В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 44
Текст из файла (страница 44)
начало § 8.m1)-2Ь:r m-1-у+ (т - 1)-:r m-у2:"m-lБi'РЯ В р;шенстве=+ (rn - ),171/,а(7,69) rn = 1,(769\_,!н ,йдемЬ1(770)~1u2а-уаllолагая;атем в равенстве (7.69) m = 2 и исполь;уя уже вычисленное .шафор'.лу (7.7{})); наЙ,ii'М13Ь)у4а 2 ;2;х1+ - 2 (3Ь8аПро.юлжая аналоги шые рассу;;· ;ения- 4;;с) 10.;алее, мы придем к следую ';ейо; .щеЙ формуле:(7.71)l'д"-1 (х) - некоторы\;НOl'оч·;ен СП'пени т -1, ас· - н; ,<отора}! ,юстоянная. Если в интеграле типа 1 Р(х) представляет соfюй МНi;г!)·шен '···сnени п, то ИНП'грал типа б;·дет рав;.·Н ;'умме ИНП'гралов 10; 11, ...
,1n с некоторыми постоянными мно;;,;ителями (коэффициентами многочлена P(:r)).'тало быть.грала типа(7.71)ра;·;енст;·;а1 сле.'Т"'·ЩУ"'·Jм;.; о;<ончат;' ;;.но но.']'· ч"мформулу:'(х)~~dx+С О= Qn-1уJd,;(7.72)-'.ув этой формуле Qn-1(X) есть некоторый много·шен степени 11, а СО некот ;рая ш;стоянная. Для опре.'.еления МНi;г;;·шена Q,.-l(X) и ш;стояннойиспо.·,ьз·, ;'тся метод неоnределенных"·оэффичиеюnо". l\IHOro '.Ш·НQn-1записывается как многочлен с буквенными коэффициентами-1ра ·;енст,юния на у.(7.72)и ',мно:;,ка" р; з" льта,получимIP(:r) = Qn- (х)(а:"2об; их ·;астях равенства1+ Ь:" + с) + -Qn-1(7.73))ах+ Ь) + Со.(7.;'тоят многоч ;ены стеш.·НИ п.
Приравниваяих коэффициенты, полу':ИМ систему п+ линейных уравнений. из которыхонред" ,"ют;"А о , А 1 , ... ,А n - 1"0. РаЗI);'ТТТ"МОСТЬ lЮЛ'<Ч;"ШОЙ О\'те\,ывытекает и:~ справедливости формулы (7.7)), у,.;.;е дока:~анной нами. Остает;}! доба,·; ,т,., что"HTe1'l>a';,;'ТО"Щ";; В нравой частик табличному посредством линейной замены переменнойпомощи указанной замены интегралJd;;УtdtI.хЬ+ -.2;;Прис ТО'шосты\· до постоянного множителя сводится к одному и; сле.'.у""ЩИХ двух интегралов:илищ."вод"тс"(7.dt. tvk'! - t'! = аrсsш kС+.ИНТЕГГlfP()BAl(Н72)V1 + 2х -241ниви'х"дш!нl)' реш", 'н'" ЭГ' фор ,'УЛ" И ус, ножа}! р,,'зультаfJ i + f:rна- :r 2 , получимkx ,(1 Сравнивая ко fффициенты при хЛ\'ЧИ\'сх:r 1 ,:r O-3А 2=х)+ Со.в правой и левой 'fастях, по\'иеге М"5,1" - 2:\1 =А1Реттта}! ЭТАоси,'те",у, най, "М А, =О,-Ао=О,2,1,,++ Со=-1/3, А 1 = -5/6, А о = -19/6'0 = 4.(7.74) вычисляем посре,f,СТВОМ заменыИнтеграл, стоящий в правой части1.t =ПО'f" ЧИМJJdxdt.
t,= arCSlll ~12,:;=;:==;==:::::;;: =V1+ \:r-x"{ Iко.:" + С,= аIСSШ+С.fчательно б\'де с ,':r 3Vi +11.\:" - :r 2dx =(965х-2) у1 + 2х -3'х2П, реходим к вычис.m "ию и1-tте,'рала типаинтеграл СВО, штся к интегралу типа1Покюке с ,посредством заменыt =что этот------::i'всамом деле, посколькуоах Сdtdx = - -г'I.в(х-:\)'"(:\"а + А ,+ c)t"ft + а-'-------'-----'-----'----+ Ь:" + с =tBt"'- d!dx = -Займемся' наконец, вычислением U1f\1'сгралс с С"иnаВЬ!' Ш\' сим интегра , типа 111 длл "iаст1-tого СЛУ"iал р =111.111.Прежде всегот.
е. ВЬ!' Ш\' СИМинтегралMx+NК=Этот ИНТ1'грал распадается на \'умм',К1=IАI .х dc(х"ч) V\X"d,.+ q)ЛJа:r' + сi,шух ИНТ1'граловС и К"I= N.dx--+-q-)-Л-v-=,,=,х=,"=+=", .К1=М2.1!1( х'2)(:r2+и; чег; видн ;" что п ;дынтегральная фvнкция представляет с ;б;;й(а ш' ;;;йдра; ич[!"" ю) ирр;)ционалыiOСС;Ъ относип",",;;,но;2 ВДОК;)З;)'"ншu J;; 11. ') интеl'р<l'" К ' Р<lциuнаЛИЗИРУlCТlC"l lШД"l<lНОШ(UЙ t = vИнтеl'l>а"'; К, ;;о;,ке; быть за iИса[!щ;де 1)J___К, = N1dx2_)_-_'2_Х-=3===q~) л у;;r::;;:t--г (; :r2( 1 + х-ИЗ ч;';о ;';идно. ЧТО ;юд;,т;;п';ралы;а); (~')ш;ц;;);ирраци шальность; ;тн; ;сительн;; 1! х-.лизируется подстановкой т =пша11;.члены nервои с;, еnен;" инте-нами рацио;;ализ ;ро;,;ан.п';)('рьего,ал К'2 раци ша-Jа +;С2 Итак, ,;ЛЯ ';астного сту' ;ая, ког"а уобоих ква, 'ратных трех' iЛеновl'l>a';)'обой лuнеuну)uСташ;ТИ11а111в общем СЛУ"iае и ;ю;;аж,'М, чтосвести к интегралу изученного выше ';астного ви,а.
Если коэфl\!Oii;HOфициент;,! квадратных ,рехчш но;'; ""до;,;ш т;юр);ют соотно;;;ениюЬ,о "л}[ )'в,"";ден;;','вида,i;CTaT;;;iQТ"ЧI.инп грала типаш;; сделать замену(7.= пр,;' ;,т;;;ечас; ;ю; ОВ самом ,;еле, п;,и;т;;м мыинтеl'l>а';"":" = t -Е'2из)'ченнOl'О;м17t(Mx+N)dx(х'2+ ре + q)лJпх'2 + ЬеС=+2Е'2/;\ )I----~---'-___;========;;= dt.[t'2q _ l~ )] л V;;('2 + (с _ П 1; )2•южнее осущ")'твля'"'тся св,";Дение ИНТi'грала типа111к интеграт" из"" ';енного выше частного ви;д для слу';ак ког,;д коэффициенты квадратныхтреХ'iЛеновсоотношени;"ча"';а Cii' ;ае;" дроб;юлиш"'йную ;юдста;ю;'iКУ(7.75).В этом случае мы снаpt + v1+t •выбрав пост;;янныеиv(7.76)так ';Тi;бы В полученных квадратных трехчленахотсутст;;о;;алu "iлены nервои стеnени относuтелънок ;е р,2оах-vвыбрат;, мож;ю.
В само;" деш'. cДi' ;а;,; за;ч''""+г х+Ьх+q+с(р+ гр + q)t 2 + [2pvt.ПОЮi;;;ем. ЧТО таб')де;" и;ч т;,(71v+ pv + q)+ bj'"'--_-'-_--'-..:..t'"+ c)t'2 + 211va+ b(j' + ,') + ;,]t + (аu'2 + Ьu + ;)= ';(ар'2"'"--'" ____ _ _"-" _ _-'-_--'-_--'-_ _ _ _--'-1) ,;;ы С iИтаем" что х(1#о.+ (;ИНТЕГГН !()ВА!243ниТаки\<2/tvи<п,ИЗ0\те\,ы+ p(/t,Н1 <ИВ!]2q = О,v),ентныхср- aq)-Ьи+ i'(/tявляются корнями ква< ,ратного уравненияразл ,чrrср - Ь,! = о.,,0Р ,И.(7.77)имеет веществен-это, о достаточ,ю <Ю,1азать. ЧТО Л,СКj<им [[,ант!ю южит,< ,ен,т.е.достаточ,ю <'1ста,Ю,<1 ,Т"- bq)(b -убедиться в том, что неравенство2(с(Н.77)а!'(ер<lerKo="]!Остается доказать, ,,то ква< ,ратное уравнениеэтого уравr,еш,«,+ 2,<- bqар+ -------'-ныеv)«ра,<1Ш нии2(сСтало быть,2pvaШ ра,<1еш т,юар).(7.7'1,)эквивалентно следующему(7.7<'1,)+(7.79)ква< 'ратный трехчлен (х+ р:" + q)имеет комплексные к !рни< ТО(7.79) :~аве<юмо имеет место< если <lас - ь 2что это ш ра,<1еш т,ю 1<ч>ав,длиrюслучаеqа'0<О и 4yГaCll> рЬ.в'«чае, ,1О1'«'.а 4ас<Поэтому< учитывая, ,,тоо.
Докаii1ем<>ЬО.+ aq--2-это\<;?vcaq,)(4ась 2 ).б1' дем иметь2(с+ aq)- bpi'2 ;?i4vqac -pbi'2 == (4q -1})(4ac)+ 4 (pvac!1Jii)'2;? (4q -в написанной цепочке неравенств имеется хотя бы один знак строгого нера,<1еН"Т,<1аибо HepBblii зrrакобращает,<![ в зна,1 = ,иш" Щ<И С = пq, НО ч>и>,Щ1, зав,До\ю (pJCi7 - byГci) #НОЭТОМ1' ВТО=. Итак, нами доказано неравенство (7.79)<то1'о, что Ь= aq,рой знак;? не обращается в знакДО,1азана ,юз\,шкно"т"рV,ч>иВ!юлуч,<,шыхквадратных трехчленах отсутству'\,т '!лены первой степени относительноСделав замен«(7.указа,шы <'и/tи V, м"т)Лvаlt'2г<,,<,С, И ql -некоторые по"тоянны,<, аHp!ii<1e<"<Mинтеl'l>а<, тина(7.80)+ сlF(t) -t.111много '.ш<н "теш ниF(t)2i- 1. Ра<,ложив 1) <,робь (Г «q, )л на сумму простейших< мы сведем вопросо вы rислении интеграла(7)1,0)к вычислению суммы интегралов вк ,аи= 1<) При л>1.л).Ш,'iOКiiЗ,'''<ИНТ' гр, ЛОВ во'х тр,'Х ТIШ JБ,с,анOlЮК <:iй ,ера'iOказа!!ш,'функцияхинп'п ал о.тно.сится к ти"III.
[о.ско.льку "iЯ него. нар:шено. со.о.тно.шение,7.75): мы до.лжны "режде всего. сделать замену (7.76). В результате это.йпо'!'!хХ2,ИМ+1=-х+ +++1 = (р,2 - f!1)f 2---±...!.1- х'а:г+ t\2+ (JL + //) + 2 =2:Н= (1О,!+ (v + // +2JL// - (JLJ(t 2(V 2 -+ 1)+ //) + 2 =О.,// = -1. Таким о.[;разо.м, замена (7.76)3t 2 +(1+t)2'РаСС\iасгринае!,ый ин,<е, рал прини! ает ни2+ 2]!ра \i,ений+ ++ t)2'1и)[2f!' - (ItЛегко. убедиться в то.м, что.
1) JL =t - 1имеет ВИДt + l' так что.t =+1 + t\2По.сто.}! шые It и V нахо.ди!< из С ,сге! ы2JL//+2'JL 2JL1 )t" [2JL// (JL V\ 2]t1)-'"------'------'-------'---'----------:--"------:-:-сс-'-----'------'----------'-+'!,1+t)litj)v Эt2[1~,1221'1-\"t:Н(t" +3)v3t"+[+ 3/3t 2 + 1v3t 2 + [, а для вы+ ~. в результате по.-Для вычисления интеграла 11 делаем подстано.вку и =числения интеграла 12 делаем по.дстано.вкуl' =)3лучим11=2J71;!~8=~ arctgFs + с =1 arctg11= --111v+<~Vз2Jб1) l'vIожно. [;ыш! бы по.ш !жить1= --1112JбJL = -1, // = 1.э1fbI!<;пеи<:ие;те;рал;,;ер; ";'циона"" нш:тей, сте,"о!ПРИ;IЫкалот слеДУi' 'щие интеГрl лыJ,Г.(; 81)гочленов третьей или четвертой степени.Эти интегралы весьма часто встречаются в приложениях. Отметим сра-зу'1ТО ИiП ,""!ралы (; .81) итapnЪt,","и фУН'h~'ЦUi!МU.(7.82),вообще говоря, не являются элемен-Оба эти интегра"ш ч;инято называть элл"!!nтu-ч,еС'!!Jvm в п"х слечаях.когда они не выражаiОТСЯ через элементарные функции, и nсевдоэ ,ЛUП! nU'l.e'"'"ХCTI"!a}[x.ко!" !а OiiИ !I.ыра)каю! с,'!ерез Э.ш"ментаРН1,!е):-rBB~ДY важности для щ>илш~ений интегралов, (7(7в'; ;ник-ла неоохоннlOСТЬ состав"",ения тао",иц и графиков 'l;уню;ии, определяемыхli и е такиеаб""ЩI"'состаШ!ТI, 0'1,",11" тр'д!ю.
Поэ! ому !юз !!!!;ла за"'!а'ш о с!!'дении всех интеграс-тов вида (7.81) и (7к нескольким типам интегралов"со!-\' !!,!,ащих по lЮЗ;!О)КНОС'1'Р меньше произноль !!"!х!"О!! (1' ,И.ка!, 1'ОНОР,т, о прИi;' дении ин!"е! рало!! (7.81) и (;r,aHOH'!,"ec"o"!! ,jюрме).Прежде всего, заметим, что интеграл (7.81) сводится к интегралу [7.82).само:\! деле, к,бичный тр,"'хч',ен зав,до:\1O имеет хотя бы оц,ин вещественэтими интегралами. При "роизвольных коэффициентах а, Ь" с,ный кореньа поэтому его можно представить в виде аС"ИР,Гli+ ьс"2 + С;1: +q).Сделав подстановку- ;!:о = ± t 2 мы" как легко видеть, ч;еобра;уеминтеграл (7.81) в (7.82).Та!,и;" образом, нам доста! о'шо рассмо!ьинте1'l>а'; (;В силу ре";ультатов § 6 многочлен четвертой сте iени можно ра;ложитьна прО1;З!!' дениешух ю,адратных трех;Ш !юн С не !!естнен !!"!миентами+е =а(е2++ Р':1: + q').+Всегда найдется некоторая линейная или дро;;но-линейная ;ЮД: тановка"о)каюша, у обоих !:надра!лавтакул"подстановкумыс'1'р,'х'нено!!ТОЧНОСТЫ,,до'1слагаемого"собой э",;е;11 !!тарн,ю ф,ю:цию, пр,'образу'"'м И!!'1" :рал;еЮ,1(; .8')R(t2) litгде!!екотора}[ рационалы:а,:е-"редстаВЛЯi"щего(;.
Да.ш'емо;;:но показаТI"'1ТО приЛi";:ЫХ ком[;ина!;иях аБСОЛiОТНЫХ ";начений и :~HaKOB поспJЯННЫХ А. lП и lП'наЙ"i"ТСЯ замена. сводящая интегра'; (;к так называ,""'мо:\!; ";нон"!! "еC'h~OMYuнтегралу(7.84;1 Назнан1!1ПрОИСХО'I'"'" О'1! о!о.ли::ь при решении :~адачи о'О !:пер"рямлении элли2) Это дока;ывается точно так же, как в!!СТР'""1'И-ГЛ.11).н КО тор ;м<'1)pe:~);бо Ш:)'l('Н:) ПОС'1'Шiнна}[, уд)!) ,:ет ;;;ш:ю :й}[ ус,юнию1,Л)р::);й к: нонический интегр:)лс;а!) :}[ю::er(784)с точно) ТЫР до )'лага) мого, :)ресобо:', ')д)'мент:)рную фуш;цию, МОУ)') т б),;'1')' пр' )))')ен1')')-:едующим трем стандартным инт) гр: ламdz//Интегралы:7,85)1 ,_у2;:7,81:)(О-k 2 z 2 )принято Ha:~ЫBaTЬнетссгнеш;о 1-го, 2-гоiиуви,':лем/dz+ llZ2) J(lz 2 dz)Л,;;Ui n)и ;C;''h~U{){),U иnmсгуала{){),и соот:'5-го род:;., Ка)кдый из ЭТ;;Хi -го)тало!), ка); ПО)<азанои 2-го рода содержат только один :)араметрма)))щий вещественные :~начения И: интервала О3-;0),);)'1';ПIндстак:яет собой н,еэлемен,m:;.рн,ую ;!уУн,' 'n;ю, Э,':ли:)тические интегралы)'е; рал< k < 1),рода, кро;;;''1'0)'0,<<kk,приниа элли:)тическийСО!-\' );у)уит пара; "сгр)юМОУ) "сг П;,))-нимать и ком:)лексные :~начения,Ле)кан,')р 2) по'шер; и;;; ',';талы (7,8':)= si11'P (О ('Р (7Г/2),)аль )ейтпе;'уПрО ;;ению, сде'<аНзаменуС ПО:\lOщью этой замены первый из инп'гралов С; ,85 У :лреобразуетсяк видуа'Рk2Sil,2:7,86)'РВ )'0; 'ой из )шсгегралон С; ,85) при этой за;;;';;е с сго'шос; ью ;о поссго}[ш;огомножителя );ка:~ывается равным ра,;ности интеграла :7,86) и следу)рщегоинп'г!;ала:/ /1 ";тало!)из: 7,85)/k2Sil,2'Ра'Р,П; ,еобразуе; с}[7,87)ни)уl:--:--:-;;-_d-:-"~'-:;=l=_=:k:=;;,2=,;'=,-:-(:7,88)11=((Интегра,':ы С;(7,87) и С;принято называть эллnnm1J,"!'еС'UJvm нн,mеграла{)",и соответственно ·го, 2 го и 3·го '"ода в форме Ле:ж;аnду'а,;: kоб,';шо !)юкную ро':), н пр ;ложеш)',' И1'l>ают инте1'l>а':),) : 7,86) : 7,8';}Если считать, что о))а эти интеграла обращаются в нуль :)ри 'Р=О, то получатся две кюлне о:)ределенные функции, которые О),)ЫЧНО о),)означа)))тсимноламиF(k, (()E(k,iеу),а;щро;' има)'еМai иками ИЗу'1)'ны их свойства, Для них установлен ряд)'оставлены обширныетаб,,:ю:ы и гра'l;ики,Наряду с элементарными функциями фунюши Е исе;;;'[';с;;;опрочно вошли в')ас; о используе;:ы;; н а;;ализе, З!-\"сьраз с; ои;отметить условность понятия элементарной функпии, Вместе с тем следуетПО')'1е;,ю)усг)"'1СГОза )а'1Иинте1'l>а':) НО)'Оис )ис :ени"ю )'С" ИЗУ )ение;' фуш;ций, и;;) )';ти; ,У) М),;Х;;о!)се;;ео) раШ)'1инаарны;;1) )Ко:~еф Лиувилль - францу:ский математик ;:;092) Адриан Ыари Лежандр - 'l;ранцузский математик 752- ;:;33),гв8ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХПонятия непрерывной функции и дифференцируемой функции уже известны нам из глав 4 и 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
