В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 60
Текст из файла (страница 60)
"laCn}'U"lHNXсегментов р;;збuен'Uл т, "l'Uсл;; р добавленных mO"lex; 'U mO"lHblXверхней, 'Uu'UJlCfJeil граней, J\;1 'U m ФУi;К:'Ц'U'U f (Х )иа сег.метпе'U 8,ia, /'Именно,S-S'(М- m)p'"u',8; -8(М -Iр6..Для того чтобы убедиться в справедливости;того свойства, дo~статочноДOl'iaзаТl,РИЕеденныенераЕеНСТЕа:lДЯСЛ;"iая,КOl':щк разбиенИl" Т добавляется одна точка х' . Ilусть эта точка Ha~ХОДliТС>i [а cerMeiiTe [Xi-1, Xi] разбиеНИli. Тогда этот сегентразделится на два сегыента [Xi- ,х'] и, Х, длины которыхмы оБОЗiiа'iИМ cooTEeTClEei 10 'iерез6.xI,'. П\'СТl,, М;И J\;1I' - соответственно точные верхние грани Функт~ии f :г насегментах1, Х;],и верхние СУ;i;iЫS1, :г'] и [:г', х;]. Так как 6.Xi = 6.X~ИS'+слагаемьвш М; 6.xi и М: 6.X~М[' 6.xl,', то 8- (М[6.хl,М[' 6.X~' = (Mi - М[)6.хl,+ 6.X~'1)+6.X~'раз4"iИеiiИЙ Т и' раЗЛИ'iаЮТС>i ЛliШl,- S'+= Mi (6.хl,- M:')6.j~'.+ (М;От;;;; тим, ЧТО в силу св(, ;, ,В;,, 2 0 ;ти р;,.3но( ,и "ео рица " ,ЬНЫ.'т,М;-8'~ ММI ~ М-'т и Мz -М';z"~ (М -'тllx~')(М - 'm)llXi- 8'~ (М-;Шi;даfOТсг;;ДокаЗillfOЛЬСТRО ДЛ;,;сумм ПРОRОДИТС;,; а Тi;'ЛО;И'60.
Лемма Дарбу. Верхни'и 1 и нижниu l интегралы Дарбуот фУНnЦU;i ЛТ) по с;г.мснmу [а. Ь] ,явля:ютс,я соотвстствС1ШОв;рхнитД о к а з а т еслу' а;,;т. Так какR о.;тоliln 8 = 1.~-+;;(х) = с =COl1st,лемма== l = s. Будем поэтому <читать, чтоточная нижняя грань множества верхнихсумм, то ,JJ,i;Я любого ,JJ,анногоение т* сегмента[>оl\;ЮЖНi; у;;а /ать та;;ое разби], что верхняя сумма 8* этого разбиенияна [/2:1 меньше" чем8* -1 <(10.1)Обозначим через р чис ю точек разт';иения т*го внутри сегментатаО.81-бн тет от ;ичаться от-+Дока;;;ем, напр;; \;ер,т,. е. ,JJ,.Ш; слу' а;,;очевидна, ПОСКОi;ЬКУ}.;[ >т! ;;;1tfiX су.М.М приь с тЬ. Пусть Т-,i;ежащих стролюбое ра /биение <егмен1>], максималь та;,; ,JJ,лин'а II ;астичных сегме ттон которогопо, тчинена у!л! >ЕИЮ6=и8-2(МЕверхняя <умма этого разбиения.НЮР Г;HYTpeHНI;e то' ;ки разб;;еНI;( 0.2)т)р-.юбавимэтому ра /биеВ резнльта; е \ЪТюлу' ;имра /биение т'., верхняя сумма 8' ;;оторого в <илу <вой! тваусло;;ия (10.2\шя II У,JJ,ОRлеТROj; ,;ет нера;енстг;у[/2.50и( 0.3)с тругой стороны, это ра /биение т' можно рассматриватьразТ"!Иение, ПО, ;нченное R резнльтатетоТ";аг;ления к разбиеню,; т*1) Выше, при доказательстве свойства 20 мы уже отмечали, что точнаяверхняя гр;;нь ф;'нкции н;; ';;;сти Сi'гмента не пре;;щ:хо,;!ит ее точной в;'рхнейграни на всем сегменте.
Отметим также, что точная нижняя грань функциина всем сегменте не превосходит ее точной верхней грани на любой частиэтuгu("/'r\~eilTa.2) Поняти;' преili'ла в;'рхних и,ш нижних сумм опр;', Н\!'; 'тсяП ),!нойатт;;ло; ИИ с по!;ятием ;;р)', Н\'" »пт)'гра, ;;,пт,р;И;!епп " '!исю 1 п;; ;;,!вается пределом верхних сумм S при t, -+ О, если для любого положительного числа Е можнота)о)' п ),южит(\ ;;,ное 'шсю б, что при t, < бвыполняется неравенствоIS -< Е.l<ГИТЕГИ1lШТК ГИР,К''ТИЪИС[,fЛТннт П)fO [них т('чек раз' ,иfO fИЯ~51Отсю Т1 след]. fOт . чт;'О, ),51c;('iicTHa~1.С()гл;].снот.; тт;у (O~с/21СклаТЫf;а;,; это нерат;е [стт;о С нера;енст;о\о ~ 5Таким образом,>юлу ;имс.-110.4)>Mf.·l у( тановили, что [l,ля любого данного сно тказать такое 15О (\южно, напр [\;ер, юло ;;итъо15 =(10.3)>,2(суммыч;·о5сег\ ен;аia,Ь[l,ля к ,TOpf.lX ма ;симальнаятлина ~ частичш lX сегментон меныпе 15.
10.2 ;),ТQf;леТf;ОРЯЮТ нераненстнт. Ноэто означает. ;то нерхний интеf'рал1 Дарбтверхних'ТOf;a,aTe,'fbcTB;;сумм.fЛЯни)книхсуммЯf;ляеf С(,;fре[l,еломаналогично.Лемма ДарГ;у [l,оказана.§ 3.Необходимое и достаточное условиеИНl'егрн руемостиYCTaHoB'feHHbfe (вой(тва верхних и нил;:них (умм позволяютсформулировать в весьма простой форме неОГ;ХО[l,имое и достаточное условие интегрируем; 'сти фуш;ции.
Именно, имеет местосле[l,Т;' 'п~а;,;ос'но6'нд;!Теоре,м.а10.1.теорема.Для того 'Чmо{i,!;t 02j)(L1tf.{'Чпt1шя 1tf; ссг,Ntп!те [а, Ь] фу'Нr.:цu.;! .f (х) была и'Нтегрируе/; ;'и 'На эm;';' Ce?/;feHme.Heo6xoaH,Nto и досmато'Ч'Но. 'Чтобъ; для;юбого с > О 'Нашлосътах:ое разбие'Ниесе; /;feHma [а, Ь ], для j;оmорог;'5-8с.Д О К а з ае л ь сн о. 1) Н е о бо [1,о с т ь. Птстьфуш;;;ияинтегрируема на сегменте [а. Ь]. Об;; шачим через.f1;;е.тел инте; ;;а'fЫfЬГ сумм это!: фТНКЦЮf. По Оffре.телению>предела интегра.Ш.НЫХ сумм для любого сО мож:но Yf;a ,атьтакое 15О, что [I,.Ш; ю· ;(;ого разГшения'ТОf;леТf;оря;;нт~е;оусловиюне ,авшимо от Вf.lбора точеf; ~i на частичных>сегментах раз' ·иения выполняется неравенство11{Xi,~i}Зафиксируе\O[l,HO-11 < с/4.такое разГшение Т.
По(10.5)CHOi'iCTf;y 10.п.преДf.l[l,ущего парагра;l)а) тля [l,aHHoro ра;биения Т можно Yf;aзатъ такие [l,Be IIНTerpa'fbHbIe суммы (иными словами. можно такlН' ,lЙ lШТEl Гныбрать Т\iЧЮl ~; и, :TJ),/!,тос Jтметим, что обе интеграш НЫЕО10влетворяют неравен(тву8 -=(8 - I{xi,~;}нераг;енст;а 10,5\нытекает,CYMMl'l I{:! ;,~': и I{J;. /f} уд!!Ис! отнош! НИЯ+ (I{Xi.~a - ++ (1 - I{x;,~~/}) + (I{x;,e'}-8Енера;е тстг; 8-I{x;,~;}.:1;то8-Е.8i iеобхо1l,ИМОСТЬ ус ювий теореМТ'l ДOi!азана.2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Так какшя;;ю4"юго раЗ4";иения Тсправе тливы неравенства 811>8 и для;;ю4"югосогла(но у(ловию теоремы, lVюжн;; указат;, та}!;;е ра ;биение; что8 -8 :::;; Е, то Очто 1:::;;:::;;Е.
В (И,;у прои ;вош ности Е по. ;учим,= 1.значе т;,;е ;исел 1 и 1 04"юзнач;;через 1 итокаже\что это чисюявляется пре,телом интегра;;ЬНf,lХ (умм <!;ункции (х. Действительно, в сит,;еммы Дар4";У (см. п. 2 § 2) ЭТОчисло 1 е(т;, общий пре1l,ел при ,6, --+ о верхних и ни)кних сумм.Поэто\'"'шя JI!i,бо, оMOI,;HO1-выполняются неравен(тва,6,<д,8 -ма { х i, ~i}нИ!,нейнказать такое д,Е/2 и881,то;ри,6,<дЕ/2, т. е.
при< , ;ри',ем 8 1 8. Лю4";а;" ин ;е, ра;;ыта;" сум1I,aHHoro ра ;биения Т ;аключена меж,ТУ верхней и1 {X'i, ~'i} 8. Таким О(;I;азом, I;И,6, < д не8ЛИЧИНf,lзаключеНf,l межлу чис;ами 8 и 8 разностьмежлн которыми меньше . Отс;;ща вытекает, что при ,6,д<Xi'~;}Сле1l,овательно, число1- 1 < Е.есть пре1l,е;; интегральных снмм. ТЕЮl ;ема д; ;}!а ;ана.В 1I,альне iПJем нам юнато4";ится несколько иная фор\;а записи необхо ТИМflГ!; И 'то(таточного ус;; ;вия интегрируемо(ти.и miч;;слоMi[х;, x,J,-т; ;ЧНf,lе грани;начений ФУНf!; ,.ииWi = ,Mif (х)наmiназывает(я nо,!сriШf!!.!,А;t ФУ!fnЧ'll!! ЛТ) на сегменте !Xi-l,с JTметим, что так как }.;[,i ;;? т;" то коле4";аниеявляется HeoTl ;ицатеш,ным чи(лом.iапишем тепер;, разно(т;,8- 8В(ледую пейформе:nnn- L Wi,6,i=l{i·и lTEГf llГУЕМЬГZНlЩ lЙ337ПОСЮи ДОС lато'ИlIТ(ТРИР\ ЕОМ(lСТИ ФУlfКЦИИ R СЛЕОдуюттн,i fдл,f! m(фi iimобы фу'Н'х:'Цил / (х) была и'Нmе?рируе \!Ои 'На се?.\feHme [а, Ь].
'Необхm)и.А!О и aocmam'f'iHO. 'tmобы дЛ.f!. JИ iбri?О > О'Нашлосъ mшх:ое 1Xlзбuе'Н'uе Т сег.ме'Нmа lo" Ь]. аля 'х:отrюро?оi=l4,Ilекоторьн' KJ,aCCbI ннтегрируемых функцийэтом параграфе мы 1I,0кюкем интегрирттемостъ непрерывШ.,lХ на сегменте ФУШfДИЙ. HeKOTop1'lX раЗр1'ШШ'lХ ФУШfДИЙ имоното ТНЫХ фннкциi'j.1I,0казатеЛЬСТRа и fTe1'p11p\ ем остинепрерывных <ljУНКЦИЙ нам понатriбит(я ва)кное (вriЙ(ТВ" непреpbIrHbIX на cerMeHTe фННКЦ11Й, которое нстанан jИfrаетCi·'б'lж:айшем ПУШfте.1.
СвоЙство равномерной непрерывности функции.ОnРffдff,лен,uе. ФУН'х:f(i{.Л / (х) lШ; 'itв!fСrnслН С n р'iit в н о Unоложиmелъ'Ног fiносHrr .Л;t!70:J/сесmВi'tи!ла Е.rrfiЖ'Нfiu в н о .М СН Оi'СЛU д,!л л? ifio,'oуr.;азаmъmах;оеiifiложиmелъшв'f{.СЛЩi" mо'!'/)'х:О от Е., 'ЧJПО {)лл !юбых двух m·o"lc'x:.Л;t1lO iffccrnBrr {х , iJдовЛ('mвОj.iЛЮЩUХ iJслов'jj'ir' т" - х' 18.въm,ОЛ'Нr!.еmСr! 'Нерш!е'Нсmв fi(х") (х')3 а м е ч а н и е. Главное в этом определении то, что для,)I!irбого Е.О найдется 8О гара'НmиРУЮ1чее !!ы?! iл'Не'Ние 'Нера8,1/>1<>вснсmва 1//1 Е.
срuзу длл всех х'{ х} при еди'Н!m!!е'Н'Но.м усл '!!ии< 8..Л;t1lO:J/С(сmвu]ля разъяснения (вой(тва равн, ,мерной непрер1 шно(ти ра(смотрим сле.·ту" ,тттие1)мо!'! хх'ФУШf i ЛЯ /? 1.1римеры:vxВ сю ом теле,? 1 их" ? 1(х") - /(х'j.)(LвllO.Л;tСj!110 HCnlH]J'blBHrr на полупря-ю теоре\ е Ла,ранжа имеемт)Iя'lюгых/'((1 х"-х'=2~lx" - х' < ~Ix" - x'l( юсле1l,нее HepafreHcTfrO нытекаетТО,О. ,то ~ закЛi'" ,ено \rежтуИ,и ПОЭТОМУ ~. СледоватеЛi но, если потанному> О frbICipaTb Л" ,бое 8, 'ТОffлеТffоряюп~ее УСЛOffИl" < 8то при§3Ix"х'вып, !'шяет(я неравенствоI/(x") - /ПРИ·jТОМ предполагается.
что множество {;г} плотно в себе (см. конецгл. 2).lНi,lЙ llНl'ElT,f2) Фу lКЦИЯ= х 2 пС ,я6Л,Я/ тс,я РU61юме1J!70 !iСn1Н]J'Ы6!юiiХMHQ;i<fOCTf;;'>Достато' но доказ llЪ"1;то дл;'i НСКР 10РО-> О, П1f ';ШТИРУЮЩСГО Вi"ШО,}lНСНИ('< Е дл;'i Г;ССХ х ! ? 1 х'! 1 Прi;Ix" - х' < ;>;. Мы 'токаже\' ;то на само\'гр ЕО нсльзя выбрать дНfO; ,ёШfOНСТГ;;! I (x f ' (x f ) Iе'ТИ1iстг;енно\' УСЛOf;иителе таже 1I,ля';юбого ЕФш;сируем ЕTieM х'>>~, х" = х''дтеорему+ .
Тог таf')-f(x')1= 2~lx"~ заключено ме)I\ЛУ х' ипосле шего-д. ИСПО';ЬЗУ;'iх' = ~д,,то ~-x'lf-ипоэтомуи1> Е,' Таким образом, ФУНf;;;ИЯ f(x)равномерно непреРi,,1ВНОЙ на множестве х3)<2 'равенства вытекает не; ,авенствоIf(x")хотя;х" - х' =,Выбе-lагранжа, по';учим(xТакО нельзя выбрать ука,анн<>г<> выше д.О и рассмотрим любое пшшжите,';ьноеФункцияf(x)SiTi -?х 2 не яв,';яется1,пС ,я6л,яетс,я j.)(L61Ю,NtС? но нсnреР'Ы6-х'1-tOи на интерг;але (0,1).
!ока<е<ем, ;то 1I,Л;'i Лi;;(,ого , У1l,0RлеТRОряю пего усювиям ОЕ2, не,';ьзя Уi;юать д О гарантирую->щего выполнение не;,авенства(x f ' ) - f(x' < < 211,';Я всех х'и х" из интервала (0,1) при единственном условиид.Ix" - x'lЧтобы убе1l,И; ьсяэто\тостато' ноЮЛО<i<И;Ъ(4k+З)"Их" ишя JЩfБОi О д > О Rыбрать k соль ('ОЛЬТПИ\i, ч;о. - (4k + 1)"х" -х' < д.нказа тных TO'feK х'х" ;ри Лiiiбом k разность( х'') I=l'8111х " - 8111,1х'I= 2 >Дока<е<ем сле1l,Нi' 'П~Уii' fifHi i«НУЮ теоре< <-оТу;оре.муl. 10.2 (теору;,м.а о равн,о,м,ерн,оu н,у;nрерывн,о• Неnреръита,;< на {е; ,«енmе [а, Ь]неnреРЫ6нана эrnО,Nt(х ршf'}-t '«ерносе,<менrnе.Д о к аа т е лт вПре1l,ПО'ЮЖИМ, что непрерывная насегменте] функция l(х не яг;ляеТСi,i ранномерно не;;рерьшной на этом сегменте.
Тог та 1I,';я нсnоrrЮ?Ю20 ЕО не выполня;;'тся услоiiИЯ, сфОРМУ';ИРОRа тныеощ)е1l,е';еНi;ИнепреРi'1ВНОСТИ. Это означает, чтошя ука ,анного ЕО и;юfi020 ПOJюжите';ЬНfiГi' числа д на сегменте [а, Ь] найтутся точки>>fЙн <Ц!:1: f ' т( кис.. чтi'1/;му дл;·! К.ЖДi!ГО д =<д, но=1 2,{ЕО! \fEO {т(]. la.bl т(].кис. ;ТО Ix~?((К как {x~JG.то и-Ix~flсход;,!щн!, ;сясле1l,0RателыюстъHff II(x~Вс Йi ртптра fК·!ТСТОx~n} [см. зю ечаниено,. П01l,после1l,0вательностъ)ке СХО.fИТiЯ(:1/) ?ПоCJТОнайтутся точю; х"I(~~f)l?ffiСЛЕО Тff!;((ТЕОЛЬНОСТЬ ТО';ЕОК СЕОГМЕО {т(( [а, Ь],НЕОЕО, fТ;fЛ(Н:НО ТЕО;ДЕОлить33')м;{'(]..;f!,С"!М;'нта§гл.3).х%n} после1l,0вательностино !;Ыподпо-О ;еffИx~} такС. Taf, как ФУШ,;iИЯI(x) непрерывна в точке С; то} и (х"} ранны I(c! и{.! (х%n) - I (X~n } является (;ескоfретелы после1l,0Rателыюстей {I(x~nпоэтом н после1l,0вательностънечно ма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
