В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 63
Текст из файла (страница 63)
аст (ует та'Коеf(nuлегрipy'"imO"iислоьI (:г)!!,=.g(a)М!'. тоьJJ16)iJX .аФо] '\iY'ia(10.16)назьшается ;(торой формуло;; среднего .mаче~1-ttt,яформулой Вонне 1). Сфо]доказывается в дополнении§ 7.+ g(b)iJXюванное(ждениек наСТО(iщей главе.Су} i.естnоnание перnообразной ДiiЯ непрерывной(I?ункции. Осноnные НРНnИЛН интегрироnнния1.i.ествовнние первообрнзной ДЛi1 непрерывнойФУНКП.ИИ. llрежде чем перейти к доказательству теоремы о C(~ществовании первообраЗiЮЙ Д'iЯ неiiреРЫВiЮЙ фУiiКiiшедемПОН(iтпе инПусть фУНКiiП(ifnnерем(ш'ъtМ!(·делим.) интеiрпруема на'iюб~м ceiMeHTe,жащеМС(i в интерва'iе (а.
Ь) и пусть с-ная ТОЧiiа этого интеi 'iiала. 'Тогда, каКОiЮ бы ни былоинтервала (а, Ь)содернекотора(! фикспрован~'У~КiiП(i ЛХ) пнтегрир(ема нансло х нзceiMeHTe [;.Х!.llоэтому на интерва [е (а. Ь) опреде'iена liУНКЦПii,rР(х) =Jj(t) dt 2),сiiОТОрУЮ назьшают интеграло.М с nеременны.М ;(epXHttM пpeдe~ЮМ.
Докажем слеД'vЮЩУiU теорему.Теорема 10.6. Люба,я неnрерывна,я на интер (але (а. Ь)f(:E)им;·;·'этим шtrnерв iлеО')'''iЙи.·( fiер;(ообразных ,я ut,яетс,я фун'К'Цtt,яJхР(х) =j(t) dt,сгде с - люба,я фи'Ксttрованна,я точ'Ка tt1-tтервалаЬ.Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать. что для любогоФНКСИlJOiiЮШОГО х нз интеРiiала (а. Ь) сУiii.еСГiует предешшоезна "ение'l11'111..:'l,r-H'Г· + ,6,,6,:'1:)--F(i), п·.•;ем это предеш ное значение:1;1) Бонне (1819-1892) - французский математик.2 l\IbI 060З1"1 шЛи пеРi'1·,еiiН'(Ю иii еГРИРUВ1ШИЯв"й,наЧi'Н Вi'рХНИЙ преДi'Л ИНТiтрирова11И1i.t,пuС"О ..
iЫ;"·lECTB()iра!Нои "Л(\1,](:1:)§ 5) ),силу"АННЕ ПЕГВ()i JiУ\ЗНС""( iii'йства 60ОПРl:Дl:Ш нных1Т( граловJ:[:Р(.!+ 6.J)-Р(:г) =dt-с,r" c:'l,rJdt+(10. 3)dt -хсПо фо] ,муле,r" c:'l,rdt =сС] ,еднего значенияJdt.х1а"ОДl1Мх+.6.хР(:г+ 6.:г)Р(:г) =-J(t)1ft = Л~)6.:г,где ~ - число" :шключенное межд"v ЧИС1амии6.х.С1Ю'1фующия ](х) непрерьшна в ТО"1ке х, то при 6.х -t ОЛ) -t Лх). Поэтому из последней фОРМУШ 1 наХОДЮ 1~x) - !, Се) =lil11~;!:Теоре1а Д01,азана.3 а м е ч а н и е1.существовании пе]l;УНКЦШI.дела интег]lil11 ]= ](х).c:'lx ,оАнаЛОilIЧНО доказываетс,; теорема о'азной у 1епре] '1JВНОЙ на сегменте [а, Ь])тметим, что в этом сл'vчае в качестве нижнего преювания1;зятьс можноа м е ч а н и еа.доказате'1ьстве теоремы2.10.6мыустановили сущс'ствование производной от ИНТ1Т] ;ала С перемен":ным верхним иределоми доказаЛI"что эта ироизводная равнаПОД1IНтегральной ФУ11Юи! dl) ~ !(х).10.1)3 а м ч а н и е 3.
Отмс'тим, что есш функция ](;Т) инте;рир ;ема на любом сегменте, содержащемся в интерва'1е (а. Ь) тоинтеграл с перемеШlЬЕ1 веР:iНИ\1 предело') предста1шяет собойнепрерывн'vю на интервале (а, Ь) 'Уню;п и от верхнего предела.Чтобы убеДИll,СЯ это ,1, Д01,юке,1, Ч10 П]'аще1 l1е 6.Р = Р(х++6.х)-Р(х) ФунюР(х) =J]dt С1 ];ем 1Тся к ну 1Ю П]с) Прир ;щеi1ие ~; {",ыс(а, Ь).12В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьIо lЬ{"",а lЬН,оl;le 'ШСЛС11,fff<ЦfШ(ТF(:T):г:пключенс ме:rкду точш)йхна Cef\feHTe [х, хНЕжней гранями+ ь"х].послеДf fей формулывытекает" что и b..F -+ О fрИ Ь..ХО.3 а м е ч а н и е 4. IIнтеграл с [еременным верхним fределомчасто исf юльзуется для определения новых Функциi"f. l\lbI ужео! \fе'fалигл.
6, 'fTO пеРfюобраЗffые некоторых элеме парныхfИП не выражаются через элементарные функции и не являются ю:~тому :~лементарными функциями. НаiЮМНИМ, что кЧffСJIУ fеэле\fентаРfф\"НКЦffЙ ОТfЮСЯТС~f, например, ф\"НКЦffхх.Г е- t2'.Г cost 2d,t.оо2.Основная формула интегрального исчисления. МыДоказали, что любые двеотличаЮТС~f на ПОСТО~fтеореме10.6fервообразные данной функции лх)(см. теорему 6.1). ПоэтО'р" соглаСfЮи замечанию1к ',)той теореме, можно утвержДать,'fTO люба~f первообразная Ф хши f х\feeT ВffДfепреРffюй на сегме;[а, Ь]хf(t) dt + С,Ф(х)а[де С-fеfштора~f постоянная.j Юлагая в юследней формуле сначалаа, а затем х =используя CBoi'tcTBO 10 опреДе. feHHbIX интегт алов, наiдемиЬФ(u.)(Ь)С,.1(х) dx С 1.аIIз этих равенств вытекает соотношениеь.1(х) dx = (Ь)-(а),(10.18)анаЗf ff;аеюе осн.овн.оU ФОРJ>iУЛОU 'ин.тегральн.ого 'исчислен.ия 2).1) в этой форыуле переменную интегрирования мы обозначили буквой .Х.Ш)Сj;о.jЫ;У верхш)й') Этуjр'·де.j имее;''1'jjja'j' jjЮ' Ь.jjШЖ" фор.мулоiJ.
Нъюmона-ЛеiJ.бнuи,а.lECl355В()ВАНllЕ ПЕГВ(), НУ .ШС)Иегрппъ11,,)'иД/С,)))[3))[11,пегрipЮШ)!'/},Л.,OTKPЫB;H~Tныхчто1ai!ОС1широки!'интегралов.лаи!! ))'1ра. !!,ног!)в(х~м!<жности!Яюсколькузадачавы' 1И!18НИЯвычисленияисчислеН!!ОПР8!8.18Н011ределенного1!Нтеграла СВОД1!ТСi!задаче раЗЫС!Ш1!ИЯ пеР1юобраЗ1ЮЙ ф\'нкц:ии. l\1етоды разыскания первообразных были достаточно полнора,работа1!Ы наМ1!главах G 7 ЭТ010 к\тса.Так как 1Ю М1Gтrучаi!Х разыскаН!!е первообразных представляет со()0!·'1 трудную задачу, естественно поставить В011рОС о1риближенных методах вычисления 011ределенных интегралов.В 1Л.
12 б\дут Yliазаны некоторые \!етод!) ПР1!БЛИJiiе1 Ю10 вычисления 011ределенных интегралов.Формулу(10.18)иногда за11исывают в иной форме. Именно,разность Ф(!)) - Ф(u) о()означают символом Ф(х)I~.Гогдаьli- Ф(х) Iа'лх)(10.19)аРассмотрим нескоЛ! ко примероJьsi11 Х dx= - СО,) Х1= СОБ аСО,) Ь:а2111 Х 11 =d.'E21п 2 -1112;111 11- _e-xl - 1 -3о~;е1J;) J -агСSiпхl ~ ~.J~ (х +V1 + х;) I~dx4\--21+.'Е=arctg х 11О7г-4'О/2у!1=- х26'о36)=о12*111=111 (\+ГJ).lН ,ГИ гШТElТ'~~al\leHa lepel\leHHoi%теграла, Пусть выш\шгеггы1)2)Ю)llliаН:'~ом опреде, генного ин~l.Ие \'с. 10В!!ФУН}Г'ЦU,Л f(x) неnреры{гн(], н(], се?J,леmп,е [аг Ь]сег,;,ленm [а, Ь] шгллеmсл ,;,лножес T!BOJ>iроиiU(t),'/},g(p) =11.) =т!их условилх справедлива фОРJ>iулаЬJхf.3Jdx =J[g(t)]g'(t dt.аФОРIlI\ла 10.20) юказывает, что если вычислен интеграл, стоящий в левой части ',!той формулы, то вычислен и интеграл,стоящийнаоборот.
Указаl la,l формула lазываетсяза if.гiГЪГпод З!ШnО,/lГ ОП] ,деде fifOZOlmmеграла.Рассыотт ИIlI некоторую первообраЗН\1 iГ Ф(х) функцииПо18f(x).!,lee1ьJf(x) dxФ(Ь=10.21)Фа.аГак как функции Ф (.г) и хg (Т) дифференцируеIlIЫ на соответствую 1 l.ИХ сегыентах, то сложная функция Ф (g (t)) диффереЮlИр\'ема на сегме;[а, ;1]. Поэтог)" ПРlf!'lен lЯ прав lЛО Дlfфференlирования сложноil фунКll.ИИ,(g(t))ЮЛУЧИIlI(t))g'(t),=(10.22)lричеIlI производная Ф' вычисляется по аргумент\' х: ф! (g' (Т= Ф'(х), где хПО,l\'lф'(Т))=Поскольку= ЛХ), то lрИ Хg(t)=(п). ПодстаЮflЯ Э1 о Зllаче lие ф' (g (Т ) вlравую часть равенства (10.22), получимg(t).f~ Ф(g (Т ) = f(ТСледовательно, фУНЮlИЯ(g(t)), Оllредсленная и Ю'llрсрывнаяна сегме;[а, р], ЯlfляеТС,l на ЭТО!,l сегме;llеРlюобраз юй ДУ,1llЩllИf(Т)g'(t),и поэто!'!'СОlласно формуле.3f(g(t))g'(t) dt -Ф(g(р))-(g)).(10 .lEClТак= Ь,g;.1ВОВАНllЕ ПЕГ Ю'; Н,;Г \ШСiИ=,т;;(Ь)- (а)(g(t))g'(t)dt=Сраннивая пuследнюю Фuрмулу с фuрмулuйеlСЯ в справеДil lЮСТИ форг.·ЛЫ (ll!.20(lU.21 , мыуfiеждаf lпх-.
Положим2При М еры.хеi.Гак какРассмотрим интеграл1= О iрИ Х =1112при х2.то111 22.11,хd:Elп('= .1 t d[' = 21111 2 1 2о ="2 111О11Т 22\.1 SillyX v'x' Пусть Х'ассмотрим интеграл+2Тогда1Т 2 /4Х=7Г 2 /4щ[!t= 7Г/2 х =7Г 2Щ[!t= 7Г. ПОЭiОМУ2COij1;=24. ФОРi\lула интегрирования по чаСIЯi\l. ПУСПiЪ фУН1iчии и(.т) и v(x) и.\!.iюm if;npepъt6ifbli njiOU36oJifbl,; на c;Z .."it.eifm;[а, Ь]. Тогда иJ,лееm меспо следующая формула ин iiегриРО6анияnО':Шim.!!м Uл.!! оnреU;л; ifif'ЫX иifmеграЛО6:.1 u(x)v'(x) dx -Ьu(x)v(x)]I~ -.1 v(x)u'(x) fix.(10.23)аГак какiiaiiv'(x)fiv'т еще слеДУЮЩiiи и'(х)об! азоь.1 и fivаьи\'] I~ -.1fiu.(10.24)ас! iраведливости :лих формул убедиться нетрудно.
Действительно, ФУНЮiИЯ U(.T)V(X) является первоо(jразной для функцииlН ,1И lШТElТ:г/ (.1) + '/J:J:(.г)(10+[u(.1 )V' (:Г)(:Г )u' (:Г)!!!.(:Г)!'(:Г)]d:J:аИСШ\ ff"i\"Я СВОЙСТ!,i"I!ПРI де "'нных iштегралов3"ПОЛ!"'"(1и1).2:\р и м еры.2221)111 ХХ 1пх-Х - [х 1п х.];1-х21- 2111 2 - 1.'1222),/;Х dx = (Х х-1J3)1arctgxdx=хxl o-JlX:~2о=О[х arct,g х - ~ 1п(1 + ) 2)] ~~ -111 h.4Остаточ;чле; формулы Теилораинтеграль~нои форме. Применим формулу 10.23 для вывода5.fТеuлора фу1-t'х:'И,шtх с остато'ч,1-tы'лл чле1-tом в lmтегралъ1-tоuформе. Пусть функция ЛХ) имеет в некоторой Е~окрестноститочки а непрерывную iРОИЗВОДНУЮ (nl)~гo юрядка, и пусть+хлюбая да;-iaiiто [ка из Эi ОЙ E-ШiреСТНОСi ii. УбеДИМСii, ЧТОчислоR n+ (х) = ~1)(т)(х - t) dtf(n.(10.25)аявляется остаточным членом формулыГei'шора для фуню i,ИИ[ентром разложения в точке а.
ТШiUМ обра.ЮJ'Л, фОРJ>iуладает nреJсmавЛI1-tUI о!татО'Ufого ЧЛI1-tа формулы TIUлора длл фу1-tfi'И,UU f(x) в lmтегралъ1-tоu фОРJ>iе.f(x)С(10.25)Для доказательства заметим, чтоJХ(:г) = (и.) +{(t)dt.аХК интеграл!f'(t) dtЩ именим формул!(10.23)интегт ирова-ания по частям,юлагая!!.(t) - {(t)иv(t)= -(х- t)(так какlECl))рова)тоlEВ()ВАН35))ПЕГВ()1 Н1Г \ШС)И'1/ df - dt)хf'(t)dt=-f'(t)-t)!:+{'(t)(:t-t)dt=={(а)(х - а) + /f'l(tХt) dt.ахJ f'(t) dtПодстав.11Ш 1айденное выражен 1е Д 111приведеННi')i1авыше формулу для(:г),юлучимхf(x)=f(a)+ {а ха +/хf"(tt) dt.хК интегралу{'(t)(x -Т)также можноiрименить формулуаинтегрирования по частям, полагаЯ!i,(t) - {'(t) и v(t) - - ~ (х- )2 (так как х фиксировано.
то v'dt = (х- dt).110сле несложныхiреобразованиi'i наi'iдемхх(х -/t) dt =i'~\(I) х - а)2 + ~ /аиf(3) (t)(x - t)аю:~томухf(x)=f(a)+ i';~) (х а) + i'~(,a) (х а)2 +~, / f(3 (t)(x -/ dt.адаЛ1яейшее Иf1теlРllрова11ие 1Ю '1аС1Я\1 бiдем ПрОlIЗ1ЮДИТ!тех пор, пока не придем к формуле(х)=до(а) + /,;:(1) (х - а) + Г2~a) (х - а)2 + ...... +х а)П +1 /Г П +1)(т хt)ndt.аЭта формул аюказывает, чтося ocтaTo'lНЫM Т1еномR n +1(х)действительно являетТейлопацентром разложения в точке а (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
