В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 77
Текст из файла (страница 77)
в ,той форме он наиболее часто используется.Д о к а з а т е л ь с т в о.Разберем отдельно теоремыи1.1) Для доказательства теоремы 1 положим р;, = ql' (p~гд'неравенствоI 3.20<(p~+=1),в видеР'+1 ,,::: p~+Pk(13.22)'"1) )KI1': ЛСРОi1 ДаЛl1мбер - франц! зt ,шй мап'ма', икфилософ (1717-1783\.ох;2) П] И этом, конечно, цредцолагается, что все члены рядаLk=lне;" мере начиная снекоторого ноыера) строго цоложительны.Pk (цо крайl,lbIгТ;;;,437lOЛО,'illТЕlЫкакстоди'Гс;;,epalle), сю'~,а ОСНО13а;'Гeope~:\.22,С'111О;;ра ПИРУ';;LТ(13 12) ((В,ходи юсть (р;;;ходимос [Ъ)ос!LPkeopeMa 1 ',оказанаk=l<2) Докажсм т,'псрь тсорему 1. Если L1 то найд' ля по+ЛО ii,'И'П (ЛI;'!!.Q, число Е такое, что L =2Е иЕ =Е.ПО,р, делению врсдсш,; ;CДi";;;TC "ности дл;; УЮi"З ;нног;, ЕNнайдется номс[,kТ;;I,!,Й. что приL-E<<L~NЕ=-Е.(13.23)]JkLЧю++Ч'1';, LнеравенствЕ1-=>Если же1,и L ~1.;,рем;.
n это;'Ряд ,ходите,.число Е такое,;Н'НО13а ,ю, ;;'130ГО из~(при>L-E=lос ,,,;;;;нии TCOl); мы;сходил я[,q 13 '1',получим(13.23)]JkРяд'Т [1Ольто найдется ПОЛО iiПl'П (Л'ЬНО,1.N).Теорс;," 13.5юлносты(;доказ;;на.3а м еч а н и я к т е о р е м е13.5. 1)Обратим внимание нато, что в теореме 13.5 О) неравенство Рн:::;; q]Jkначиная снекоторого) '!!еЛI; iЯ iiJме'!штl; на]Jk+]Jk(для всех k,<<1.В самом деле, как доказано выше, гармонический ряд (/3.12iik+ 1расход" "Я, но дл;; Э'1';;; О-'- = - 7;' 1 (дл;; ВССХ]Jkk 1ров k).ЕслиУ' ;;,щшх',1 13.5 (П) L = 1, ТО нельзя ск ;З;;'1",ничего определенного о сходимости ряда (т. е.
припризнак<Да,;;;мб,ряда«НС деЙСi ВУСТ»).= 1,(13.J2) L'ТСn CiiMO;'делс. дл;;;;рмо;;;;'ског;,причем этот ряд, как мы знаем, рас,одится.дл;;'1',ос!L:'(13.k=lтакже'ун;,;тс,,сход"но;тот ряд, как б; дет показано в след; ю; ;ем,;Я.Теорема 13.6 (nризнаn Кошu). 1. Если ;}ля вс;jЮО k, ИJШ по 1ЧXluнеu Atepe НШ'l1mая с некоторого HOAtepak,справедливо неР(Jв(нС'!лво!fPk :::;; q <(!fPkос!то рядLk=jik Сl;одится (расходится).~1)(13.25)ря.,'ЮВП"!jЩ' ,'т !чет пр! делliш(13,26)=L,хос!'IP()рядPk С;iil!'/},'i!'I'Я пр'/},>k=lТеорем'!' П обычно называют при i'i!Л'Х:О,М Коши 6 nредl л ;'!ШUформе.Д о к а з а т е л ь с т в о. Разберем отдельно теоремы1.1) дJlII докаЗi3ТС'Т13а '1';'111)('I'ILT 1ТI'Д" Иi(13.,IIЖИ;' P~ = qk).iГ Ш ;'(Pk ~ p~).(13.00Так как рядLkp~, совпадаю; ;ий с рядом(13.18) ((13.19 ),сш1дится (расходится), то неравенство (13.27; на основании теоpi"LТ,iЯ 13.3 гар 'НТИРУi'Т СХОД'I'т,, (р iiХОДИ;ШСТL)ос!LрядаkPk·113.6 а) ДОКi3Зi.iНi3.доказательства теоремыiПОРИ [Ъ сюд; I,i" iaiCJlLCiYнаТсо;нШ;13.6(П) следует дословно по(П), з,,; ,сни;; 130 13ссх13.5ifiik."1ЪЮ докаЗ"на.3 а'м е ч а н и я к т е о р е м е 13.6.; Как и в предыд'(" iей'1';111)(!i'OPC'I'C 13.6 (1) н; ра13; Ш'1'130 ifiik ~ qзаJ\Iенить на {fiii; < 1.2) Пр" L = 1 РИiНак KII; ,и ЩJiДi "ной«Ш д;йствует».
J\Iожно сослаться на два примера, ,'('казанные в соответствую;3)ieMзамечании к признак'('lаламбера.Возникает ТliiПрiiС о тны, КiiКiiЙ из 11:ВУХ призн 'КiiВ, ДаЛiiмбеРii и,iиКiiШИ. ЯТlЛii"ТСЯ бiiЛi'i' СiiЛЫii.iМ. ПРiiаТТii,iИЗiiруе'"этiiт ТliiiipiiC ТI iiТТТiiШПТИiiпришакови Коши, взятых в nредеЛЪ1iОЙ форме.
Можно доказать,из СУЩi ств iваnил n,редела (1;;.21) 6ЪU7'iJ;;аеп' СУЩiст6iiва1iиедела (13./6)ф;,,'т п!'uе1iстi!i' этих пределов. (Р10каsaтельство пТ'иведеноТI 11: 'Щ).iТТi !!ИИ 1этойОбрат!! 'е ТТi ш·ртто.са \!ОМлеп<о убедиться в тоы, ЧТО для ряда~(-1)k+з(13.28\2Н1Lk=предел(13.26)i ....
щi·ПТl\Тт.сушествует И] авен1/2 в то время;;,,\ КошиТiii\ИМ образ;"", ттризкак П] едел(13.J1) воо!)шеiblTbl\i, 'ii'MБО"iее си,пришак ДалаI\lбера, ибо всякиii Т'а!, когда действует пришак Р1алаI\lберадеiiствует и пришак Коши и выесте с теы существуют ряды (наПРИI\lер" рядг1;;.28)),43')lOЛО,;llТЕIЫ1.lbI,n:л;; которых ·,.еЙс, пу("г при 'П11(( Коши И пе m'йстпуе'( при:~ттак Да-л"мбср"па "'го, призпа(( Дал ,мбср" па практИ«с употрсбл и'тсячаще.
чем П] изнак Коши1)р и м еры.Иссле. ,уем вопрос о с (одимости ря 'дос!Lk=lПри( "НИ('Pk='РИ.шак Да'IХДСJlLi( д)"-k~.k!(Ik)k]Jk(1;1.30)На основании13.30liш РНl;"-+х]Jk1,т. С. ряд(13.2 1}) сходится.Из, чим вопрос О сходимости ряда2)осL(1;1.31 )k.А=1IIрименим признак Коши в предельной форме.
Имеемifiik = -vk.2На основании1!yГpk=-(13.32)(13.32)kl1(;;-+хvk=-<l2.Такимобразом, при_з~ак I<оr:rИ'~'~та~~вливаеТСХОД~l\ЮСТ_Ь ряда (13:31).ИнтеГРЙЛЬiiЫИ ПIНiЗiiЙИ. КОШi'i-Мйи.лорена, Пр"з,и Коши оказываются непригодными для выяс4.киl аламберансни"рядов130111",,'асходи·,;;" 'ТИ ,;; 'КОТОI ,.!Хс положительнымиЭТ"Х Щ",3,,Счленами."с ,ЛЬ130[[ак,"1';;,liстрсча,()щихс"например,с помощью'ХОДИ\'юсти ;;,бобшснного гармонического ряда(13.33)(;; 1хлюбое ве! !ественное число)...1ля вычисленияlill1.-++следует П] ологарис.j,мировать выражениеи применить правило Лопиталя.ря..·ЮВ2 мыpacxo.i.рядаiиi"iляj'l\Я}'i'Шii llШ Ш, Ч'l'ii iрИо; Ц)LПЪР'iZiiПрОСО~1(133:\)сходимостиiQЛО/;iti 1 Л'ЛLi i,iМИiрИ'iН!iК СХii.i,ИЩН·ТИlСi"i 1 iИ.которого, В частности, бу,iет вытекать СХО,iИМОСТЬ РЯ,i.аiрИ аЭТiii ОЭТОМ пункте мы установим е; ,.е один об-приiiЗ(1:\.33)1Теоре,м,а 13.7теоре,м,а Т(О?lш-Ivlа1\,лоре'/-l,а).
Пустъфу?!'К'Ция (i) Н10mри'ЦатеЛ!;,/-(,(J и60ipacmaem 6C'lOiJY ?!л nолуnря.моU х ? т, где m - любоu фи'ксиро6анныi1 номер.огда'ЧиСЛОi ой рядf00L J(k)=Лт)+ ЛтЛт1)(13.34)2)k=mи п;·олъ'Ко 6слу'Чае, 'Когда СУ'Щi С'!Л6уеп , nреnоследоuателъностисходится 6дел при n ---+nаn =(13.35)/J(X)diтnдзт С лПУСТi, k - любii[.:; HOi.iCp, yДill,lC, а х - любое значение аргумента1; ~ k. Ti 1'iQ УСЛOlзиюf(1;творяющий условиюИ.iментаk- 1L Сkmвозрастает на указанном сегменте,то для всех х из указанногосегмента справедливы неравенстваf(k)~х) ~ff(k - 1).(13.3Ii)fФГiКЦИЯх),ра ii и ' ;t1iQiii1'1'iiННОЙ,рируема на сегменте~ х ~(см. п.
5 § 4 гл. 10). l;олее того, изнерав! ЮТВ (13.36) и из iвойства(см. п. 1 § 6 г . 10) вытек ;;''1',чтоk/kdxk-l~/kfdx/~k-lfdxk-lилиkJ(k) ~ /Неравенства(13.37)f(i dx~f- J).(13.37)установлены нами для любогоЗапишеJ\.f ЭТИ неравенства для значений /: = m.mk ? m2 ....1.,n,г441ЮЛО) <llТЕ.IЫlolbIлюб )1С; НО))С! о,,р,1)J(Tn~()) d:J:J.m+ 2)/(т~2/(х) iJX ~ /(т+ 1)т+(n)JЛХ)~d)~ ЛN11Складывая почленно записанные неравенства, пол'! чимt/(k)~J·.-1j(1; dxL j(k).(13.3S)mДоговоримся обозначать символом 511 n-ю сумму ряда(13.34),равнуюnIIриняв это обозначение и учитывая обозначениеСШДУЮЩi)"'р, iюооаiЪ(! 3.35),мы мо-(13.3S):(13.39)Неравенства(13.39 позволяют без труда доказать теорему.
В(13.35) ()чiчто lli)' )iOД{)){))'1'Cд)'ш." из фОР\'iуность {а n } является неубываЮi iеЙ. Стало быть, для сходимостиэтой посшдоват)'льНl)('ТИ НI'{)бходима и до('таточн))ность.диi,)и ДО("1'))iОЧ)неравенствнич)'на()гранич)'нIля сходимости ряда(13.34) в силу теоремы 13.2необхоОГР))ЯИЧ)'ННОСiЪ ЮСШДО13))iiOJlLiОТе) {5 u }.з(13.39 вытекает, что последовательность {5n } ограи '1'{)тогда, когдара)lli)'тогданость {а n }, т. е. тогда и только тогда, когда последовательностьа u } <ходитс" .доказ)ша.р и м еры.Прежде всего применим интегральныйПРИ.шак Коши-J\)I)),клорсНi), для выясн)'ния СХОДИJ\Ii)('ТИ обобшо)'нного гармонического рядараСС i ))'1ОРИ13аiЪ какфункцияj(13.33 .
1Iосколью' ряд (13.33) можноiрИ m1 j(1;~ и13ида(х) убывает и положительна на полупрямой х~"Ca1,ря..·ЮВ,рос(ходигюсти ряд!!. (133;\) ЭК13И15 'ЛСН'l'!мости Ю("ности {п n'.Сl-а,росу о !ходи~при1при=1Из вида1лементов а n вытекает, что последовательность {а п }, 111 сходилЯ,ри а ~1и сход, 1"Я11'1--+00при а ~1 (ЭТi1сходится при арсход,л 13 рядри аГ' та1>частности,(13.рич!1,аким i1бр" ЮJ\.f, ряд1ХОДИ!,ЮСТLприаюсшднсмрасходитсядру, И 1 'юсобом) и2 ряд (13.33) пе~КОТОР!11 оутверждать.2)Исследуем вопрос о сходимости ряда00L kЫЗ k'(13.40)k=2дс (3 - Ф,1К1'ИРО13 1111i1ЖИТС "нос 13СШСС, 15С1ЧЮ(13.40) можно рассматривать как ряд вида (13.34) при mJ( х)= --,-.
1Iоскольку функция:" l1!' Х=2и(х неотрицательна и не воз~раст "'т Н11 полупрямой Х ? 2, ВОПрi1 1СХОДИМ!11ТИ ряд" (13.40),квивалентен вопрос',' о сходимости последовательности {а n .},гдеnап =J1--.-,хl11di~{21111З Х1- 3X-l1!lnl; I -nвытекает,(13.40) сходи'!iСЯ при3х=2Х=.!Из вида \Т[ементов а niХОДИТС.! llрИ (31и5.11111n -11,1-З1fJln n -что111ln 2при(3при(3i=1,1.последовательностьfJЩ1,1~ 1.
Тii'iИГiи рп.сходится при (3 ~Признак Раабе. Пришаки ДалаI\lбера и Коши были основаны наср,шнении Р".i.iмаТРИВ1Н'МiН'ii ряРЯ'n:iiI\l, ПР!''n:СТiШ.Шi!Н'1ИI\l .iобоiiCYM1iYгеОI\lетрической прогрессии. Естественно . возникает идея о получении бопризпаксш,остто 11ШТТЫХ1111 .ipan1П1ИИрасе· 1припас'·1ОГОрясдр' ГI1I\1И стандартными рядами, сходящимися или раСХОДЯШИI\IИСЯ «медлен-''''Мpi1'n:ЭТОМ'1.Ш г!'омстрической ттрогрессии.'. 'Ыпризпак, iiСТТСН11ШТТЫЙ па ср шттсттии расе·"триваемого ряда с из' ченным в п] едыд! щеI\l пункте станда] тныы рядом(13.411443lOЛО;,;llТЕIЫPl.lbIпр ninaiii'1М MiipOB,,'ото?1iii+lk,или1iOMepi' k, сnр: i.едлиi О Ноер: i'е1iстiЮ0'011 ,2)(1342 iр:хто р.я,д ;-:сr:одитс.я,Phk=lП.;уще;rnвуеrn чреде'![.
(11П1k-+=- РАс+1)- - =L,(13.4;;iiXJС.Т iJu ii;.я, 'ipu2.:]Jkто>L1 и<L'ipu1.Ас=1"б ,iЧПО паз ,ШiiНЛ iiризпаком Г iiiбi' вформе.О к а' а т е л ь с т в о. Раз ;ерем отдельно теореыы1)ДЛii ·i.Оiiаза·i i'.ii.(iT"·· Te"pi'M ,i1 ПСРi'пише'··{ РН 1qТакiiaI< q>>ПiiЙ 'iiiТСЯ пск(л1,+п ii()i.ie iпей фОР'·.iУ.Пi':> 1 _ ~}"/'(х+ х)'2 § 15)"'n:iiПЛi' iПiiрiПОЩСС Пi'ра-цо фОРI\lуле Маклорена сг. i. 8) бу н'м иметь+g'= -l/k. iiО.i)"ЧИМ1-:::' (1)k .k(13.45 igg(1/k)ПОi кольку цоследовательность ~ является бесконечно I\Iалой,пексл "рого п; Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
