В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 40
Текст из файла (страница 40)
, корнем много'шенак:ратности не НИ;JfCе а.ОстаетС!! доказать, '!то кратность корю! а много'шенаf(z)н!вышелеммеЕ,'Ли ()Ы эта l!Р!)ТПОСТЬ ()ыла в!,!ше а. то,,1!Р!)ТПОСТ!, КОР11Я а М110гочле11а j(a-l) z) бы.j(z)'ог !!)CiЮбы выш)'<i'ИГ! ;ij\НИЕ Вединицы,< откуда слеДОВaJТ; бы.< чтое<(а) = О,(z),являеТСi корнеыпротю;, 'ре'шт по' ле;шему и:~ УiЛОRиli(7<21)Те, тема д' ,казанаПРИШI,юл1ения KPjjTHbIXАлгоритм!':вклидавыде.!1.xeM~кг'!'тны1 y корн')!:',ПО'<т".в"<пе-ред собо!! цель - ДJТi данно! о ;;~Оi<ОЧJ;~на f(;)~··иыею~е~о воо{;ще говоря, liР1)тпые liОрШl П1)ЙТН Т1)КОЙ ;шогочрп F(z) который имеет те :JICe са.мые К;О/iНИ, '(то и j '). но вге к;/ютностиединица.
Для ;lOстнж:ешlЯ;той пели вве; ем11eKoTop),j" llOB),j"i.пон п'ИНазовем д е л и т е л е.М дву;т многолюбой .многО'iлен, на к;оторый делятся оба.много ленаиj(z)·(z).Оnределенuе 2. Назовi.М н а и б о л ъ ш и.М О'щ И .Мд е л и т е л е м двух многО'iленов j ( . и ср( . так;ой их делиme,i,'lJ, nomopbl'il делится на ,i,юбо'1l друюii делителъ эти:г дву:г.ft;t1-tОРО" iленов.Договорш ,<я о{ю !l1ачат), 11аибо.ш,шиЙ о{;щ lЙмного'шеновsa;j .)и;'тим, что и!вытекает,СТОЯllllOГО'iTO он определенMllO liителя.Возвращаяс;,го П1).раГР1).Ф1lмногочленсz<'iЛЯ МllOгочлеllllгд"по<liО;,;ЫЙj(z)D[f(z), f' ( )]'а);(z-(7.22)...
z-c)',(z -z)]i'eopeMe 7.2,справе,lЛИВО пре,l.ставлеlше... ( z -,,,)I~lnl'"! ( Z )liHT МllOlliителей (z - а) (za)a~1(z -Ьv!(z) 11е <0;1' рИз сопоста iлеНШi форыулf(z)провеРИТk что/юзли'f1-tые корни. ТОiда, СОiласно. .. .го ;lелителяПjОИЗВОЛЬНОiОимеет видz = (z -j'(z)доllели< сфор;,;улировапной в 11ачале 11астояшеF(' )iде а. Ь,точностью;;ы теперь легко ;lOЖ:;·<fi'(Z)нте.л;, ;шух'< '(z) сиыволоы D[j(z), ср(' )].O!lP;' и'лепия П1)ш'Ю,iLшего о{;щ,=(z -I(7.23) и (7.24) О'iевидно,a)a~l(z-Ь );З~1 ...(z -c)l~l.(7.24)(z -с).что(7.25)Из сопоставления формул (7.23) иСОЮ О'iередь очевидночто ;шогочлеп F(' !, определяе;,;ый формулой (7.22), ш ;еет видF(z = z -а)z-... (z -с).(7.26)()Г11ТТеы саыым щ\казан\\, что ЫН\'10Ч.1ен22),110F(z),\1ЕВКопредел;емыйимеет те же саыые Ю'I ши, что и ын, '10членвсе 1,РiiТIЮСТИ\1ИПИЦi;Таким i\бразоы.
задача выделеНШi Кl,атных корней СВiДИТ-ся к ШkТрО'(z)1.1Ш)гОЧ,,1''IIi;F(z)опредеJТiеМОГ i \Посrюлы,у зrrат генатель сjюрмулы (7.22) содерж:ит rrатr60Ш,"шllй о{\щий деЛИТ".lL \Ш\IШОГОЧ.,1''IIОВ j(z) И j' z) во:~пю,астзадача о пахож:де1lИИ паиБОЛl,шего общего делителя двух М11O"гочлспов. ПереХО\lЮрсшеllИЮiтоЙ:аДiiЧll.2. Нахождение наибольшего общего делителя двухiОiО'iЛiЧ(!!ЛiОРИТМ Евклид!!).
Пуст], .'i.аПЫ.'iВi; сов ер"шенно произвольных ЫНОiочлена j(z) и '(z) и требуется най"T11Пiiю'ю.,lLШllЙ О{\ЩllЙ д' '.]итеЛi."Не ограIШЧllВiiЯ о; \ЩПОСТ11.будем считать, что степень '(z) не выше степени jпо;елив J(z) llа cp(z сто.]биком, 11LI придем к форм\ТОiда,(7, Э). § 2)(7.271)В которой. 1,а1, \СТс ПОБ.,]''IIО в2, 'тепеll;' остатю; T1(Z) \ль"ше степени делитеJТИi ·(z). Это дает наы право сно <а поделитьсто. ]биком cp(z lI\i., 7'1 (z). В Р''i~у,ш,тате этого деле lИЯ м]] пол\чимапалогичнyr\J ФОРl,lуле (7.13):Z)Q1(Z) + T2(Z)которо [l с i'епень оста! ка 7'2 (z) ниже степениДа.11LI .i.елим стор\иком T1(Z) пi; (z) иcp(z)(7.272)r ').= 7'1делитеJТИiт.ре:у. ],Тс т\'полу'lИМТ; ').Tk-1(Z)Чk-1z)+ Tk(Z).ПО',1рll 1,аЖ:'iОI .'i.еле11ИИ 'ТОШ'Ш1,01'тепеll;' о\.'т! т,а.'i.eT с lИi1,ат],' я по к;ршtlне' j .мере на сд'ШJ-ШЦУ, повторив ОШ1'lli,]Йпроцесс достаточно болы lOе 'lИслоkраз, мы на(kl)-магуполучим остаток.
ра шый НУЛЮ 1) т. е.Tk- (z) = Тk(Z)Чk(Z)'Докажеы, что последний отли'шый от нуля OCi"aTOKет' я наu!'!олъшu.Мделumr"лr".м .ft;t1-tогО'Ч,ЛСНО6(z(7.27 k + l )(z) ЯiiЛЯ"иz) ,ДостаТОЧllО доказать два утверж:деllИЯ:1 Если остаток не оfiратится в нуль в одном из промежуточных звеньевОПИСiiЯНОГО н;\'щеССi\, то пi,' ;еiu,;ичестваkШi\ГОiiiЮЛУЧИ\iостаток r'k (z) нулевой степени. Тогда слеДУЮiiШЙ остаток Гk+l (z) заве,ЮМОравен нулю (иfю люfiой многочлен делится на многочлен нулевой степени).<i'ИГ! )ij\НИЕ ВЧj))чт))\iH"rO<об )(11иO:~Ha'iaeT, чт))МН()Г()Ч«iен()в)il<ля д' ,ка jj)тельства\'TBl) )j11Дz:НИЯ:~аметим, что, в сил!17.27k+ 1) ik-1(Z) делится HaTk z ,атогда,всию'(7.27 k ) Tk-2(Z)делится на Tk (z) ...
Поднимаясь ввер; по цеПОЧi(е равенств)-(7.2i),наконец. докажем, 'по )p(z) и (z) ДСiЛЯТСillа Tk(Z).ДОiш)кем тепщ ь утверждениелите<ъ многочленов(Z)и)p(z).2). П! сть Тоiюбой деZв СИiУ ра1;еНСТ1;а.271 T1(Z)делится на TO(Z) а тогда, в сию равенства (7.272)ся на То Z , в сию равенства 7.273 T;(Z)О,ycKa1ic"iшл,ем, чтоно це') iQЧКl)Tk (Z)paBlTCTBнаконец, до-де<штся на Т;) (z).Тем самым мы полностью обоснова< ш описанный выше щюцесс наХOilщения наи()ольшего о()щего дештеля двух многочленов.
Этот процесс обычно называют алгiiРШn.м.о.м. Е6КПV.! 'а.При м еНайдем наибо.ъшиЙ обпий делитеъ дв; Х мно-ГОЧiеН01; 1)fZ=Поделивz4 - 2z 3+ 3z 2f Z<p(Z)z4на-2z+и<p(z)4z 36z 2-+ 6z -2.столбиком. б\ дем иметь2z!-Pz114z\_~z3 +~z2 -~Z1-z- -142221Да<=81iee мы долж:ны быш бы поде<шть <p(Z) на обведенный пункi'ИРО\' \ШОГОЧ<iен. Однако,. llOCKo.ibKY наi;()ОЛ лшПделитель определен с mо'Ч.ност'Ыо до nРО11360лъного постоянного.множ;;теля, удобно УМНОЖi;Т;,на4/3и поделить)p(Z)на !'ногоч<1) Легко видеть, что cp(z) = /';УНКlп;ром остатокieH- Z1.В резу<ътате4:; _6:;2 +6:;2422астата; равен Н'улю.Таким аiiразам, наибоъпп[й абп~и('[2(z)иz)равен3ае ч аz - z + 1,z)] = z2 -D[j(z).е 1. nдештеш,Zllр[[веде;;пр астаты в;яли мнагачленынагач[ена[;т.
е.f zи+ .[;ыше llр[[\[ере<p(z)дляс beUi,eCmbe1-l(!!blМU [шэфсlшциентюш. Та жс; метадика сахраш[ет[у и Д\шагач, [ена[;с [шмпле[;сными [шэффициентами.3 ае ч аи е 2. Следует о[ \[ети[ъ, что. да наста [пе['авремени практичес[;и атс\;тств.Уют 'устайчивые чис[енные метады вычи(ления карней праизвальныхтачнастью.юлажении;'нагач[ена[;заданнай?днака, имея предваритеъш;ю информацию а расиска\ш['акарн;[на['а'шенананекатарамс'е[ \[ентечисюваи аси, мы мо.ж:ем вычисшть этат карень с интереС'уюп~еи§нас тачнастью с па1\1О н'Ью метадав, ишаi[;енных вгл.12.Разложение правильной рациональной дробис комплексными коэффициентами на суммупростейших дробей§ 5.Рu.'Цuо1-tnЛЫ-tоЙ д р о'Ь 10 наЗ[.[ваетс;[ а ['нашею[е д[;ух алгеб; ,аичес[шх мнагачленав.
Рацианальная драбь наъrвается nравUЛ'Ь1-tо!i, е(ли (те'мна['а·шена., ста;;;Н,е['а в 'шс;;[тсле, \[еньтпе (те[[ени мна['ачлена. с'таяп~егазню\[енателе.n'рат[[вна\·с [.Учае рацианальная драбь называется неnрави !'b1-toi. Как пра,P(z)ю, \iЫ будс'юю[\[аяюдЛемма,[а;)азначать раЦ,иана[ы[у.,'юP(z)2.иQ(z)т.,. [Ю·амQ(z)'алгебраи·[еские \шага [лены.P(z)Пуст'ь Q(z)-nравV.Л'Ь1-tш! ршцv.о1-tа.л:Ь1-tш!31-tаМ.('1-tате.л:ь nотор(1). 'И.М,( с'т nорнсм.'Чuсло а,сиnpam1-tocmv.а nом.n !сnсносе.Q(z = z - a)Q<p(z)где<р(а'# О.(7.28)Тогда для этой дробu сщ nведлuво следующее nредс finвле1-tuе:P(z) _Q(z)A!iJ(z)(z -а)СХ(z - a)CX-kip(z) '(7.29)Сi'ИГi ;ij\НИЕ В'к;Ос;' сЛ()(n,;п;С'н,асZ nОС'!!г;;;оторый, мнm ПЧЛС!!С;UСJ!ЛР(а)!JО)Z'!!i!!ЛЯ, ра шля'р(!!)'Т/,/iUч,с.м.
'ПЛСЛ; !!-ТУШ (729);[!iляету/.f я пр(ии//.!)ной,в)бо:~начив Чf pc:~ А ШiСi' ,ЯННi;'дробь Н,'iИСЛОре ссм, ,три!'ра шос iЪАP(z)Q(z)(-а)".ПРЮЮДji указа iНУЮ разность к оБТТ~j;МУ зна' iенателю, будеА,}И\iетьФ(z)_ P(z) -!ip(z)(z - u)ctip(z)!z.3(u)ctip(Z) 'где 'iерез Ф(z) о(iозна'iен МНОi'очлен вида Ф(z) - P(zA:p(z).Поскольку iI)(uc) = Г(ис) - А'Р(а = О i;Qмплеi;сное чис 10 а является 'Х;орне.М снногоч,лена Ф(z) некотороС'! кратности k ~ 1,. . е.(z - a';'(z)где 'ф(а i= О.(7.31) B i Y (7.30) буде!'=\стаВЛЯ)i!ред' та;iениеАP(z)Q(;)(z -ем самым фщ мула(7.29)(7.31Иiет!,7/J(Z)а)сх7.32_ a)a-kip(z) .доказана.!стается толь;о убедитьсядро!);, !'тоятт~аji в ,равой 'iШ'ТИ (7.32),i;Лjiется ,раВИсЪНОЙ. Это непосредственно вытекает из того, что разност'ЬTO\i.'iTOдробыо :!) .двух nравUЛ'ЬН!'tХ дро6еи являетсяЛемма 2 доказана.И;iеммы 2 непосредственно вытешет с iедуютт~ая замеча-i'ecibHaji TeOpe\ia,устанаi;шваj,лт~аjiраЗЛОЖi! ,;ост','ра-вис ъной рациональной дроби на сумму простейших дробей.Теорему! 7.3, Пуст'ь ~~~~nрuвU/l,i,НUЯ РUЦ1ЮН i/l:ьная дроб!),-зна,i'iенатеЛ!'i;отороu U,i'ieem видQ(z)=(z - а(zь)6 ...
(zс)'..3:»огда для этоu apo6v. сnраведлuво следую ,(ее nредставленuе:Р(;)(J(z)_1(z-a)a++ (z-u;a-lс+ ... +~+(ZВl!zВ2Ь)(z-b) -вв+ ... +-(z-b-+++с----с-смысл, ибо 'Р(а)с.,(z -#о n силус)..3 )(7убеДi!1ЪСЯ. ПРИПОil;Я разностт, пра !!!Лт,ных дробейобщ!!-217ГА;. А2 ., A z"В2 ,'UПiоrnОРi,l( 'n.осmОЯ?!iJi',tе 'КО НТ!·Л,( ,iCi, ',te "UСЛ;.',а: m'Ь 'И.;1 'х:оmорыт .;\ЛО ;",'т бъtm'Ь ран'На 'Ну.л:!!!;тдz;,С2 ,Iо K:~Q(z) ,немл ь с т вкрат юстиQ(z)2СНС1'IaЛf; пр!!ме !!!м ле,'к,ц'я вP(z)При э! омюлу Ш\'pa;eHCTf;oправой части этого равенства снова при мени м лемм\f;!fДУ, '!ТО либо ко\' ;лею ное число а являетс! корне\' зна\fена>те. !Я укашнной правой части кратности а - kа - kО),либо, в силу разло.ж:ения (7.33)!ef!CHOe чисю Ь ю;!Яется !!ЩiНем этого знаменате.!Я !!ратности(3 (;три .
~ - k=О). Врезультате юлучи\' равенство. aHiL-IOгичное ! 7.:\1' J к ;равой '!асти которого снова l\ЮifJНО применить!емму 2. Продо. ШJая анало!'ичныелемм\2рш '',УжД(тияда!ее.е.юследоваТi;ЛJtНО;ри ,Ц'!!Я;!P(z).по всем корням Q( z )) ,по.!учим для д! оби Q(z) п! ,ед-ставление(7.:\4).Теорема до!шзана.а м е ч а н и е. Поскольку в!емме 2 чис ю k l\юж:ет бытьбо.ъпте единицы и м!ю! о !Лен P(z) \южет и\', ть корни, "Оfшадаюп~ие с корю! '!и Q(z!'О '!асть коэфzlнщ!!ентов А 1 ...В 1 , ...В(3 С 1 ... ,в формуле (7.:14) l\ЮifJет быть равна3§ 6.
Разложение алгебраического МJюгочлеJJдс ВZ.JЩZJСТВZJJJJJ!\IМИ КjjэффициентамиJJ.РjjИ.:ZJJе,.'j,ZJJJ.И.енеприводимых вещеСJJвенных !\ТНОЖИJJелейВыше мы изучали раЗJюж:ение на'7 простet"fШИХ дроiiепрациональной дроби с 'х:о,м.n Т(,'х:с'Нъt,м.U !шэффициентами. Нашейокон'!ательной целы}) являетс;! разложение рац!юнальнойс веf.цесmвеН(ifъtМU коэффициентами на сумму простейших дробейвещесmвеННi,t.Мii коэtI!фИЦИf нта\!И.Для ДОСТИifJения этой flе,ш мы до. ШJНЫ fреifJде всего найразложение алгебраи'!еского!югоч,!ена с f;еп~ествен!шэффициентами на произведение неприводимых вещественныхмншкителе;.и по' вяп~ен настоящийfaparpazl!.ПУ,Тf,С! Zn-+ C2Z n-2 + ...(7.:>5);рю;еденныП аЛГi;браИ'!f скиП!Ю!'О'!Лi'"вещесmвеНН"t.z,',·!шэффициентами С], •••Пре.ж:де всего ДOl\.аifJем след\'ю!!!.ую теорему.7.4.ТеоремаЕслu 'х:о,м.nле'х:сное 'ЧUСЛО а является 'х:орне,м.а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
