В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Договоримся ВСIОДУ В дальнейшем символомR(x, у) (;боmачюъ любую раЦИОllалы(' ю функцию (;т двух ар-1.ГYMeHТt;;' тУу1).',;том пункте мы«циях ("юбойюкажем интегрируем ость в элементарных«ции вида(7.1;3)N(sin ,cos:r).(тоtэтой функци(тегралрац!н ;((али 1ируетС5(х= tg-.х2tg sin х = ----=2'-сх;о-:1+1 - tg2tcos х =1 + ("----,х"1+2:Е =2 агсtg t,d:r =х1d:22 ,') Рациональная фуню:ля от двух аргументов опре, еляется следующимг;БР1'ЗОМ. ]lЛНОГОЧiенг;м п-й Jт,'пени от дв;;х 1'РГУМ"НТГ;В Х И у Нi1зыва,'Тся выражение вк1д Рnу) = аоо+ О10Х + ОО1У + а20х2 + аllХУ + а02у2 +ооnуn.
Г,1,е 000.010.001 .... ,ао n - неЮ;10рые ПГ;С10';;;;НЬ11' 'Н1Jла.циональной функцией от двух аргументов называется отношение вида(х. y)/Qm(X. у). УД"~ Гn(х, 1;) - ПРГ;l1З;ЮЛЬНТ,;Й ;;г;гг;';ш'н от дв;;'!тов степени n. ау) - произвольный многочлен от двух аргументовстепени Пl..1R(:,in:r, СО:, :Е) dr1 - t2, 1 +t2)2 dt+Поско;ьку р,:)шою: ;ью)Я функ ШЯ от ра шональной Фунюши)1:(Д( тавляет собой т,)кж: Р,ЩiЮ: {{:лы:' Ю)<цию,. то инт: грал.сгnящийnПрdЛОЙ части ПnСТТРДПРГn РdлеПСТnd, являе'Л.Я интегралом от рат~иональнойП одстановка= tgх'2fроби.~хотя и является универсальнои подста-Н(:вю:й, раци::нали :ирующей интегралприводит кромоздким выкладкам.несю: ).ю: частныфункци7.63),част::связи с этим мы укажемслучае):,кол :ры)теграл ::т функци(7.63) может :"ыть рат~ионализирован с помощью fРУГИХ болеещ ;::сты\)::дста) ЮВОК.Пр:·жд:· ВС:Т:: ::тм:·тим.;В,; э:еМ:'нта! ных :войств:: :;::циона:ьн::йци;; д;:;;х ';РГ;;М:'нт::в R(H.c'):1О.
Если рациональная функцияне меняет своего значения приИЗМ:'не ши зна:;:'изн). . е. :'с:и R( -Н,R: tJ). то :-па рациональная функция может ; :ыть приведена к виду=R; (Н .С'). :д:' R 1 :;::циона н,ная функция СВГ:И': :::ухаргументов. (Эта функция содержит лишь четные степени20.при ИЗМ:'не:ши зна ;:: Н ф;;нкция R( Н,т,:кже ;-:еня:' зна:;.R(H.c')R(-Hot')-R(нot'). ТГ: Г:Н:: ;;р:;:юд:;тся к вид;; R(H,c')R:(H2 ,20 сразу вытекает из свойства О. если применить его к функцииR(H.C')/H.(СвойствоРассмотрим теперь вопрос о рационализации интеграла от функции:я нек:торы': ':ас: ны;., С :;;ча:·в.(7I.Пустьсв:й;тв;;R( ." tJ).меняет зна-к; при изменении зна-к;аJR(sinx,ci:sx)dxJR:(sin x.ci:sx:sinx dx =JR 2 :1Таким оГ;разом, интеграл от функцииt(7.53)cos 2 x.cosx)d(co:x).рационализируется ПО.:.станов:ОБ Х.П.
ПустьJТог.:.а. согласно20..:алее, фуню:яя R:: ом;; же свг:й;тв;;R(sinx,c:sx)dxJRз(siпх,,.).меняет зна-к; n; и изменении зна-к;а20.х) Ci:S ХR;;Х.-•SHl2т. е. интеграл от функции (7.53) рационализируется ПО.:.становкоЙ[;;сть. на;;о;""Ф :нкция R( н.с')сво;;го:;Оновре.менно.м иЗ.менении зна-к;ов 'и ит. е.R( -", -;.) = R(u,t = ::i ; Х.ИНТЕГГlf Р()БАl10233нио!тг!подс !!!!!!в!!о"'и !о) = R!о) = R1с'R( -1I,с'RrНо тог, а, согласно свойствуR1tJ)U~, -с)1",1I( -,с'1I( -,с'R,tJ,2).1IR(n, tJ) = R 2"ОтсюдаJR(S.i.11 ,cosx)d;J: ==JR2 (tg;г,со,2 ;г)dхJ (t х, +gR2tg2хdx)=J (tR2dt;;rctg t,При I\1 еры.11=+t2 ') Вычислить интеграл 11 =J 1 + dx'со, , Г,!,е а> О, а # .ПРИI\1еняя универсальную тригонометрическую подстановкуt =,по-ЛУЧИI\12(а1 - t221ft= 2 ;;ritg t,х1 + t2+{"+ 1) + 12(1;;)'2,ltа+11 + 1 - аt2+аДалее нужно от, ельно рассмотретьс !\iч,!е О=11=а>va(tJ1-+ а) + С = ~a:ctg (J1-+ а1+t/-1< < , 2)> .а' 1-;;21аt g ::')2+ с.112) О1ha:ctg1 ;;2в11а, ва случая:111a- 1_ _,-=а=+=l/а - 1+ С = ----::== 111-tv~21 l;:ЫЧ!1ГЛ!1ТЬ ИНТiТР;оJSi11Si11 2Х dx .Х++с.ТИРС' '\НИЕ Вш,лушмI.(l!t=3)IВычислить интеГI>а." 1з.'~:JП Х' 08 Х8iп 41---lп2V2по.
,становкуI1;=.з"аковt = tg х.х(·08Х.С.v2COi~Хd''co,~;4Так как по,цынтеграс-тьная функция сохраняет"",шом J,змеш"""ICOSX+ V2шачение при о. ШОВ ре-го. СOl'ла' ,Ю,е,цует' ,елат,.111,В ре:~ультате полу'шмIdt1t ' +1 =2".d(!2)12.2(t 2)2+1 =2"al'ctg(t )+C=2"arctg(tg х)+С.2. Интегрирование дробно-линейных иррациональност(;И.
В этоы пункте ыы докажеы интегрируеыость В элементарных функциях люб, iй фуню '.ИИ BH'f"R[де а, Ь, сЛОЖИТi'ЪНОi(х.nах +Ь)сх(7.64)+dd -некuгорые fЮС'ГОс; ные. n - л ("1Ое целое поЧИ i ло. Функцию Т,]ЮiГО ВИi\а мы БУ'f i м называтьдроб1-tО-Л'Ll1-tе'U1-tоu ·Llрра:цuо1-tаЛ·Ь1-tос'fn'Ь1О.Докажем, что интеГl',Ш от функции\.Ион ]ЛИЗИР\~i тся ПОi\становкой t =а:"+Ь~,х.;Т-Jax+b\cx+d)dx =С·(7.64)V'.'.'Х+li."x+dЩШ(ad - bc)nt n (а - ct n )2J(dt n -Ьa-ct"оВ "']·1\IOМ1d;T = -'--,--------'-----,--,:--t"i:ad -d ."t) (ad-bc)ni n - 1 dt.(a-сtJL)2Поскольку рациональная I,ункция от рациональной функцииП),i"'т,шляет i iiбой таКЖ i рациональную фуню ,.ию, то интi гl "яЛ.С'ГОС;ЩИf1ffpaBoll'1асТ1'fюследнегоГl',]ЛОМ iiT рациональнойiрал01'равенства,Я;iляеТС1fштеТем самыы i\оказ,]но, что интедро; 1fЮ-Лf1неiiной f1ррацио, ;ал .fЮСТР с;)рационаЛИЗfi-+а:"Ьст +d'пре р. IЗЫЧИСЛfi'Гf.
f1нтеграл 1 =JJ~ ~ : ~?;:r' Сделав1ИНТЕГГlf 1 ()ВА!ниподсгаНОR, :уt-1;Т1'2lt iftdx1(t'1)полу lНМ1=2Jl'dtг2+1J Jta~iIt - 2= 2t - 2 ,ш:tg t + С =11 +х - 2arctg V 1 +х + С.= 2V 1-;"1-х3. Интегрирование биномиальных дифференциалов.алъ1-tъtАI диффере1-tчиаЛОАI назы ",ают выражен ,е видагде а и Ь-л!! ,бы е постоянные, а показатели степеней т, пирраЦИOi,алы,-ВиНОАIUнекоторыечисла. Изучи\' ВОllРОС об 1штеl'рч>уе\ ОСТИ в э ,е\\ "тарныхфункциях fшномиальных дифференциалов.ПIН';'К!!' вс',,'го ОТ\!!'ТИМ три СЛУ"iал.
когда Иii'Г"Г"ал ОТ б iiЮ\ иаЛЫЮl'Одифференциала допускает рационали, ШРУ!i'ЩУ!i' по" ,становку.1о. Первы с,," чаii соот,,;етст,,;', "т челомуБиномиа", ,ныренциалRпре",ставляетV'X) dx,гДi,,' r -с"б"й'роfш,,-линейнуюирраЦИiшальностьвк,дНaIIl\Н'НЬШ',,",,' общее кратно',' знаl\н'наП'",ей рациона',ьных 'iИсел т и п.
Стало быть, интеграл от биномиального дифференциалаЭ10М."'чае рациона', ,зируеТ'!i llодс;а,ю,и(ой t(/Х.m+1Второй слу"ай соответствует ч;лому---о Сделав по, ,ста11н шку Zm+ 1= х п И ПОЛО1;ИВ "ля К"аткости - - - - 1 = q, будем иметь11(7.65)но, ;ынтегральнаяфунк шявправ, 1Йчасти(7.65)пре, ;ставляетС, 1б 1Йиррац юна.ш,ност" в ",а R С" Va + bZ), ,де s - зна;·,!!натель рационального числаТаки;\ образом, воБИiЮ .,'иалью,тЙ ДИф111еIн'нциал рацио-нали.
шруется п щстановю 1Йt=30.va+bzVп+ь;n.;'Л'\чаii ;'оот,,;ет, Т,';'· "т чело.МУ "iислу (т: 1 + р). Под"тн-тегральная функция в прав 1Й ',астилинейну!!, иррациональность вц ,а(7.65)представляет собой дробно-------:-(- v"~)'"такчтоинтегралбиномиального ДИфil\еIн'юптала ра1птона"изирует, я поДi тановкой видаt= Va+"bZ--=М;~a-+.ЬхпотТИРС' '\НИЕ Вy!,!a!m!1ibl,AIU['U1iо,мuаЛ'Ь1iЪ!.U''''!Негр!Преры,1Вычислитьчтоrn+n(третий елу ,ай).
Сделав по"етановкуt = V!a21=+Ь.1+vaХ=---~'J(-~t) =-~+C=-.1 х 5 (1интеl'l>а'!1m+111=2,р=-- так "то - - - =2113~:r: +С.X')-1/2dT.В дашю\' сл'\ча" т =(второй елу ,ай). Сделав по, етановкуdx = _tdtVi -t 24. Интегрирование квадратичных иррационаЛЬНО4!тейпосредством ПО,П,становок ЭЙлеl"а. B'iТOM пункте ыы докаж! м интегрир\'! м' !сть в+ "мент!!рных функциях любой Функцн!fI1даR СУ,Vu:r 2 + Ьу + с) ,(7.66)Ь и с - нею!т! !рьг постоянные. Фуню шю т!!кого ВИ.'!" будем наЗЫ!fаТh nвадршrn'Ll~t'Ноu ·Llррш!!uо'Нлл'ь'Носmыо.
При '-)'Гомri\e+ !ХЕ + с н!иыео треХ'fЛе"а \!ожетi!blThконечно, считагм, что ква'!] '!!тный трехчлене'Г paв'ныx !<орне!] (иначе !<орен'-)1'01з !,ыенен рациональным выражениеы).l\lbl докажем, Ч'ГОн'Геграл01'!<ЦИI1(7.61i)нсегда рац!ю-н !лизир\ттсяиз так Ha:~ыВ!!,eыыx nO'}"Гn!!'!!O !Оn Э j.!!ep!!.Сначала рассыотриы случай. когда квадратный трехчлена:у21)Ьхс\!еет nо,мплеnс'ныe кор!! . IЗ'по:: слу !ае Зlla!< !<!fa-Паф"" ТИЙ Л "ю,шч Чеб!,Тf1!е,,!-В",'Л "!ИЙ русскиij мап матик (1821-ИНТЕГГlllUBAl237нидра1' юго 1'рех lлена сон lадает со :~Ha:o\'ПОС <О,Ъ ':у по С:1,lC-лу 1\1:адра1' 1l,lЙ 1'ре>член (Н: 1<О1'ОрО1 О н:~нле1\ае1'С:: кнадра1' fhTilкорень) поло: "'umеде'Н" то аTaK11M обраu,' мы ')ее\'ОC,'l: Л:\Тh сл: ,'l.JЮ П:'l',' 11О;\С1'а-1Ю1:КГ+ Ь.!:ОДС1'анош:уоб1)лера.
Докажем, чтоС+(7.67)и.но наЗЫ1:а::,т первой nодсmшновк;о'Й, 'NJ,ПО и'т:\новка рациона'ШЗЩiует интегралl\ЦИН01'(7.6Ii) для расс:'а1'риr:ае:cfОlО случая. !ОЗН ,lшая нобе части равенства ju:r 2 + Ьу + f = t - :rva. П iЛучимKBa,'lTf:\Tfl:rс = t2 -+2vat:r. т \К чтоЬст.=vaf'bt + cva2vat + Ь-'-----;=0------::---'--Таким образоы.J СУ, j ахR11раной,llбь.Jdx =R ( t'2 - с=IЗЬх с)2vat +'lacТf'под.
va t 2+ bt + cva) 22vat +зна1<О\'1штегралаva t'2 + bt + cva(Jva t + ь)2стоитdt.рационаш,наяРIН:СЫОТРИЫ Т1перь Iлучай, Ю;Г'l,а ква'l]II\ТНЫЙ трехчлен ах 2 +Ь;У+снмее1' неСО1шадающие ве'щесmве'Н'Ные корнВ TI\K Ibl случ \8 ау2 + Ьу +с =нПслучае Н1'еграл 01'ICpe;\CTBOM ПО u'тановкиtl\ЦИН= va;r"Х;Уl и Х2.- :Еl)(:Е - .12)' Д IK \жеы. что(7.6Ii)+ Ь;" + СХраЦ1юнаЛНЗ1lруется(7.68)Ю\ ъrвaeM Iй flбычно вmо] m'l nодсmа'Новк;оЛ Эй !!] а. В самоы ;\е:Тf~~;~~:~Д~о.~,>,~:~~~~Тр~В~В:С~~~~I\ {~:2:El )~~(~'~чиы ~~fy~ ;~~~ ~= t2;Уl). Ta1\ 'lTO;У={Х,+ 11t 2t2 -аdxJa(Xl - X'2)t d!(t 2 - а)2<1'ИГ! !1j\НИЕ ВТак 1М О !раюм,J СЕ.ау2 + f!:E + сRВправой<!!бь.JчастиПри мd:E =поды.аТ2tt2+знаком2а(!l!2)tt2-аинтеграла!2)t d/,(t 2астоита!рациональнаяJВычислить интеграл - :" + vx'2dx+ х + i .<!!тный трехчлен+ + 1 им!!т коыплексные1)П !ск !Льку ква<корн ,сделае\' [1ер !ую подстанон:у Э lлераt =J 2 +) +1+ .yВозвышая в квадрат обе части равенстваПОЛУ'fllМ :у2:у= t2:У2txхv:yХ2t - х1'Га[! ,[то1 = t2С -1= 1 + 2t' dxТаким !!бразом,1= 2х2J1t'2 + tdt =t(l + Jt)2J[:! + ~ +1 + Jtt(1С]dt+ 2t )<•Неощ !!)1!ленные ko'-)ффИЦIГНТЫ А.
В и С легко вычисляются: А2, В-3. С -3. Окончательно получим1 = 2 ln 1t 1- ~2 ln 11=+ 2t 1+ 2(3) +с =1 + 2tvх 2 + х: + 12 lп 1:У 1 :2 lп 112:У2 1 + 2;2)нсл пън'Гегралква<'!] !!тный трехчлен= -1!! 1Эйлераv2и :Е2+ 2V;2 + т + 1)J-;-:~c;=d=x;;===,1 =+v1 -1 - 2;2хС.ОС:ОЛh:У- химеет в! тттественньг корни= -1 -V2.!)\елаем вторую ПОi\становк'i'.68)t=V1«««««<2х«««««<;2x+1+V2Во !выш!Я В ква< 1)/!!Т обе ч н:ти равенства1чтоllMeT1<1)V2)/1 =2:Е -t 2 (:y1!2= t(.! +, та[!ИНТЕГГlf23')ни'()BAl2:[;11= ИНТ('lРНЛ пет1011редосга1шяе\скnтnро-ll'Гателю.IIнтегрированю( квадр~,тичпыIx5.другимиспособами. Хотя подстановки ЭЙс·,ера вп·гда рационализирсс ют ИНП'гралот функции(7.66),но обычно эти подстановки приво.
'ят к весьма громозс.'сКИ\,·ЮЖС\.смс,ладкам.этOl'Она"ракт \,едругими спосоfсами интегрирования функциисвящен настоящий пункт.М.Т мож,сс'М lllНiДставить Ф"н ,цию,,_частосюльзуют, яс/тим спосоfсам и поvaT 2 + !,х + симе, в С' 'iДcc , что Увсюд(( обоз сач'" _.с. у =собоii мносоч.m(7.66).ЧНiДС ,авс·, ·,есв ВР .с. "У" МС.Т(7.66)Н.(х)/у,R(x,y)=Rc \)Г.ссе(х) и R'2- некоторые рациональные функции О.'ноЙ переменной.ПОСКО" .1Сс инте1'ра·, о, R, \)(в Э.ш·ментар"Ф""кц,iЯ"), нам до-R 2 (x)/y.R 2 \) ·с.'шкноl\I,.T ссж,сс' зна"М ), что с',С ilС\Юрациональной дробиставить в виде суммы многочленаRз (Правильн-\ю рационасii.ную,'вою очеIНiД"ло i<IITb на сумму простейших дробей.
llмея этождать с что проблема интегрирования функции.т "ию инте1'ра ЮС',ви. су.(:r)/yмыможноможемразутверСВО.ШТСЯ к вы-шс-,едующих трех типаP(:r)1.в\)1'". •-·с.'С 'Ol'оч·,ен.у-;---,.,.-- dx,11.число.ш.J(х' +IVITгде-и Внекоторые постоянные,+ ;У) \ d:r, где Мс+q •ур:"натсс раль юе Ч,ii' Ю, Щ .,с,че'с.С q - (~натуральное()j -и q - некоторые постоянные, л -Nc> О.1.11в а ii·J'лъна-111сти.1.Для вы шсления1Р"НТР сю фор' с ССЛУ для инте1'рапрежде всего установим рекур-ra1т =J~ гдет=ОсуДля этого с предполагая, -сТО,ЮЧНiДс,вом?1с проинтегрируем сле. 'У" -щее проверяеiiШК."-'·ТСЮ:~"C'ту)' = тау) См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
