В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пусть снова функт~иZLопреде. {ена ВСfОДУ внекоторойjокресТ!юсти ТО'iiiИ с.Оnредел.ff'Н,Uff. Говiiрят. чmiij(7) U.ifi' 'т в rnu'," сл о 1\, а л ъ 1-/,U ,АЛ а 1\, с 'Н ,АЛ У ,АЛ'н 1-/, 'Н ,АЛ У ,АЛ), еслu 1-/,аи; 'ется тui:uЯ 0:1 ennffOnn mu и:Н С, в npfJe fax3iiД'ieif.Ue(с) яв.ifяеm(' 1-/, i.uБО.ifЪШu.м 1-/,u.U.if i ' ifЪш,U,АЛ) сред'Н всет ii1-/,а~{,е1-/,'LИ'l!mоu ФУ1-/,1\,j'!jUU.8.9изобраJ!fена фii iЩИЯ(х), имеющаZLНа рис.!окальный максимумв точке с..локальны(\ маКСИМi'М и лока.!Ьный минимум объединю. ,тс;! общимазвание>.стрл о 1\, а л ъ 1-/,'йО1\,сРис,х8,9У'Установимусловu, Эi:стр,.\fY \tu. дифферент~ируемо(\ функции.8.10.Еслu ФУif.1\,!J,UЯjс U U.iffeem в этоu тО'Чi:е лmiД i/,ifъt.U э :пnnе \fYM, тов тоj' (('Оа :~а тi :!) им fOfOтТьств}{а ъный ЭЮТРi'\iУ\' вс,}ТОЙTi}Bo:~paCTaTЬ, ни убывать, СТ 1ЛО быть,I'(c) }fO- Ов' iшаятiИЛУ тfO, сремыМ' iЖfOТ iЪПЬ Нf,} ПОЛОЖИ}fO,ъна,89}и ii}РИЦ;]Нf,}пр, iИi[fO,ъна,Г с)TfOOpi'\ia 8,Ои\ сетпростойг; ii\ifOтричеСЮiЙутверждает, что ее ш в точке кривойретст! \'е! лOt{а, iЯЫЙ экстре\iУ\' ф\'i t<циисательна,i к iрафику функции 1jрал.lельна оси Ох (см.
рис. 8.9).\iЫСЛ:(х), которой соот-C\'lllecTEyeTка-(х), то эта касательнаZl паТеорема о нуле произво;'{ной§ 8.TeopiiMa 8.11 (TeopiiMa РШIJIЯ 1) . Пусть ФУ1-l1\;'ЦU.я(х)неnрер сп,на на сегменте [а, Ь] U д'Llффере1-l'Ц'Llруема (,О (,сех (,нутр" ififUX rniHii,U,X эrn!!20 Ci2,/,t.e1-lrnu" Пуст!i, iipO,/,'i rn!!20, I(a) =I(b). Тог;}а ,!нуmр'Н сег.ftле1-lта [а, Ь] 1-lаЙ;}етс.я тО'Ч,1\;а ~mа1\;а.я,',то 3ifДче1-luе6 эm!!й тоГ(() pa6ifQКратко можно сказать, что между двум,} равными значени-я\ш Дiiфференцируемоt'j ф\', t<ции обязатеюизводной этой Фуню iИИ.Д Оа з а т е л ь с т в о.iеЖИi[iOп\Та" "а" фУiiКЦiiЯ'0-[е! ре-рывна на cei'MeHTe la,то, COi'JIaCHO теореме 8.8, эта функт~иZlдостuгаеf!i на этом ceiMeHTe своего максима,iЬНОiО значения l'vIи CBoeio минима,iЬНОi'О значеНИiil\10iYT предстаВИТЬС,i дваслучая:= т;1М2)>т.
В СЛ\'fае1)/(Х= м = т == сопst. Поэтому ПРОИЗВ~:гТ::~~~:~?а~:Гfii ~~;~a: М > T;:,!!~~уI (аскольку7\:1'сасате и/па,:!I 1/),жд~аТfЬ; что Х ,т.я бы од"'1'}ИИI,f'fможноf!!утвер-IПфДВУХ зна;:е-к}и т достигаетсяункциеi!точкевсегмен-}щия Лх) имеет вьРис.TeOpe\iaхэтой точкеС}Юфункция лх) диффереfщир\ема в точкето по теореме 8. О=I' (()8.10О.Ка"TeOpe\faпо,iOСiЬЮ ДOl{азана.Ролля и\'еет ПРОСТОi'! геО\fеТРИ'fеСt<ий смысл: ес.Шfкрайние ординаты кривойРол,ая клока, ъный экстремум. ПоI(Х) равны, то сог, асно теоремена кривой у =найдеТС,f точка в которой касательпара,ше, fяа оси(рис.
8.10).\tbI\'ВffДffeife,ieOpe\iaоiЯfеЖffioCfiOEeформул и теорем математичеСКОf 'о ана, fиза."уз, кии l"аlеl"атик(1652-1719).iOrf,fX9§слfOДУ14)щаяПрЮШ( Jt<ащая Лагр 1Нжу )Теорема 8"( теорема<Егра сР!(:!Е) ЕСЛ'Ll фУ1-ln1J,U,я ]'( х)1-lеnреРЫ{i'/-/Л на се(!,лле1-lтпе [а, Ь j U дщjJфере1-l1J,'Llруема ви (ссех г!нутр' !fi1UX mо'Ч!;дх эmогu Сlг,ilfе!fm!!, mu B!fymjiU Сlг,ilfе 1т!! lа, ь 11-lаi1деmс,я <f!O~lna ~!f!аnа,я, ~mo справеf}лuва фор,ллулаjФарм\лу71а) - j(a) = j'(()(ll -.(8.7)фор"м,улоi1называюt фор"м,улоi1 Лагра1-lжапо! fе'ч1-lыx nРUjiащеЮlii.Д аа '3 аеь св а,Расс\ютрима сег\ енте [а, Ь]с.ледующyr' t вспамаt ательную Фуню t,ИfО:.f(b)-.f(a)Ь-аа).iраЕерим, 'fTa для функцюt Р(х)юлнеШI рсе \'сювия теаремы Ро.
В самам деле, Р(х) непрерывна на CetMeHTe lа, Ь(как раЗtЮСТЪ фУНКЦftи ]'(х)tиttейtфУНКЦftи) и во. всех внутренних тачках сегмента [а, Ь] имеет праизвадную, раВНУ14!)-j'Ь-И:~ фармулы (8.8) ачевидна, что. Р(а) = Р( ) =Саtласна [еа! еме Ра, tя вну ри CetMeH а [а, Ь] найдетсякатакан,tач-что.Р'(() = j'({) _ ЛЬ) - .f(ut(8.9)-аИз pat~ettCTEafъпеt<ает фарм\ла Лаграttжа (8.7).
iадчеркнем что. в фарму, [е (8.~) вавсе не аБZLзательна считать что. Ьа.>З аеае. Мы ПО,t<"tи,tи теаре\н' ЛаграНJt!а t<at< сtедствие теаремы Ра,. Заметим вместе с тем что. сама теарема Ро tя яв, tяется частным с.лучаем теаремы Лагранжари]'(а)=]'(Ь)),Для выясненияreaMeTpft 'fecKaraзаметим, что. ве,tичинаI(!')Ь _- ла)с\ыIJIаa теаремы ЛаграНJt<а""",,"!есть угюваff каэ<рфициент се-, рахадящей через тачюt А(а,) и В(Ь,]'(Ь)) t<ривайу = ]'(7), а j'(() есть уг,ювай каЭффlщиент касательнай к кривай у = /(х) прахадяшеС\ 'fерез Ta'fKY C(~, ]'(~)). ФаР\fула Лаtранжа (8.7) азначает что.
на кривай= ]'(:г) между тачками А1))I(ОЗf'ф Луи Л"Гf анж -(1736-1813) ,ве ШКfJЙ фр '''''.уЗf кий f"аfеf"аfИff иi.еЙ АВ','СТО {iblн! СК()ЛiiКiiОТЛiiЧНiii'виям т! i 'ремы8 1iРi'ИЗ~в+ ~x)также.ТОl'да, iаiШСii'фОР i lУЛ\ ЛЮ'Ра11жадля сегмента [хо, хо~x] будем и:метьАоьа+1Начение (:соiежа.
ю на сегменте [а, Ьх~г)ЛХогде ~-f= ~if'(~),некоторая точка.-+(8.10)lежю щя меж~Д! хо И хо~x. ]\10;'1' Ю твержл.аТli,Рис. 8.11что найдется rnar.;oe (зависящее от ~x)~tUСЛ{) () из интервала О,'Ч,т{) ~ = хо()~x. ТаК11Мобразом, фор:му.lе (8.10) можно придать вид+< () <f(xo+ ~x)- f(x(j)= ~Xf'(XI'()~x),(8.11)< () <где- некоторое число из интервала О1. Фор:мула Ла~l'ра11жа1;иде1 л.ает то' юе 1ъграже11иеприраще11ИЯфункции через вызвавшее его произвольное конечное прирю ,.e~аРlУ О lе11та. Этотформ! 1Ы Лю'т а11жа о 1рав 1.ываеттер"1ИН «формула конечных приращениЙ».Riie§ 10.1.нуюНекоторые следствия из формулы ЛагранжаПостоянство ф;ункции, имеющей нн интервале равнулю производную.Теоре,м,аrnepea.i!e8.13.fЕсли ФУНI.'Ция f(x) f!иффIР'Н!Jируе.ллп на U'if.на это.;\! !!юперва.!!е f'(x) = О. тоФУIf.'I\,ци.!!17, )(ТiiОЯIjJ-t{)!! на интервале (а. Ь .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть хо - некоторая ф!!.r.;сщ!Оuаннаяl'очка И11теР1:а1а (а, Ьах - люБП. i! то' i1a этOl'О 11Нтервала.Сегмент [го г] 1еликом принадлежит интерва1У (а, Ь). По~этом!НКЦ1! .f(Х)}Иi])(:j)ере1щируема (а сталоlепрерывна) ВС1иду на сегменте [хо, х]. 'JTO дает право применить кфу; iЩИИ f(x) lа сеl о 'е11те [хо,х] теореоlУ Лю'ра11жа.. 1асю'ПОЙ теореме внутри сегмента [хо, х] найдется точка ~ такая, чтоf(x) - f(xo)=хПо УСЮВИ1и производная функциитервалеа. Ь.Ста.lО быть,. Г- xoH'(~)·f(8.12)равна нулю вс иду В ин= о и иi1Ы(8.12)мыполучимf(x) = f(xo).(8.13):liOTOPbIEноИ, ФОГiilYilЛ \ГГАН)Т!''HCTBii (8,13)авх lштерваЛi i (а, ) pii'"значен lЮ ви i>ЗЮiЧi "Т" что фУНКl JИЯ л:г) 'посто.я/l-t'Нл вс'Юдi! на(и, Ь)бо '! то'i еор! ма 813 ИIl.fi ('Т пр' iСТОЙ геометричеi кий смыслвTii'le!1iiTi>pi>l'iiчаСТКii, KPi!i'СЛИ ка-caTi'/(х)llара,т-те,-тьна оси О:с, то ука1анный участок кривой ул:с)представ,!Яет собой отрезок прямой, параЛ,!i'ЛЬНОЙ оси Ох.3 а е ч а и е.
Теорема 8.13была !!C!!OJIli Ю!iана laM!!в гл. 6 при доказательстве теоремы 6.1. Здесь мы еще раз подlTO Becliчеркнем,i'атериаlастоящей l'Ла!iЫв том ч!!с.ле и теорема 8.13) совершенно не использует результатов г!ав 6 и 7. Приповторном чтении этой книги гл. 8 можно читать непосредственно!е;!!а. Б, а уже ,,!ате с ' вошрат!!ться к lтеш!ю l'Ла!i 6 7.2. Условия МОНОТОЮЮС'IИ фую{!!ди на юпервале. ВKa'leCT!ie !iTOPOl'O с!ел,ств!! формулы Люта!lжа рассмотр!!м вопрос об условиях, обеспечиваю! JИХ неубывание (невозрастаниефункции нащнном интервале.Прежде всего, напомним опреде!i'НИЯ неубывания, невозраСТа!lИЯ, во;раСТа!lИЯ и !iьшаш! Функц!!la даннос' и lTep!ia!e.10.Говорят, что функциянаа, Ь)f!г) н!' 'iif)ывает (н!' вОil!астает)ес!щя!Ю!iЫХТО' le!1удовлеТВОРЯ!iiЩИХ УСЛОВИ!ii хl< Х'2Xlи Х2 и! l-справедливонеравенствоi оворf(Xl ~ f(X2)lT, что фт !1ЦИЯ /тервале (а, Ь)f(x )14.Т;лр;;маэтоп)х? f(X2))'возрастаетес!и для любых точексвязанных условием хlПiiрвплеи(Хl< Х'2и Х'2 интерваласправедливо неравенство< f(x)и(х)>f(x)!).Для того 'ЧтобыФУНJ,а, Ь))нтервале,ная;rnо)'; ФУНJ,'ЦUU была ))iотрuцателы/m'1вСlОдi! на этоп) ))юперва [,е.Д оаПустьf'(x)а т еОь с то.1)о сО) вС!иду на интервалео чо с т).
Требуется до-чтохle ;iiьшает (!le во;растает) на И!lтеР!iале (а, Ь .Пустьих') - Л!iiбые две точки интервала (а, Ь ), удовлетворяю! jИе УС!ОВИ!ii хl < Х'2' ФУНКljИЯ f(x) дифференцируема (астало быть, и lепреРЫ!i!lа) !iСЮД! на cel'MeHTe [х ,Х2]. Поэтом!к ЛХ) можно применить на сегменте [хl Х'2] теорему Лагранжа,Ka,,;aTli.ре;у,liTaTe le!Oюч!м(8.14 )где хl<~<г '2.УСЛi;fШЮ Г(~)част};(8.1'1)О (~ О)НС()ТРfщат(·>:Г2о. П"эт;;; у пр""(fНШ()Л()Ж fтельна·. 'Г ,; Иf,'т нсубыкши(' (нсв()зраст, н:ю)(:г) Н;, интсрк)л,' (а,2)е о б хд иП\ст}, фу; fЩИЯ л:г ди\];фер, ю fИРУeIll,') И Н;' убывает (Н;' возра\ т, ,'т) наэт"м Иf;Jок,).зат},.
Ч}'Р(х)(~всю}а это'· fштервале.f,af, лх) не убывает }е fюзрастает)на интервале а,!,), то эта функция не A!OJfCern i;бывать возра(ТiiПТiiЬ) j;'U в {)()j;'01'1 Тiiо'ч'!"е uнтервала (а, Ь).Юс+лу теоре:мы 8.9, производная г(х) ни в однлu то'Ч'Х:е uнтервала(а, Ь) j;.e .АЛОJfCет быть отрuцатель!Ой ПОЛ !JfCuтелы!Ой) }тои требовалось доказать.Теоре,м,а 8. 5. Дл.;; того 'ЧТiiобы'Uf)ывала) на uнтервалеfХвозрастала)Ъ! щ!Оuз юдна,я(х) было ПОЛuнтеl!вале.Д оа з аеь с тоfРОВО}fП'С} ПО то!)] же схе"е,и доказательство достаточности в теоремеПусть х8.14.}тоих')любые две точки интервала (а, Ь), удовлеТВОРЯЮf сие усювиюхl < Х2· ЗЮ f!сываяcel'MeHTa [хl. Х2] форм\ [у ЛаfраНi+Д,получим равенство (8.14), но на этот раз впом равенстве f'(~)i < О).ВСfедствие 'пого левая часть(8.14положительна iотрица-}'еъна), 'ГО и доказ ,шает ВО,,;растаf}ие iубываfИf}-f(x)}aтервале3 а е а н е.
ПО;Jчеркнем, }то ОЮ/Еите, ЮС}'! (OTpffцательность) производной f'(x) на интервале а,не ,явл,яетс,янеобходu.АЛЫ.АЛ условuе.АЛ fюзрастаю!(\ ! iьшаю!фу; f,ЦИf!(х )fна интерва,fе (а, Ь). Так, функция у = х 3 возрастает на интерваfе (-1, +1), но прои .iВощая этойнкции Г (х)зх 2 не яв, fЯ-,'тся ВСfUДУ положите, ъной на iпом интервале (она обрю Щстся внуль В точке х = О). Вообf [,е, легко доказать, что фУНЮfИЯ f(x)во ;растает (убывает) на интервале (а, Ь), если ПРОИ,.iВодная этойфункции Г (х) положите, fьна (отрицательна)утерва,,заго 'ЧuславсюдунаUС'Х:ЛlО'Ченuе,)\)Тiiо'Че!,это:мин'Х:оне'Чно[,оторых эта[роизводная равна нуюu. (Для доказате,},CTf:a,юстато'ю ПРИi;еf}ИТ},}'еорему 8.1Б к каждому из конечf,l,ОГО}ИСfа Иf}теРf:аюв, }а [,оторых.f'острого положительна (отрИf f,ательна) и учесть непрерывность f(x) ватех точках,8.1,2равна нулю.в[,оторых ПРОf!ЗfЮДf}а;}Установленную теоре-номой8,1,):l<OTOPbIE /И, ФОГI\lУ/iс ШЗi, М/ //'/дуМСН/'ШlНКШl267Л,\ГГАНjl"i,/KOM ЩЮilЗiЮДiнапр, iше iие" изко ПiШ~iТi, Иiе/,М/'iРИ'iе, i<ИХ /'/юбражений, П, ,(кольку производюiЯ равна угловому КОЭффю щенту кас,)т/'к р,.!,фЮ<УНКЦilУ,,н,//,' пр/'" '/i/'Дiюi/j Yi<aзываст /,стрыи или туп, 'Й угол/,(и Ох (остав, ~ieTполо)китсльным наПР,ШЛСНИСIllк,н:атслы, леж,.!,щиЙll,-ТОСКОСТИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
