В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 50
Текст из файла (страница 50)
)граничимся тем, что сформулируе,' Teope'lYдля с чая, KOl',:Ja а = +00. ПУf'iНЪ ,f6f: ФУНf,V;LШ J(x) И g(x) определены и диффереН'Ц'Щ!?jе,fjЫ 6ClOdf/ на nОЛf/ПРЯ,fЮЙ с < х < 00. П!/стъ далее,Ет J(x) =lim g= о1"-++aG,,1"-++00И ЩЮИ360дная g'(x) отЛИ"lна от Нf/ЛЯ на fj';,;азаннml nОЛf/ЩiЯм т,если су цествует3'НЛ"lеjf.иепределъное 3НШ'lен {е limто С? щест6уетf(x)l'g' (,( ,npU"le.Mс ура,);-++00 gвf:дливо раве {(тнвоlim,);-++00f'(x)1~00Етf(x) g(x)Х-+При м еры.l'' l-cosx1) lllnо= 1т2)х- - = -,2х2СfеДУЮf [,ее предельное значение вычисляется двукратнымХ"1-+0[О!Тнменен [ем прarшлаlОf fпаля:Ет1"-+03)х-ох"Трехкратны,'' l-cosx == l llnо3х 2l'1тх- - = -,6х6fpflMeHeH [ем [рав f"fa ЛопитаЛ!i вы iИС !ieT1"-+0ся предельное значениеЕт------,--I"-+С;[1тХ-+О2.cos хРаСКРЫТИf' Нi:опреДi:ле! ноС'!и видар ПЪ, что ОТfЮi!!еfiие ДfiУХ фУНКЦflнеопределенность видаЕт J(;r,);-+0,112х 2Вместо00можно бlfать2 sш х00- .
Будем гово-f(x)предстarfЛяет coiioifj при(:r)если00lim gили2lim - . - = 12,Х-+ОgХ-+,I+00=-00.00 1 ,(7';.28)'\СКГЬП2дд fЯPf)(:K\blTlf\{'Нf!предельнOl оНff'IHi" ТЕМI,IEС, ,в, 'ЛlffеIIЪIЧ IC~знач, 'Нf!ffнаЛОi ifчноеI'еор, 'М"а ifMCHHO:8,17,eC,i,U вфо; '.му Ш; 'о {});е rnеоре ,i'bl 8,17 за ,ie1-lUrn:IJ rnliебова1-luе liш л:г)x---+ f ,(:г) = Оlim.);---+0,С !раведлu,воi1.Для(8 .'!j(JI.OBU'юказательстварассмотримnрОUЗ60Л'ЬНУЮпоследовательность{х n } значений i.i.prYMef.i а. СХОДi.i iiУЮСi.iО спраfiа (или сПусть Х тХ N - л.i ,бьн' два эл'i ПОСЛiщоваТi'ЛЬНОСТИ достаточно боль.i.i ими fюме У""иm иn.n >m.условиюмы мо, ,ем .'iTBep~t;,mnЖ·.iать, 'по на этом с' гменте на iдется точкатакая, 'по1 _ f(im)i' (~тn)f(x n )g( ..i1(~тn).gОТСЮД.i';; (Х т )- ~(~тn)f(x n )g/(~mn! 1 _ ЛХ т ) .gf(:г n )!' (х)Если С} ПiествуетHOMi'P-7гg'(x)А.то для любого Е>О можно фиксироватьстоль большим, что П1Ш л.i ,бом n > Д1юбь ;:~~:~~ бу.·.i' т отклоНЯТЬСii ОТ чисд.!',·еfiьше чем надля данного фиксированного'mДалее, УЧИТЫ'iаянайти номер(8.<28),мы МОАуемтакой, 'по при):.iробьg( ..ig(.x n !1 _ f(x m )f(x n )1бу.·.i' т отклоняться от е.·.! ш ,я,Ы меньше ч, м наn>f(x n !ПО2Аэlimх---+О+Орыl/х-2) х- 3 , 2НО тогда пIшi,ТКЛОНЯТЬСЯ {,т .
iис яа А меньше чем ня, Е(in)ПримIA.I Е/2i Е/2'1,гi'Щ.i.iчает,lim filnx:U+О-2 limх---+О+О=О.что,я" едельное значение111lim - -Г---+ОО x- 1 / 2fпаЛ~fВЫ'fи'шеТС~flilll.1--++00Еlllх--++оо е Х3.Раскрытие неопределенностей других видов. Кромеи ;ГfенвышенеOffредеfенностенО-видовисх)'facToчаются неопре.f.еленш>сти сле f\ЮШIГ< ВИ;lОВ: о· 00. 00 00,000.встре-00, 100Все эти неопре. f.еленности СВО;lЯТСЯ к изученным выше (вумпеOffределеННОСТ~fпуте> алгебраfi'fескнх преобразовапиЙ. Покал,ем это например, Ш> ОТНОfffению к nослед1-tu/v{ трем из \ка;анных выше неOffреде.fенностеЙ.
Ка>f<да~f нз этнх неощ еделе+ностей имеет ви;l(8.29)l';le при х ---+ а fа g (;Т) стремитсявыраже [нестремится соответственно к1,О или 00.соответственно кО или О.огарифмщ уяполгшм, что f(;r)о)>111 У111 f (х ) .gдля на <ол;ления пре;lеЪН'lГО значения выражения (8.29)то [но найти преде.шяое ;на'fение выраження (8.30).;locTa-Заметим что в любом из трех рассматриваемых случаев выражениепре.
f.ставляет собой при х ---+ 00 неопределенш>стьвнда . 00. Ста.ю б Лf" достаточно нагшться СВОДfПf, неопреде~00"ленность ви.щ О '00 к неопре.f.еленности ВИ;lа О или 00' IJокажем,как \то делается. И так пустьz= <р(;Т) . 'ф(х).причем1i= О.<р!х--+о.Перепише>(8.31)lilll'(;r) = ± . .'..,"--+0. .видеz=<р!'Цх) = y~i).Ч:{i)ОчеШl;lНО, вырюкение(8.:32)пре;lстав.шет собоi! при х---+аОнеOffреде. [енность вида о' Наша цеJЬ достигнута.При м еры.Тогда 111У;Т111Х1)Вычислить1illlх'". О; ,означим У0+0~/~.
Пр i\<еНЮf ffраiНЮ=х'".о нпал [, буде>ФОГI\IУ'IТЕI1ЮГАиметьli;",0+0~ICIЮОтсю'l 1111(111 у)lп х-'--+0+0 1 (г'ПО=lilll"--+0+0-1j;J:liх;",0+011111,;--+0+01-1-,2)Пусть уlпу = -(е-,Х-1---:,--'--) ·111(1ПOJЬЗУ~IСЬ Щ а шло\+Лопита, IЯ, полу Ш\2:гlilll 111 У = lilll_lп---'.(_l_+_'х_2-,--)х--+о е Х;",0-!тсюда ~ICHO 'ITO li;"lilll ~ = lilll:г1-ОУ§ 13.;"--+0=- 1;"--+0 {е Х2х1) (1 + :г 2 )2-.)2х = 2.е2 .Формрла Тейлора~'станав,шваемая в этом параграфе формула является О;lНОЙи: OCHOEНI,IX формул матемаТИ'IеСfЮГО анали:а и\ieeI много'ЧИСIенные прилсm-сения как в анашзе, так и в смежны:<ДИСЕИ'плинах.Теорема 8.18 (теорема Тейлора )). Пусm'ь фу1-t1И~'UЯ лх)'U,fiлееm 6 1-tе'Х:ошоро'u ;жр:сш1-tосш'U mo"l'X:'U а :n:;i'UЗ60д1-t'!jЮ nоряд'Х:аnn -fюбоu ф'U'Х:с'Uj 06a1-tifbl'U ilOM: р) 2) , Пусшъ,х -любое з1-tа'lе1-t'Uе аргу че1-tmа 'UЗ у'Х:аза1-t1-tоu о'Х:ресmносm'U р - про,'UЗ60 fb1-tО; IiО,'IOЖ'U:!i' fb1-tО; "l'UCiiO..Nt:'жду ШО"l'Х:ам'U а '111-t i/lдеmся mO'l'X:a ~ т i'Х:UЯ, 'lmo сnраi:едл'U;:а следующая фор чула:/(х)=/(u,)+ г;!а)+ f(2~ia) (х ф)(,)...
+_!-,-"(8.:Щгде З )(S.34)1) Брук Тейлор - английский математик (1685-1731).') Отсюда вытекает, что сама фУ7i'/ИjUЯ'''ЛР:Р'Ы6U'Ы3)(хu ее nРОUЗ60д7i'Ые до nоряд'l{;аnУ! ;:за iiiii:f O'l{;p:iim:HOiimu mо'ч'l{;U а.1а;;: ;;:::к ~!i'ЖИТ ''!СЖДiИ а, то :г - а_;)Р определепо для любого рО. х->:а;;: :то :;ыражсписс центром вi!ШО'Чi!!Ъt.fiЛ 'Ч,ле !ом.(8.33)а),ВЫР;iЖiРК [к мы УВИ.i.ИМ НИЖi, \,статочный члi н м( .ж:ет ()ыть з;шисан н!толыш в ниде34), fЮдругихназывать\,статочный ЧЛiН, заии! ;шныij'Ном6'!ле-об!цей форме )Д о к аа т е лс то.Обозна'fсимволом ср}многочлен относитеfЬШ! х И, !РЯ;lка n, фигурирующиij виравой'fасти (S.33), т.
е. иоло>!!ср(х,--+ -(2)(а)-- (2!f( ... . . ) +/'(0)11. . . . )2х-!·j(n){a)... +-.n!Даfее обозначнСИМfЮ)n.(8.:35)ратост!f(x) -=Rn +Теорема БУД8'f доказана, ес}iеляется формуюij-аср(х,М!,! устarюн!!(8.36),чтоR n+ 1Offpe-(8.:3·1).Фиксируем лю()ое значение х из окрестности, указанноij вформулнронке TeOpeM!,f. Радн OffределеНfЮСТН будем с'штю !.,что Ха. Оi)г!значим через t иеременную ве.ШЧИНУ, имеющ\ юобласт! ", свое} о и !менеНИ!f сегментх], и рассмО'} рим нсио>гательную'ljJ(t) Сfе;lующего ВIтa:(х)Подробнее'lj!(t) =f,.р(х,\южно заииса'f- f(t) - .f'\t)1....llаша нefЬ--выра шть!,t) -(х0-- t)pQ(x),так:- t)j(n)(t)--;-(хn:- t)! Q(.z).(S.39)ис:<одя из свойств введенной нами,функцииПокюкем что функция 'ljJ(t) у.ювлетворяет на сегменте а, хнсе> усло НИ!f Teope>fыI11 (Рол.Шf).З фор><уш,! (8.39) и и! устю !НЙ, н<t7IOженных наf(x), !!чеви шО, что Фунюшянеирерывна на сегменте'{!ПР;азыв;!ю!!агжг' фор;'.юЙ Шлсми n,Х;!-ФОГи Д11ФФZР'1Щ11руеМ;I 11аС'Т\"" 11"1 е 1) Убедимся в том, чТi'n(а) = 1/{г)О Пол т;ш в (8,3~)р;шенство (8,:38),иметь1/)(и) = /(.г)а и 11р11<р(.г,Итак,IЛЯВО В11 \'ание(:г)11а О(Н('Б;I(8,36) пол)"шм 1/)(а)О c;pa~'y вытекает нз(8.39).=277ТЕИ ЮГА,IY'Iна сегменте=о Р шенствоа, хвыполнены всеУСЛОВЮ1 теоре\ыI 8.11 (Ро..
На ОС11овании пой теоре\ыI В11Утри сегмента [а, х] Haij (ется точка ~ такая что= О.1//(t) .lнффере1Щ11РУ~1Подс'штае\про IЗВОДНУЮ(8.:39), бу (ем иметь1//(t)' 't)/+ -'-"! -= -... + rn(t) n(х _ t)n-l _/(2)(t)/(2) (')+ --'2( х.- t\ - .. ._ t)n + р(х _ t)p-IQ(х).t)_ 1!_ ' ('х._/(n l'(t,;;1'n!Легко ви(еть, что все Ч.1ены в правоij частинием 11ОС1еДШIХ двух, в (а111//(t) = -раве11С1 во/ (n+ )110(8.·11)(8.41)за исключеУ1IfIЧТОiI\аются.
ТаI(ИМ061 азом,- t)n + р(х - ty-1Q(x).,n;1(;>лагая в <Iюрмуле (8.·12)t(8.42)и испо. ъзуя равенство=(8.40),пол)"шмQ(x)=(х - (~n-p(8.4:3)1;;:рСопоста (1Ю1(S.43)и(8.3S)ОКО11чате. ъно будем иметьа)Р(хaJPQ(оn-р+l /(n 1l)(~).Теорема до (а(а 1а.llаЙ;lем разлО)кение по <Iюрмуле Теijлора простеijrrrейнИИ - а i2,браu'ЧеС'Х:О20 М'Н i20'Чле'f!Д n~20Пусть/(х) = Сог nor;la,il' iСЮ>ЛЬКУ/(n+ )(S.33)формула Тейлора/(х) =/' (а)/(u.)+С+ ... + Сn -+ Сп·О, (>статочный Ч.1ен11р11«ает/П(а)+-,-,,-R n +1О ивид\2а;+ .../In)(a)+--,-(хn.(8.4:1)1) Фушщия[а,паj:],,.275)./(t)/(n')СС ПР(!ИЗIЮД\iЬ!( д(! порядка(t) еущ('етв\('т и ({ОС :("!,:аПСПРСрЫШIЫе(:",(C\iTCIPе(': "'(СП(\М. е,ю\ку З)тве(],\южн\' взять Лiilбую то i "у бе; iшне'iН( й iipiiФОР>'iУЛ;; Т(ЙЛОР;; iЮ шоляет пре;; т;шитьмногочл(нв i;'U,ae m1-tОi'О'lле1-tii по crnene1-tЯ,ji (х -любое ;;;ще; т ;енн(!! чнсл\,Пусть т(перь/ (х)про!! ;вОЛf,1-tiiЯ фу1-t'Х:'Ц'U,Я, у;' fвлетворяюT(OneMfi18 ПостаП"i"С'" В!,JЯ<НИТЬ, к;к'свойствами обладает многочлен (S.35), фигурирующий в фор~муле ТеijШfра il,iЯ этоП функции.
Как и выше, ii\)l,eM обозначать'тот МНОГОЧ,Jен симвQ.ЮМ ср(,г а). Символом ср(n) (,г а) обозначимща'"УСЛО':f'ЯМn~ю ПрОИЗВО;lНУЮ "р(х, а) по х. Дшlференцируя формулу (8.:35)поИfатем JюлагаiJм!,, JЮЛУЧНследу' 'JJJHe равенства:iJj'(a, а)ср'(а)=ср(2)/'(u.)= /(2)(а,а)Таким образом, фигурирующиij в ,Iюрмуле ТеПлора ;liЯ произ~ВQ.JЬной ФУНКliИИ Л.г) многоч, JeH ср(.г а) об, JalIaeT слеДУffЩИМСВОЙСТВСilvr: !ш сам и его ПРСШЗВСf t.Ныe ;10 ПОРЯ;lкавключите, JЬ~но ра ;Н!,' в то {кесоответстве JJЮ /(х)ее пронзводн!"до по! ,ядкаn.§ 14.Различные формы остаточного члена.Формулы МЫГ;ЛОIJена1. ОстаТОЧJчленilюрме Лагрн Jжа, Коши и Пеыно.
Вьп!!е мы установили формулу ей, юра с остаточным Ч,Jевформе. 3 (есь мы установим t.ругие вСtЗlvюжныепредставлеНИiJ ДЛiJ остаточного '!Лена. Два Иf эт!!х представле~ний мы ПQ.JУЧИМ В качестве частньг! сл ,чаев из общей <IюрмыIOfMостаТО'iНОГО'!Лена.Преж.t.е всего несколько преоiiразуем формулу ;liЯ остаточ~но] о '!Лена(S.34).Посt.Ю,JЬi<У точка ~ ле!!;иrnшx;tJ' 'Ч/UСJUJ В 1~. Приiаким оiiразом сlюрмула_ (,_а)п\fе!!!ду точка>.ИЗ И !Шfj!ва!ia ОВ< 1,(8.:3·1\может быть переписана в ВIтen!р! 1)аа)что+В(х1(1_8),-~=<~=В).+ В(х-i 'ассмотрим теперь два важны!! частньг! с Jучая сlюРмулы (8.
15):) След.' е! ПОД'iеРiiПОiаiiЖ(' и ОТ р.'Л::1;.ст:' еО быть,8заi:И,Яii(:лью:Оеi1СТ~\ТОЧН{1)р =n+(на юмним,,2)'1021')1ЛЕНА'lTO в форму.!аХ (S34)(8.45)р \юж(т б1,ТТ1, нзято ю"бое поло ~1, нтею,ное 'lИ<ЛО)из ЭТIГ< ч (стньг< ,л~чаев (р- n + 1)иривi' l.ИТ на,к>!агр({//-tжаR()n+l:г -(х -(n+ 1)1f'(n+l) [а.+-а)](8.46)Эта фор\а остаточного 'шена наибо.1еев 11p 1Ю~л::ению<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
