В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 39
Текст из файла (страница 39)
еепи перемножаются'шепа ю'мплексных чисел..'iИТ'·Я в ·тепе11,пргу,м,е '{П/iЫ'Ч:Ш:СЛ I {,Х ,м,опргу,м,("н,rnыТ".11,11Oш("н,!f."1полу'шмiaK назы lаемую фор,мулу1)(cos о. sin о)nФОРМУЛ\(7,=(cos Оп sin Оп .О) :юж:rю :~,шисаТ1,в.(7.10)iPyrO: пре i,ставле ши:.11)sinun.в заКЛiочение замеi ИМ,. что комплексное число. записанноеiригономеТРИ'iескоI!е1\ч,>е,ранно нулютом икогд,> р,ше11 пулю его мо,l.уль.перемножениикомплексныхчиселi'ОЛЬКОтомH:~ того, что приихмодулиперемножаются,выт, '1(дет, что nро'Uзвi:дсн,'Uс неск:олък:'U:r к:о,мnлек:сны:r ч'Uсел рав"но нулю Л'U fJb в том глучае, к:огда !ювен нулю хотя бы один 'UЗCOht'НO;)fC'Uffi( лей.§ 2.1.Алгебраические многочленыАЛ'е.
'ра:uчеСК:'Uht htногочлеНОht n"й ст," "'Ш1 П"раж:еШ1"ви.11 ,Ш,,' 'тся В1+i,a+ ...гдеСо, С1,(х....,Сп;Т11ере:,lепное 1Ю: шле1lС юе11}11еКОТОР1,1"по' тояппыеное из которых отли'шо отический М110гочле11 ст," "'Ш1HYJTi..12)Ч11СЛО . аЧ11' ла,пер"ак известно, любой алгебра-МО 1lПО по, iеЛИТ1, «СТОР IИКОМ»11а,'iРУГОЙ "лгеl'lр,;.ическиЙ :ШОГОЧ"l''П 'тепе1lИ 11е выш" чем 'п. Т,>"ким путем мы приходим к следующему YiEe! ,ждению: к:ак:овы быни был'U iJBa ht' {лгочлена 1 z) 'U чJ( z) так:шне выше, '!ем j ( ,сn!юведл'Uво !iaBeHCmBoj(z) -,) . q(z)+ r(z),чт{) стеnе?{,/) чJ( z.13)в к:отором 11( z) 'UZ - нек:оторые m'H-огоч ,{,ены, nр'Uчеht сте"nенъ q(' равна разност'U стеnенеи много !ленов j(' 'U '(z) астеnенъ т (z) H'U;)fCe стеnеииz) .1) А, де Муавр (1667-1754),английский математик, по национальности французТИРС' '\НИЕ ВОТНО' ,ению к (fШГУРИРГ((ЩИМ в равенстве13) MHOri( шеrp(z), q(' и r(z) i(бьпно применяют Вiн,лне пон,тные,< ,l.елит' ',Ъ», i<чаi'Т11OС(>({О' 'TiiTOK»МНОГ' ,'(лен l(z) дели ( ся на мн, 'lочлен ср(' , еслинам1в П'',1 (ЧСНIЮЙПО' р"'ТВОМ д" "'Пня'тол' 'ИliЛ;ФОРМУ"l" (7,13)остат, 'к г (z)~оговори; "я lla:~blBiiTL М11Oгочле11O; н ,левой ст," "'Ш1 ,1юбуюкомплексную постоянную.
Тогда совер' ,енно ((сно что люБO'Llмн,огочлен, дел'Uтся '!!а отл'Uчн,ы'й от '!!уля ht' {О20член, '!(улево'йстеnен,и. Изучим вопрос о делимости много'шенана MHO~ГОЧ,l' 'П ''''рвой ст," "'Пн Z - Ь .Оnределенuе. Назовем к:омnлек:сн,ое ч'UслоnopHeht1 ,)н, О г О ч л е н, аhtТеорема7.1.двучлен,Ь) тогдамн,ого'/лен,а l(z).Д о:~т еь'(z)Ь-есл'Uf(z),f(b)равн,о н,улю.iН'Ногоч ,{,ен, 'Ну ,(,евой, стеnен,и'Uz дел'Uтся 'Натолък:о тогда, к:огда Ь является nopHehtт в о.фор;,;улу13).3апншем ,lЛя ;ШОГОЧ,l''ПОВ l(z) иПОСКОЛ1,КУ степе11', остаТ1iД r(z) вэтой фор;; (ле обязан,а'tt'U:J!Ce стспсни делит' ',lЯzЬ, ('О r\ ,) - мн,ого'/лен, н,улевоu стеnен,и, . е.
r(z) - с -Тi.ким обра:~ом, фор;;(ла(7.13)в ФОРМУ"l;'(7. 4)с=(7.14)Ь, найдем, что сI(Ь). ПО опреде~тош 1Ш тогда, 1Шг"(,а O;'TiiTOKTOr,l;') рiШСНкогда Ь является 1шрне;Z-i1рШIШli'8Т вк(1(' =(z-b)·q(z)+c.Полагая в фор;;уле (7.14) zле1lИЮ l(z) Д",lИТСЯ нс' Z - Ь=солst.,1Ю, т.тогда и то"ъко тогда,1(, . Теоре;,;а ДО1iдзаllа.2. Е;'тестве шО, ВО:~НИliДСТ вопро;': Вi'Яii1Й ,lИ а"lгсбраич, "'liНЙМllогочлеll имеет ко! 'llи? Ответ на этот вопрос дает осн,овн,аяmeof,ehta алгеБрыl 1 : вгяк:'Uu hШО,;О"lлен, н,ен,улевO'Ll I'теnен,и 'Uhteст :rотяOi)'UH к:орен,ъ.Опираясь на эту ('еорему, докажем, что алгебf,а'U'/еСК:'U'Ll hШО'О"lлен, n-и стеnен,и имеет точн,о n nofmeu \). В самом деле,П>;'Т1,\,Z ме ашебрысправе;lЛИВОМllогочлеll n~й1(z)i1P;''тепе1lИ. СОГЛii,CllO о,ловной Teop'~. е. дл(('Тi'К1''Пi1;'(z)f(z)вкоторо;Л11чере,Еспи nю ;';'т хотя1).z)1(имеет хо (Я бы один корень Ь 1 ,оi'ю ,11i,че11 Н, 'liОТОРЫЙто.согласноО, 'ин кореll"Ь2осно шо!']т.переменной».2) При этом, конечно, мы считаем, что n > О.для;шогочлсн'тепе1lИтеореме алгебры,(z)справедливо2ШАТEl\ГАИ'СКИЕ МНОГС''!2преДСi'авлениеj: (z)(zЮ)1'()роы чср' <~(z) обо:~, 'i'ч' 'Н нею" lipbIij мног, ,'iлен 'тепениР) ПОВi" ,шш указанные рассуждения далее, ыы полу'шмпредставлеl шяf2(Z) - (zЬз)fз z ) ,(7.jn( ,)n(z) =5П )в последнем из этих предс i'авлениi,j 'iерезобозначен некоторый 1ШОГОЧ.i'Л 11У.i"ВОЙ 'тепеllИ т.С =const.
СопостаВЛЮi ыежду собо!1 равенства (7.15 1 )-(7.15 n ) и у шты iая. чтоjn(z) =с,.'i.eM И1 i'Tl,j(z).16)Отыетиы, что коыплекснаii ПОСТOiшнаii с не ра ша нулю, ибопротивном спучае много'шен j .) был бы i'ождес iBeHHo равеннул:, , и не являлся бы ЫНОiочленом nраве11СТВс; (7.ОЧСВII.illO.
чтоj(b n ) т. е. каждое из 'шсел Ь 111ем М11огочле11а j(z). КР01 "того. H:~ (7.бы НИ было1)., ... ,ь nВЛiiеi'СЯ корОЧСВII.lllО. что. Юi.жовоШ1еli.crlOе число Ь, отлнчное от b1 , Ь 2 , . .. ,Ь" комплеюлое чИiЛОкихс i'епени(Ь 1 )коыплексных11е рс вно'шселравнолю.
ю'ю !lрОИ Ш i ' "Л!li' Н, "·li.о.шгнулюлишьi'OMспучае,когдараве11 11УiЮ хотя бы О.'}Иll IЛ С01.ШОЖ:ИТi'(i.). Тii.ЖИМ 0('азом, много лен j(z) иыеет ровно nЬ ,ь 2 ..... 'Ь П 'Раве ство (7. 6) д ет ра~лож: н1шогоч.i'Лii j(z) 11а MllOжители. Если известен вид ЫНОiочлена j(z) (7.12), то мы ыожеыO!lpl'HTi.' ПОСТОЮlС В раве11стве (7. J 6). СРii..Бнивая в раве11-ствах (7.16) и (7.12) КОЭi[>фициенты приzn, получиы - СО 2).l\lногочлен (7.12), у li.OTOPOrO 101, 11азывается ЩiU6еде1-t'ным•.
Д,Ш ПРИВI' "лного МllOгочле la ФОР1; ,ла ра:~,lOЖ:СНИЯ (7. 6)1) Здес"iЮЛЬЗ\iе ,! сшд' ющееесли многО'i,лен j(z) == aOZ n + аlZ п - 1 + ... + an-1Zа п mо:нсдесmвенно раве" "Уil,Ю, mu все его'l{;оэффиu,иенmы jювны НУЛЮ. В "амом деш, если j(z)О, то при z =получим а п = О, Но тогда== Z[аii.Zп-1 аl.Z П -·'an-l] == О. Таккак z фu, то ВЫРilЖi·НИi.· В квадратных скобках тождеСТВi'НН\ii равно н" 'Ю,откуда при z = О получим an-l = О.
Продолжая аналогичные рассуждения. (алее, докажем, что все коэффициенты равны нулю.2Здес" iiЫ ИСПОЛi,З\i"+ ... + а паоbOZ" + Ь,= Ь о , al = b1, ... а п =и+ ... + Ь песли два многО'i,лена ао " +alz n -mож;десmвенно равныдругу, тоЬ п . Для доказательства достаточно к разностиуказанных многочленов применить утверждение, отмеченное в сноске 1) наэтой странИi (е.<1'ИГ! )lj\НИЕ Впринимает видJ(z)лу'шм17)(z 12)Ь,)(Z - lJ 1 )(Z -=Сравнива!1 формулус(7< 7)ПJИ)о1),по-ле) ую+ Ь2++(Ь 1 Ь 2 + Ь 1 Ь З + ... + Ь 11 - 1 Ь 11(Ь 1)2спда,л, lейш)«= (- )n Ь 1 Ь\ ...ли не оговореllО llрОТИВ10)< 11blра,lривать nриведенные ht1-tОРО (лены.3,Крат!много'!лена,Признак кратности корня'<реди корней МНОГО'lлена j( < могут быть совnадающ'Uе корни.
Пусть а, Ь< ... ,с - разл'Uч?!ые кор ш прив)< ,)лного М 1Огочлеllаz . ТОГ'I<а Вре !!ЛЬТ1i.ТОВ !lP' )lblii,! "то !11)parp1 ф1i.< для1J(z)справедливо разложениеz)В этом разложении а,и! котор;n -lX н)<(z - a)Q(z - Ь)3 ... z - с)'.=(3,. .. , - некоторые)льш)<!lР!lЧ)«а(7. 8)целые числа< каждое+ (3 + ... + ,= n,степень МНОl0членаЕсл'U для ht1-tогочленасnраведл'Uво раЗЛО:J/CfiН'UС (7.18) тоговорят, что комплексное "шслоявляетгя KOf!1-tем j(z) кратности а< КОhшлексное ч'Uсло является KopHehl j (z) кратности(3, ... , КОhшлекгное "шсло является KopHehl j(z) кратногти,.Кореll)<B1i.TLl'P1i.THOCTL lШТОРОГО p1i.BH1) )lИниц" нринято Н1) ,),!а lшреll '< KpaTl101<Tl' которого lЮЛЬШ"'н О К Р а т н ы м<едининыпринято называтьк р а т н ы м.МШЮIOlаТl, и !lpyroe )j,ВИВ1i.леllтное О!lр""лие кор lЯ <lанной кратности: комплексное "шслочленаJ(z)кратности а, есл'U длялен'Uена Iыlаетсяя KOf!1-tем многоzz) = (z - a)Q'P(z ,сnраведл'Uво nредстав-а)(7.
9)О.Наша неш, - указать llеобход lIюе и достаТОЧllое ус.ТIOвие длятого< чтобl,! комплеюлое ч!l' ло а яв, lЯЛОlЪ lШРН"< IШОГОч',l' Н1)кратности а.Назовем nро'Uзво:Jноii ht1-tо'о'Ч,лснаJ(z)z многочленj'z , nолу-чею-/,ыlйй формал'ы-/'ыlM :J'Uффсре'Нц'Uрован'Uеhl 1) j (z) по z. ПреЖ:<'lевсего докажемс.педующее утверждение.1) "-ан"",,"ве)) (ественной переменной(!ыла<КUРНИ МНОГ.;3'l//J,)'1}UJ,j·j'!J.лпu;uое 'Ч,'/J,СЛ{!j(z),}шсrnn СУ ,Мi}tлг(У! ,},пtЛ,}'с]Ютn{!,Ю а )(Н },){етnг})IЮ,jj!'НОСjj!'IJ, (а - 1)шго"{'}! 'Но3 а м е ч а н и е, В частн, ,сти, приОД11Ol!Р!)ТПЫМ 1ШРП)"ДК а з а- 1z), пе является 1ШРП)"е л ь с т в О,во предС!а ;пение21lAУСЛОВИЮ1!J.-})о]лt!).!число а.
БУДУЧ)jI!(z)дЛЯ j(z).19), Дисj!фе!еНЕИРУ!!,справедли-\7.Н!), будемиметьили.211)',"аер)(z),)+ (: -а)ер'').Поскольку ер (а) - а, (а) i::. о !о представление (7озна'!ает,что чисю а является 1iOРП' 11 краТ1Ю"ТИ (а- ) 1ШОГОЧ.!' н!) j'(z).Лемма доказана.Теорема 7.2. Для того чтоБыl К:О.мnлек:сное число а являлогъ nof!1-lем К:fю,тности а .Nt1-l0,'О"lленастаточно. чтоБыlЛа)j(z),выnлн!!нъllнеобходи.NLO и доуслови= j'(a) = ... =(7.2 )д о к аа тлт в о.Н е оо Д иПусть авл!!ется корнем кратности а мно! очлена jсогла,'IIО лемме1)тоl' '),ЧIН'ЛО а является 1iOРП)"о').т ь.Тогда,краТ1Ю,'ТИ(а1) мно!очленакорнем кратности (а2) много'шенаj(2) '), ...
ко! нем кра ности единица много'!лена j(Й-l)(z) т. е.а=Р(а)= ... = j(a-l)(a) =Сог !!)CiЮ !а1 )'ч! 1lИЮ!очленаО.1eM(7.чисю а 11е является корВыполнение услови11е.М1Ю-до-К)) !апо.11;(7.21).ОСТаонось.выполненыуспо!ш!!Тре()ует,'я )lOК)) !ат;,. что число а яв. шет,'я 1iOРП)"1Ю,'ТИ а М1югочле 1aj(z). Ta1! 1!a1!кр!)т-I(a-l)(a) = О, чисю а ЯВ.шетс!! корнем мно!очленаК:fiатногти не НИ;JfCе единицы.Ст!!ло быт;,. н!) О' ПОВ!)llИИ лемм!"Ч11''ЛО а ЯБ..!яет,'я 1iOРП"11 М1Ю!очлена j(\,-2)К:fютности не НИ;JfCе двух, корнем много'шена j ,)-3) ,) К:fютности не НИ;JfCе mfiex, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
