В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Так, Teope1ila 9.2 нерешает ВСН роса об экстре1ili'1ilе дЛЯ СШ,' lая, когда вторая (po~и:~водная ](2) (х) не су! !,ествует в TO'lKe с, а также Д'!Я СЛУ'lая,'Когдана.'!ИЧИИ(с! =О. в последне1il СЛУ'lае для решения вопроса о:~KCTpeMYMal!ЗlЮДНЫХ lыIнfихxнужноИЗУ'lИтьповедениеЮI1IДКОВ, что б,'Де'fвточкеcJIe'laHo HaMl!вспро~§4этойглавы.Приеры. 1. В lашку, имеющую ФОР1ilУ полушара pa~li'ca r. о li'щен однородный стерскень длины l (р!с. 9.3). Пред~полагая, lTO 2т < ! < 4r, найти ПО.'южение равновесия стержня.ДЕDВ.--_ _ _ _ _ _ _ _,.--,--=-/~cПоложениюравновесия стерж~ня Сlютветств,'ет 1ilИНИ1ilа.'ъное зна~чение его потенциальной :~нергии ..е.наинизтттееего тяжести Оявляетсяположениецентрапоскольку стерженьОДНОРОДНЫ1! 1центр тяже~ст " его сов lадает с его середино 11 ) .кLОбозначая'!ярРис.9.3lерез ОК перпендику~П'ЮСiОСТИ. на liОТОРОЙCTOl!Tlашка, 1ilЫ сведе1il зада'lУ к OTЫCKa~l!Ю того ЮЛОСf1енстер! !я АВ.
lIJll котором отрезori О(!Me~ет 1ilИНИ1ilа.'lЬНVЮ Д !Ину. Прежде всего ВЫЧИСЛИ1il длину OTpe:~KaОК как фi'НКЦИЮ iT'la а наклона стержня к шоскости, на KO~торой стоит чашка. Пусть DL пара'ше (ьно ОК. а ОС перпен~Дlll1!'ЛЯРНО О- точка. в liОТОрОЙ стержеш, о! l!рается накрай lашки).Из Пр1fМО,'ГОЛ ,ного треyrО'lЫf=EDcosa=cosa. По условиюOD = ID -lia EAD=слеДiет, что Аl/2. ТаКЮl обраЗО1',0= ) '!'С os а -l/).>КСТГМУМАDL)С =ОКогош,ника О D(~ им( СМOD[!м С!бра:С!м,iЛИН;l отрезка ОК, i{i)ТС!IН юмы оБС!знаЧf!М ЧfOрс:~f(ol равна f(a)=r + ~ sina - r sin2a.Пере;одим к отысканию того значенияставлieT IШ! [!м\'м f(a).,которое до-yr'faЧi о мы мо +~eM ограНИЧИ'i i,C~iзначент па а ючетверт [.) Такf' (01 1 cos 00- 2т cos :)00 = ~ cos 00+ 2т cos 2 а, то ТО'lКИ во:можного :~KCтремума на;одятся как решения квадратного уравнения- - cosa 2оскол жуcos а2т=в первой четверти ПО'ЮЖf!те [ен, то нам п! И!оден только положительный корень ',)того уравненияcos 000Хотя по смыслу задаЧf!=1 + ';12+ 128г 216гясно, что ед [нстве iная точка fЮЗМО;'j{ного :~KCTpeMYMa000 является точкой минимума 1!IУНЮlИИ f(a)мы \'C'iaHOBf!M это строго при ПОМОЩf! теоремы 9.2.
Достаточноу"едиться в T01,l, (то f(2'(ao > О. Поскольку- i2 sin а + 4т sin 200 = 8т sin а (cos а --) .16гто, в силу (В.4),f(2) (000) =8т sin 000 (cos 000 __1_16т'ем саМЬЕ} \'станС!влено, чте, положению равновесия стержня отвечает угол наююна его к плоскости, на которой стоитопределяемый формулойlашка,(9.4).2. НаЙ'i [! экстремаJьные значенIЩf!Эту функцию l,lЫ уже исследова lИ в п.графа. рис. 9.1). Так как f'(xзх 2 -=х3f(x)1зх 2 -настоящего пара6х=3х(х -тофункция f(x) имеет две ТОЧI; ВОЗМОЖНОfО ЭI;стреМ\'I\Ш: Xl = О ИХ2 =ПОСКО'fькушак f'(x слева и справа от :~ти; TO'leK легковыясняется,можнорешитьвопрос()(,:~KCTpeMYMeприПОl,lOЩИтеореl,lЫ 9.1[ервогС! ДС!стато'шС!гС! \'СШiВия).
Не, мы преДfЮ'lИтаем привлечь Teopel,lY 9.2 (второе достато'шое условие). Иllееl,l=-6 <f(2) (2) = 6> О.ffI\IffI\I\ I\Iобра:~ )м,В ТОЧf{l'1f!СИМУМ2В Т )Чf{l'И Mff~:н iЧСНИЯ этс,{:рав [ЫДiiН~схема отыскаНИСi!кстремумов. До си!нор мы реllЕШЕ вопрос: о Н"ШЕЧIШфУНКЦИЕ f(x) ЭКС:ТРСМУМ,,1в п;аnоuс,функ!!uл f (х) дi!.ффере1-tЦ!!руема. 13',:TOi:,ii,a упункте{:,ыизучимвопросОналитиивTO'fKeс',ш:стреi:'У~такой ф\iНКЦИИ, которая не диффереНЦИР\iема в TO'fKe с,но ди:jiференцируеi:,а всюду в некоторой окрестности справа ислева от с.ОказываеТСЯ i теорема1 iiюжет (оыть оооощена на СЛУ'fайтакой :!iУНКЦИИ. ИмеННО i имеет место Сfедующее утверждение.Теорема 9.3.функ!!uлх) диффере iuupye.Nta всю~в неnотороu оnрестН0сти то"Ч.nи сою исn/!ю"Ч.е1-lШ·. U бъtтъмо,:нет, (амой точк!! с,неnре{ ывна вс.Т0211а, если в пределах уnаза1-l1-lOI'l оnрестН0сти nроu.зво !1-lал(х) nОЛО.нс.ип;еЛ"Ь1iа (от{ и!!ател'Ьна' iлееа от точк!! сотри!!атеЛЪ1-lа (nОЛО:JICит("Лi на) справа от то"Ч.nu. с, то :f;Y1-lnцилI"(х) !!мееп:с лQ"i.алыiы"u маnГ!!М1j.Nt M!!ii!!My.Nt).
ЕiЛ!!:JICe nроu.. zвОII1-lал(х) u..чеет 011u.1-l u. тот :JIC(" знаn сл("ва и сnраf'ваотточк!! с,п;оf"iCCmpeM1j.Ntaвснет.Д о к а з а т е л ь с т в о в точности совпадает с дока:атеifЬ~ством теоремы1. Только на ',iTOT ра: ПРИi:,еНИi:ЮСТЬ К функциию сегмент\ [с, ха] Teopei:'bI Лагранжа \iстанавливается сле~дующим образОi:': по условию функция f(x) ди:jiференцируеi:,а(а стало бьп ii.непреРЫfша)на ЮЛ\iсе:менте (со ха] И.кроме того, непрерывна в TO'lKe с.caMbIi:, f(x) непрерывнаfiCfiOД\ на сегменте [со ха] и Дffффере Щ ip\ieMa во ficex в }\iтреннихто'ш:а! :~TOГO сегмента.иукиI\Iеры..
Ha11Tffточ~f:шстремума функции(х)')та ФУНЮiИЯ диффереНЦИР\iIxl.ема всюду на (iесконечной ПРЯi:ЮЙ.Kpoi:,e ТО'lКИ Х =И непрерывнав TO'lKe х = О, причем производнаяf'(x) = 1 прих< О.1Teopei:,aхнеприменима,9.42. На iти ТОЧii9.;-: она имеет(pffC. 9.4).ЭiiС"iреI\I\I\IаiЩff>Охаки равна:пойcorifac 10-1 прифуюсиитеоремеii'ИНИi:'Уi:' при Х =Оу = х 2 / 3 . Эта функциянепрерывна на всей бесконечной прямой и диф:jiеренцируеi:,авсюду на ',iТОЙ ПРЯМОЙ i за ИСКIIЮ'lениеi:, точки х = О. Производ~>KCTPiMYMAiPif:I:Ш1Я3U7Орав [а2 13iРfЩЫiУ ТIfOM ПрifМfOрfO прои :вод iая имел;: в ТОЧКfOрыв 1- го ро). н;: :~TOT ра; прои :водная1'1:\: fOfOт= О ра;в ТОЧКfO :г = Ора~рьш 21С) рода (\<беl:кuнетrный l:КС1ЧUК>1).
И:i ныражения дляiРОИЗВОДНС:Й следует,lTC: этаiроизводная отрицательна слеваот ТО'lКИ х = О и положительна справа от :~той точки. Ста:юБЫТ1', теорема 9.3 ЮЗВОЛl1е1 i'тверждю 1" что рассматриваемаl11!IУНКЦИЯ и:,:еет= о(: рафик;,: ини:,: у;,:в точке х=рассматр l! liаемойции изображен на рис. 9.5).3.Найти ТО'lКИ :~KCTpeMYMa функ-цииу ~ Лх) ~ { ~ +c'I"при#:гприхегковидеть,что:~Ta функцияHeiipepblBlfa на liсей бесконечно!1 iРЯ;,юй. В са;,юм деле, единственной 'сом 11fте,:lЫЮЙ»ТОЧ1iОl,]Рис.9.5Э'lОЙ точкеЯli, ;яеТСl1 ТОЧ1Ш хфункция непрерывна: ибоlil1l,1:-+0+11Уlil1l '.
УО.,1:-+0-:)Далее: О'lевидно, lTO раСCl:атривае;:ая фунюrия Диф1IlеренЦ lpl'eMa на Bcel,] бесконечно!1, роме точки хО. I3СЮдТкроме ',;той точки, производная определяется формулой=у'+ e 1 / J; + _e 1 / x= _ _ _ _--",T~+ e1/ X ) 2(1ЛеПlО lilце11" Ч1 о iредел,1:-+0f(,T) - f(O)lil1l11:Х-+О+1не Сi!ще-ствует так lTO функция У = f(x) неДИ1],ферен rируема в точкех = О.оскольку ПРОlfЗlюднаl1 у! полож lтеЛЫ1а и слеliа, и справа от ТО'lКИ х = О; раСCl::атривае;::ая функция; согласно теоре;::е9.3,не имее1 Э1lC1peMl!I\IaТОЧ1lе х =О.
а ста'ю быть, и lюоб-[.е не и;::еет :~KCTpeMYMOB. (Гра1!ШК раСCl::атривае;:юй функцииlfзображен на рис. 9,13.)1) в том смысле, чт : эта произв щная х :ть и не существовала в точке ,т == О,НО нм:'Ш'этой тОЧ]ii' ]iOiie шЫi' HP ",ое[яе СОВШ.щаЮЩiН· м:'жд"' обой,леiюе Пl.Н.ще ii.iiЫi',начеНИ1i,обшей С:ХЕОIIIЕО {)Тысгточек л jj;;;л ,н )го Эj;С~юлоским, ЧТО функцияна Ш!~J(:T)ее проuзводн'(]'л Г (:г) су'ществуетръtв'l-ш, '1-ш, это ч uнтерва/ji всюду, 'КрО че 'Конечн[){)I1IЕОто;!РЕОд! юло,; !!м_{jOHCJJpeЧUС Ja точе'Кчтосл в НУ/iЪ нп интерв j.;jE (а, Ь) JШ/i;'ув 'Конечном чuсл;Ины!;!исловами_юлагае!;!,lTOточf'К!,!ынапрединтервале (а, Ь) имеется .'fИШЬ KO~хTO'leK.нечноечислоторых!роизводная J(x) невкосуществует и.' fИ обращаетсяв Нj'ЛЬ.
{)бозначим эти точ~киРис.9.6ро lЗlюднаj!СИ!;!ВО.'lа!;!и<<хl. .(2 •... ,< ... <<(ахlх,-,хпВ силу сделанных предполо~сохранлеп; по! П;ОjjННЫЙ зна'К надом и:~ интервалов(Хl' Х2), ... ,. Ь . Ста! ю быть, воnрос О налu"t!!U Jn{'n;pe.NtYMa в na:.)/caoIl ifзх . х'-' .... ,х пMO:JICem бъtтъ решен (в утвер{)uтелъном UJШ отрU'цател!!номсчъtсле) nри nО.ЧОЩU тсор; .чъt !j.3.Здесь !,!ы не буде!;!РИВiДИТЬ !p:VI!;!epa. иллюстрирт"щеГi!общую схе!;!у отыскания точек локального ',;кстре!;!у!;!а. Такой!р!!I1Iер будет !р !!!еден нами в § 6.§ 2.Напраплрние выпрклосттт- ГРjjфтт-каП: ,едпr, !;,жи!;!, что ф!'нкция J(x) диффереШfИi'уе!;!а вTO'lKe интервала (а. Ь . Тогда! как установлено в п.1;{,бойгл.5.су'ществует 'Кшател'Ьнал 'К графU'К1j ФУН'КjjU!! У =х), npoxoa.jjщал чере; .Jюбую точ'Ку ~M(x, J(x)! этого ?рш/iu'Ка (а < х < Ь)npif!jeM эта касате!!Ьная не парал!!ельна2)оси Оу.ОnРj/дj/ЛР/-/'Uj/.
Будем говорить. чтоJ (х);/!ун'К'Ции У=U.Nteem на uнтервалеа. Ь) f;ЪtnУ?,лО! п;'ь. наnравлен~НУ?}) внuз (вверх; еслu гршj и'К этой !JУН'КЦUU в nр;делах y'Кa~зан ;0;/0 JJi;n;ep Jaла ле:J/Сjjт не HU:J/ce f не выше) лю, ю'и свое'и'Касательной.З а III е ч аи е. Терм!!Н «граф!! лески'! не(илине въtиe) своей касательной» имеет С!;!ысл, жiо касательная непараллельна оси Оу.На рис. 9.7 !!зображен граф!!фУНЮl fИ. име!"ш!!вале (а, Ь) выпуклость! направленную вни;Рместо;!;пер!!! ;а можно р;.;ссмат! НВ!!"ПРЯМУj{1 и другоенаа на рис.HTep~и:~ополу ;fiЯ;i;УЮ. бес iоне'ш,- юMHmj;eCTBo.2) Ибо УГЛОВО" коэффипиент ее равны" пр ;изводно" j' (х) сх;онечен.зшНА}2аЬРис.9.7Теорема 9.4.
Еслиу = f(x) пмееП I на i!i!п!ереале(а, Ь) к:оне'Ч,ную вторую nроизводную и если эта nроизводна.янеотрицател'Ьна (неnОЛО:JIСi!.тел'Ьна) всюду на ;тО.fiЛле, то график: функ:ции=(а, Ь)fвыnук:лост'Ь,направленнуюilнизД о к а :~ а т е л ь с т в о.Сlучай, кС!гда втС!раяДля определенности рассмотримрС!извС!дная f(2) (х) ): о всюду на а. Ь ).ОбознаЧl}I\I через с лю6ую ТОЧi;1 и пеРliала (а,)9.9). Тре(Iуется ДOKa:~aTЬ. 1ТО граfjшк функ ши у = f(x .'lежит не нижекасательной,pe:~точку}немрС!хС!дящейМ(с, f(c)).\/paB }eHl}e1е-За-ууказаннойкасательной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
