В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 37
Текст из файла (страница 37)
10 будет ,юказано существование; ,е;>пред,'лен; н',;,н;е, рат; о;,юбой н,'пр"р',\ Е\ н'Й ф; нкпiiи,щ,'С;В\(вание интеграловфункци "7*1-6обеспечивается непрерывно; ;тью подынтегральных1!){;ШЮi i ЯширокоПрИе iСiji<ениях иСiПiiiKeeбе перВiеТI изiTeiT>f,iblвстречан,тсяifCiTO!fblXUHme/pa/fffH'f,J>i Ю, арифJ>tQМ, а после1\ние 1\ва'Ко' 1blf.i;, ()j,I{?пi,У{ОМеiаЭЫi;f,етсяинтегральнымивсех пере' шсленных новых фую"ций (интеграла Пуассона, интеграееlСНФренееШ,с!, икосинуса) состаВi1е:пыиiВИ1\У важности 1\ЛЯ прилшкений, эти функции изу';; ны С таюнее, ж;'как иЭееlеменif,Piые ф\ iКЦii.В!,-общ;' СЛ;' iyeT ПО1\черкнуть условность пон ПШl простсйшей элсмен i'f'T)!ф\§ 2.Основные методы интегрирования1.
И!Iте!'рирование ЗШrf.еноЙ перетrf.енноЙ (ПОДС'IаНОКfкой). Замена ШiРСЫСННОЙ - 01\ИН из саыых эфф; ",тивных при;'м! 'i; инл ГТНiрования. ЭТОiба5iiр\еi i я на СJliiД\ iс'щемш;'iPii;'ментарном утвеРЖ1\ении.фУlf'Х:'ЦUЛt= <р( х)i}uффереlf'ЦЩn;' е',tЛне'Х:отором J>шо:жестве {:Е} 1) и пусть{t} - J>шо:жество всехr}л;; fjHjH'X:'!J!J1t g (!31j(j"iffHUii ';!f()'Й, фУlf'Х:'ЦU!J. Пуст'ь !}алеествует на мно:жестве{t}gnервообразнал фун'Х:'Цил(! (ltС(!G(t),т. е.+(б.3)~:n~~~:nс~~gв~~б~~~:;Сф~:~'Ц~tл,д;~jв~j%:~2Л;(:)\:~!]~'(Х)(б.4)+!g[<p(x[<p'(;r)dxДЛfl 1\оказатсльства этого утвеРЖ1\ения 1\остаточно восполь-Zifj;aThi Я ipaBii.JlOM ДИфfj;ереНilИРСН:1:и"'1'ТЬ,ПО,ЮС[<р(х} =iiЯ СJlОЖНi Й rl;УНЮIИИ '))С'[;(х); хG'(t'оп! ,едеiению,llре1\ПОЛШКИЫ теперь,! ЛХ)(б.5)dx.в ряде сл\чаев удае; i,Я ;;ыбрf'Тh в к;,чес; ;;етакую 1\ифференцирусыую фующию1) Это "iНо)кест;ю пр"',;ста;,;л ;ет С' [",Иполу ;рямую, либо бесконечну; 'пряму;о./) Гм.
§ 7 гл. 5.g(t",;то наы тр! БУСТС!l вычислить интегралt= <р(:Еювсн""';то имеет ы! стоИ"ТI'РВ;; " либо Сlтмен;либо97PC)BAHllИНТЕГГl2р)))енс) )ю(г) = gпричем !liУНКЦИЯ(!))егкаg:г )1 'р' (г))теlрируется,= G(t) + С(t)прt ('тс) ))ыч)))шется. Д! )К) ,аню)!' ВЫ)))!' у) ))ерждениенаы написать сле1\УЮЩУЮ фаРЫУЛУlШ) интегралаJЛХ) (1:гG[tp(:r=ЮЗВt .Jlяе)(6.5):+ С.Этат прием вы шсления интеграла((i.7)и называ! ТС})ш-tтегрu-путем 30,')teIiыКан! 'ша, та)'.аЙ приеы приыениы не )'.0, вС})каму интегралу.тога,)едует подчеркну) )', чтО, В ,r6ap )рав)).Jl),ноЙ подКрс)станаВi'.И в значительнай мере апре1\еляетС}) искусствам вычисли)! ,lЯ. Привед!'излож:енныйряд1))).\!'ров, ))lЛli !'т! )иi 'ующ))хJ1о.
ВЫЧИСЛ))Тh cas 2х (lx,сг lyeTлать прастейшуюре 'у )),та)!' это)']JJ~((х (1:г =/~+ =хПОl,станавку)теп,))лаtt -+ а,хJt(lI30. ВЫЧИСЛ))Тh= - sin2+С.Этотdt - dx.lnltl=С!2 sin ttclt =+аыДш вычис)!') )ш)Ы m)учимdx.),Ю) чтс)MeTal,.с= ln I:ral + с(:Га).J eCosSillX dx. Леl'Ю) B))Дi ть, Ч)Г, этотt = casiTaM (и- sinx dx)те-грал вычислг)ется путеы заменыВ с)ыом де)е, при./ e Cosx sin:r (lI40.= - ./ e t (lt = _e t + С =(ВЫЧИСJl))Тht,) 100),тс g Х 2(lx.Дш ))ыч))) )енияt = a))[,I\:r.самаыdt = d', и / (arctg х) 1)') )lх = Jt 100 ,u = _1+ С.)те-+хграла уюбна заыена+ х'._e cosxх2101':11', при та '.аЙ замене+ с = г......--=.-'-_ + С.В ,Iчислt1Тh J(7:I: - 9?i9'! r1:J:5анечна, этат[те} ралс'ж-на свести\'е [рех тысяч таб, tt1чt ыхtте}Т>"ЛСiR, р"",ва}} па1\ынтегральную фунюшю па фарыуле бинаыа Ньютанаеср,t;неню, праще еде ["ть ,амену t =- 9, (и =в результате l"атарай мы палучиыJ( 7X-9)2999dХ=~76.L2999dt=t;OOO21000Jc:~Tx· Чt с,бы у'J J IВычислt1Тh+Г'(7хC;tpeTh_ ,));00021000\Jту,+ С.т ;тн;д-стваы l"атарай ыажет быть взят этат интеграл, п; р; пишем его.
вВt1Д!'cos х dx =cos'=dx,·oscos Х.' dx .1 - sш 2 Хllасле этага пан 'lTHa что. сг }ует палож:ить= cos х ( Z ; T . t h "те Ю.t; [1ЫJ. J~ ~Вычислt1Тh JJIВЫЧИС!Н1Тh J("dx,osx==1-.2ln 111 -t 1tsш:г,(иt(2х)4,dt+ с = ln 1Удобю(2x)SdX 1t[а= 61х 3 dx. При этс;x3dx=~(2х)8+1.~ =648 .лаarctgt64/2+1= агс t,garctg(2x)464Д1Я ВЫЧИС}ll';;' +dX2 '1/'"]' ,аказывается+С =аt1ЯУ1\абнай триганаметри'хt, d:r+ С.инл грапа1\станавкаt =d/=результате этай па}станавки интеграл приниыает ВИ1\dx9.Вычис.t [1ТЬстанавкаI.cas t dtdxt="i'::--d_x",,'хa!'CSln а' :Г1(а 2 - х 2 )3/2 = а 2 .Iа+2tg t-----г=======;с=а+ tg 2 tJ1+хa2Jx2J.,ill t+ ;;2+С.~;;;:.
ЗдеСh окаЗhIt;;;'тся добной tсщ-= sint,dt = tg tcos 2 tа21dx = acastdt.этаы+С =Sill tа' -ylГj=_='='il=:'l''С='tСхС+ - :; . ;=;'ё="'" + .210ВЫЧiIi .iИi [.JМыа,:Гаинтеi ра-=tJ~+-2at -агссав2t =ю. i!ЧiI= -40-!!а99Д tЯ iiЫЧiIi .iенияла а;,дзывается У1\абнай заыена= -2а Si1l2t{iBAHltИt [ТЕГГИ!:2 СОВ 2t)(и =х+сsil1J2а СОВ 2tclt-2at --а [ ;iTCCOS аJ /Х)2]С.1- \~Ин·леЛ'РИРШJ.i:RIRие по чаСТJIМ.
К шслу весьыа эффi ;"тивныхiтеfТJИРСНiiiIЯ!tiСИii Я1t'Нrnегр1tliOij(L'iji"по 'Част,ям. Этат мета! аснавывастс} на СШ' !УЮi (ем утверждеНИИ.Пуст'ь nа:ж:дu;; иЗх) и v(x) i}иффере'iI'Ц1tjПf'ма 'На.м'Но:ж;естве {х} и, nроме того, 'На этом .м'Но:ж;естве существуnеlн!юбраз'На.;/фУ'iln'Ци!J v( х )и' х).'На MHOi.JI(if)CiY/B'{ Хсуществует nервообраi'На,я и дл,я фу'Нn'Ции и (:г(г), nри'Чi)Мu(x)v'(x) dxа ы е ч а не.u(x)vх-Jv(x)u iХ;lliIa.i"С Iп;;еде.iение(6.8)(lx.i'iii,ЙСТВi,инвариантнасти ,та фармы цазваШlет зацисать фарыулуJиВiIД i 'ДtЯ дс;казатеi1v= u(x)v(:r -lhi тваlИi(6.S)вJv i1u.ТВСР>i<Дi'i iIЯ,{it;aiiIшемфармулу 1\ЛЯ цраизвощай праизве1\ения 1\ВУХ функ шй и(х) иv(x)[u(x)v(:r'Умю>i<iIbl paBi'iti'TBO+ ui(F)v(x= и(х(:гн;;(l;T И [;О10)О)(6..ii,MeM интегра.i от обеiIХчастей палученнага таким путсы равенства.
Та;·, ка;·, па усла-ВiIЮ дЛЯ ВССХ Х!t,жсствах} сущсств\еi Jv х ;/(x)dxJ[u(x)v(:r (1:г = и(:г)v(:г)+С (сы. свайстваиз п. §вс! х :г из мно.ж:ества {г} сущсствует и интеграли(хJпричем спраВi' !лива фарыула), та 1\ЛЯ(:г(lF(илиФармуласводит вопрос о вы'Числе'Н1Ш и'Нте/рала J и i1vn вычuсле'ншоo и'Нтеграла J v du.РЯ!i' канкретных случа i в этатпасле1\НИЙ интсграл ;~i'З ТРУ1\а ВЫЧИСЛilется.Вычисле} }lе}Teip,·}a J'/}, (lv }с,среде}"му}ы (69)}а ъша}(;тпо,что при "~OH ·~peTHOЫ приыенении формулы интегрирования поч", тям (69) с,чеНh удобно т, lhЗ(;Вat }.ся таб.
}}щей Д}lсI1фереНЦ}Iалов, выписанной нами в п. 2 § 9 iЛ.ПереХО1\ИМ к рассмотрению примеров1<0. Вы' .}им интегра} 1 = J ;уп lnx (Z;T (ni= - ).1l=lnx, dv=хп,/х и ИСПОЛЬЗУil форыулуdxхn+1=- v=-хn + l'JI=--lnx-1-+1(n+ 1)(1и1=dx=:ЕaIctg х:1) + с.,!х. llолагаil 1l(6.9),=l'У1\ем шгтьх2?_ '+хлсtgх-!221,/х и ИСПОЛЬЗУil формулу--2'2ПОЛУ'шы (l1l,lх = ----=t=l" (ln х -.iычислиы 1\а.:г'· интегралaIctg :Е, (lv(6.9),J'х -~dx=~aIct.gx_1J.
+ I1+х"22!/х"2.21d,+х2=J'1]dx=[,1+X)22+121+хaIctg х -"2С.3 .iЫЧИСЛ}IЫ интегра} 1 = J х COS;T dХ.н,ч"ла применимформуm ((1.9), ю}агая и = х", dvcosx (l;T. По}{ }IЫ (lncl:г, v = sinx. 1 = x 2 sin:r2Jxsin:I: dx.ВЫ'шсленияпосле1\него интеграла ещ(' раз пршгниы формулу (6.9), ПOJшгаilна эт(;т= х, (lv - SillX dx. П(;.Jl\Ч}1 du = (lx, v = - cos х,1 - х 2 Sill Х + 2х cos х - 2 J cos х (lx - (х 2 - 2) Sill Х + 2х cos х +Таким образоы, интеграл J :г 2:Е dx вычислен наJ\Ш поср,'Д}iУКР,'ТН(;ГО}теi'i·и',гща} }IЯ пс, частя.;}.
Легю, т }Ш}что интеграл J :Е П cos х'"- ЛЮ1)ое ll.ело(· пололштельноечисло) ыожет быть ВЫ' шслен по аналогичной схеме поср,' iCTBOMn-кра},(lF(Г1\е}IЯп(; ч", тям.4 о, ВЫ' шслим теперь интеграл 1 = J ,a;r , "s Ьг ,/х= const,Ь = const), Сна·jа.:ш приыениы формулу (6.9), полагая и = ea;r,' d х. п·l v -_ -Ь-'sin Ьхd v = cosnx( .. ,учим d и - а.е шг GX,е аЕ ~nbx-~JSill Ьх (lx.Для ВЫЧИCJГНШl после1\него интеграламулу (6.9), полагаil на этот раз и = ,a;r}е раз применим форllолучим(lv = sinbx (l!,ИНТЕГГl2(lu =V=-2UIPC)BAHllcosIix+1_ _с а_х----:-_ _2аЬ:г - ~I.Ь(6.
1)ьсТаким образом. посре1.ствомшукратного интегрирования поч)), тямкаЫч)l·)дляин )е) ра)арав )е))leпеРВ11'0)l'lШi1.Из этого уравн! ню) нахоlИЫ1).b!ill Ьх1 = - - , , - -___-llра",тика по "азывает,с,юсредсТlЮЫ]то )'ольшая jасть инг гралов берущих)тегрирг,'jастяы, М1 »)ет б)"Тh раiб)lтана сле1\УЮЩИ<i три грУnn!'l:1руппе1))(,ся), яИНТiiгра,ы,нас, фУЮ'i'ШС' которых С01 ii РЛШТ В ка' jiCTBi imiДьште1рад),-ыножителя 01\НУ изСЛiil}'Ю) lИХ Фунюшй: lnx, a)isinx,агссовх)2,llli;(X), ...
(с.с).х, (aIctgx)2,\iOTPiiiые В),Шii i при))еры 10и 20). длсl вычислеНЮl интегралов пi рвой группы сг 1ует примени)), формул\ (6.9), )('лагая в неПх)(,днойзанных выше функций 1).2)Ко второй группе относ lТСЯ интегралы ви 1аЬ)n sin(c:r)dx, /(ах Ьdx,ГC1i iЬ, с - Нii"iоторые постоянные.- люоое цеЛО ii полол,иiii.Jl),Нl'ii чис!Нс (см. ))ыше, )p)l)iiip 3О). ИН)i'гра,lЫ еrnОРОЙ1'РУППЫi'iiрУТСЯ путем )j.-кратного пршгнения формулы интегрирования по ч)), тям (6.9), iТJilЧiiК))чес) ))е !i(x) ))сякиП)едуетбрать (ахЬ ) в соответствую) )ей степени. llосле кал,юго инте-+1ТJИР(ii)lя по частя) этаКЬг3)Je axmреmссей(lx,б\iДе)группе)aifsinbx(СЫ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
