИС т-:, ,'р;юго пр;;с'Гра;;ства. 0606; ;;;ю; ;ее хорошо известные понятияшумерно;; плосmкости и трехмерного простраНСТВ;1.;;ше послеlyt. ,щее изложе-IНЫХс,1ЯСНСНИЯIЮНЯ'ГИЙ,Понот&!я еволидовоii нлосоост&!страНСТщ~5±ОРДllзнеС'Гffые;ат;аопрсдс,;снияеволидоваа; ;,IЛf,I'Гичео;ой 1еометриПШiО;, IС'ГИрасстоянияроо рано 1;Смсжду дну;)"ТОLн;амиНРО-IЯ ко-и;ам'Д,1'ГЬ ис-ПОi±ьзованы Дi±Я аналити'1ССКОГО ввсдсния понятий плоскости Ипространстк;.Ji.lно:ж;ество всевОЗМ.О:Ж;НЪfХ уnор,ядо'Ченн'Ых пар, у) "ещ! !mlfenHbl,T 'Ч'шел х 'Ll у НО !ъ/'вастс! к;н о 'йnл о со р д и н а т-о с т ъ ю.При этом I,;аждую IIЩ)f (х,,1 БУД'\I наfына'IЬ 1'11 ','11'Й этойl'vI.плоскости И обозш;ч,;ть o1\Hoi'!Чш:л,1 х и у ш;зык;-Ю'ГС'I' КОI1рДIfна'Гами ТОLН;И l'v1.
За Ш(Ъ l'v1(x, у);а'rас'Г, сго 'rOLi-Ю' М имеет КООРfШШ;ТЫ х и у.КОfi!fд'ШfЛтно.,я !!АОСК;(iO';О;;аЗъ/',оет;,яек; л иоо иn л о со с т ъ Ю,!'слu ме:ж;ду люБыl:uu двум.,я то'!!,ам!!М',и l'v1"(x" у") к;оорд'ШfЛтноu nЛ.i!к;ост'Ll О/!редслсно рассто,янuе р(,") по Форм.ул го(М', М")=V(x" - х')2+ {у" -у')2.Совершенно аш!Логично ВВО1\ИТСЯ понятие КООР1\инатного и евКЛИ1\ова пространств. Мно:ж;ество всгвоз.;\ло:ж;ныlx уnор,ядо !ен-;;blX тnроек; (х,,z) 'Чисел х, у 'LlZНО !ъ/'ваетс!к;'LlН ыl М,у,про с т р а н с т в о М.
При этом каЖ1\УЮ\IЫ буД'";азьп;а'Гь 1'11 ,I'111Й э'Г.11 О ПРfн:тра! !с'Гначать ошой буквой. ЧШ:ШI х, у и z назыкнотся КООР1\инат; ми1'11"М. Запис; М(х. у.;a'raCT, сго TOLiKa l'v1KOfiP1\ИШ;ТЫ ху иz.!!jюстр;, ;;ство НО !ъ/'ваетс! е в к; л и дв ыlпро с т р а н с т в о М"есл!! м.е:ж;ду ,!юБыl.!! двум.,я то и,а-.M:Ll l'vI'(x' у''Ll l'v1"(x", 1;", z") к;о.·!fд'ШfЛтногfi nр.чтран! ,;Оопределено рассто,янuе по формулер(М', М") =J(x" - .1')2+ (у" -у')2+ (z"- z')2.BBeleHHbIe нами понятия КООР1\инаТНОi! плоскости и коор шнаТНОГl1 пространства прсдставляют ОiбfiЙ анаШiГИ ЧИС!11ВI)Йпрямойа еВКЛИ1\ова плоскость и еВКЛИ1\ОВО пространство прес'Ганляют собой аналOl'И свК;Л'Llдfil,ОU npf!,'o!oU, которую \ЮfКll11опре,flелить как числовyr, , прямyr" меЖ1\У ш<>быми 1\ВУМЯ точках'х" "11''ГfЧЮЙ!о раС I то шис р(х' х") П11 ФfiР;,IУ,;Со(х',х") = V(x"-x')2 = Ix"-x'l.Р;н:смотрим некоторые множе; ТВ;1{} точек евклиювойплоскости и еВКЛИ1\ова простр;шства.1о.J\Iножество {М} точек еВКЛИ1\овоi'! пло; кости, КООР1\инатых и у которых уювлеТВОРЯf<>Т нер;;веН!тву (х - а)2+(уь)2:::;; R 2477П<.ШЛИЕj"aKизн,сгш"l'v1!)(0";аЗ;,I'ГСЯради\ сасli'ii'ГРiJ"Н'ГОLiЮ';а'Гы :Г и У \Дон"''Гноряют ci !ЮГ'f'АУ нсраЬ )2R 2 , то множество {М назыв;;ется)венству (:ГО'П/,'К:РЫi[, ''ь/,,\, , 'К:руго,\"сн j', идоном пр{;с'Гра;; с'Гнс мн, '}КССТ1""точек, КООР1l,инатыу и(:Г- 0,)2+ (у -ро.м.
р;!1I,иу; \1иzь)2Rуд' fj;ЛС'jТ1 f МНОЖi'ство+ (zz! М}которых у;ювлетворяют неравенствуг)2:::;;fj2,j"aK ifзнеС'ГfЮ, наЗЬШ;1е'Гся j\jД-С T~eHTpOM в точке(а, Ь, с). Е; ли КООР;ШЮ ты х1:1 fРЯЮ'Г 1'1 юл;стс'Гнующсм\с'Гр,ilом\l'v1} на.ъrвастся отк;ръииъ/"М ш fjЮ,,'ран,; !(:тну,H. 1 ).J\Iножество {} точек еВКЛИ1l,овоi пло; ко!'ти (еВКЛИ1l,оваjjро!'траш л;а), ко{;рдина'Гы хУ,уz) " 'iJ 'Г{;Р;,;Х \Донш''Гно-20.ряют неравенствамIy - 1 d 2Iz -Ix cl0,1 :::;; d 1 иIyьIx1 :::;; d 20,1:::;; d 1,}:з) , на.;ынастся к;оор(}/kат'НЪ/..м np,f;,м,оуголъ'Нш,о.;\Л (к;оорди'Нат'НЪ/..;\л nараллелеnиnедо.;\л)[ентром в'riJ' ;l'v1оЬ (j; 'riJ';l'v1оЬ, с) ) .3. Понятие Функ!~ии /!,ВУХ и трех переменных. Исполь'уя гс{;мстр}г !с!'кую т,; fМИНО,ЮГИЮ МОЖН1 f слсдующим обраЗ1)Мсформулиров;;ть уже изве; тное ш;м понятие Функт~ии o1l,Hoi'! пер1""юЙ.Если ;,a:JICJ07l то (и~из 'Не;,;оторого MHo:JICccmBa {то-св;,Лf7дово"/J nр,я.м.о"/i ставитс,я в соотвстствие по ffзвест'Но.М!!;ак;о"\' 'Н!'к;оторос} зада'На фу'Н;,ци,я{'Гспср;'Ч/Ll\ЛО и= и(тог01Юр,f;,т.) и;!и=J('Что"а).jюня'ГИС функции двух;ых.Если ;,a:JICJo"/J то'Чк;е М из 'Нек;оторого .;\Л'НО:JICества {М то'Чек; е1;к;ли)овО7l nло;к;ост'/l ,т f!;umC;; в ,оот1;ет;т1;ие !;о '/l{вгст'Но.м.у зшко'Ну:JICef;if!;e!l'vI}'Нс'которое'Чf7СЛО;а);; "а фУ'НК;Ц'/I,я '/1 =то,Jовор,ят.'Что'На.;\Л'НО-иЛ'/1 и = .f;;1метим что понятие Функт~иишух переменных отлич;;ется "т !'формулиронаНШfjО,внс ПiJ;фу; j',uиiJДШ;Й "1'рСменнои лишь тем, что вме!'то !'лов «еВКЛИ1l,ова прямая»и!'поль-;устся 'ГсрминiИДiJj;а П"fП"iJС'Г; ,>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
