В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 54
Текст из файла (страница 54)
О'т('виr:HO, 'тто(х)УСТ)chvxО. Пре.·ЩОЛО)IПIЫ. 'по ·'.ЛЯ не,шт"рого ноыераположи-ве.'iИ',ина(8.116) положительна при ,г >Убе.·,.иыСЯ ТОГ1\а. '1ТО и у(n 1)положиел"на при х > О. Из (8. 3) заключае"" Ч',О про ,звоДная в левой час,(8.11:t)ПОЛОЖИ'jеЛi,нах>при ,г> О. Но т"г.·',а и,Ита,.', у,n+1)(,г)>4.г и пн О й>ОприВ ы ч и С Л ер б оФ уки'1ее си.О, 'Г. е. функ jj'jЯ х п(х) RозраС1аеггсmлу"Т.
'!т" эта фун.'ция ПОЛ"ЖИТi'льна прии ш'равенств" (8.110),.оказано.>гп ег об о л и ч е с к о г ок о с и н у с адаЛh ,ейше', си\,воло\иSn(t)с иу С а.паз а тл ь-мы буде\ обозначаСГh,mлующую цепную 1\робы3+-----52n+1Обычно ДЛЯ элею, ронно-вычисл,п ел"ной \'аши ,ы соссга iЛЯl(J'! програм",у1iЫЧ, ,слею ".' э', ой т~еmюй дроб". Иcrюш,зуя эсгу чюграм,\у, мож,ю бе"аТf\У1\Ш'НИЙ "''''тавить ПIюграЫl\J'.
вы',ю,m'ний гиперБOJiII'1е,',шго тангенса.ибо, ,.'ак было выяснено в предыдущеы пункте, приближенное зна'1ение th хыожет быть ВЫ'1ислено по форыулеПРИ'1еы в ПР,ЛЫ1\УЩИХ пун.'тах было такж,' выяснено. 'по сТО'1НОСТЬ вы ислений возастает и погВЫ'iИсление фуш.'ций Б11с11вели'" ни,'ые ность стреиитсянулю.е 2х ыожет быть ре1\уцированок выч ,слению гипе, ·болическО1 о сгангенса С ПО\ЮЩ,,'" формулS112\2с11- thx''тих форыул и И, "'ютно!! "НИЯ (8.1lГ;) ПOJг. ',аются сл, 1\УЮЩИ" Ф"рыулыдл,·, "р"бл,.',ie ,НЫ'" з ,аче,i"" переч"сленных фу ,ю,ий:;;h 2хЯсно.
ч,о с ПО\ЮЩ,,'" эсгих фор ,'ул И "I>orpa\,Mл' гк" составляются програыыы 1\ЛЯ вы',иii.ТТi'НИЯ S115.Ц И й.В ы ч и С Л е невыч"слений ДЛЯSn(t\,Ъ 2\ И е 2х .г оП" аналогии с разло)кениеы в ц' пн'. Юразл, ,Ж,'НИ,' 1\ЛЯ ф; нкции '!!; ,г.,1хнкцииФ у н кстроится299lEНИЕРаСС\iOЧJИ\< фУfiЮ'ИЮ у =vx\0"ДШ, ЗНiJчеНi,Й х0<i'че "iДHЫ C<i' дую-Щi,е \о(угношени,<,, получае'Л>iе Пi,слеДOiiа<,еШ<НЫ<fИ Д ,фферен ,И!ЮiiаНИ'<'ifИэтой фУШ1ЦИИ и ПРi,СТЫl\IИ ПРf'обраЗiшаНИЯl\IИ2+4 xy /l+у= 0<эсго сгождеССГRО, будем и\ е<,6 y /l+= о.+у(n+,Обозна'Шl\I отношениеПОЛУ'iИl\I равенств"'iерез и n--;;т;;-4'J:Ur;+24п1.
ТОГ1\а из после1\него равенства2=ИЗ,шторого выТ!'кает соотно/2'2n0<, сюда, R полнойl\I сле,<а< Ш,JР ',а,а ,аЛОГИfi с рассу ,1де !!!ЯМющ,rrраiЛОЖ,'НИ,',дл,<, J:Иi,ерболическогонкции1-х'I!; ,Г В ц' ПН1 Ю<,ai!! ен-<,<PO'ib:2+ ---------5+ 2n + 1 +'2х 2 и nПри! ,ЛИЖ,'ННО,' зна'iениеfiИЯ члеfiаti'rполу'шется из этойи n +,< С уче<, ом выра '1eНi,'<'ЛЫ пi Т!'Ы ОТ'iрасыва(8.11'2) э, о приближеНiiOе значеНi,еl\Iожет быть найдено по фОРl\IулеКа'1 и в слу ,ае гиперБШП"iеского тангенса< l\IОЖНО убе1\ИТЬСЯ< ,!ТО с величе !!,ем n очнос, RЫЧ ,слений по формуле (8.9) Rозрас,ае<,пог;<ешность СТР"l\IИТfiЯСiЮ\iOЩi,fРti'rSll1х1 + '1!;2Н1 лю.ИЗRеССГНЫ fiизкурса эле",ен<,арной- tl!;И СОБ1+<2х'I!; ,Г\facгe" а<, ию,И соотношения11)) полу'шеl\I сле-ду', 'щие фо; <l\IУЛЫ для вы ,исления приближенных зна'iений;;i , 2х:::::2;;\2) .
,Г52 (о2 'n-rТ")-Х«СО> 2х:::::заключен ,е за\ е<, "м, ч, о сгочнос,h5~ (-\')фор,fУЛ,in 2хи со;; 2х:+ 'l?52 (2)2n-Х-Хi(ЫЧi,слен ,й ,(се(1 функт~ий, указанных в после щИХ 1\ВУХ П; нктах< 1\ЛЯ шести иТ!'раций6)БУ1\ет неыень не 10-11 п;<и условии, 'по аргуыент Х по абсолютной веЛIгшне не превышаетГА В А9ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКАФУНКЦИИ. НАХОЖ)1ЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОГОИ МИНИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ§ 1У частки монотонности функции.ОТЫСКJ:.kние точек экстретvтума1. ()ТТ,IскаНИf' у'шстков монотонности функции.
В § 10предыдущей главы 1\'IbI уже установили ряд условий, обеспечивающ!!х возрастание (с' ютвет!ю убывание, невозрасrnание1uyfiblua1tue) ФункЦt шСТ) на некоторою !тервале(а, Ь). Д! УДffбства СФОРМf''f'eM ('щенан.!е усю!,'f1о.то!"учто{'ы д!!ффереШШРf'('М ,я нау=х 3-зх 2 -4О1 2фу!!кт~:ю!f(x)ста.iШ) намоИ1Ца, Ь)убыо [ЛUШ'[ ,'рва.
"',достаточно,1':чтобыпроизводнаяэтой функт~и!.ша Н('ОТliJiЩ;'Т: ..на (неположительна) всю!у на этом инт:Ba.ii'.для того чтобы дифферент~иру-20,eMat!фу![кц!Л:Е) возрасrnа;ш (убы[а штервале (и) юстато' ю,чтобы произвошаяТ:"! .на(0[1tТ~a[г"f' (х)[а)была положивсю!у на этоминтервале.Т"ким ffбразом, из\'чешtе Bfiiipoca ffбучастках мо! ютош юст'шффере! H~! труeMff!! фу![кт~!Рис. 9.1nСУ) сtюд!n исследо-ОUlf![Ю Зlш'Ка пери! 'й nРОUЗОQ; Ш"Ll Эгi!ОUфун'Кции.качестве ПРИ1\'Iера раСС1\ЮТРИ1\'I вопрос об отыскании участ[Ю!Ю(.У) = :Е 3 - 3:Е 2 - 4.
Поско. ! .Ю'к ,в м;fНОТОШi11ыI1{{1И1' ТО' ШКf'(;r - 3.г. 2- 2)то. очевидно. Гположительнаприотрит~ательнаприположительнаприТаю. "ТРЕМ', \lA:г2,:г2<:гi;;ссматрю .;;ема;! ФУНКТ~:И;l lюзра,' l;;eT н;; ка)к-юй и; ПОЛУПРЯ1\'1ЫХ ( - 0 0 , 0 1 0 0 ) и убывает на интервале(0,2). ГрафикфУllКЦЮ;l<eH la pllC. 9.1.2.ОТЫСЮ.kние точех~главывозможного экстреМУМJ:.k.Ml,I Bl;;"фУllКТ~:Иlf (;ТП';ll;lТlп.2лоnа.1Ъ1-tого ,МД"Х:СН,М,У,мдустановилиУСЛОU)"lи f(:r) в да! юйlKe .'н}ка.! ,н;}го м;;ю'для удобства сфОР1\'1УЛИРУе:\I еще ра.: опре.l.еленияiг'зульта'l ы,устаНОl;Ю ннфункт~ияf (х),Ie в ;'ю;занном llУНЮlе.l.елена ВСЩl.У в некоторой окрестноlюшяеслиС,(,У)ТОЧКГ' С ло"Х:ал'ЬнаЙ.l.етсятакаяокрестность(с) ЯВЛЯг'lС;lВШllМ iнаимеlЪШ:их значеllИЙ этой фУllЮШl .Лою;лы ,lй максим;'м и .'юк ;.'lЫ ,lй MllНllM;'M о{;ъеДЮlЯЮТС;lобщим на.:вание1\'1 э"Х:стрс,,::у,,::.Сле,l.УЮlll.ая теорема устанавливает 1uобхо:luмое услmзuс ЭUтре,м,у,мд дuффере1-ti(uруе,м.оii фу1-t"Х:Ч1Ш: ес;и фу1-t"Х:i(U,я 1(:г) дuффп}(";;ч'ш}усм!!f'(c) = 6.T~H!то'Ч;,;имс;э пои то'Ч;,; ЭU"'ум, iЛОТаКИ1\'1 обра \01\'1.
для отыскания у дифферен; :ИРУе:\ЮЙ функ(,У)lC'K в;;з ;ю)ю Н;ГО эю' lpeM;'Ma<ует la lТИю ;рннуравненияО (т. е. найти все нули прои.:ВО,ЩОЙКОрlШ ;'раВllен:,я(:г) = Оf'(;r;'iудем наЗlf'(x)lKa\'iii'i"'ОЖ1tOгi' ЭUiПрi "'ум!! ФУНКiiИИ f(x) 1).За1\'1етим, о.щако, что, по~кольку равенство нул ;; первой прон :воднон;;')юl;Л;lется л!!iШ'Ь 1ti:обхо:luм'Ы ", 2) УСЛОl;llе;' экстремумаД::iЮ.llте.lЫЮlCClг'ДОl;;;ТllЮПр;;;'ОlЧllН экстl1\'та в каждой точке ВОЗ1\ЮЖНОГО :кстремума.
для проведения таю;го Д ;iЮ.iН: ,теЛЬНОl"lCC lГ'.Юl;;НllЯ <'лед;';'" YCTaHOl;:досmат,''Ч,!п;rе УСЛОUi"1tu.лu'Чн;;· э"Х:стрсму,,::а,чему мы и переходим.Первое достаточное условие экстремума.Теорема 9.1. Пуст'!, mо'Ч"Х:а с ,явл,яетс,я тОЧnO'il возмо Н;НО3.фУ'!i"Х:ЧUН 1(х), U nу; iЛ'Ь фУ'!i"Х:Ч'Шl1) Иногда :шрни уравненияf(;rf' (х) = о называ::п ста'И,i;О1-ШРН/Ы.м,u то ,r.;a.Mu.ч·; О Э'; о уело ,,;е не явл;·;е·; ея дос; а'; очным, видно ХО'; я бы ';3 i аес·,ютрения фун:'ции у;г\, Эта фун:'ция не имеет э:,етр,'мума в ТО'Н;;'2)в :шторойf'(,) =о.302lЮ· ГРАе;ЕОI\ШlГi iЧ1.СЮiЕllKA()'Цч,у,ee'!·i'nредслах ух:а.ю1t1tOU ощ,(стностнnОЛОЖi!т, i'ii'НЛ (оmрu'И,атеit,ьна) сле6а от то'!nигпрш;(],?u~e тn}) фу1t?'·'Ц1!Jlлоnа.
!'ьнъt'Й ,лШnСU,М,!j,М, (M,UHUM,!jM,!и оmрu'И,ате 'ьна (no~f (:г)и.нее!лтn !'ч,?,., еЬ'с. iU :же nроиЗ60дна.ятn})е U~{)Пuстn.ПУСТ11)в пределах рассматриваемой окрестности положительна/lРiща'1елыi'ле1!ii от с!/lР1ща'1елыва отТребуется доказа1Ь 1'10 З11а'lе1 1eшим (1меньшим)З11ачеЮ1Й(l1ОЛО)КИТС"1a)f(c) ilВляетсяf(:r) в pai '1аибольшас'\юйокрестности. Обошачим чере; ;Та любос значение aprY1\IeHTa и;рассмаТр1 !iaeMOH окрестности ОТЛ11Ч1 юе отдоста'1О' шо 1ОкаЗ!iТ.,чтоf(c) -Лха)1С'Ю!!!!l'ое З1=f'(~)(cаl'гу\,и"прои.шо шая f'(~) положительнаOTl щ!!тс'льна (п'!л!!'i. 1'1ею 1!,)ПУСТ1аргументаотличноемеil1ДУ сf' (.Уl!,Я,ха),ОД1как и !!ыше.от с,ха.1epe;тот жс'Ха люБОiзнаки !!ри ;ТаэК'·1peM! мавИ !!р11Ke311!,K1a-и повторяя проведенные вы не\!Ы 1еперь док !il1eM, чтоППi1tъti(9.1 )ПОСКО. 1 Ж!'отрrщательна) при ;ТаС И> с, права!l ча!'lЬ (9.1)!1Оло)ю 1тельна (о 1рЮ iа'1ельна).чение.1Tb,Me11TY!!i'демлс)гдеОЩ1 !уема (!С] ста.1О\!еюlЯ к f(;T) по се!фi' 1КlШЯ1a сег\'!е18.1:1 ЛаГi !!iH +.а,>ЛхаХа>(9.1)с.дока';е!!ает отсу!-с.Пытека !!!!{ее из теоремыправило можно кратко сформую Ю1.!'Т1 l!,K: 1) если при nере:Еоде 'Через данную то'ч,х:у с 60З",ах:сн",у'"f' (;Т) мп и{.ст 3Н!!" с плюс!!, то фунх:'И,и.я Л:Г) им,еет 6 то'Чх:е с',"ШtU,Ну,Н); 2) сслi! Жi nри nерс;тm!, 'ЧС-рез данную то'Чх:у с 60зм,0!!!ного :жстремумл nроиЗ60дна.я1Ц'!,м!ло эх:стре,ну,на!i!о'Чх:е сПредП!,лага!!,!шлю {рапри каком соотно нении меж.
{у r ипЛ!,ща.р,1. 1)нст,.консер!!!!!,я ба!!каrB!,1fOT!,1 h, определ!!т!"h консервная банка с посто-,Ю !Ю! 1Ой П!шерх!1ОС'1И и\u,i,"!а!,шин !,БЪС',i.)бошачим площадь полной поверхности консервной банкиS. Т!,гда+ 2nrh =S = fonst.(9.2)i11ыI1<{. "'ТРЕМ") \lA1И1" ТО' ШК)того равенства находим,чтоS-Т, мы м' )}l<eM выр»)з' ,Т1 ))бъс'"Таюкак фу 1КЦИ )) рад туса7Гт 2Vr2ТКlYlсеР111ОЙ ба11Ю7ГT:~ Задача сведе11а кТ")Sv (r = -Т-отыска11ИЮнулю про и ;воднуюН»)ХО.sТ./·'(гI="2S -;Ъ7ГТ 2 и учитывая, чтоr> О,1КУ в);з ;IO)ю 1);ГО экст'аГ--Хотя по СNIЫСЛУ«).3)671'lа.щчи ясно, что единственная точка В03NIOЖ-H01); ЭЮ" 1рем)'ма ЯВЛЯС'lСi11Ю;";1))Ю"И;lУ\""1И V(г),1\ЮЖе:\I строго убеl.ИТЬСЯ в этом, ИСПОЛЬ.lУЯ теоремуl))Я,.о' ,31 о l))Я V' (г)r < jSj6n 0)1 lТ~a1)" 1a37Г=,иг2)> jSj6n.(((71 -1101ОЖИ1)"1aприY;la(1»)B',Mпри каком СООТНО11lении между радиусомr иhобъемV (г)Щ)реаЛ11зует<я на11б))ЛьшийконсеРВ1убанки.
ДЛi1 ЭТО1ОpaBe11cTB); (9.:~)1a г 2 и в правой части полученного при этом равен·1ЮСlli;льзуеМСi1 с)ютношс'Нlhри этом получим.r = 2, т. е.Такимh=обра1ОМ,uанfi),лъш'шu(9.3).2т.обо(будет у тои 1>:онсервнои баю;;u, у пота·выlотаa равна диа,м,етру 1) .2)Найти точки iKCTpeMYMa ФУНКll.ИИ(:Е(.1) =- 2)4,. ПоскоЛlЖ;'-(:Е) =5(.1то е.l.ИнственноЙ точкой ВОlМОЖ-1ОI " эю" 1peM)'Ma'))с.9.2i1ет<"я 10ЧЮ' х = 2.'1 акГ(;Т) положительна, как слева, так и справа от ЭТОЙ1К1 ,tЯ (.1) = (:Е 1e 1MeeT точек экст'\lY;la (граф11К фУ11КТ~11И (.1) = (х 1з);бражс" на )И(. 9.2).4.ВтороеДОСПiточное'Тl)УД11еНl1еусловиеэкстре Ту] У Ty],fi.Иногда3(1))K)' пеР1ЮЙ.оИ31ЮД11О11Cl1pa1<a от то 1КИ 1ЮlМQ>1 1010 жстре\lУ\lа. 11а iT01;'к '}l<eM др;'юста'l')'1Ое ;'С1О1)'1а.1ЭКСТ1мума в1ССЛ; .Ю1))Нl1еЩННОЙ точке с во lМОЖНОГО экстремума, не треБУ1ощее) р, шенная наl\Iи)а1\а',а показыва) 'Т.
'по в инг'ресаХ,ЮШОl\IИИ Ж)'СТИИЗГОТОВЛЯТЬ ЮШС' рвные ,)анки с высотой, равной ·;даl\jj'Тр,.HOC'f!'('С'!С ОПiЛi, "нпй!/iY1-l'l);j/и.я ] (:г) и чееm 6 У)П1-l1-l()П6()3.fiЛii Шiiii!i()ФУ1-l'l);V;u..яn!ст"е.fiЛij.fiЛПm ()'Ч'I);Ус1!()не U!iJЮ ",!т!пРУI!!.fм U!i!MY.Nt, если(с) > О.Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия(с) < О (> О) и изтеоремы 8.9 ftbITeKaeT, что функция I'(х) "бьшает fюзрастает)в точке с. Поскольку по условию ]'(с) = О, то найдется такаяокреС'! носТ1 точки спределах KOTOpoI] г(х) юложитеJьна(отрицательна) CfeBa от с и отрицательна { fс,ш,жительна) cffpa~ва от с. Но тогда по предыдущей теореме ](:г I-Еfеет в точке смакс [! I\I,'M (минимум).3 а м е чае. Теорема 9.2 [!меет, вообщеОfЮРЯ, бо~лее у:шую сферу действия. le1,l Teope1,la 9.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
