В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 67
Текст из файла (страница 67)
,,,о прид СПр",-ведливо нет ,авенствоl(tСлучай<О6.t+ 6.t)-l(t)< Е.,ассматриваете" анаЛОГf;ЧНО.Пер"йд"м ,еш,'рьдою' ""ел"ству утвержД' пий 1), 2) и 3).Д о к а з а т е лс то ув е р ж Д е1). 1Усть Е - любое фиксир",,,,ш,, ,е пол"жите ,blюе ,!Ис"". Так как[((3) Bceii криво i L, ,юределЯi'МОiпар",метрическими урав,,, пиямиявляf' ,ся ,О' шоверю" йiГ[ ,анью длин вписанных в:,ту К[ 'f;ВУЮ ломаных, отвечаЮЩf;Х всевоз:ю 'i.НЫ'разбиi.'IIИЯМCi.TMe, ;,а(3] т" длябие, ;ие т** се, Mi.'IIT' , [ад]я;;писашюйкри;;уюда, ;по, О ЕО'ЛИ ;ается ОТ>Ом"ж,ую,,,,,ъ таю ,.' р"с'" ',Еетствующеii юм"поiiме,;;,ще чем па'12.До;iа;;им кр".збиi.'IIИЮ т** ,о !:су t.
В силу ,еммы эт, 'г" пар, ,'Граф" и "ПРi.'Делi.'IIИЯ длины дуги длина ло' аной, отвечающей полvченному ,азбf;еш; т* сегмента(З1, ",ЛИ'!"",СЯ1((3) ме ;;,щепа 6/2 и эт"юм{ш{ш имеет с;;,,,'йвет,щиной точкуК['f;ВОЙ, котот,ая соответствует точке сег:,;ента [а,ктелство уверждеия 2). Т,,, как 'f'Прi.'рЫ;;ные на сегменте [а, (3] фvнкш;и ср(t)Ф(t) равномерно неiiрерывны на:,томCi.TMe,;,e, т" поiioro раз;iие,;иязад,ш,,,,му>6О можпо ую,,,,,ъ т,кое дТ сегме,;,а [а>О, ,,,о д,,]яс длю;ами части'шых сегме,;товме ;;,щими д. ш,IШ' ,,;яю,ся 'fpaBeiiCTBa Iy(t,) - y(t,_ )1 < 2~2у!2'ПосколькviЛf;на1,,ю[t,-l, {;,]'(t,)-звена ломаной.
отвеча;, ,щей данно-+ [1ft,) - 1/'(1,-;)]2 т" о';е,шдпо,р"ссмотрим ,еш'рь люб",' фиксироваююе разби, пиf' т' C'TMeii,а [а, ,J] с длю;ами ,;астич,cerMeiiTO;;, мепь "ими д, и ю!iа ;им К ;емуму р"збиеiiИЮ, р",ша V[y(t,) - y(t'-l)]21, < Е /2.ТОЧКf; раз!iиения(с:,;. доказательство утвеРЖ,iеш;','полу !им р,,:биеiiие Ти уювлетворяюща'"ю 'тор"му ",Ее,!'",всем УСЛОВf;','части lV[,юм,шоii. мепьшеllv[, кривоii LаIk-,езультате мыLутветД о к а з а т е л ь с т в о у т в епая MolVf 1 .. . lv[, lMkMk + 1 ... lVfn УДОВЛf ;ВОРЯfи 2). Убе,!ИМСЯ ',,о длю;а ка)кдоii части К[ 'l'ШОЙIЮМ рассм"риваем"й1).вписа i!Iая в кривую6.ня 3).1Усть ломаус ювиям у 'Еерждi.'IIИЙ 1)" с,я,'и;;аемоii л;, ,""IM з;;еВ сам, 'м деле пустьД,ЯIпа"р'па Mk-[, -Д",ИIIalv[i. л"ма,,,,Й. То, 'д"в377силу vслов !й VTBep)K!,f~H!! с!1).Е/2свыполн !ется нет ав,'нство1ПОСКОЛЬКV ка !!дое слагае· ое(lk<)( Iтсюдапоследней сум' ы неотт !щательнои и:~ нет авенстватоfk< Е.пер" (f'ПСП,,,П, ,нятиешиныlУГИ пр,нтр::нств( нн,(й КРИВ«Й,;а l:ШНОЙ п::Р::l!:Н~ll)liЧLСЮiМli УР::ШllLНliЯ!:lИ(1 .J),гии Сюской кривой.
Рассыатриваютсяюнятиеы длины Д'шиныl(tiчтоиiШОДИТС)1 В по.iНОЙлоыаных, вписанных в кривуюL,причем очеви.ШО,nПространственная кривая L, определяемая уравнениюш 11.5),назынается сnр:<,млле.'(f'!!U, если множество {l(t;)} длин ЛО:lаНl,IХ,вписанных в эту кривую, ограничено. Точная верхняя грань lэтого мно/!<ества называется длиной lУГИ кривой L.ОТ,lетим. по !юст!)анственные СПРЯ,ШifеМl,Iе к!ншые облаlают переЧИС,)1енными в этоы пункте свойствамии10, 20,оДшсазате.iЬСТНО этих СНОЙСТ!' ПРОНОДИТClf сонершенно ана. югично доказательству для плоских кривых.5.Достаточные условия спрямляемости кривой. Фор-мул!,! дл!! !!ычислрния длины дуги!юi'tiТеорема 11.1.
Ес.lШ фУi!.'I\,ц1t!J Х =1t У = ф(t) !( ',,!ют 'Насегме'Нте [а, р] 'НеnреРЫ6'Н!,;е nроиЗ60д'Ные, то r.;р1t6ал L, оnреде"'!',малуро(('Неi!!JЯ"''' (1 .3), (т!рл I'!Я' .,ча 1tдЛ1l'Наlее6t,lтъ 6Ы'Ч1lсле'На по формулеJJ.3l -tp'2(t)д о к а з а т е л ь с т в о.+ t J2(t! dt.11.10)Докюкеы сначала, что криваяс! l!lfмляе,lа. ДШf этого преобразуе' Ш,IражениеZ(ti) ЛО,lаной,исаннойи отве'fаlощейноыу ра;iiиению т се; ыентаимеlОТ наcer:·leHTe(1 .6).Так как функт~иир] ПРОffЗНОДНЫ(" то,LдлиныJЮИЗНОЛl,-tp(t)си.и,,·(t!Лаtp(ti - tp(ti-1) - tp'(Ti)b..ti rl.e ti-1 < Ti < ti b..ti - ti- ti 1, и)1ф!(тnЬ..ti, rl.e ti 1 << ti.
ПОlставляя найденные вырюкения для tp(ti) - tp(ti-1 и) - t(ti-1)граюка,пран'ю (асть ныражеНИ!f( 1.6), юлучимnl(ti) По УCJIОВИЮ функцииL Vtp'2(Ti!tp(t)и ф(t) имеют на се: менте [а,11.11)непрерывные производные. еле. ювательно, эти производные ограни-ч(H;,I,0:, р]И ПОЭТОМ.'"Щ( ствует таю;'М,чт;;с; lk;ВС;ДЛlfEЫ11)тогда и:~ формулы(1)[ЛЯ всехИi ;ег:ентаИ Iф'(I)11мвытекает. чт;;Таким образоы, ыно:ж:естводлин вписаННЫ:I в кривую[l(ti)ЛОi;аН;,iХ, ОТЕе'iаiОЩИХ ЕсеЕОЗ:.ЮЖНLразбиеШiiiМ Т сеГ:·.;ента, ограничено, т.е. r.;рива,я L сnр,ям,л,яем,а. О()означиы чед.шну этой кривой. Дока:i<ем, что д.шна кривой L ыо:ж:ет0:.резбыть ВЫЧИCJlена по форыуле (11.10). 3аыетим, что правая частьформулы (1 .
1 похожа на интегралЬНУi" суммуn11.12)нтеГI)ИI).'· ем ойФ." ""т... т и".'.м.,.V/ "f'..I 2f\, t)I+ .,I,,lf/ 2f\, t)'эта(1)".'.1,.сум-маTi} отвечает разбиению Т сегмента [(1, р] да шомубору точек Ti на чаСТИЧiсе, ыентах [ti-l' ti] ЭТО, о раз()иения.До'Ко.Ж;:.м, 'Чrnо дл,я'iюб,'го ·ПО'!· 'жuн (· 'i'bH(Ji'i· ' Е > ОYf.aщт'Ь тm.·();: (j > О. 'Что< (j= шахiiЪtTiO !'Н,яетс,я'Нераве'Нсmворгде 1=J Jy/2(1) + ф!2(1) 1ft -редел iрИ ~---+инте, ральныхQсумм (11.12).
Нныыи«мелr.;Uf» разбие'Ни,я;mИЫ(Li!'НЪtх(5('стато'Ч'Но"','КР!JвуюОН'.,См..мало ('тJш'Чоютс,я ('т и'Нтегрочасти форыулыI(11.10).1,стояще, о в правойОтыетим, во-первых, чтоj ',0'2 (Тi)Ф'Ч тn - J ',0'2 (Ti) + ф,2 (Ti )I :::;;: :;IФ'(т'nфl1n;1),1 . 4)) Д.JЯ Пi' 'У'lе!!ия l('р;шещ:тв (11.14) мы ВОСПf1.• iЬЗОВ ;лись пер 11<'ПСТi'f1МIva2+b*2-Ja2+b21~lb*-bl,r;e(1",*) И(1",)инеравенством IФ' (1",*)iI ~(;З',Т(;Х неравенствf1'lеВИ.Jf,ак как раЗ!!f1СТЬ любы·(ИИбf1iЫ;<' раз!! ,Стиее ТО'ШЫХ Г) а!!еЙ. докажем пет ,сОе из vказаюrых пера ,епсТi'. Имеем1V п2+ Ь*2v п2 + Ь '1Ib!2Ь2 1-vra~2~+~b~!~2~+--\!/a~2==~b2 ~31')и 1n;гдете[1(1)ШЬН: л ани ф'ш<т~ии, i] в С ту (1 ' 1 ,(11 2)на !аСТИ'Ш()М С( гм( +справед!Ив !,! нера-1 14)вештва-I~:: tIn'2(,,-,), .
и2r"!т 'fJIj ср'2 (Ti) +t'2 T*)-v ср'2 (Ti) +ь.. ti :::::tj/2 ( Ti)'l=n::::: L(Mi - mi)b..ti - S гдеS и 8 -11.15)5,верхняя и ни:ж:няя суыыы функцииф' (t) для ра:биения се,ыента [а,. Такинте, рируемы на се, менте;роизнодп,;х rp'(t) иф'как функции jrpY2(t)Yf2(t) и 1j/(t)la,{ЭТО вытекает из непрерывностина сегу!енте;3]),ТО ИЗ о;инте,рируемости и из теореыы 10.1 (см. § 1 и §кает, что для любого [;о ыо:ж:но указать такоед (ь..
= шахВ!,;ПО;Шf;"ТСЯ неравенства><5Поэтоыу при ь..<,в силу11.15)и3гл.>иявытеО, что при< [;/4.(11.16),1.16)справедливы неравенства . Il(ti - 11 . .'-: II(t/) - 1{ti,Ti} + ~ ti'~i -,11::::: Il(ti1{t'l Ty}1 + 1 "'l} ,1[;/4 + [;/4 - [;/"" Та"и образо.справе. лив ость неравенства (11.13) юка:ана.Дока:ж:еы теперь, что cpe{jn всев(),! I,УiУЖifЪtх ЛО,м,(LiiЪtх,I(ti 'К:оторууу! удовлетвор,яют 'Нераве'Нсmву (11.13 " имеютс,я ло,м,aHЪt''К:oтOPЪtX i'тJш'чд.ютс,я mп дJШ'НЪ!ме'Нъше 'Чем, 'На '/2,. i ак какТО' ная нерхпfЯ грания:' сеГ:·.!е па [а,,1],"ножес! на{7Lдли}Lи отвечаю; !их BceBO:~MO:!;:HЫMто наие т* ,ТО-лоыань х, вписанных в кривуюго CCiГM(TTa, что д !Инадуги 'К:рn.вой(t'j)творяет неравенствамо(1 ) < [;/2.Разобьем теперь кюк.!ЫЙ и: частичных сегментов11.17)[ti-l' tiразбиеНЮf т* на CTOfЬ Мiлкие fасти.
fтоб!,; мar<сима;Ыfаif д !Ина ь..раЗi)иения т се, мента la.,полученно, о Оi)ъединениеы указанных разбиений, ()ыла ыеньше д, ь..Очевидно, что длина< .i)ан, ,й,вен, тв''ряет( 1 13)биению т*, являются т iкж:е вер iiИН,iЫИ лом !Ной, ;;твечаЮi <ей,тоСИЛ' леММ;,1[(! )С тук;е; В;;Ш;ZТнер шеНСТКiоИтак, мы: :; l -l(tiюказали, что среди ломаных, длиныудовлеТВОj>ii;Т неравеНСТБ'(1 . 3),неравенства11.1J)и(11.18)Il в СИ,роизвольностиЕl(tiкоторыхимеi;;ТСЯ ломаные, ДЛИ;;оторых удовлетвО1 > ";т неравеНСТБ'I (!11.18)<'/2.;,1(1 .
8). Сопоставлю;получим сле ;ующее неравенство:11 < Е.отсюдавытекает,1.чтоТеореыаюка ;ана.3 м е '1и1. Ее,," фу'Н,nv,i'Uu '(t);,а п~гме;'m,е loo,огра'Н,и";е'Н,'Н,ые nроuзвод'Н,ые то nрuвая . определяемая урав'Н,е'Н,uямu (11.1',спрямляема.
В <;;"мом дел,' в прощ.'сс'· д",;азат,' ,ЬCТi;" ,еор;'мы (11.1) мыустаПОШIЛИ 'по при "СЛОШIИ огра!iи';ешюсти ПРОИЗВО,;ЛЫХ фу;(иi; cp(t)идлпrы l(t,) ЮМ,ШЫХ, "пис,ш;кри"ую L и ОТi;е'lающи' всевоз,азб,;ен,;'"Т сег' ента [а 'J], ограничены.'12. ФОРМ;j"а (11.10)i",['Ч,iif "е'Н,uя д 'i',;;bl дуг!!у' (t)(t) PiipeaeA/CUbl u uюnегрi руе.мы паомду,.,деле.,;з интегрируемост,;ИХ о; 'Р,ШИ'lе; ;ПОСТi, И ПОЭТiiМУЭТИХ Щ Ю,;ЗВОДНЫХ слеси",у заМ;''lа; ;ия1,СПРЯМЛЯi'l\!ОСТi, iiРИ,;ой L. Заметим ;алее, ';то для ШШО,;а пера"епсТi; (11.14), (11.15) и (11.16),следовате"ыи пер""епсТi;" (11.13) ДОСт,пО'ШО ли!! " сущесТi; 'jj'ПИЯ иинтегрируемост,; ПРОИЗВО,ШЫХ у' (t) иФ'так как отс;' ";а,, согласно 10-по,лrе!iИЮkeгл.остальныеавытею,ет и ;,егрируеМiiС ь фупкции,асс' )KieH,;" такие ",е какефунк:ции уаИ еЕгVrp"(!)+ ф'2(t).вюказательстве теоре' ыК:{ uвал,11.1.л,влл,еrnсл,j (х), им,еЮ'щей 'Нл сегм,енmе а, Ьj' (х ,i,P1ti}O' L СЩ'i.млл,е АU иHenpepъtвHYH;дугим,о шеrn 6ъtrnъ найдена по ;.fJорм,улеьJ}1 +11.19)1'2(; ) d,!.аДля юказательства ;аметиы, чтоф' НfПИИ предстаЕШiет собойрическими уравнениями х = t, У =О'iевидно.
;;ы;рафик рассматриваемойопредеШiему;;' пара;;ета :::;; t :::;; Ь и при этом,;;се'с.ЮЕИ',; тео;,ем;.!1.1.Поэтому, по.;а-ая в формуле (11.10) '(J(t) - t, ф(t) - /(t) и заыеняя переыеннуюинтегрирования t на ,ыы получиы форыулу (11.19). Отыетим381та <же,что(О)если~к!~()пйнепр( рЫВНУЮдугиурав {(пнмим( (т на сегеюс'()ШУЮ, т'; крикiЯ, ();]спряыляем;; и длинаLlф"рму!еможет(11.2n)[01Дляюказательства восполь ;уемся формулами пере ш,!а от полярных коор шнат к!екартовым= Т(()) SiIl().cosх=Таким о(iраюм, ыы ви шм, что криваяLопре, !еляется параыетрическими уравненияыи, причеы фунюши rp = Т(()) cos И Ф =SiIl \Довлетворяют УСЛОEfiЯ;! теорем!,! 1,1.
ПодстаЕ iiЯ(11.ука;аю!ыешачения rp иф, МЫ ПО'fУЧИМ формулу (11.20).Сфорыулируеыдостаточные,iC ювияСПРЯЫ,iЯемостиПJостранственной кривой.j',слиrp(t)ф(t) иX(t) (( ',,(юrn'На ceг('('Нrne [о:,HenpepC,i6Hble nроиЗ60д'Н "е, rnо r.;РU6а,я, L, оnредел,я,емдя ура6'Не'Ни/г,ми ( 1.5), сrЧii,мл,я,е\uее дуги \,(iжеrn быrn'ь НОйде'На по форм,улерl =JV rp'Чt) + i'Чt) + Х'Чt)11.21)dt.Дш;азате,fЬСТ ю аналоги шо дш;азатеfЬСТЕУ теорс,м!,!1.1.3 а м е а и е 4.
Если ф' пю,яиФ(t) иимеют ограПИ'lе,пые па сегме ,je [а,;]] ПрОИЗiiUД ,j,re, т'; кривая L, опреде"шем,ш ур iшrе"и11.5);ямляема. !',слиэто' ПрОИЗВО,шые указанных ф' НКЦiiЙИ!,jе,'рируемы па CiTMeiije [п.,. Ти Д нпrа l дуги КРИiiUЙ L мож(' , бытьвычислена по формуле (11.n !, за\,ечаю, " 1-6. Дифференциал дуги. Пусть= rp(t)ф(t) имеют на се; ыентенепрерывные произво шые, В10:,этом случае, втеорем!,!1!еремендуга!редсавляется CJlедующей форыулой:Jу'ср'2 т: + ф,2(т)tl(t) Так как(11,22)юдынтегра fЬная функт~ия внепрерывна, то функция[' (t)l(t)= у' ср'2 (t)dT.11.22)!равой части форыулышфферент~ируеыа, причем+ i 12 (t)1Зг.JaСТИ,П,i,i;Y l'(t) dtранен, ТШliИ:"[ф' (t) dt]2[l' (t) dt]2По' i;ОЛп, ,СifщнеГ,idl.
'P'(t) dt - dx.ф!(t)dt.2:.\)dy,.23)и:~11.24)Нз форму. ът (11.24), в частности, Сiедует, что ес ш за паjаыетрвыбрана переыенная дуга [, т. е. хg(l) и у l'L(l) , то(dr) - 1.11.25)Отыетим, что при УCJIОВИИ непрерывности проишо. !.ны:< функШIЙ х= 'P(t), у = ф(t) и z = y(t) для дифферешщаiадуги пространственной кривой, определяемой параыетрическимиуравнепfЯ\:Исправедлива формула(111.26)Нз форыулы (11.26) следует, что если за параметр выбjанаременная :yral, то,е1 .27)7.Примеры вычисления jЕ.ЛИНЫ j[,;УЛ'И.Т~iклоидыl)=аиsint),случае 'Р' -=рассыатриваеыомю форму.iе 1 . О)l-Jа/(1-cos t)2+t1-2"sin 2а (1t dt -2аJ2"Sillонаcos t) ,~ t=asint.-4а!dt -дуги~ 27Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
