В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Точки rn-мерного 'шлиш'оида ЯRЛ ТЮТСЯ гра!!ыми 'Г!!';Ю +ii"С'ГRа11\;1}TOLiCf,!1\;1КООР1\ИНi ты которых У1\овлетворЯf<>Т нер! веш ТВУх2x~--++--,,-+.. ·+f<ai2атаЮсКi"С'ГRОЮi !Яi"'Г!"'!!ЮсК;С'ГRОМн! iУТРСННИХт-мерного !ШЛИПi"ОИ1\а.Чита'Гс!Crf'!O уБСДИ'f СЯ сам, '1'Г!! мн! !жсгчек 111-мерного !1ЛЛИШ'ОИ1\!!Шl \ ГР!';то-является открытым и i"ВЯЗНЫМ мносксс'Гном. О'ГМС'Г11'1'Г!! m-м!'}!ный элотношением (пре1\ставляет i"о<iой з!!мкнутое множеi"ТВО.4.3;IIСОИД, ОПРСДi' !Я!'\fЫЙ соОбш сть за f!!ния функ !.иИvcos(x 2 + у2)ипре1\ст!!Вляет i"о<iой несв-язное множествосм.
пример30п.3и14.1).В закш<>чение 1\ОГОВОРИМСЯ назыв!!ть ор е с т н о с тют о 'Чи М ш<>бое открытое i"вязное множеi тво, i"О;fерж! щее М.6,Il,онятиефугкции m-пеР4!М4!ШИЫХ, ВНСД!'"Функт~ии m переменных.Еиш к;о.ждоU то'Чк;емерно, о ев'х;лидова!т!;испоМиз.множ:есmвапространства Е rnиз!;! !тnо,\;!у{М}став \тс-я!!ск;оторо!'Ч'Ll!ЛОfЮНЯ'ГИ!'то'Чек; тви,соответтого!ю-р-ят, что на множестве {задана фУНI!ци-я= и(илии = .f. При этом, Ю!ii"С'ГRО {М} на,!ЫRастся о !ластън! ;адани-я ФУНК;Цi71t и = ЛМ).ЧИi Ю и, !'! Ю'f liС'ГС'ГRУЮЩСС даШf!!Й 'ГОLiЮ' 1\;1ЮсК;С'ГRа{М} !!У1\ем назыв!!ть 'Частным.
зна'Чением. ФУНI!Ц {и в то'Ч'х;е М.С'! !в!жупность {и} вссх [астных шаЧi"НИЙ функции 'Ll = .fназыв!!еТi"Я м.ножгством. зна'ЧеНii7l ЭТОП Функт~ии. Т!!к как точ[,!а М !!ffРi"Дi"ЛЯСТСЯ ко!!рдинатами Xl Х!,Х rn ТО Дi!Я фу!пии 'Ll = .f(M) m Ш'}J;Мi"ННЫХ исшшь,!устся такж!' обозначсниси = .f(Xl' Х2,· ..О.Пусть и'1ТОЙ фуiIю!Иии'х т ).ПрИМСр!,I фу!m псрсмснных.i"ЛУЖИТrn-мерныП=VI - xi - xj - ... очеВИ1\НО,x~. ОБШНlТЫО за f!!нияшарР!!f\ИУ!"\!с4Ю2li'ii'ГРiJ"'ГОLiЮ'О,'ГРИRасм, ,й ф, 11 ';ции Юi20ПустьiOсксс'Гном З11а LiС11ИЙ рассма;1'0,11u =Об [,'СТЫОз,лания:r:rna~J rшутренних точек ннчерног()функции ЯКlяе'Г('я множеС'ГRО'ШЛИШ'ОИ1\а.
Множе; твом значений этоп;упрямая 'Ll§ 2.щи является по:? 1.Предельное значение функции несколькихпеременных1. Сходящиеся ооследовательности то',;ех в m-М4'j'НЮМевкли/;,ОВОМ пространст;;е E Тn • Критерий Коши сходимости ПОСЛ4'до"ап'льности. Рассмотрим в т-м;тном ;'ВКiИДiiвом простр,шстве Е П? после1\овательность точек { } 1).
С, [юрмулируем сле;I}'f<>щее опре1\еление.170;ледоuотеЛЪiiо;тъ{J\;I}то'Чеnе;)nJш)оваnро;тршн,;тЕ П? uа:ыJ';ет;ллХ О ;) Л 'Щ С Uссл'атаnо'то'Ч!,а А, 'Что длл любого nОЛО:JICuтеЛЪН,й,JО 'Чuсла Е .;\ЛО:JIC'НО уnа;атъ Ho,J,jep N2) таnои, 'Что !!риN вЫ!f.Oл'Нлет'nuерш,еп-ство Р(Мn , А) < Е. Прu этом. то'Ч!,а А 'НаЗbl,ваетсл пр е д ел Оnо;ледо"отелъ ,о;ти {М;;}. Д.iЯ обозна'iСНИЯ прсдела Апо; ле1\овательности { n используется сле1\УЮi i,'Я символика:liш= А, илиnп-+ос!о!,;ажсмЛемма';'дующ, Ю1.--+А при11 --+ 00.\!у.Пу;тъ ПО, ледоuотелъuо;тъ1J\;ln }то'Чеn е;)nJШдова nростра'Нства Е П? сходuтсл 'Х; то'Ч!,г А. Ттда nоследова-т<ЛЪiiо;тu {x~n)}, {x~n)},хо 'я,m я,~o':~'~u"~,...
, {x~~)}соотве '!!CmeYI, ,'ЩU""nunоор)и'Н ,т то'Чсn Миnоо"д'аа"а"ааа'Наоборот еслu nr)сле~ов~m~Л:~ОС~~jj'2'{ ~.~~ Г1) Понятие последовательности точек в ,'В;<ЛИЩiВом пространств,' Е ткаждому 'lИС;У n на;'уралт,ного РЯ",а чисел 1,2, ... ,... ставится в соотв,'тствие точ,<а 1\IIn евклидовао ;ре;еЛ}iе;'Оi следующим образом.пространства Е rn . !iозникающий при этш, ряд точе,< М 11\II2 , ... ,1\IIn...рассма, рю,аемыii н указа;шом l1Оlшдке, ;;азы;;ае'l'С<; последоваmелы{ОсmъlОточ, " ,'в,<лид ,ва пространства Е т .
l\IbI бущ'м крап<о обошачать эту посл,'ю;;а'l'еm,;юс'l', снм;ю'юм}.2) Так ка,< номер lV :~ависит вообще говоря от Е, то иногда пишутN = N(s).16*[нихOfOли""Янеравенство Р(Мп , А)< с.наты точки Мn , а (аl, а2,Нt'paii('HCТltO p(l'vIn , А)<V/( ;Т (п)1 -ПустьА.. ..TOfcJa50:,,1:\2 + ((п);Т 2-\2 + ... + ( Х т(n)аl)(2)\2 <- ат )с.- CLml <(14.4)с.ююрдин;стточеl,МNсходятся'! tOтветс! !!(,нно кlИС1ам([2 ...
([т' ДОКЮI\:;'М т(,'обратное "твер)кдение. ПреДШ1ЛОЖИI,l. ,то Уl,азанные tOследоваlеш.ности координат To"iel, l'v!",сходятся'твенн! 1lИслам аl, а2, ... ,а т .для110БО10 G > О можно указать номера N 1 N 2 ,... N m такие, что при11 ~~ N 2 , ... , 11 ~'itOTBeTCl!!('HHO I3l,.ШО"lНЯlотся ш'равенства-а2<ЕГт'... ,х(n) _ атт<Е..;:т'()тсюда следует, что при 11 ~ N = Illах{ N 1 N 2 ... ,Nm } выполняеТС1 неравенство (14.4). Иными словамИI при n ~ N выполняется ж'ра i('HClltO р(мп А),где А ,ка Е т снатами CL ,а2,...
а т . Таким образом. последовательность<СХОДИfi'Я к,ке А. Ле: U"la до!,:а')ана.Сформулируем определеffие фУfщаментаЛЬfЮЙ последоваlеЛ1.Н01'ТИ точеl, в П1-Мi'РНО: 1 i'I3l,ЛИД11I30М'TPllН1'TBe. Послсд!!ватеЛ'b'J-lQстъ {l'vIn } то'Чек ,п -мер'Ного евклидова простра'Нства'Называется Ф у 'н д а'н т а'Ь 'н О U или nослед!!ватеЛ'b'J-tостъю Коши. если для любо,'о rюложитеЛ'b'J-lQ,'О 'Числа Gмон, 'Но указаm'ь mакои 'JfЛ,мер'Что при 11 ~И дляго 'НатураЛ'b'J-tо,'о р в ы.nол'Няется 'Нераве'Нство р( Мп +р _Мn )СправеДЛИIi след, !(,щий критериП СХОДИМ01'ТИии (lЧШТi'РИЙ Коши).<с.ю· i(OДOli"T(' ,ьноПГ:.IЕ··тiPO ''!{Мn } rnJi''l(''!''побы~Jt.t(p'/-/,opoilЛ'Ш)бы 1!!, с.Уод,я, цей!н,собi од iMOто !.'I-/'О,ОН!! f)bl!!.a фун.дuмснт !JI,'ЫШЙШТЫ'Я всправедл lВОСТИ сформулирова lHOrO критер Ш, достаточ 10 за('!м!iИТL,СТИчто{}{X~ИЗ!!Словия!!!R.·lам!.я !!еЛ:!НОi'ТИ1О!:ЬH!'~сле.lует, что после.1Ователь 1Ости {.у\п)},} координат точе:! lvlфунд ,,:ента :ЬН!.!I.
и Ha~nобор'! " !'СШ:!;1занные поС :еДiшате !!,НО!'ТИ ю ЮliДинат'!'Hдa~ментаЛЫIЫ. то фундаментальной будет и последователь 1Ость, и затем{lvln}:римеНИi!. критериП Ко! !и дЛЯ ЧИСЛО!!LIХ 1OCТIeДО!!!1Т!':LHOCie(i к 10· ,,'До! !1Т!' :LНОСiЯI! координат точе!! {Мn } илемму1ЭТОiО пункта.Некоторые свойства ограниченных последовательНiР!I'леl,; ·ЩОЧ.ект-меРIЛОМ еВ.Р!,!iИДОВОМ простраНil·Л.ве.Введем ПОНilтие ограниченной последовательности точек в т2.мерном евклидовом пространстве.
После{)ователъ'/-/,остъ {то'Чсх; т~,MepHoгo св'Клидова nростран,ства называстс,я,ор a~>н и 'Ч е н н оесли существует та'Кое 'Число аО, 'Что дл,я,всех 17, выnлн,я,етс,я, неравенство р( О, lvln ) ::;; а, "де О - то'Ч'Кавсе 'КООjн)инатъ!, 'Которо!! jJaвнъ! нулю.11 нымисловами. последо-ватеЛ:.НО!·ТL {Мn } ю;ляется ограни· :енноЙ . е!лиЭ iОЙточ!!и {Мnюследоваiеш.ности находятся внутри или на границе некошараT~eHTpOI! в нl' :!еле!!оординат.Справедлива следующаil основна,я, теорема.14.1Теорема(теорема Во.лъ'Ца1-/,о-ВеЙерштрасса).Из тобой ограни'Чснной nослсдоваmСЛI.ности lvln } то'Че'К т~мерного ев'Клидова пространства можно въ!,делитъ сходжщуюс,я,nод17,осле{)ователъностъ.Доказательство.Убедимся,{X~)}что последовательности {х(n)}, {x~n)}нат точек М"какЯВЛЯЮТСilограни·:! 'Нp(O,lvln ).
/ (n)2(п)2-_ VХ1+ Х 2(.n)2 + ... + Х т,то17, ВЫПОЛIШЮТСil неравенства1,ДlЯlHaTBi'ex 17, !ыI~::;; а. Посю!Л:.ку Р(О.Мn )отсюда следует::;;а, Ix~n)что ДЛil всехI: ; а, ... , Ix~) I: ; а ..иНL 1!И сло!!аl,Ш, юследо!!атеЛLНОС! и ;T~n)}, {x~n)коордкоордиогра lllче lНЫМИ. Действительно, такю· ,,'До! !1Т!' :LН!iСЛ' {Мnюлняется неравен!тв!!во-первых., ... ,x~)точек МN 01раничены. В силу теоремы БОЛЫ1ано-'а ДlЯtИСЛОВ! ..IХю·1П.
3) из последовательности {х(n):LНОСiеП10(.4 §4выделить последова-fНl,fXтель юсть {:г('11)},lрИ:сходя НУЮС>f К некоторому ч fелу {Чшослен lва'l'еЛ,НО,'ТL {:r~nkl }ДОf l i1Т" fLНОСТИ BTOPf,IX Ю юрдинаfтеоремыизточеli{ :!подпоследовательностиЮДl юслеДОllатеЛLНОСI( nk 2){ Х2L,МNnk 1 )вательности{X (ln k1 ) }В си ,у '1'11Й /Ееможно(Щ2}:!{сход fТСЯ к числу атель ности""" {x(n k2))}oTBeTcТl1eHHo.
Очеl1IIДНО,СХОДlfТСЯ[то если ;ыI извыдел [тьHeliOTopoMYсходящуюся,у а2. З1;"lетим, что П I JДП I1 след,шатеЛf"НО,'ТLассмо-x~nk3)},подпоеледова-КЧ fеламаlиа2суждеНИlfюднослеДОllатеЛLНОСТИllLlJIe'твеНН11{Xink3 )},ШС>fам:T~nI3)} {x~nI3)1f2 1fз. ПР1JД11 f/Еая этимы, HaKOHeT~, получим сходя ТТУЮС>f К некоторому чис-,у а т ШДПl1след,шатеЛf,НО' тькоординат{x~nkm)},со-к некоторому числу аз подпоеледователыюстьюдю' 1tДОli1Т,'fLНОСТИсходятся,п" с,ед,)-{ x~nk")} послед,ша 1 еЛf"НО' ти Tf)' 'lЪИХ li011рдинат точеi МNлим СХОДЯЩУЮС>fчис-'".{xm(nk m )}"'о' '"'до'", """т"'"'LНiiСТИ"', ""'К МN fрИ' " 'м ПI JДП11слеД11ваl ел "но' ти...
, {x~km)}Х11ДЯТ'Яветс} ",'нно. Н11 тогда, в сичи,ле;lIlf"I} поеледователыюсти точек {ю юрдинатами, а2, . .. 1f т.1,и .{xinkm )},,а тal 1f 211'-ХC011l-ПI JДпос fед,шате ""но,'ть} сходится к точке А с{ДI1I\:а' )iша.а м е ч а не. Предел А поеледователыюсти {} точек,fРИНiщле/Еащих )ilIlliH;'TO;, МНОЖl'Сll1У j\;I} такж,' щ ,инад'1жит этому множеству. Чтобы убедиться в этом, достаточно заМlТИТL,Е I)Ю)",'СlНОСТИ. е. ТОЧliИ множеСll1аfки А ИМl''''Т''Я{J\;I} , и ЮЭТО;,lVfки Мn ,lO'fKa А Яlляется либоВН;'ТР,ЯНl'Й, fIЛЧ1 Гf'iШИЧНОЙ ТОЧliOП {М ,а['ДО! !1Т,' [ЬН11 принадлежит {3.ПОRЛЯТИ*, нредеЛЬНО20 32лаче2ЛИЯ функции неС21НЛR,ких переменных.ассмотрим функ lИЮ u = j'(M), опредеl"ННУЮ на ;ШI1/Ее,'тве {М т-м! 'рНОГI1 е! ЮШДОl1l' fРО,'ТРiш,'тва,и ТОЧliV А этого множеСll1а, был, можеl, и не принадлежащуюMHO)[\:!'Cll1Y {М, Н11 11б;,ю тс'м'твом, что В Лfобоi'lЕ-окрестности этой точки содеРЖИТС>l хотя бы од [а точка м ю-Жl'Сli"{М,ш шая от А.Определение'НЪ!з'На'ЧЧисло Ь ндзъtваеmс.яn'Нифу'Н'Х:'Ции1.еел(М)ъ-в487ПГ:.IЕ··тСили''!),Ml,lvIJ.,Ме' !'(J, д {,я,МNторой(70{i(zтел'/) юст:/)е'ц!юб ,й сход,я,'Щ( й:тnо {ГХ; мн i:J/C( Cjji"nот А ) (Мn(М1 ),ипр!!ifi([, TJe !.bl-lОСrn!!; '{.е" ,;итп:ыМ"А).,I((М2 ,'Х;П: 'нведенное определение называеТС>l определениеы предельног{) значения ФУНЮ шию: i iЩНО п{)след;шаiел,.но;·т,'Й.
СФОРмулируем другое определение предельно, о значеНЮJ ФУНЮИСJЮ,LЗ!'Я «Е-д» т"рминоюгИ!о.Оnреде,/l,ение 2. Число Ь 'НЛЗЪi.ваетс,я, nре{)еЛЫ-lы.л.t З'J-lа'Че'Ниемфу'Н'Х:'Ции и.f(lvI) в то'Ч'Х:е А, если дл,я, лю60ю nОЛОJICителъ'НОР О 'Числа Е .л.toJIC'НОта'Х:ое nОЛОJICителъ'Ное 'Число д,='Что ()л,я, всех то'Че'Х:твор,я,Ю1ЧИХ условию ОствоЬII(M)I<Е.из области зш)а'Ни,я, Фу'Н'Х:'Ции, у{)овле-< p(lvI. А) <д. выnл'н,я,етс,я, 'Нераве'Н3 аа н иО ;; "Дi' ;;'ния 1 и 2ън{)го ,на ,,'нияфункт~ии эквивалент {Ы. Справедливость этого утвержде JИЯ ыо)[{i'" б,.!л· до!,;сзана ТОЧНi i так )[{i'как и Э!,!ilшаЛ"НiН{)СЛ, д!!ухопределениП предеш . НОГО зна· ,ения фуН!щии одной ,ере: !енноЙ.Д!Я обозначения Пj!едеШ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
