В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 70
Текст из файла (страница 70)
ПримерыЮформулеВЫ'ЛН:Лf'ННС, объемов.Рис.11.131О. Объем тела, полученного врашением вокруг оси ОХ астроиды3-32-ла3Of)cьelli тела, lЮ'ТУ'Т('ННОГО НРGlЩ('НИ('М вокруг ОL:И ОХ сину2'.соиды на сегменте [О,л]. Имеем7гV= 7r.17гsi11 2 Х d.T =7rо.1_1_-::--_оПлощадь ПОВf'j%ХНШ~ТИ врнщения. Рассы,4.fT] шыпове] )хность П, обраюванную вра! lением вокруг оси От графика функции У- f(x)заданной наCCTM('llle [а, Ь] (рис.
1 . 4).ОпредеЛllПОЮiТие 'Х',иадрируемост'и поверхности вращенш: П. Пусть Т-ра:~биение сегыента [а, Ь] точкаыи а = хо < хl < ... <= Ь. иlYCTl. А о , А , ... А n - СООТl,С'l'СТВ'!"ШИС, то'!ки графикацИИ ЛХ). Построиы лоыаную А о А 1 ...
А n . При врашении этойанойосиMl.!пол\тти:·!хность П(А i )составлен-ную и:~ боковых поверхностей усеченных конусов. Обо:шачиы чешощаДl. поверхности П(А i ). Если Yi а li - длина :~BeHa li-lА! ломанойрсзв точкахО]Xi,f(x),тоnP(Xi -~л Lij.-l+ ijz li -7ri=lОП] ,еделени:.. Чuсло Р!Ш,!'j,i.nаеПUJl nредеЛ()А'P(Xiесл'u дллдаШlOгоАоnОЛО:JfC'UтелЪ1lO-ii·O:JfCHO'Ч,'Uсла( 1.32)i=l!1глируеы сл( дующие'jюбогоL(Yi-1/'Х',азат;,та-'Х',ое nОЛО:JfC'Uте/!ъ'Ное 'Ч,'!fС/Ю 8, 'Ч,тодлл любого Р!i!б'Uеll'UJl Т !ег.foлеllта [а, Ь],iiа'Х',С'uмалы-taл дл'u'На Д.'ч,аст'u'ч,llыlx!'j!!60сегме'НтО68.
6ыnл'нлетсллIP(Xi) - PI < Е.'Х',оторого'Не7Ю6, 'Н.20. ПО6еli,[:'Ност;, 6JЮ'inе'Н'UлlШТЫ6!!ет,'Х',6uдр'Uруе.АЮЙ, еuшг"CY'UJ/:Cm6Yi:m nl i еi i "лP(Xi)' ПР'U ЭПЮ.Аt 'Ч,'uсло Р lШТЫ6и,'тсл nлощадыо !i!i6eli,[:H,icm'u П.Докажеыдение.следующее утверж-'и•.11.14i!Ze?! !U~.MплощадьIр = L.тr Лх)ах.(11.33)ад о к а з а т е л ь с т в о.li звена A i - 1A i ломаной А о А 1 ... Ал равна J(Xi - Xi_l)2 + (Yi - Yi_l)2. По формулеЛагранжа имеем Yi - Yi-1 = f- J( Xi-1) = f!(~i)(Xi Полагая Xi = д,.Гi.
пол\чим li = .,)1 + f'2(~i)д,Хi' ПОЭТОМУ,согласноДлина(11.32),лi=lП! рв!iЯ СУ'Ш\.f!i В пр iВОЙ части !!!!!ТНi}шения!!!б!!й ИНТiтраЛi iУЮрая'еУ фV iКЦИ(11.34)ПРi'дстаВiяет2тrI(x)v1Г2(х), ко1'ов силу условий утвержтения, интегрируема и имеет пре1l,елЬ= 2тrJ Лх)'м ЧТ!idx.,IражениеФ тур-аеЫХ С !!!БК!iХ ВР!iВiiЫЙ НУiЮ.Ч!i!'1'И со!!'! се!!ТТТ!iiУС'ЛияЕ -1'с'1' ПРiлюб !е Пi! i!!iКИТi . 'ЛЬНОiчисло. Так как ф' нюшя J(:r:) равномерно непрерывна на сеГJ\Iен1'е [а,1'0 iютаННQгiУ ЕО М !iKHO УЮi,aiЪ 1'ае:!!е 5О, [1'О iiрИД,(д, = шах д,Хi) выполню iтся неравенстваf(~i)Еу,(~i)1Е.
Е! iи JvI !,iai i!:е.Ш:.i.чеiiие фУiiЮiИbl.>>IYi-1 -<.,)1 + f'2(x)на сегменте [а, Ь]то для выражения в фигурныхскобках в правой части соотношенияполучаем оценку(11n{I<jГ!ГС!) !\Х }"_,'/iw'/i=lл2JvIL д,ХiiВ силу iiРОИЗ:ЮЛ:i!:СТИ Е>Оiiре1l,ел ус!а'i;i'=2JvI(bа1е!НО ВЫР:е !!,';ия р:.е.вен Н'iЛЮ. Итак мы 1I,0казали существование претела Р пло! !.а-ПР'д',.'л[1'(1ДОК i заШ 1'ржДiС"а 'РИР'С'·"ЮВСi'но ДОiiа',ать при '10, ,ее сла,iых усювиях,1f"H ,((.иябыла ОПi ,(,дсл,'н""р"(остаточно потре' 'овать, что,iыи интс, РИi "С,еа на сс,по~,о пре'щоложения вытеiiает инте,рируе:\юсть Фунющидо,ю,ше,ше1к г".'см.,]а,'Ы1ейшие раССУii,деШj', пиче',10).пе о,',шчаю,'ся О'"рассуЖ.'fениЙ, проведенных при ДОiiа',ательстве утверждения этого пункта.3 а м е ч а н и е 2. ЕсiИ поверхность П по, ,учается посредствомВ! ,"щс, шя вокруг ОiiИ Ох кривой L,'! ,('дсл (('мой п,,"""ри ((', кими УР"В[П1 j((ми ;с-;(t) У 'Ф(t) а ( t ( ,В, "О 'Щ(,1 ,'ШI((',' замс,еС: Ч'МСiiIIi ,1 1под :знаком опре.'fе, ,енного инте,ра"а в форму, ,е 11.33), по, 'учим с,едую==Щ(,1' ii!,1раii'С!!ИС дл(( площади Р этойЮВСР' ю,зр = 2т.f11.35)Рассмотрим примеры вычисления площа1о.
На,';дем п,ющадьп."+Ь2 = 1 вращ ,ст,"округ ОiiИ Ох.(враще,ше вокруг '10"=1Iir j(,л"луч"й>,шой оси ЭЛ,iИпса). Так как в э,'ом с,у 'аеV ~ Ь2 ,!!. ';n 2 - х 2 , ТО, пол"г 'я е =nаj(,ЙД, М2а--аЕсiИ аповерхносте,', вращения.поверхности э, iЛипсои еа вращения. Пусть ЭЛ, iИпс-а< Ь,то. по, ,агаяи прово."Я соответствую "ие вычисле~ния, по"учимр = 2т.Ь (Ь + ~2 !"Ь еln _1_ ) .- е. Найдем площаР ювер' юс' и, Оiiра:ювап юй враще,ше', вокругос" О;с циклоид ,1, определяе', ой пар"', е"рическими ур ,в!!еп '((м j ;с = n(t= а(l- sin 1),р=2т.cos t),/ф(t)у§ 4.r.pf2(t)о(+,t (2т.. По форму, ,е(t) ,lt =~(11.35)имеем2"2у 2т.n2(1 -ОБ64 ..2t) 3/' dt -_ -т.иНекоторые физические приложенияffrIIрf.:де,JIf . :ННОГffrJIII'I.еграла1.
Массацентр 'iScIЖf:СТИ IН:ОДIЮРffrДНОГffr C'IepjHIIScI.РаССJ\ЮТРИМ нео1l,НОРОШЫЙ стержень, расположенный на сегмен-линейн iЯ ffЛ(УГШ [(''Г! (''Гер}кн ,! 1)ceri'eHTi'Т(iЧi<а,iИХ})(>СИимна каждам частичнамсегментеnтачК" ~i и саставим суммуp(~i)1:::.ji Так как каждаеi=lслагаемае этай суммы представляет саСюй приijлиженнае значе-ние массы части стержня на сегменте'(''Гес! }ieiiИa ffРИНi'i'Гi[Xi-l' Xi],за ffриблиit>ета } казаннуюiiiчение}iii('(Ъ1всего. стержня. Сагласуясь с этими пре rваритеfЬНЫМИ рассуждi ниями, мы,массу JvI 6сегn cmep:HCJ-tя 'Х:а'Х:nСЦ,м,м2:= р((;nри сmре,млеНШl 'х: нулю1:::.
=1:::..z i ) m.е.ь'Х:а'Х: 'UЮn~i ралJ р( Х)Таким абразам,аь=JХ11.36)dx.аДля (шре,Jl,еfенияiii'HTpiiтя)[(i ('ти не(лнаР(ЩН(}Г(i ст( ржня,1п(шь (,У'юj! 'fЛЯ i«ЮР,Jl,И!B(iC,1'(''ГИ ('и(''Ге)'материа, fЬHЫX тачеК" имеющих массы mi и распо юЮ}(}Р,Jl,ИНi,i,та Х с ll! HTpii тяжести системы {mi} мажет cыть наЙ,Jl,ена па фармуле{mi(Xi)})[«'нных в таЧКiХ Х; (>си О;т. ИJ\.fенН!)Х;тl;Сl + т,;с, + ... + тn;с n=тl... < Х n =т2...'т n2: mixi /2: mi.=nni=li=l(11.37)pii (биение Т (егм( нта [а, Ь] т(}чк!iми а ХаXl < ...mi части стержня, распалажен-Ь И)еее}' т>(11.36)тn;Х"JХ d,T.
Применяя фармую(10.13) Cpe,Jl,Hera значения,З;i-l=паю чим также, что. mip(~i)1:::.,Ti. Считая, что. масса mi сасреi ен;! T(i'се f '; ент;! [Х; _ ,,1 'юже,; расе;;! триватьнеаfНара,Jl,НЫЙ стержень как систему материальных тачек с мас('аi<.;И тn;, р i('П(}Л(i<;",еых В Т(iЧi,;ах ",;i=l1)ниеIi:сли ":"т -,куьХ"2: тn ;['Га [а) Ь]. Па('кор(х) d.z -Jdx=M,аМ;;СС;; ч;;стиеа ССГ, ПIТ;' [;с ;с+ 6;сто отпош;'-\т/ \х на';ывается средней лuнейной nлоrnносrnъю стержня на этомсеГ\Iеп;е. Липейпой i,1О; ;ЮС; i,Ю р«) па (!,Ii;ае;ся предел р«)l~r:;o ~7·I.апаШI'Го IЮ ф<чнуш(;рди;аты·м(1 .37) H;;f.;ц;397IИI.Ip'Iиженн;;;;жение'IЛЯ ко-;'Гр;;(1 .3S)f 5ыражение,стоящее(1 .38), fIpe1l,CT;;'вчислите.Iехр(х) на сегменте [а, Ь].;·УiК1I,ени;·;HOP01l,HOrO"';ыправойсоБОff инт; гра.частисоотношения;ую су;·;у 11,llиисоответствии с проведенными рас-ре1l,еIИ;.;ко(т';;';ату Х С це;стержня по формулеьJ xp(x)d!хс.::.а:ь -_--р(х)(1 .39)d!а2.Рабо·лаm·р;.о;;·щ;;;·'ГсяСИЛI.эI.
ПЭ сть материальная точкатОчки а о;';' Ох в т(;ч .;у Ь ;т;;й о;';'ем си.ыI F, параллельной оси Ох. Ву ,ем считать, что эта силаявляет;·' фу;Х, (;fIpe1l,e.IeHHoji н;;;'Ге [а, Ь]. Пу('Г;- разбиение сегмента [а, Ь] точками а = ха < Х1 < ... < х п == Ь. ВыбереJ\.f на кажюм частичном сегменте [Xi 1, :r:i] точку ~i итбу'н;илыи'Гать пр;;б. Iиженн:F(x;а;а·р;;бо'Г;.Im·р;;(;ЙЬiясь С этими предваритеънымирассуждениями,А переменной (илы ;4'(х) на сегмент;мы опре1l,е.ШМ[а, Ь] к,к интегр;.;ЛьJ FIX(lх. Таким о;;разомаьА=J11.40)F(x)dx.аДОПОЛНЕНИЕПРИМЕР НЕКВАДРИРУЕМОЙ ФИГУРЫтрсугол .;;ик;;,всршип.котораяиз ГР;;;РИiН'гающи; К ;';'имэдалс;;ы ';'очки Д ;эх его сторо;;'орпr;;.Ра; мотрим по;(iy;eT частью ;раницы неквадрируе;\IOi'; фигурыпроизвод ;';'сядву;КрИВОЙL.Это построение;У;'с;; по;лсдова;·сл;.ш.r; 'далс;;и;~ ОПРСД;'лс ш;.r;; полу;·;·Kp;.r-;ЫХ ·;реУГО.;ыrиков И'; пеко;'ОРОГО даш юга ра;;по 'едре шого пря:\юуго.;ыюговсршип.Трi'УГО,1ьникашачим Т[О,,1ЮТОРЬf1'r(рис!,1Я у ю 1r 1"тва!а,1ЬНi'1'!1!ШХ ра1ту:;,кдений мы обоКоординаты вертттин этого треугольника равны (О, О),1]Опиш('м !'сп('р!, прm!('r1,,)треугольника Т[О,1](1,1),ЮС[('ДОI3"т('л ,!1ЫХ уд 1i[('ПИЙ изопределенных полуоткрытых треу; О,1ЬНЮЮВуххРис..Рис.11.1511.16уд"л,r' !'ся полу !'!'кр!,г! !,ГЙ !"р( ,тол!,пик, одгр I3СРШИГ!ir ко 'орого и',коорди!!а!!,г (1,1), а ше другие расположеш,г !а оси ПJ.
Пло ",ал,емого '!'реjТОЛЫГИК" раШ!ir 1/4. Получе!!I!irЯ I3 резу л ,'!'"те фигур"Sl удаизобр,,жена на рис.[1/2.1],плошади2.11.16. Она состоит И1 !БУХ треУГ01ЬНЮЮВкотор!,гхтреyr01ЬНЮЮВ Т[О,шк,','м"1/2] и[1/2,1] удаляется по одно:ну треГ01Ь-/8.!лощ 1Д('Й ки!'ор!,гх р"в!!а2[0.1/2] иР"В!!Ы друг другу.!ура и:зображена на рис.Т[О,Т[Т[11.17./2,[[ол, '1('ш!а,I3Л!,'!'"Т(' фиОна состоит И:3 четырех треyrО,1ЬНЮЮВ:T[3ji,плошади котор!,г, ра!ш!,г друг11,другууРис.3..1;Рис..181(аж,'ЮГО ука:занного треугольника удаляется по одно:ну треУГО,1Ь-шк,','м" SЗ !ЛОЩ"Д('Й ки!'орых1/16.
[lол, '1('ш!а,рсзую,та!'сфю ура и:зображена на рис. 1.18. Она состоит И:3 восьми треyrО,1ЬНИ юв:Т[О,/8]Т[1/8,1/1] Т[1/1, 3/8] T['i/8, 1/2] Т[1/2,5/8]Т[5/8,3/4],Т[Зj1,7/8], Т[7/8,1],плошащ 1ЮТОРЫХ равны друг другу.Из к"ждого указашнику. су:нмаS4трсугою,!шка удаляст!п,юшадей которых равна1/32.по одпо',""",тол!,-ПО,1ученная в ре ,ультате фи-I.ОПО'IЮгура и:ЮIiраЖi'на на рис.равно('! пло (а'ЩОна состоит и:~ тттестна щати ТРi'угольников11.1(4Ка;.КДЬП'! и'( этих трег О.(ЬНИiюв }\]ы оIiuшачим симво.юм0,1,р!"лыrсйш (Й::с: ·i'ЙЩ м!рm!.ссс (далс ШЯ трсугол .!ШКОiiL.К ОПРСД('ЛС!ШЮ кривой,ео399IИI,.: ·ица!·ел!.ш.rецел!.rеворяющие условию р<числа,2 n ).n -(р ИТ:Н (тол!.пики!сШ·р!.люб!.ri'удовле!'упо.
(ученные вописанном вы((е процессе, оii.(а.·!дЮТ с(е-дуюшим СВО('!ством: пусть Т [~,".р,Тких,?'1 +2n '2П'+1-два.!шка1РlчтоТогда второй издержи'!'СИдую (ее1],акже сле-очевидное своиство~ 1]: приков[;"{Т:nkk Pk+10-(ков'е: ·вом.}k=. 11. 9треуго.(ьни---+ 00 их диаметры 1 стремятся к нулю. Пусть('тЛ2'U6а'lOщаJU',я, СШ'тсма ;ПРСJj20Л ".'11'1(;061.(это о:значает, что трего. (ЬНИi(. отвечаюши i инде!iСУшк. от i('Ч,JЮШИЙ ИПД('ксуСТРС" И'(·СЯ Кk+'риК,(жд,(я (',(каи00kk,СО.'(ержит трего.(ьд (амстр'.] трсугол .(ШЮ("(яг ша ощ,(яся ('''ст(·.ма ;ПРСJj20Л "·'11'1(;0611мсст (Ю6J,О оду,у общун' ;nO"i'l(;y ).в( i"юзможш.н·(яг(шаюiiшеся систем'.r ука:заш '.rx '''.rше (·реугоЛ!.( шков. КР110УЮ L мы оnредеЛ11.'·'l(;a'l(; MJ,O:JICeCm60 {JY} 6се60ЗМО:JICUЫХ то че '1(;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
