В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 53
Текст из файла (страница 53)
,ляфг,,,,,,улыR 2n + 2 (x)).~ О. Учитывая это инеравенство8.89)в(· н!ч,!1.1-0,172'~ (0~~2~2~IR'n+2(x)1С !еду "щу"о ",н"у:[1 +В послеf\ней формуле внесем '0(172)2,'+"< 0,208'8.92), получим, заменяя в1+ Вт - (.д'!в(· н!ч !ну1чи(л"м1-(jх0.1'21 _ 0.172видно, что замена х наll((этому достаточно пг, !учит" ОЦ('нку'n+2] .в KBaf\paTHbIe скобки. Так какполучим сле. ,ующую о (енку . ,ляR'n+2(Х):(8.')3)!н,-вычислит(' н.н"ЙПри (".,ч !с!еш,! (п а н"(8.90)берут обычно приТочность вычисленийn{О,172)1'(енив"ется,кю{виднг,чис' юмизне2),ля этого случая+ (0,208)1414'ю(торг,(' Ю·превышает 1,625 . 10 10.2.Вы ч ие н и()arctj;((,видно, мо)к Ю ((Гi"'!ШЧИТТ,СЯ С !уч"е'"положительных значений аргумента ибо.
полагаяlal=най"емaIctg а = sgn а . aTctg Х.У"а)ке'"Т('нерт, с !"НД"Р! ные "р' Г"'!," 'о ",ния, С но "г,ш,.ю "г,!оры< вычисление aтctgf\ля значений аргумента . не меньших 1/8, приво, штся Квычислению арктангенса f\ля значений аргумента, меньших 1/8.Пусл гнач,ша.х ~ 1. ПГ, южИ'" уarctj;.x, т.
е. хcgy. и Х1tj;(Y-=- ,(l'ccg 1).кю{Из ш(с!едней фг" ·",улы нолуча('М Х1arctj;.x'(1'ctg 1значений~()6ра! ,!мг'8.х+ ,(1', (gX1]г= -4+ arct"' Х1,ПРИВОf\ИТСЯ К вычислению(луча!,;,"((ГД"==tgy -1= -.-.-'-- = - - < 1.tl;y + 1.х + 1тг, вычисш'НЮ'при ОaIctg"РГУ ·н·!(тarct.!.·.xТакД!Я< Х1 <удг,в !етв, ,ряет!".! ", (,ен-< 1.k1k 2 = 1/2 k з =k,3,4 выполняются неравенства.х1/8.()чевд.шо,ля некоторого< 2ki.1) Т"К как .х явлю'ТСЯ функ (ией от 111, то вопрос СВ(ЩИТСЯ К разыскани!"!я функци,! 18.91) Н"[1! " 1].") Нменно так вычисляется lп на электронно-вычислительной машинем ",си'!а Н.Ю(ГГ"наченияБЭСМ-6.lEНИЕПГ, ю)ки'"У;,1';tg Х,g(yХarctj; kИз;юлу;аг'мx-k1 + kiXТа;,;О,.Х(8,9!;k1,k< k,k;,xk1тг,< ';k-получаем неравенство Х;вычислениеllРЮЮДИТС,;;0;о, сг,г ;;,гю;ПосколькуaIctg Х =<п;;;;вг'де';'1aтctgk;;;;,;ч;;с;ение;Н';'g Х<aIctgaтctg х = х- 3при х<;;з;;i;;уинтерва;;,меньших[/8 используется формула Маклорена+ - - ...
+ (-1) n - - +2;; + 1При вычислениях обычно после,шюю формулу берут присы ;;;ют остаточю,;й ч;е;;то(8,94)самое большее четыред;я зн;; н'н ;й .Хк вычислению арктангенса, ;ля значений аргумента[ля вычисления;ля+ aтctg Х;,;ля значений ,у,ювлетворяю ;;их неравенствам;;;,;ч;;с;е;;и;,; arctj; ,Xi ;;ри ОХ,k;.aIctgПовторяя OIшсанные преобразовании аргумента<и; ;н';;;,;;енс;;'[о ;то;чу ю; "ослеf\;;его выраже;;и',;nб и1). П[,ю;'рам;ча вычисш'н;;й дл',; 'о; ;;рифм;;отбратангенса общая.
При пользовании этой программой, ;ля арктангенсаа[ ,;,;Haf\o.х 2n + 12.Вычислени;,' тригон ;м ,'трич;,'ских ФkНКЦИЙ,функ ;"иипою;з;;zтельноиФуню ;"ИЙ, Вычисление этих функцийп н ы х (или, к;к их г'ще н;;сыва;;;т, Нй.Р оf\НеоБХОf\имые нам свойства этих f\робейприво" 1Ятся ниже в п.вычисш,н;;г, ВСГ'Х ш'речю ш'нны; ;[tvн;;ц"й св',tзано С г,;;рс'деш нн; ,й це;;-ной f\робью, которая получается при ра сложении функции Нl;;сщрг,;;;ю рассмотр;;м t;;,;ч;;с;е;;иеt;;аче;;ий функци;;х,1l0ЭТОМУзате';' у;;а-жем.
каким образом вычисляются остальные фуню (ии.1.цеН'~o'~~'"ктдР'б~~,'и,ир ы еРnQnс в е д е н и я о;;азы ;;;етс,сРnQ= ЬОцеп н ы х Д р о6я х.K07ie';7i;;uвыраже;ие видаа+ ------,,;'-::-2--Ь 1 + ------=--;;-а,=-3- -(8.95)Ь 2 +-----ЬЗ+ЬВеличины а1, а:" . ..аnобычно называютсяаЬ о , Ь 1 , ... ,b n',aCrn7iblMU 87iaMe7iarneJP:,M'U.Цепные, ;робиРОQoЬОl' Q1) Именно так поступают например, при вычислениях на электронноймашине БЭСМ-б.дя ,!их дроб,'йQPk=+ ak P k-2,(Jk P k-l(8.97)Щ(]k-2.bk (Нам понадобится специальная формула для дробисо()'( ,юше,ii,емдящие дроби(8.95). ДлZLPkPk 1и --.Pk1 -определяемойРазность этих дробей, О'iевидно, равнаPk(8.98)Qk P k-l = (bk P k-lQk P k-lPkQk-l -1(~k-lPkQk,уС',анО!,лени}! Э', ой фор ,'улы сра н,и,,' Д ,е ,юд",о----Ч"сли', еЛh правой чассгиРn(~k-l(в силуможе', бып .• аписан в Riце(8.97)+ G.k P k-2)Qk-l-(bkQk1+ G.kQk-2)Рk-l= -G.k[Рk- Qk-" - Q/-IРk-,,]'Последовательно используя соотно, нение- (), ...
, 1 и у'!Итывая, '!то Р_1. (~_(8.9:;) ,mлующий ВИ1\:Pk _Pk 1 =!k-l(_1)Н(8.99)= О,=(8.99)для зна'iений k, (k -1), (k1. мы ПРИ1\а,им 1\робиG.kG.k-(8. 00)Так кактомы и пол; '!им неоБХО'"Иl\I; юнам специальн; ю форс помощью",улу для дроби-Q :n2.Раз л ое Ф у н ки иth хT~ е п н у,уемый в Э', ОМ пунк, е способ ра,fД()'(i;ею,ч фУНКТ~i'"Дth Хо бh.Испош.-T~eiiHy,(f дробhбылпредложен Шлёмильхом 1) для разложения в т~епную дробь фУШЩИИ tg х.Рассмотримнкцию уду (fЩiiе (),(i;деС', "а.
получаемдаiiНОЙ фу ,к ,иип!юС',ысl1.levx1\ЛЯ зна'iений х>О',еВИ1\НЫ сле-последова', еЛhНЫМi, Дi,фферент~ирова ii(ЯпреобраЮiiаНi""I(VXy! =r:;;/f2у х У+ -У - -У-vx2VX1) S С 11 1 111 i 1 с 11 О. Ueb"I d, 11 Kette11bIllc!, ПiгPI1YS. ы;ы. \1. 2. S. 137-165.=О.'/d;х.2%lEНИЕхО2у'У =П"f'JНЛfшаг льно 1\Иффf ренцируя П))IСf f С'ТВ"=)2) ffY1\eMИl',!f'ТЬО,l(3)(8.103)+;/n)fff'резu,,+;.
'!ог ;,а из ПОСJНЛШ'ГО соотно-уОб"зна'iИМ отношениеfff'НИЯ+по.тг. 'fИм Т"Ж1\ество12и;еfOТОрОГОвытее;ает соотношениеТак как 11.1у'= у..fi2..fi 'о соотношеНiiе---(8.104)Прf'n,аписано в следу "щей фор;,е:t h..fi' х=в правой 'jасти этойпомощыо(8.104)прилы.n =..fi-1-----'-:.,-')/-;11.-2;аменим11.,его выра)кением,ПОЛУ'iенным сВ ре"ул;;;ате получ;;м фор"улуth..fi = __..fi,---x--=-_1+ 2Х71зпоследнем соотношении мы можем заменить)1\ 'iеннымс помощьюж;'м прове;;ти лю)юе кошфуню~;;и'ff'Mth..fi'! ае;ОГОпри'iHOf'1',10'fИсло ра;. В результате ПОЛУ'iИМ ра;ЛffЖ;'НИf'т~епну;" дробh. ЗаменяяН; жное нам раЗЛОЖ f НИ f 'его выражением, по-РО';,а операции мыэто)' разложениинкцииvxна х, найв i;оне'шую цепную 1\робь. Эторазложение и) еет видthx=---------------~----------1+х2(8.105)--------;с----)г 235++2п3.к аВ ып о гнкциии с л е н и ез н а '! е н и йе ш н о с ты чнс л е н и й.Ц и и!;;,lч;;слен;еО ц е нmачен;;йна ЭJН'КТРОННff-ВЫ'iислительной ма "ИШ' О);Ы'iНО произво';дтсякторой тбрас ,шаетс,,; член 2х 2 ;;n+2' !рис ;Ю)ЮЩ;,ff' формулы (8.
05),этом Т! б;'рется равным6(пffграНИ'iивают;;я 'fИптом 7г /4.зна'iения Ж f 'по абсолютной В;'ЛИ'iинеМ,,; ПРОJJеDРМ m~PJJKYОl'l);'ШНОСТ,дш;;номер"()бозначи\' прибли ,;енн"е ЗJJаче ,,;е фу ;к ;ииth х,п\ Г М отбрасыв ,ния "лен;,n,полученное И;tll;Г, ';"метим,вы Пl;лений мы ';i)ЛЖНЫ, '''';'ви Щ;;, оценить р" ш"стьЧТОИ tll;J: преСИИТНСТСТНСННОаытяют С,,;JОЙРn+'05\Для выя; нения П)'iНОсТИк,,'; ор,,;;'обо; ;ач,;'иQn+lв "пишем значения час;ных числ ;телей а"Ь"Ь, дЛЯ этих дробейа, и чаС;Н',J"" знамена';елей'iерто';кой све;,ху мы будем обозна'iaТЬ веЛИ'iИНЫ,Р",отн,,;'ящие;;я К ';,роби ~), ИмеемQ;ЬОЬОЬ12nТак как для дробейщыг' формулQn1= (2nРn(8.106)(8.106)= 1,+12\2и ,1.1Q-l =Q 1 =0и соотно,нений(8.92)о с помо-полу ;аем следу'рщие равенства:Ql=Ql' Q2=Q2' ... Qn=Q)Qn+ X2Qn_l' Q\+l = (2n +i)Q, +x 2Q+1 +2x 2unuПре1\ставим теперь каЖ1\УЮ из 1\робеиРn 1-Qn1()7)иясноИз фори1';то ;ти пр;лставления БУ1\УТ от, !и ;аться ли,ньпос',е щими ;;лага;'мыми.
Попом; разностьQI'\+l n+lности последн;'; слагае"л,;; предс,аJJле ;;,й э',Так как разнос,(8.106),(8.107)1.n1Qn1б\ ';;'т равна раз-дробей ,;о формулерассма', ринаемых дробей ран ,аth х - th х,(8.101).о, "спшп,;уяПОЛУ'iИМ сл; 1\УЮЩУЮ формулу:th х - -th х = (-1 )n2х2n1Это соотношение с помощыг' фор ,'ул;'JТ(лующеl\!\[1Q Qn n(8.102)11]Q\Qn+l.легко преобра,;о ;],шаетс", квиthx -thx =_1)n[-2-;-=Q=-n-u-n+-2-+-(-:-"-'f!7"--~-";~-':~(=;n-+---=-]'(8. 08)Для получени", JJУ\';НОЙ нам от~енки НОСПОЛhзуе\,ся следу;ощи\ ,'днр, я неравенствами, которы;' б\т 1\о\а;аныПр;; х ~ О для любогоk~1Qk;Г>ОHl·[)Ke.справедливо неравенсmво:~(2k - 1)!!(8.109)297lEНИЕ"Ю' р;,>при Хлюf)(J' ,ю;адра; ныхнит~ыр"Далее, ;;з(8109)п, ,луч ,ем "леду рщее не; ,ai\eH"CГ;;O'+ 1)-1;!!?ому "р;; ;гО, Т;,к как при(8,109)), его выр"Ф;е"ие08) HP пр' ;юсходи; ед;;->погре;;;ности:,2n+1I thx - thxi ::;;(8.[(2n - 1)!!Р(2n + 1)'Осега;ю ,,;МС,; на ш;е;;ке ;югреш;юс;при n = 6 для значен;;й х, удш;леег юряющих нерав;'н;;твам О < ;г <При Т! = 6 ';исло 2n - 1 равно 11 ачисло 2n + равно З.
Так как (0/4;0,8, о х 13(0,8)135,6· 10-2.Лег;ш ПО;,С'iИтать, ';т" 11!!10 з;);~" ПО ;TOl\!' У'iИтывая, ';то113,из формулы (8.111) по.тр ';им. ';то ошибка в приближ' нном ВЫ'iислении t11д;"н; n = 6 не "ревышае'; 4· 10До;;ажем т;'перь н;'равенства (8.109) и (8.110).Д о к аа ег е л h с ег в Оеа в ес ега (8.109).До;ажем сна'шла неотрицательность любого (~k' Изл (8.106) выг'кает неотрицаг льностьотме';али, ,;то Q-1иО,nk при ;г ~ О ';ля лю,юго k::;;Мы1. ОТСЮ1\а и из второй ИЗ формулвыте;;а;'т неотрицаг льность (~k ';ля лю,югож"kИз второй формулы (8.97), а таюке из неотрит~ательности nk и Qk вытекает неравенство(8.112)Та;; ка;;Q,= 1,аbk = 2k - 1при::;; k ::;; n,~ 3и; нерав;'н'тва (7;.112) полу'шем Q1 ~ 1,то последовательно(2k - 1)!!.QkС ;равеДШ"ЮС;h нераве"с;ва (8.
09) ус;а;ю те ;а.Д о к а з а тл ь с т в о нр а вн с т в а (8.110).Дос ;аегочно доказасг;,. ч'; о все "рои,;юдные фу ;ю;ииchо пол' 'жиг льны. О,;, ви,'що, г'м "амым мы 1\' ,;;а)кем н' равенств"=>vx, +2ибо и n "., = ~у",+,,'Умножая после щее соотношениеса;hЭ'; О соо; ношениенамы4;;иде-4- УМО)Ю'Мпер;'пи)У,;е';,ИМСЯ Г перь в том, 'поx~~l Jг n + 1 / 2 у(n+l) С; )]Для этого';,ocTaTo'iHoубе1\ИТЬСЯ в том, ,;то веЛИ'iина(х)ограНИ'iена при;г'iTO УС") и У'-+ 0+соотношений Уограни';ены при-+ О,;то и в' ЛИ'iина ;гу' (;г) OrpaHII'ieHa при(8.JXиу'=О. Но ТОГ1\а из-+ОО.shJX2v;r:(8.102)5)выг'кает,вытекает,"С", ДН' ,'ОН"Ш,'НИЯ (8, 03\индукт~и" п"",уч", ТС""ограниче ,а "1J1' х --+ ОО Д)Н, любого ,ю\,е, ,а n Темсаыыы с,,"тн" ""ни''114\ ',,l)казано(окажем е ,eph, чсго ДЛЯ л,nб""" ,!Омер" n ПРOJ,'ш'д"а",IOC.Ileчсг" велич+5,(,г)>ПОЛОЖИ'l('ЛЬН<i при ХТi'льна при ,г>О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
